Вокруг окружности
На уроках геометрии в средней школе все мы сталкивались
с такой теоремой (рис. 1): произведение длин отрезков, проведенных из точки М в
точки пересечения окружности с секущей АА', проходящей через точку М, равно
квадрату касательной, проведенной из точки М к этой же окружности МА·МА'=МТ². Будем
рассматривать отрезки МА и МА' как направленные и назовем произведением этих
отрезков произведение их длин, взятое со знаком «+» или «-» в зависимости от
того, направлены эти отрезки одинаково или противоположно. Если одна из точек А
или А', совпадает с точкой М, то будем считать произведение отрезков равным
нулю.
В высшей математике этому произведению дается определение:
произведение направленных отрезков, проведенных из точки М в точки пересечения
окружности w с любой секущей, проходящей через точку М, называется
степенью точки М относительно окружности w
[1, с. 289-299]. Далее в этой статье, используя определение степени точки, я
сформулирую новое понятие окружности концентрической к данной и докажу его
правильность.
Степень точки это действительное число, а раз так, то относительно
окружности w данной степенью будет обладать целое множество точек.
Следовательно, есть геометрическое множество точек, которые имеют равные
степени относительно данной окружности. Рассмотрим возможные случаи
расположения такого геометрического места точек.
1 Случай.
Все точки степени 0. Такие точки лежат на данной окружности. В
данном случае возможно допущение, что окружность является концентрической с
собой.
2 Случай.
Если точки расположены вне данной окружности, такое геометрическое
место точек названо «суммой квадратов» (рис. 2) М1Т1²=М2Т2²=k.
Его рассматривают в школьном курсе геометрии [2, с. 165-169].
3 Случай.
Точки имеют отрицательную степень, тогда они лежат внутри данной
окружности.
Докажем, что данное геометрическое место будет концентрической
окружностью:
Пусть нам дана точка М, окружность w и число k – степень М относительно окружности w.
·
Построим другие точки,
имеющие такую же степень относительно окружности w (рис. 3).
1.
Проведем диаметр АА',
проходящий через точку М.
2.
Построим диаметр ВВ'
перпендикулярный данному.
3.
Рассмотрим симметрию
относительно ВВ':
А→А'
М→М', отсюда получаем, что АМ=А'М' и А'М=АМ', причем ОМ=ОМ' (по опр.
симметрии).
Таким образом, М' имеет k – степень относительно окружности w.
4.
Проведем хорду PQ,
проходящую через точку М.
5.
Построим радиус,
перпендикулярный данной хорде. Он разобьет хорду на две равные части (по
теореме о свойствах хорд окружности).
6.
Рассмотрим симметрию
относительно данного радиуса:
P→Q
M→N, отсюда получаем, что РМ=QN и МQ=NP.
Таким образом, N имеет k – степень относительно окружности w.
Если рассматривать точку N, то по аналогии с пунктами 1-3, можно
получить точку N'.
·
Докажем, что точки M, M', N, N' задают
окружность.
Рассмотрим угол MNM', он равен 90° т. к. по построению ОМ=ОМ' и ML=NL, a LO –
средняя линия треугольника MNM'. Таким образом, из точки N,
имеющей степень равную степени точки М, отрезок ММ', виден под углом 90°.
Аналогично, можно показать, что из точки N', имеющей степень равную степени точки М,
отрезок ММ', виден под углом 90°. Тогда, по определению окружности – точки M, M', N, N'
задают окружность, причем, с диаметром ММ' (из равенства ОМ=ОМ' получим, что О
– центр этой окружности), а, значит, эта окружность концентрическая к
окружности w.
Покажем, что любая точка, имеющая степень k
относительно окружности w, принадлежит данной концентрической
окружности; и обратно, любая точка данной концентрической окружности имеет
степень k относительно окружности w.
Первая часть следует из построения, поскольку если точка имеет степень k
относительно окружности w, то по построению она принадлежит тому же
множеству точек что и точка М.
Вторая часть: если точка Е принадлежит данной концентрической окружности,
то она задает ее диаметр ЕЕ', причем ЕО=Е'О=МО=М'О, где М имеет степень k
относительно окружности w. Тогда Е имеет степень k
относительно окружности w.
Все выше сказанное является доказательством понятия: геометрическое
место точек, которые имеют равные степени относительно данной окружности – это
окружность концентрическая к данной.
Литература
1.
Д.И. Перепелкин. Курс
элементарной геометрии. – часть 1. Геометрия на плоскости. – М. 1948
г.
2.
Л. С. Атанасян, В.Ф.
Бутузов и др. Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – М. 1997
г.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.