муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 66 городского округа Самара
443076, г. Самара, ул. Аэродромная, 65
тел.:/факс 261-75-48, e-mail: scholа_66.samara@mail.ru
Многоуровневые системы планиметрических задач по теме «Треугольник»
Выполнила:
Кочмарева Елена Александровна,
учитель математики
МБОУСОШ № 66 г.о. Самара
Самара,2014
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Решение планиметрических задач по теме «Треугольник»
Программа обеспечивает обязательный минимум подготовки учащихся по геометрии, определяемый образовательным стандартом, соответствует общему уровню развития и подготовки учащихся данного возраста.
Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования. Она необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.
Программа направлена на достижение следующих целей:
§ овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения практической деятельности изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
§ интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений;
§ формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
§ воспитание культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно технического прогресса;
развитие представлений о полной картине мира, о взаимосвязи математики с другими предметами.
В ходе обучения геометрии по данной программе решаются следующие задачи:
§ систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости;
§ формирование пространственных представлений; развитие логического мышления и подготовка аппарата для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и др.) и курса стереометрии в старших классах;
§ овладение конкретными знаниями необходимыми для применения в практической деятельности.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся дополняют знания о треугольниках сведениями о методах вычисления элементов произвольных треугольниках, основанных на теоремах синусов и косинусов. Даются систематизированные сведения о правильных многоугольниках, об окружности, вписанной в правильный многоугольник и описанной. Особое место занимает решение задач на применение формул. Серьезное внимание уделяется формированию умений рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий.
В результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь:
§ пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;
§ распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
§ изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразование фигур;
§ вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), в том числе: определять значение тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них; находить стороны, углы и площади треугольников, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;
§ решать геометрические задания, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;
§ проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
§ решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.
Содержание программы соответствует обязательному минимуму содержания образования и имеет большую практическую направленность.
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Синус, косинус и тангенс угла. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников. Скалярное произведение векторов и его применение в геометрических задачах. Основная цель — развить умение учащихся применять тригонометрический аппарат при решении геометрических задач.
Синус и косинус любого угла от 0° до 180° вводятся с помощью единичной полуокружности, доказываются теоремы синусов и косинусов и выводится еще одна формула площади треугольника (половина произведения двух сторон на синус угла между ними). Этот аппарат применяется к решению треугольников.
Скалярное произведение векторов вводится как в физике (произведение длин векторов на косинус угла между ними). Рассматриваются свойства скалярного произведения и его применение при решении геометрических задач.
Основное внимание следует уделить выработке прочных навыков в применении тригонометрического аппарата при решении геометрических задач.
Длина окружности и площадь круга.
Правильные многоугольники. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него. Построение правильных многоугольников. Длина окружности. Площадь круга.
Основная цель — расширить знание учащихся о многоугольниках; рассмотреть понятия длины окружности и площади круга и формулы для их вычисления В начале темы дается определение правильного многоугольника и рассматриваются теоремы об окружностях, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него. С помощью описанной окружности решаются задачи о построении правильного шестиугольника и правильного 2ге-угольника, если дан правильный п-угольник.
Формулы, выражающие сторону правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности через радиус описанной окружности, используются при выводе формул длины окружности и площади круга. Вывод опирается на интуитивное представление о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности, а площадь — к площади круга, ограниченного окружностью.
Треугольник: Базовые задачи.
В данном разделе принимаются следующие обозначения:
· A, B, C- вершины и соответственно внутренние углы треугольника ABC;
· a, b, c – стороны, соответственно противолежащие углам A, B, C;
· P,2p – периметр;
· ha, hb, hc – длины высот, проведенных к сторонам a, b, c;
· ma, mb, mc – длины медиан;
· la, lb, lc –длины биссектрис внутренних углов A, B, C;
· la *, lb *, lc* - длины биссектрис внешних углов A, B, C;
· S-площадь треугольника
· R-радиус описанной окружности
· r – радиус вписанной окружности
· ra – радиус вневписанной окружности , касающейся стороны a.
 |
 |
H3 H2 B A M3 M2 A B M1
|
|
a |
b |
c |
l |
|
|
|
12 |
25 |
36 |
lc-? |
l*c-? |
В треугольнике ABC AB=c. BC=a, AC=b. Вычислите:
ЗАДАЧА 1.
Найти площадь треугольника АВС, если известны длины сторон треугольника а=12см, в=25 см, с=36 см.
РЕШЕНИЕ:
По формуле Герона имеем 
, где
Ответ: 
см
ЗАДАЧА 2.
Найти cosА, sinВ, cos
,
если известны длины сторон треугольника а=12см, в=25 см, с=36 см.
РЕШЕНИЕ:
А) По теореме косинусов имеем а² = в² + с² - 2вс·cosА
Тогда cos А = (в² + с² - а²)/2вс
cos А = (25² + 36² - 12²)/2·25·36 = 
Б) По теореме косинусов имеем в² = а² + с² - 2ас·cosВ
Тогда cos В = (а² + с² - в²)/2ас
cos В = (12² + 36² - 25²)/2·25·12 = 
Далее используя формулу sin² В + cos² В = 1 , получаем
sinВ = √1- cos² В = 
=
В) соs
= 
Ответ: cos А= ,
sinВ=,
соs =
ЗАДАЧА 3.
Найти R - радиус описанной около треугольника окружности.
РЕШЕНИЕ:
Имеем формулу нахождения площади
треугольника через R радиус описанной около
треугольника окружности и длин трех сторон треугольника 
Тогда 
Подставляем значения и получаем следующее:
см
Ответ: 
см
ЗАДАЧА 4.
Найти r - радиус вписанной в треугольник окружности.
РЕШЕНИЕ:
Имеем формулу нахождения площади
треугольника через r радиус вписанной в
треугольник окружности и длин трех сторон треугольника 
, где 
Тогда 
см
Ответ: 
см
ЗАДАЧА 5.
Найти mₐ - медиану АМ1
РЕШЕНИЕ:
По теореме косинусов имеем с² = в² +
а² - 2ав·cosφ, где угол φ – это угол между стороной а и в.
Тогда получаем
cosφ = (а² + в² - с²)/2ав (1)
Рассмотрим треугольник АСМ1
mₐ² = в² + (а²/4) – 2в·
а· cosφ (2)
Далее подставим в формулу (2) формулу (1) и преобразуем выражения, получим формулу для нахождения длины медианы треугольника:
mₐ = ½ · 
(2в² + 2с² -а²)
Получаем mₐ = ½ · (2·25² +2·36² - 12²) = 
Ответ: mₐ = 
см
ЗАДАЧА 6.
Найти lс -длину биссектрисы
Подставим в (1):
Ответ: 
см
ЗАДАЧА 7.
Найти СН3 - длину высоту
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА 8.
Найти длину радиуса вписанной окружности ra , касающейся стороны а
.
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА 9
.
Дано:
DАВС,
АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы,
АВ = 36,
ВС = 12,
АС = 25.
Найти: SDМ1М2М3.
Решение:
АМ1, ВМ2 – медианы Þ М1 и М2 – середины сторон ВС и АС Þ М1М2 – средняя линия DАВС. По свойству средней линии треугольника:
М1М2 || АВ и М1М2 = ½ АВ.
Аналогично:
М2М3 || ВС и М2М3 = ½ ВС,
М1М3 || АС и М1М3 = ½ АС.
Þ DАВС ~ DМ1М2М3 по III признаку – по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом
подобия k=½. Тогда, по свойству
площадей подобных треугольников 
.
Отсюда имеем: 
.
Т.к. k = ½, то 
.
Площадь DАВС вычислим по формуле Герона: 
,
где 
.
Вычислим полупериметр: 
.
Найдём площадь DАВС: 
.
.
Ответ: 
.
ЗАДАЧА 10.
Дано:
DАВС,
АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы,
АВ = 36,
ВС = 12,
АС = 25.
Найти: PDМ1М2М3.
Решение:
АМ1, ВМ2 – медианы Þ М1 и М2 – середины сторон ВС и АС Þ М1М2 – средняя линия DАВС. По свойству средней линии треугольника:
М1М2 || АВ и М1М2 = ½ АВ.
Аналогично:
М2М3 || ВС и М2М3 = ½ ВС,
М1М3 || АС и М1М3 = ½ АС.
.
Ответ: 
ЗАДАЧА 11.
Дано:
DАВС,
АL1, ВL2, СL3 – биссектрисы углов А, В и С,
АВ = 36, ВС = 12, АС = 25.
Найти: SDL1L2L3.
Решение:
Для удобства вычислений введём следующие обозначения:
1) BC = a, AC = b, AB = c;
2) CL1 = ab, BL1 = ac, CL2 = ba, AL2 = bc, BL3 = ca, AL3 = cb.
Выразим отрезки, на которые биссектрисы делят стороны, через стороны треугольника.
Т.к. биссектриса делит противолежащую сторону на
отрезки пропорциональные прилегающим сторонам, имеем: 
. Заменив ac на разность a - ab, выразим ab через стороны треугольника: 
.
Аналогично выражаем остальные отрезки:
, 
, 
,
, 
.
(1)
Используя свойство отношения площадей треугольников с общим углом выразим площади треугольников DCL1L2, DAL2L3 и DBL1L3 через площадь треугольника DАВС:
, 
, 
.
Подставим эти выражения в формулу (1)
.
Вынеся площадь треугольника DАВС за скобки, и заменив ab, ac, ba, bc, ca, cb соответствующими выражениями получаем:
.
Выполнив необходимые преобразования в скобках, получаем формулу:
(2)
Площадь DАВС вычислим по формуле Герона: 
,
где 
. Она равна 
(см. задачу 1).
Выполняем расчет:
.
Ответ: 
.
ЗАДАЧА 12.
PL1L2L3= L1L2 + L2L3 + L1L3
По теореме косинусов:
L1L2 = 
L2L3= 
L1L3= 
Косинусы углов:
cos A = 
; cos B = 
; cos C = 
L1L2 = 
= 
L2L3= 
= 
L1L3= 
= 
Периметр
P L1L2L3 = + +
ЗАДАЧА 13.
По теореме Эйлера 
ЗАДАЧА 14. В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. Вычислите расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностями.
Решение:
Так как О2 –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис
внешних углов к углам В и С треугольника АВС и биссектрисы угла А.
Т.к. ВО1 и ВО2 биссектрисы смежных углов, то ∟О 2ВО1 =90°. Следовательно,
О 1О2 -гипотенуза прямоугольного треугольника О 1ВО2. Найдем радиусы вписанной и вневписанной окружностей:
, где р- полупериметр
=
=
=
=
R = О2 М = 
, где S- площадь треугольника
S=
S=
=
=
R = : (36,5-25)= 
= 3,5 
Рассмотрим 
О2МЕ и 
1.
Они подобны с
коэффициентом k=
, по двум углам.
Значит , k =
BМ=p-AB
CH=p-AC
BM=36,5 – 36 = 0,5
СН=36,5 – 25 = 11,5
МН=12 – 0,5-11,5 =0,
значит, длина отрезка О1О2 =R 
Ответ: 
ЗАДАЧА 15.
Найти: S
Решение:
АВС
, 
=
=
, А
=
=с
А
=
, 
,
,
,
P=8p
, гдер=
, S=
или другой способ
S=S
(1-
По теореме косинусов
найдем 
, 
, 
, зная стороны
треугольника.
S=, гдер=
S=
,
,
S=
(1-
- 
)
ЗАДАЧА 16.
Дано:
ВС, АВ=36, ВС=12, АС=25
С
Н
Н
А В
Н
Найти Р
, где Н, Н,
Носнования высот.
Решение: Р= Н Н+
НН+
НН.
Прямоугольные
треугольники А НВ и СНВ подобны по двум углам (угол В – общий,
углы А НВ и СНВ прямые).
Значит, 
или НВ
АВ=НВСВ.
Следовательно,
треугольники Н ВН и АВС подобны (по второму признаку) с
коэффициентом подобия 
.
Аналогично,
треугольники Н НС
и АВС подобны с коэффициентом подобия 
и
треугольники А НН и АВС подобны с коэффициентом подобия 
.
Значит, 
НН=АВ;
НН=ВС
;
НН=АС
.
Найдем косинусы углов треугольника АВС по теореме косинусов.
=
;
=
;
=
.
Тогда НН=
36=31,62; НН=
12=11
11,85;
НН=
25=23
23,58.
Р
= Н Н+
НН+
НН
Р=66,69.
Ответ: 66,69
ЗАДАЧА 17.
Дано:
DАВС,
K1, K2, K3 – точки касания вписанной окружности,
АВ = 36,
ВС = 12,
АС = 25.
Найти: SDK1K2K3.
Решение:
Используя свойство отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки, обозначим равные отрезки буквами x, y, z:
АK1 = AK3 = x, BK1 = BK2 = y, CK2 = CK3 = z.
Составим систему: 
Сложив
почленно эти равенства получаем:
a + b + c = 2(x + y + z) Þ x + y + z = (a + b + c)/2 = p (полупериметр).
Тогда получаем такую систему: 
Þ
(1)
Запишем формулы площадей треугольников D AK1K3, D BK1K2 и D CK2K3 через две стороны и синус угла между ними, используя формулы (1):
, 
, 
.
(2)
Синусы углов выразим через площадь треугольника DАВС:
, 
, 
. (3)
Площадь треугольника DK1K2K3 равна следующему:
.
Подставляя в эту формулу данные формул (2) и (3), получаем:
.
Подставим числа и найдём значение площади треугольника DK1K2K3:
.
Ответ: 
.
ЗАДАЧА 18.
В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в.
Найти Р К1К2К3 , где Кi
– точки касания вписанной окружности
Решение:
К1К32
= 2х2 - 2х2 cosА = 2х2 (1 – cosА) =
4 х2 sin2 
К1К3 =
2хsin
К1К2
= 2y
sin
К2К3 = 2z sin
Р = 2х sin + 2y sin 
2z sin = 2 (p-a) sin + (p-b) sin 
+(p-c) sin =49sin
Ответ: 49sin
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Решение планиметрических задач по теме «Треугольник»
Программа обеспечивает обязательный минимум подготовки учащихся по геометрии, определяемый образовательным стандартом, соответствует общему уровню развития и подготовки учащихся данного возраста.
Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования. Она необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.
Программа направлена на достижение следующих целей:
§ овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения практической деятельности изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
§ интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений;
§ формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
§ воспитание культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно технического прогресса;
развитие представлений о полной картине мира, о взаимосвязи математики с другими предметами.
В ходе обучения геометрии по данной программе решаются следующие задачи:
§ систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости;
§ формирование пространственных представлений; развитие логического мышления и подготовка аппарата для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и др.) и курса стереометрии в старших классах;
§ овладение конкретными знаниями необходимыми для применения в практической деятельности.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся дополняют знания о треугольниках сведениями о методах вычисления элементов произвольных треугольниках, основанных на теоремах синусов и косинусов. Даются систематизированные сведения о правильных многоугольниках, об окружности, вписанной в правильный многоугольник и описанной. Особое место занимает решение задач на применение формул. Серьезное внимание уделяется формированию умений рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий.
В результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь:
§ пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;
§ распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
§ изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразование фигур;
§ вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), в том числе: определять значение тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них; находить стороны, углы и площади треугольников, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;
§ решать геометрические задания, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;
§ проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
§ решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.
Содержание программы соответствует обязательному минимуму содержания образования и имеет большую практическую направленность.
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Синус, косинус и тангенс угла. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников. Скалярное произведение векторов и его применение в геометрических задачах. Основная цель — развить умение учащихся применять тригонометрический аппарат при решении геометрических задач.
Синус и косинус любого угла от 0° до 180° вводятся с помощью единичной полуокружности, доказываются теоремы синусов и косинусов и выводится еще одна формула площади треугольника (половина произведения двух сторон на синус угла между ними). Этот аппарат применяется к решению треугольников.
Скалярное произведение векторов вводится как в физике (произведение длин векторов на косинус угла между ними). Рассматриваются свойства скалярного произведения и его применение при решении геометрических задач.
Основное внимание следует уделить выработке прочных навыков в применении тригонометрического аппарата при решении геометрических задач.
Длина окружности и площадь круга.
Правильные многоугольники. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него. Построение правильных многоугольников. Длина окружности. Площадь круга.
Основная цель — расширить знание учащихся о многоугольниках; рассмотреть понятия длины окружности и площади круга и формулы для их вычисления В начале темы дается определение правильного многоугольника и рассматриваются теоремы об окружностях, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него. С помощью описанной окружности решаются задачи о построении правильного шестиугольника и правильного 2ге-угольника, если дан правильный п-угольник.
Формулы, выражающие сторону правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности через радиус описанной окружности, используются при выводе формул длины окружности и площади круга. Вывод опирается на интуитивное представление о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности, а площадь — к площади круга, ограниченного окружностью.
6 654 334 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кочмарева Елена Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.