Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное /фрагмент из урока/

НАИБОЛЬШИЙ  ОБЩИЙ  ДЕЛИТЕЛЬ  .  НАИМЕНЬШЕЕ  ОБЩИЕ  КРАТНОЕ (фрагмент  урока)

Немного из истории.

Древние греки придумали замечательный способ, позволяющий искать наибольшие общие делители без разложения на множители.

        Возьмем два числа 102 и 170. Заменим в паре (102;170) большее число 170 разностью 107-102, то есть числом 68. Мы получим пару чисел (102;68). Повторим эту операцию и заменим пару (68; 34) на (34; 34). Поскольку оба числа в ней одинаковы, то НОД для нее равен 34.

        На этом примере видно, что если пару натуральных чисел (a;b), где a<b, заменить парой чисел (a;b-a), то наибольший общий делитель не изменится. Повторяя такие замены много раз, мы будем все уменьшать и уменьшать наши числа, пока не дойдем до пары (d;d), состоящей из двух одинаковых чисел. Число dи будет наибольшим общим делителем для aи b.

        Этот метод отыскания наибольшего общего делителя впервые описан в книге Евклида «Начала». Его называют алгоритмом Евклида.

        Последовательное вычитание из большего меньшего числа можно заменить делением большего на меньшее число и заменой большего числа на остаток от этого деления.

        107:102=1(ост. 68)

        102:68=1(ост. 34)

        68:34=2

Деление 68 на 34 выполняется нацело. Это значит, что наибольшим общим делителем пары чисел (102;170) является 34.

Вопрос:

А как найти наименьшее общее кратное тех же чисел 102 и 170? Нет ли и для этого какого–нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа  и разделить произведение на найденный нами наибольший общий делитель 34. В этом получается 510.

1)  102 * 170 = 17340

2)  17340 : 34 = 510

Ответ: 510