Министерство образования и науки Республики Татарстан

Государственное  автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Лениногорский нефтяной техникум»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методическая разработка учебного пособия

по теоретическому курсу по дисциплине «математика»

на тему

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОТЫСКАНИЕ

НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

 

 

 

 

 

Выполнила:

преподаватель математики

ГАОУ СПО «ЛНТ»

ШипиловаЛилия Михайловна

 

 

 

 

 

 

 

2012

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА................................................................................................. 4

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬ-
НЫХ ЗАДАЧ................................................................................................................................. 6

1.1   Наибольшее и наименьшее значение квадратного трёхчлена........................................... 7

1.2         Теоремы о достижении суммой и произведением положительных

        чисел экстремальных значений........................................................................................... 8

1.3  Средние величины и их использование при решении экстре-

мальных задач...................................................................................................................... 9

ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ РЕШЕ-
НИЯ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬ-
ШИХ ЗНАЧЕНИЙ........................................................................................................................ 11

2.1     Методика обучения решению экстремальных задач с помощью

производной.................................................................................................................................. 11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................................. 23

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………..        24

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПЛАНЫ-КОНСПЕКТЫ УРОКОВ............................................... ………26

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ

ЗАДАЧ............................................................................................................................. ………38

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ЗАДАЧИ ИЗ ЕГЭ........................................................................... ………54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

 

Актуальность темы методической разработки очевидна. В жизни нам постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наи­лучшее или, как говорят, оптимальное решение в той или иной ситуации. Иногда такое оптимальное решение находится достаточно просто, но очень часто обилие вариантов ставит нас в тупик и мы не знаем, как по­ступить.

Математика становится средством решения проблем организации про­изводства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содейству­ет повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

Современные учащиеся могут уже в средней школе получить представле­ние о таких важных понятиях, относящихся к развитию промышленности, сельского хозяйства, науки, как «эффективность», «оптимальность», «экстре­мум», «наибольшее», «наименьшее», «наилучшее», «наиболее выгодное», «наиболее экономное» и т. д.

Среди задач математики, которые решают проблемы оптимизации, сле­дует выделить так называемые задачи на экстремумы и оптимумы, с кото­рыми в курсе математики средней школы приходится встречаться чаще всего и которые в свою очередь являются фундаментом рассмотрения оптимиза­ционных задач вообще.

Проблему моей методической разработки составляет необходимость формирования у учащихся умений применять наиболее эффективные ме­тоды решения различных моделей задач на оптимизацию.

Целью методической разработки является показать различные методы решения экстремальных задач.

Цель и проблема методической разработки определили следующие задачи.

 

 

Задачи:

1.            Дать теоретическое обоснование элементарных методов решения экс­тремальных задач.

2.            Раскрыть теорию применения аппарата производной к исследованию функций.

3.            Продемонстрировать этапы метода математического моделирования при решении задач на оптимизацию.

4.            Показать применение элементарных методов и аппарата производной при решении прикладных задач на оптимизацию, рассматриваемых в школьном курсе математики.

5.            Рассмотреть решение задач на нахождение наибольшего и наимень­шего значений повышенной трудности из ЕГЭ, решаемые различными методами.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что данная тема представляет собой благодатный материал для формирования у студентов диалектико-материалистического представления о предмете математики, дает возможность решать ряд практических задач из различных областей науки, техники, производства, из смежных учебных предметов, самостоятельно подготовиться к ЕГЭ.

Апробация результатов. Материалы работы  используются на учебных занятиях по математике на II курсе, а также на занятиях математического кружка для студентов I курса.

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬ­НЫХ ЗАДАЧ

 

 

Усилия почти всякой человеческой деятельности направлены на то, чтобы с наименьшей затратой сил достигать выгодных во всех отношениях результатов. Именно в такой форме могут быть сформулированы многие ма­тематические задачи, имеющие практическое значение. Например: при какой скорости судно пройдет заданное расстояние с наименьшими затратами? При какой форме участка его площадь будет наибольшей, если длина гра­ницы известна?

Действие сил природы неуклонно подчиняется законам строгой эконо­мии, которые проявляются в достижении наилучшего действия с наимень­шими затратами сил (закон отражения света, взаимного удара тел).

Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения (экстре­мальные задачи) имеют важное значение не только потому, что поясняют теорию, обнаруживая ее пользу, но и потому, что способны заинтересовать и увлечь учащихся рассмотрением различных вопросов.

При решении задач необходимо использовать методы элементарной ма­тематики. Я разделяю точку зрения И.П. Натансона: "Мощный аппарат диф­ференциального исчисления дает общие и однотипные приемы, позволяю­щие решать задачи самого разнообразного характера, лишь бы в них требо­валось найти экстремум конечной комбинации элементарных функций. Ис­пользуя эти приемы, вовсе нет надобности обращать внимание на индивиду­альное своеобразие той или иной задачи. А использование этого своеобра­зия часто как раз и позволяет решить задачу проще, быстрее и красивее, чем с помощью общих приемов.»

 

 

1.1    Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена

 

Всякий квадратный трехчлен aх² +bx + с, а ≠0, можно переписать так:

Возможны два случая: а > 0 и а <0.

1.                  Пусть а > 0. Тогда при всех значениях  x, кроме   х= -    , первое слагаемое положительно, а при  х= -      это слагаемое равно 0.   Следовательно трехчлен     имеет наименьшее значение  при   х= -  . Это значение равно    . 

2.        Пусть а < 0. Тогда при всех значениях  x, кроме   х= -    , первое слагаемое отрицательно, а при  х= -      это слагаемое равно 0.   Следовательно трехчлен     имеет наибольшее значение  при   х= -  . Это значение равно    . 

Итак, если старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, то трехчлен имеет наименьшее значение при  х= -  .Если же старший коэффициент   квадратного трехчлена отрицателен, то трехчлен имеет наибольшее значение при  том же значении  х.

Пример1. Найти наименьшее значение трехчлена      х² + 6х + 13.

Решение. Выделим полный квадрат

х² + 6х + 13 = ( х – 3)² +4

Видно, что при х = 3 трехчлен имеет наименьшее значение, равное 4.

 

Пример 2.  Найти наибольшее значение трехчлена     - 2 х² + 5х – 7.

Решение. Преобразуем трехчлен:

                     - 2 х² + 5х – 7 = - 2(х² - ) – 7 = - 2(х - )² –

Теперь видно, что при х =  трехчлен имеет наибольшее значение, равное   – .

 

 

 

1.2  Теоремы о достижении суммой и произведением положитель­ных чисел экстремальных значений

 

 

Теорема 1. Пусть сумма п (nN) слагаемых постоянна, тогда их произве­дение будет наибольшим, когда они равны.

 

 Задача 1.

Число 10 представить в виде суммы двух неотрицательных слагае­мых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Решение. Пусть х - первое слагаемое, а у - второе слагаемое. Тогда х + у =10. Так как по условию задачи сумма постоянна, то по теоре­ме 1 произведение двух положительных чисел имеет максимум при равен­стве слагаемых, т.е. х = у. Следовательно, х = 5, у = 5. Ответ: 10 = 5 + 5.

 

Теорема 2. Пусть произведение п (neN) множителей постоянно, тогда их сумма будет наименьшей, когда они равны.

 

Задача 2.

Найти прямоугольный параллелепипед с данным объемом V, чтобы сумма его измерений была наименьшей.

Решение. Пусть измерения параллелепипеда равны х, у, z. Тогда V = xyz. Необходимо установить, когда сумма х + у + z будет наименьшей. Так как произведение данных множителей постоянно, то по теореме 2 сумма имеет минимум при равенстве множителей, т.е. х = у = z. Поэтому искомый параллелепипед представляет собой куб с ребром .

Ответ: Искомый прямоугольный параллелепипед — куб с ребром

 

 

1.3  Средние величины и их использование при решении экстремаль­ных задач

 

 

Теорема (Неравенство Коши). Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел не менее среднего геометрического этих чисел, т.е. если а,а₂ , … а_п — числа неотрицательные, то

                                                                                              

Равенство возможно только тогда, когда   a₁ = а₂= ...= а_п.

Мы рассмотрим четыре средние величины, наиболее употребительные в математике:

 

1.      Среднее арифметическое

 

 

2.      Среднее геометрическое

 

3.      Среднее гармоническое

 

 

4.     Среднее квадратичное

 

 

 

На основании неравенства Коши имеем:

 

 

Отсюда получаем:                                                                             т.еМ₃ ≤ М₂

 

 

 

Пример 1.

При каком значении аргумента функция h(x) = 4х +  , х > 0 принимает наименьшее значение? Вычислите min h(x).

Решение. Воспользуемся неравенством   

 

,      ,     4х² + 9- 12х,      4х²- 12х + 9 = 0.

D₁=k²-ac = (-6)²-4*9 = 36-36 = 0.     x =

min h(x) = h( 1,5) = 4 • 1,5 +   = 6 + 6 = 12.

Ответ: 12.

 

Пример 2.

Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, площадь которого наибольшая.

Решение. Обозначим x и y – стороны прямоугольника. Тогда р = 2(x + y) – периметр прямоугольника. Площадь прямоугольника  S = хy.Применяя неравенство Коши, получаем:

, или .

Подставляя в неравенство вместо х + y выражение через периметр, получаем    S ≤ . Следовательно, при данном периметре наибольшая площадь прямоугольника равна  . Равенство в неравенстве Коши возможно при равных слагаемых, то есть при х = y. Это означает, что квадрат со стороной  из всех прямоугольников данного периметра имеет наибольшую площадь.     Ответ: квадрат.

ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ

 

 

2.1 Методика обучения решению экстремальных задач с помощью     производной

 

 

Формирование умения решать задачи на экстремум с помощью произ­водной — одна из важных целей изучения начал математического анализа в средней школе. Задачи этого типа имеют четкую прикладную направлен­ность — если не по фабуле, то по подходу к решению. Действительно, в них четко представлены все фазы построения и использования математиче­ской модели: формализация — составление функции, описывающей усло­вия задачи; решение формализованной задачи — поиск значений аргумен­та, в которых значение производной функции равно нулю или в которых она не существует (критических точек); интерпретация — анализ критических точек с учетом особенностей задачи.

Вместе с тем следует учитывать, что задачи, которые решаются с ис­пользованием производной, во многих случаях оказывается возможным ре­шить и другими, элементарными методами. Сопоставление различных спо­собов решения экстремальных задач, проведенное на нескольких примерах, может оказаться полезным в нескольких отношениях:

—        можно сравнить единообразный характер решения задач с помо­щью производной с приемами, которые приходится выискивать, если про­изводной не пользоваться;

—        решение экстремальных задач элементарными методами обычно находится с большим трудом; оно включает элемент догадки и творчества. В то же время использование производной может оказаться принципиаль­но несложным, но связанным с достаточно большими вычислениями.[12, с.192]

Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где / \х)> О и f'(x)<0. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построе­нии графика функции, поскольку только они могут быть точками экс­тремума функции (рис. 103 и 104).

 

Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоре­мой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).

Необходимое условие экстремума. Если точка х₀ является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ′ , то она равна нулю: f ′(х₀) = 0.

Рассмотрим случай f ′ (х_о)>0. По определению производной отношение   при х → х₀ стремится к положительному числу f ' (х₀), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к х₀. Для таких х

                                               >0,

и, значит, f (x)>f (х₀) для всех х > х₀ из некоторой окрестности точки х₀. Поэтому х₀ не является точкой максимума.

Если же х<.х₀, то f (x)<.f (х₀), и, следовательно, х₀ не может быть и точкой минимума f.

Случай f‘(х_о)<.0 разбирается аналогично.

Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке х₀ обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции f (х) = х³ обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 105).

 

До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. (Отметим, что, например, точка 0 для функции у =  не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.) В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум.

 

Пример 1. Рассмотрим функцию f(x)=| x | (рис. 106). Эта функция не имеет производyой в 0. Значит, 0 — критиче­ская точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

 

Пример 2. Рассмотрим функцию f (х) = 2х+| х| (рис. 107). По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В этой точке функция не имеет и произ­водной.

В самом деле, если предположить, что функция f имеет в точке 0 производную, то f (х) — 2х также имеет производную в 0. Но f (х) — 2х=|х|, а функция |х|в точке 0 не дифферен­цируема (см. п. 18), т. е. мы пришли к противоречию. Зна­чит, функция f в точке 0 производной не имеет.

Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но, как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстремума, требует дополнительного исследования. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х₀, a f (х) > 0 на интервале (а; х₀) и f (x) <0 на интервале (х₀; b), то точка х₀ является точкой максимума функции f.

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака:

Если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума.

Доказательство. Производная f (х)>0 на интервале (а; х₀), а функция f непрерывна в точке х₀, следовательно, функция f возрастает на промежутке (а; х₀], и потому f(x)< f(x₀) для всех х из интервала (а; х₀).

На промежутке [х₀; b) функция f убывает (доказательство аналогично), и потому f (x)<f (x₀) для всех х из интервала (х₀; b).

Итак, f (х) <. f (х₀) для всех  х ≠ х₀ из интервала (о; b), т. е. х₀ есть точка максимума функции f.

Признак максимума имеет простой механический смысл. Мы можем считать, что f (х) — это координата точки, движущейся по оси Оу, в момент времени х, а  f ' (х) — скорость точки в этот момент. По условию скорость точки за промежуток времени, предшествующий х₀, положительна. Поэтому в течение этого времени точка движется в положительном направлении, она поднимается по оси Оу до точки f (х₀), т. е

.f (x)< f (х₀) при х <  х₀. В момент х₀ точка на мгновение «останавливается» (ее скорость в этот момент равна нулю или не определена), а затем начинает опускаться по оси (по условию скорость f ’ (х) меньше нуля при х>х₀), т. е.

 f (x)<f (х₀). Итак, в окрестности х₀ имеем f (x)< f (х₀). Точка х₀ — точка максимума.

Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х₀, f (x) <0 на интервале (а; х₀) и f (x) > 0 на интервале (х₀; b), то точка х₀ является точкой минимума функции f.

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака:

Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака максимума (полезно провести его самостоятельно).

Пример 3. Найдем точки экстремума функции  f (x) = 3x – x³ .

Производная этой функции, равная 3 — Зх², определена во всех точках и обращается в нуль в точках – 1 и 1. В точке – 1   производная меняет знак с минуса на плюс (f  '(x)<0 при х<- 1 и f ' (х)>0 при  –1 < x <;1). В точке 1 производная меняет знак с плюса на минус. Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка  – 1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума функции f. График функции изображен на рисунке 108.

Решение практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке [а; b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е. на [а; b] существуют точки, в которых  f  принимает наибольшее и наименьшее на [а; b] значения.

Для случая, когда функция  f не только непрерывна на отрезке [о; b], но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f.

Предположим сначала, что f  не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда (п. 23) она возрастает (рис. 112) или убывает (рис. 113) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции f  на отрезке [о; b] — это значения в концах а и b.

Пусть теперь функция f имеет на отрезке [о; b] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; b] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в точках а и b.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

 

Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции

 у (x) = x³ – 1,5 х ² – 6х + 1 на отрезке [– 2 ; 0].

Сначала найдем критические точки. Так как производная

 у' (х) = Зх² – Зх – 6  определена для любого  х, остается решить уравнение у' (х) = 0. Решая его, находим  x = – 1  и х =2.

Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел

 у (– 2 ) = – 1 , у (– 1 ) = 4,5 и  y (0) = 1 (критическая точка x = 2 не принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наименьшее значение достигается в точке – 2  и равно – 1 , а наибольшее — в точке – 1  и равно 4,5. Коротко это записывается так:

max  y (x) = y (– 1) = 4,5;        min y (x) = y (– 2) = – 1 .

^{[-2;0]                                                 [-2;0]}

Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:

1)             задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f (х);

2)             средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

3)             выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

 Вообще решение практических задач средствами математики, как пра вило, содержит три основных этапа:

1)        формализацию (перевод исходной задачи на язык математики);

2)             решение полученной математической задачи

3)      интерпретацию найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи).

С этим общим методом (его называют методом математического моделирования) вы уже знакомы, по описанной схеме решались текстовые задачи в курсе алгебры. Приведем пример его применения.

Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной  а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис. 114) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?

Решение. 1) Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны (a – x ), а объем коробки равен  (а – х)х². По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0<х<.а, т. е. принадлежит интервалу (0; а). Таким образом, пример 2 мы свели к такой задаче: найти наибольшее значение функции V(x) =  (а — х) х² на интервале (0; а).

2) Правило нахождения наименьших и наибольших значений функции было сформулировано для отрезка. Функция V непрерывна на всей числовой прямой. Мы будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0; а], потом сделаем выводы для решаемой нами задачи. Находим критические точки функции:

V'(x) = ( (а — х) х²)' =  (а х² — х³)' = ax –  x²,

         ax - x² = 0,   . х = 0 или х = а;

V(а) = (a - а )( а)² =  а³.

Так как V (0) = 0 и V(a) = 0, своего наибольшего значения  на отрезке [0; а] функция V достигает при х = а , т. е. max V(x) = V(а) =  а³.

Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; а] следовательно, и внутри интервала (0; а).

3) Остается вспомнить, что х — длина стороны основания коробки, имеющей при заданных условиях максимально возможный объем.

Полученный результат означает, что максимальный объем имеет та коробка, сторона основания которой равна  а.

Отыскание наибольших и наименьших значений функций применяется при решении многих задач физики. Например, в положении равновесия потенциальная энергия системы достигает экстремального значения, причем в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия максимальна. Рассмотрим еще следующий пример.

Пример 3. Найдем на АВ такую точку С, что сумма длин отрезков МС и NC (рис. 115) минимальна.

Решение. Примем точку А за начало координат на

 прямой и обозначим координату точки С через х .

 Из рисунка 103 найдем, что

MC = и  NС =, а потому          M                                          N

  f (x) = MC+NC = +.                                                 b                              

Чтобы найти наименьшее значение                       a                              

 функции, вычислим ее произ­водную и                                           

приравняем ее к нулю:                                                 A     x            C  l – x B

f ‘(x) =           (1)                              рис 115

Мы не будем решать полученного уравнения, а заметим лишь, что

= sin α,  = sin β

 

Поэтому равенство (1) обозначает, что sin α = sin β, откуда  α = β. Итак, сумма длин отрезков МС и NC будет экстремальной, если угол падения равен углу отражения. Из курса физики известно, что это равенство выполняется при отражении луча света. Значит, луч света «выбирает» при отражении путь экстремальной длины. Заметим, что полученное экстремальное значение является минимальным, так как при x→ +∞ и при х→  – ∞  функция f стремится к  + ∞, а иных точек экстремума у нее нет.

 

Пример 4. В сопротивлении материалов доказывают, что сопротивление изгибу балки прямоугольного сечения пропорционально ее ширине х и квадрату ее высоты у: P = kxy² (рис. 116). Какое сечение должна иметь балка наибольшего сопротивления изгибу, вырезанная из цилиндрического бревна радиуса R?                                        рис. 116

Решение. Из рисунка 102 видим, что х и у связаны соотношением 

y = . Поэтому Р =  kxy² = kx (4R² — х²). Значит, надо найти наибольшее значение функции kx(4R² — х²) на отрезке [0; 2R].        

Производная этой функции имеет вид:

(kx (4R² – х²))' = (4kR²x – kx³)' = 4kR² – 3kx².

Приравнивая ее к нулю, получаем уравнение  k (4R² – 3x²) = 0,  корнями которого являются числа –  и . На отрезке [0; 2R] лежит лишь корень   . Значит, надо сравнить значения функции k x (4R² — х²) при х =0,  , 2R.. В точках 0 и 2R эта функция обращается в нуль. Наибольшее значение она имеет при х = .  При  этом значении  имеем:

 y =  =.

Отсюда находим, что .Так как ≈ , то на практике принимают, что должно выполняться условие .

 

 

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трех этапов математического моделирования: 1) составление математической модели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос задачи. Прежде чем переходить к конкретным примерам решения задач на оптимизацию, дадим некоторые рекомендации методического плана.

Первый этап. Составление математической модели.

1)     Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину

(О. В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем значе­нии которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, V, R ,t -в зависи­мости от фабулы).

2)     Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примите за независимую перемен­ную (Н. П.) и обозначьте ее буквой х (или какой-либо иной буквой). Установите реальные границы изменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи), т. е. область определения для искомой О. В.

3)     Исходя из условий задачи, выразите у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у =f(x) с областью определения X, которую нашли на втором шаге.

 Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции у=f(x), хX найдите у_наим. или у _наиб, в зависи­мости от того, что требуется в условии задачи.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на ре­зультаты, полученные на этапе работы с моделью.

 Пример 5. Бак для хранения нефтепродуктов, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать V литров жидкости. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?

 Решение.

Первый этап. Составление матема­тической модели.

1)Оптимизируемая величина (О. В.) — площадь поверхности бака, по­скольку в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наимень­шей. Обозначим О. В. буквой S.

2)   Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда. Объявим независимой переменной (Н. П.) сторону квадрата, служащего основанием бака; обозначим ее буквой х. Ясно, что х > 0. Дру-
гих ограничений нет, значит, 0 < х < оо. Таковы реальные границы измене-
ния независимой переменной: X = (0; +оо).

3)   Если h — высота бака, то V = х² h, откуда находим h =.

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех пря­моугольников со сторонами х и  . Значит,

                        S = x² + 4* *x = x² + , где x  (0;+ oo).

Математическая модель задачи составлена.

 Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции S = х²+4 , х (0; +оо) надо найти у_наим. Для этого нужна производная функции:      S'=(x² ₊ 4 )'  = 2x - 4 2

На промежутке (0; +оо) критических точек нет, а стационарная точка толь­ко одна: S' = 0 при х =. Заметим, что при х <выполняется нера­венство S' < 0, а при x> выполняется неравенство S'> 0. Значит, х = - единственная стационарная точка, причем точка минимума функции на заданном промежутке, а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, слу­жащего основанием такого бака, равна.Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

В данной методической разработке  я рассмотрела методы и приёмы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функ­ции, применяемые в школьном курсе математики. Методы решения экс­тремальных задач не исчерпываются указанными методами. Существует много частных приемов: метод оценки, метод перебора, метод опорной функции, свойства монотонности функции, свойства осевой симметрии, свойства геометрических фигур и др.

Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возмож­ность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики.

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогаще­нию математических знаний школьников и студентов техникума. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойства­ми неравенств. Эти задачи могут серьезно повлиять на содержание учебно­го материала, на аспекты применения положений изучаемой теории на практике.

Решая задачи указанного типа, учащиеся наблюдают, с одной сторо­ны, абстрактный характер математических понятий, а с другой - большую эффективную их применимость к решению жизненных практических за­дач.

Материалы данной разработки могут быть использо­ваны для подготовки к ЕГЭ, при организации факультативных занятий для одаренных школьников старших классов, при разработке элективных кур­сов по математике для предпрофильной и профильной подготовки уча­щихся школ. Данное пособие также может быть использовано студентами техникума для самостоятельного изучения и углубления своих знаний по данной теме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 - 11 кл. общеобразователь­ных учреждений /А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. - 11-е изд. - М.: Просвещение, 2001.

2. Алексеев, И.Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: учебно-методическое пособие /И.Г.Алексеев - Саратов: Лицей, 2004. - 112

3. Балабанова, В. Решение прикладных задач по теме «Наибольшее и наи­меньшее значения функции» /В. Балабанова // Математика. Еженедель­ное приложение к газете «Первое сентября». - 2007. - № 7. - С. 11-12.

4. Буслаева, И.П. Решение экстремальных задач без использования произ­водной / И.П.Буслаева //Математика в школе. - 1995.- №5. - С. 67-70.

5.Варшавский, И.К. Функция, её производная и первообразная на ЕГЭ / И.К. Варшавский , М.Я. Гаиашвили, Ю.А. Глазков // Математика в школе.-2006.-№7.-С. 13 - 17.

6. Возняк, Г.М. Прикладные задачи на экстремумы в курсе математики 4 -8 классов: пособие для учителя / Г.М.Возняк, В.А. Гусев. - М.: Просве­щение, 1985. - 144 с,ил.

7.Генкин, Г.З. Задачи на нахождение экстремумов функций в VIII классе / Г.З.Генкин // Математика в школе. - 2003.- №9. - С. 51 - 54.

8.Демидович, В.Б. Экстремальные задачи / В.Б.Демидович // Математика в школе. - 2000.- № 8. - С .56-58.

9.Епифанова,Т.Н. Отыскание экстремальных значений функций различ­ными способами / Т.Н.Епифанова //Математика в школе - 2000.- №4.-С.52-55.

10.Единственные реальные варианты заданий для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ - 2010. Математика/ А.Г.Клово. - М.: Федеральный центр тестирования, 2009. - 96с.

11.Единый государственный экзамен 2010. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся /Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская и др.; - М.: Интеллект-Центр, 2009,-240с.

12.Единый государственный экзамен. Математика: справочные материалы, контрольно-тренировочные упражнения, задания с развернутым отве­том: в 2 ч. / А.К. Дъячков, Н.И. Иконникова, В.М. Казак, Е.В. Морозова; под общ. ред. А.К.Дъячкова. - Челябинск: Взгляд, 2006. - ч. 1-191 с.

13. Единый государственный экзамен. Математика: справочные материа­лы, контрольно-тренировочные упражнения, задания с развернутым от­ветом: в 2 ч./ А.К. Дъячков, Н.И. Иконникова, В.М. Казак, Е.В. Морозо­ва; под общ. ред. А.К.Дъячкова. - Челябинск: Взгляд, 2006. - ч.2-219с.

14.Математика. ЕГЭ -2007. Вступительные экзамены. Пособие для само­стоятельной подготовки/Ф.Ф. Лысенко, В.Ю. Калашников, А.Б. Ней-марк и др. Под ред. Ф.Ф. Лысенко - Ростов-на-Дону: Легион, 2006.

15. Математика. ЕГЭ - 2011. Вступительные испытания. /Ф.Ф. Лысенко, В.Ю. Калашников, А.Б. Неймарк и др. Под ред. Ф.Ф. Лысенко - Ростов-на-Дону: Легион, 2010. - 400 с.

16.Михайлова, И. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции / И. Михайлова // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». - 1997. - № 22. - С. 2 - 7.

17.Скорикова, Л. Уроки повторения производной и интеграла в 11 классе / Л.Скорикова // Математика. Еженедельное приложение к газете «Пер­вое сентября». - 1997. - № 22. - С. 13-15.

18.Фоминых, Ю.Ф. Экстремумы / Ю.Ф.Фоминых // Математика в школе. -2000. - № 4. - С. 64 - 67.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.   ПЛАНЫ-КОНСПЕКТЫ УРОКОВ

 

Урок 1. Тема: "Наибольшее и наименьшее значения функции"

 

Дидактические цели:

1. Изучить понятие наибольшего и наименьшего значения функции; изучить алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значения функции.

2. Развивать логическое мышление, умение применять полученные знания в новой ситуации.

3. Воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске.

 

Тип урока: комбинированный

Оборудование: доска, карточки, мультимедийное оборудование

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный,

                                 частично-поисковый.

 

Структура урока

I.                   Организационный.

II.                Актуализация опорных знаний.

III.              Изучение нового материала.

IV.             Первичное закрепление.

V.     Постановка проблемной ситуации и её решение.

VI.    Подведение итогов урока.

VII.   Домашнее задание.

 

ХОД УРОКА

I этап: Организационный

Сообщение темы и цели урока.

II этап: Актуализация опорных знаний.

1. Найдите производную функции:

а) у = sin х , б) у = tg х , в) у = х⁴ - 2х² + 3,   г) у = х⁴, д) у = cos 2х,

2. Найдите критические точки функции: f(x) = 2х - х².

3. Вычислите f(2), если f(x) =  - Зх + 5 .

4. Вычислите значение производной функции у=в точке х₀ =

III этап: Изучение нового материала.

            Рассмотрим функцию у = f(x) на отрезке [а;Ь].

-        Что можно сказать об этих функциях? (Ответ:

все функции непрерывны на отрезке [а;Ь]). Как называется точка х₀ на рис. 1 ? (Ответ: точка максимума)                                                                                         

Что можно сказать о значении функции в этой точке? (Ответ: в этой точке функция принимает наибольшее значение). Аналогично рассмотрим рис.2.

       Охарактеризуйте функцию, изображенную на рис 3.(Ответ: функция непрерывна на отрезке [а;Ь], х₁- точка минимума, х₂ - точка максимума).

Можно ли утверждать, что в точке минимума функция имеет наименьшее значение, а в точке максимума - наибольшее значение? (учащиеся дают ~t либо правильный ответ, либо затрудняются). Для того, чтобы дать правильный ответ, сравните  значения функции в точке минимума и на конце отрезка в точке в.(Ответ: значение функции на конце отрезка меньше, чем в точке мини­мума).     Рис3                                 

 Аналогично сравните значение функции в точке максимума со значе­нием функции на конце отрезка в точке а. (Ответ: значение функции на конце отрезка больше, чем в точке максимума).

Какой можно сделать вывод? (Ответ: непрерывная функция может достигать наибольшего и наименьшего значений как внутри отрезка, так и на его концах.)

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а; Ь]:

1. найти критические точки функции;

2. вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку [а; Ь];

3. вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = Ь,

4. среди всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция прини­мает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] не имеет критических точек , то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее - на другом.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физи­ки, химии, экономики и других дисциплин.

IV этап: Первичное закрепление материала.

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) =2х³ + Зх²- 36х на отрезке [- 4; 3] (решает ученик на доске);

V этап: Постановка проблемной ситуации и её решение.

При решении многих задач часто приходится находить наибольшее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале.

Например, найти наибольшее значение функции f (х) = 60х - 1,5х² на интервале (0; 40).

- Можно ли для решения этой задачи использовать полученные сегодня знания?( Учащиеся выдвигают гипотезу, что можно использовать правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, а затем значения функции на концах отрезка отбросить.) Чтобы проверить выдвинутую вами гипотезу, решим предложенное зада­ние. Сначала найдем наибольшее значение функции на отрезке [0;40]. Ис­пользуем изученное правило:

1. Найдем производную функции f (х) = (60х - 1,5х )' =60 - Зх.

2. Найдём критические точки функции: 60 - Зх = 0, Зх = 60, х = 20.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка данному отрезку: 20[0;40]

4. Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрез­ка: f(20) - 60*20 - 1,5*20² - 1200 - 600 = 600, f(0) - 0.

f(40) -60 * 40 - 1,5 * 40²= 2400 - 2400 = 0.

Наибольшее значение функция достигает внутри отрезка [0;40], зна­чит и внутри интервала (0; 40). max f(x) - f(20) = 600.

[0;40]

VI этап: Итог урока.

VII этап: Домашнее задание: п. 25, № 305(а,б)(учебник "Алгебра и начала анализа 10-1 1" под редакцией А.Н. Колмогорова).

 

 

 

 

 

 

 

Урок 2. Решение прикладных задач по теме

«Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции».

 

Цели урока:

Общеобразовательные:     1) Научить применять метод поиска наибольшего

и   наименьшего значений функции к решению разнообразных прикладных задач

    2) Конструирование математических моделей по со   ответствующим реальным ситуациям.

Развивающие:                      Развитие познавательной активности и самостоя-

тельности учащихся.

Воспитательные:               Формирование у учашихся понятий о научной

                                              организации труда.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Оборудование урока: карточки - задания, мультимедийный проектор.

Методы обучения: проблемный, репродуктивный.

 

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока.

II. Создание проблемной ситуации и её решение.

Ребята, я хочу начать наш урок с фрагмента рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкирцев.

— А цена какая будет? — говорит Пахом. — Цена у нас одна: 1000 р. за день.

Не понял Пахом.

— Какая же это мера — день? Сколько в ней десятин будет?

— Мы этого, — говорит, — не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 р.

Удивился Пахом.

— Да ведь это, — говорит, — в день обойти земли много будет. Засмеялся старшина.

— Вся твоя, — говорит. — Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.

— А как же, — говорит Пахом, — отметить, где я пройду?

— А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.

Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке.

Что это за фигура? (Прямоугольная трапеция.)

А периметр ее мы можем найти?

(Р = 2+ 13 + 10+ 15 = 40 км.)

 Какова площадь этой трапеции?

Ребята, как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)? Сегодня на уроке мы это и выясним. Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо вспомнить:

1.Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. 2.Какие точки называются критическими? На доске написано:

а) у = х³, х [-2; 3];   б) у = - 5х, х [-2; 3].

Задание. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на за­данном промежутке.

Запишем в тетради следующую задачу.

Задача 1. Периметр прямоугольника равен 60 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наиболь­шей?

Решение. Пусть а и b — стороны прямоугольника, тогда P = 2(a + b) = 60,

  a + b = 30,   b = 30-a,  S = ab Вспоминаем вместе с учащимися алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через нее сторо­ны прямоугольника: х — длина прямоугольника, 30-х — ширина прямо­угольника. Тогда 0 < х < 30.

2. Записываем функцию: S(x) = х (30 - х ) = ЗОх - х .

3. Находим производную: S'(x) = 30 - 2х.

4. Находим критические точки: 30 - 2х = 0, х = 15.

Значит, длина прямоугольника равна 15 см, а ширина равна 30 - 15 = 15 см. Какая это фигура? (Квадрат).

 Ответ: квадрат со стороной 15 см.

А теперь вернемся к задаче, с котором мы начали урок. Значит, ка­кую фигуру Пахом должен был обойти? (Квадрат).

Р - 40 км, а = 10 км, S = 10 • 10 = 100 км².

III. Формирование умений и навыков.

Задача 2. Содержание экипажа нефтеналивного танкера составляет 480 руб. в час. Рас­ход топлива пропорционален кубу скорости судна и составляет 30 руб. в час при скорости 10 узлов. С какой скоростью танкер должен совершать рейс, двигаясь равномерно, чтобы общий расход денег был мини­мальным?

 

Методика работы с задачей

1-й этап. Мотивационный.

            Учитель показывает учащимся необходимость решения аналогичных типов задач в реальной действительности.

2-й этап. Анализ условия задачи:

- Сколько рублей в один час составляет содержание экипажа судна?

- С какой скоростью судно движется?

- Каково соотношение между скоростью движения танкера и расходом топлива?

- С какой скоростью судно должно совершать рейс, чтобы общий рас­ход денег был минимальным?

Мысленная модель задачи. 1. Построить функцию. 2. Исследовать функ­цию на наименьшее значение на заданном отрезке.

3-й этап. Математическое моделирование.

1.Пусть i — общий расход денег в час; i₁ - расход денег, связанный с по­треблением топлива.

2.По условию i₁ = kv³ , k — коэффициент пропорциональности, v - ско­рость .

3.Из условия i₁ = 30; 30 – k10³; к = 0,03.

4. Общий расход денег I = t (480 + 0,03v³ ), t - время.

5.Из курса физики известно, что при равномерном движении

t =   , s - путь . Следовательно,

I(v) = (480 + 0,03v³) = 480 * + 0,03sv²; v > 0.

Математическая задача. Исследовать функцию I(v) = 480 * + 0,03sv²

на наименьшее значение.

4-й этап. Решение задачи внутри модели:

а)   найдем критические точки

б) I^’(v) не существует в точке v = 0;

в) следовательно, v = 20 - критическая точка функции I (v), так как v = I не входит в область определения данной функции;

г) Определим знаки I^'(v) правее и левее v = 20       

            Так как в точке v = 20 производная сменила знак с «-» на «+», то v = 20 - точка минимума функции. Значит функция I(v) принимает в этой точ­ке наименьшее значение.

5-й этап. Критическое осмысление полученного результата. Общий расход денег будет минимальным при скорости в 20 узлов.

Ответ: 20 узлов.

Задача 3, На какой высоте нужно по­весить электрический фонарь в центре пло­щади, чтобы осветить возможно сильней края площади (рис. 1)?

 Методика работы с задачей

 1-й этап. Мотивационный.

            Учитель раскрывает перед учащимися необходимость решения ана­логичных типов задач в реальной ситуации: при подвешивании фонарей на улицах, площадях, при подвешивании лампы над столом.

2-й этап. Анализ условия задачи:

1)Что известно из курса физики относительно освещенности плоско­сти и расстояния от источника света?

2)На какой высоте надо повесить фонарь на площади, чтобы края пло­щади осветить возможно сильней?

Мысленная модель задачи. Конструирование функции и ее исследова­ние на наибольшее значение с помощью аппарата производной.

 3-й этап. Математическое моделирование.

1). Из курса физики известно, что освещенность плоскости обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо про­порциональна косинусу угла падения а:

Математическая задача: исследовать функцию (1) на наибольше
значение.                                                                ,

4-й этап. Решение задачи внутри математической модели:

 1. Находим производную данной функции

5-й этап. Критическое осмысление полученного результата: фонари на улице, если расстояние между ними 30 м (г = 15), целесообразно повесить на высоту 15*0,7 = 10,5 (м).

Ответ: 10,5 м.

Задача 4. Лодка находится на расстоя­нии 3 км от ближайшей точки берега А. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А. Лодка проплывает по 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту бе­рега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села В в крат­чайшее время (рис. 2)?

Методика работы с задачей

1-й этап. Мотивационный.

Учитель должен сказать учащимся, что аналогичные типы задач часто приходится решать в жизни.

 2-й этап. Анализ условия задачи:

1)На каком расстоянии находится лодка от ближайшего пункта берега?

 2)На каком расстоянии находятся села А и В друг от друга?

 3)Известна ли вам скорость лодки?

4)Известна ли вам скорость пассажира?

5)Известно ли вам, к какому пункту берега должна пристать лодка, что­бы пассажир достиг села В в кратчайшее время?

Мысленная модель задачи: установим, какие величины будут постоян­ными, а какие - переменными. Постоянные величины: АО, АВ, у_л, v_n. Переменные величины: АС, СВ, ОС.

Исследуемая величина - время, за которое этот путь проходят пассажир и лодка.

3-й этап. Математическое моделирование.

1 .Пусть х - расстояние АС; О < х < 5.

2.Из прямоугольного треугольника О АС по теореме Пифагора

 

3.s₂ = 5 - х.

4.Согласно условию мы получим: путь s₁пассажир проходит со скоростью

v₁— 4 км/ч, а путь s₂ - со скоростью v₂— 5 км/ч.

5.Время, за которое пассажир проходит путь s_1:

6.  Время, за которое лодка проплывает путь s₂,

 

7.Время, затраченное на прохождение пути s₁+ s₂

Математическая задача: исследовать функцию (1) на наименьшее значе­ние на отрезке [0; 5].

4-й этап. Решение задачи внутри математической модели:

1. Находим производную функции (1)

2. Находим критические точки

3.Сделаем первый вывод: точку х₂ =- 4 проверять не будем, так как она не принадлежит промежутку [0; 5].

Находим значение функции в точках х = 0;х = 4;х = 5:

5.   Сделаем второй вывод: функция t (х) достигает наименьшего значе­ния в точке х = 4.

5-й этап. Критическое осмысление полученного результата.

Лодка должна пристать к пункту С, находящемуся на расстоянии 4 км от пункта А.

IV. Подведение итогов.

V. Задание на дом

Задача 1. Сварщики получили задание из металлического стержня длиной а, необходимо согнуть скобу прямоугольной формы и приварить её к ме­таллической балке. Как выбрать на стержне точки сгиба, чтобы площадь образовавшегося прямоугольника была наибольшей?

Задача 2(с физическим смыслом).

Материальная точка движется по закону h(t) = 2 + 6t - 4t , где h(t) — путь е метрах и t — время в секундах. Какой путь пройдет точка до остановки?

Задача 3(с геометрическим смыслом). Найдите размеры коробки наибольшего объема, в основании которой лежит квадрат, а полная поверхность равна 12 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

 

 

Мы предлагаем ряд задач, решение которых на уроках и факультати­вах поможет убедить учащихся в том, что нахождение наибольших и наи­меньших значений является одним из обширных, разнообразных и инте­ресных по своим приложениям разделов математики.

Задача 1.

Какой из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих одина­ковую сумму всех ребер, имеет наибольший объем?

Решение . Обозначим ребра параллелепипеда х, у, z, тогда V=xyz, т.е. необходимо установить, когда произведение xyz максимально. Так как числовые множители не влияют на условия максимума произве­дения, то будем искать условия максимума произведения 4х * 4у * 4z. Так как сумма множителей, из которых составлено произведение, т.е. 4х + 4у + 4z, по условию задачи постоянна, то по теореме 1 получаем, что искомый максимум будет иметь место в случае, когда 4х = 4у = 4z, т.е. х = у = z. Это значит, что параллелепипед, удовлетворяющий требованиям задачи, яв­ляется кубом.

Ответ:   куб.

Задача 2. Найти максимум произведения xyz, если .

Решение.  Найдем  максимум  произведения ,

так как  xyz  максимально при тех же условиях что и .

По условию , тогда по теореме 1 должно выполняться равенство  или , тогда

max (xyz) == .

Ответ: .

Задача 3. В шар радиуса R вписан конус, осевое сечение которого — равносторонний треугольник. Определить, между какими пределами может изме­няться разность площадей двух сечений, из которых

первое (KCFD) получается в результате пересече­ния шара плоскостью, параллельной основанию конуса, а второе (NPE) — в результате пересечения конуса той же плоскостью (рис. 1).

                                                                      Рис. 1

Решение. Площади обоих сечений равны нулю в том случае, когда проводимая плоскость касается шара в точке В (вершина конуса). Площади обоих сечений будут равны, когда проводимая плоскость совпадает с плоскостью основания конуса. Когда же проводимая плоскость занимает промежуточное положение между положениями, рассмотренными выше, то площади сече­ний шара и конуса не равны. Итак, разность S площадей сечений шара и конуса изменяется от нуля до нуля, переходя через максимум, который мы определим.

S = (МК² – MN²);    OB = R;    MB = х;

МК² = ОК² – ОМ² = R² – (R – х )² = 2Rx – х².                                  (1)

Так как ∆ AВС равносторонний по условию и АС║NP, то и ∆ NBP также равносторонний, следовательно, МN² = х²/3                                   (2).

Подставляя (1) и (2) в выражение для S, получим

                                             S =  2x (3R- 2x),

которое будет максимально, когда максимально S₁  = 2x (3R–2 x). Так как сумма множителей 2x +3R–2x = 3R, то по теореме 1 S₁ максимально, когда

2x=3R–2x, т.е. x =  R. Следовательно, максимальное значение S = R².

Ответ.  Разность площадей сечений изменяется от нуля до нуля, переходя через максимум, равный R².

Задача 4. При каком значении t произведение ху принимает наибольшее значение, если х, у, t  являют­ся действительными числами и

                                      x =t²

                                      .

Решение.    x =t²

                       ,  тогда  xy = .

Таким образом, задача сводится к нахождению t, при котором             принимает наибольшее значение, а это будет выполняться, если  будет принимать наименьшее значение.

 = , а произведение = 4, тогда по теореме 2 получаем, что условие минимума есть , =0,

Найдем наибольшее значение произведения:

                                         max (xyz) = (

Ответ: произведение ху принимает наибольшее зна­чение, равное 1/4, при .

 

Задача 5. Пусть х — числовое значение некоторой неизвестной величины, которое мы хотим определить насколько возможно точнее с помощью какого-либо измерительного инструмента. Пусть произведено п из­мерений и получены результаты: х₁, х₂ ..., х_n. Возни­кает вопрос: какое же значение следует приписать ве­личине х в качестве заслуживающего наибольшего до­верия? Гауссом было предложено брать такое значение х, при котором так называемое "тотальное" отклонение у было бы минимальным (метод наименьших квадратов). Итак, найдите х, при котором   у= (х – х₁)²+(х – х₂)²+..+(х – х_n)²  принимает наименьшее значение.

Решение.   Сложив соотношения

                           (х – х₁)² = х² – 2хх₁ + х₁²,

                           (х – х₂)² = х² – 2хх₂ + х₂²,

                                …………………………….

                                 (х – х_n)²  = х² – 2хх_n + х_n²,  получим

            у = nх² – 2х(х₁ + x:₂ + ... + x_n) + (х₁² + х₂² + ... +x_n²).

 Следовательно, y является квадратным трехчленом относительно х, он принимает наименьшее значение при  .

Ответ: х = .

Задача  6.   При каком положительном значении х сумма С принимает наименьшее значение?

                                   C = x¹⁰⁰⁰ + x⁹⁰⁰ +x⁹⁰ +x⁵ +.

Решение.  С = х¹⁰⁰⁰ + х ⁹⁰⁰ + х ⁹⁰ + х⁵ + +++ =

                                                                          ^{1995 слагаемых}

                                               

= =

 

                                                                                                                                                                        ^{1995 множителей}

=.

Мы использовали неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (теорема 4). Таким образом, C ≥1999, т.е. наименьшее значение С равно 1999, и равенство имеет место при равенстве слагаемых, т.е.

                        х¹⁰⁰⁰ = х⁹⁰⁰= х ⁹⁰ = х⁵ = , т.е.    х=1.

Ответ: при х = 1 наименьшее значение суммы равно 1999.

Задача 7. Найти наибольшее значение А, если х > 0, у > 0 и  A =.

Решение.

          A ==

принимает наибольшее значение, когда принимает наименьшее значение. Так как х>0, у>0, то ≥2, значит, наименьшее значение  равно 2, и оно достигается при х = у. Тогда наибольшее значение равно

Ответ:  наибольшее значение  А равно 3.

Задача 8. По обе стороны канала, берега которого — параллельные прямые k и I, расположены поселки А и В. В каком месте следует устроить через канал переправу, чтобы путь между поселками был кратчайшим?                   Рис. 2

Решение. Проведем анализ. Пусть переправа построена (рис. 2).

 Тогда, так как h (ширина канала) — число постоянное, то длина пути (длина ломаной АСС₁В) будет наименьшей, когда сумма отрезков АС и С₁В будет наименьшей (CC₁ k). Если АСС₁А₁ параллело­грамм, то АС = А₁C₁;

АС + С₁В = А₁В и А₁В — прямая. При любом другом положении точки C₁ (например С₁') сумма отрезков A₁C₁' + C₁'B будет представлять собой ломаную, и A₁C₁' + C₁'B > АВ = A₁С₁ + C₁B, A₁C₁' + C₁'B > АС₁+ С₁В.

Таким образом, построение заключается в следую­щем: строим отрезок

АA₁ = h и AA₁k,  A₁ соединяем с точкой В, получаем точку С₁.

 

Задача 9. В Нью-Йорке шахматных мастеров больше, чем на всей остальной территории США. Планируется провести шахматный турнир с учас­тием всех мастеров. Решено, что турнир будет проведен в месте, для которого общее расстояние переездов между городами участников турнира было бы минимальным. Нью-йоркские мастера утвержда­ют, что этому критерию удовлетворяет их город. Правы ли они?

Решение.   Обозначим нью-йоркских мастеров N₁, N_{2, …}N_k, остальных — О₁, О₂, ..., О_t по условию k >t.

Рассмотрим пары (N₁, О₁), (N_2, О₂), ... (N_t, О_t), при этом игроки N_t+1, ..., N_k останутся без пары. Рассмотрим пару (N₁, О₁). При любом выборе города мастера N₁, О₁ должны проехать в совокупности не меньше, чем расстояние N₁O₁ по прямой, соединяющей эти города. Вместе пары проедут не меньше чем    S = N₁O₁+ N₂O₂+...+ N_tO_t.

Если местом соревнования будет выбран Нью-Йорк, то S и будет общей суммой расстояний, если же сорев­нования будут проводиться в другом месте, то t пар игроков проедут расстояние не меньше S, а ненулевая сумма расстояний для игроков N_t+1,N_t+2, ...,N_k увеличит общую сумму. Следовательно, Нью-Йорк — лучшее место для проведения соревнования.

Ответ:   нью-йоркские мастера правы.

Задача 10.  При каком значении х трехчлен 2х² – 4х + 6 принимает наименьшее значение? Найдите это значение.[5]

Решение.

 2x² – 4x + 6 = 2(x² – 2x + 3) = 2(x² – 2*x _* l + l² – 1² + 3) = 2((x – 1)² + 2) =

=2(x – 1)²+4 > 0. При x = 1 выражение 2x² – 4x + 6 принимает наименьшее значе­ние, равное 4.

Ответ: 4.

Задача 11.  Дан квадратный трехчлен х² +2х+4. Выясните, при каком значении х он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трехчлена.

Решение.

х² + 2х + 4 =  (x² + 6х + 12) =  (x² + 2 * z * 3 +  3² – 3² + 12)=

= ((x + 3)² + 3)=  (z + 3)² + l >0.

При x = – 3  выражение х² +2х+4 принимает наименьшее значение, равное 1.

Ответ: 1        

 

Задача 12.Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, наибольшую площадь имеет равно­бедренный треугольник.

Пусть один из катетов равен х см, тогда другой равен (6 – х ) см. Площадь треугольника равна

S(x) = х(6 – х) = –x² + Зх.

Выделим квадрат двучлена:

–x² + Зх = –  (х² – 6х + 9 – 9) =

= - ((x – 3)² – 9) = – (x – 3)² + .

Это выражение принимает наибольшее значение при х = 3, т.е. в том случае, когда треугольник равнобедренный.

 

Задача 13. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и  t —время полета стрелы (в секундах), то расстояние h (в метрах) стрелы от поверхности земли можно найти по формуле  h=–5t²+50t+20 (приближенное значение ускорения сво­бодного падения считается равным 10 м/с² ). Какой наиболь­шей высоты достигнет стрела?

Решение.

Рассмотрим квадратный трехчлен h(t):

-5t² + 50t + 20 = – 5(t² – 10t – 4) = –5(t² – 10t + 25 – 25 – 4) =

= –5((t – 5)² – 29) = – 5(t – 5)² + 5 * 29.

Это выражение принимает наибольшее значение при t = 5. В этом случае

h = h(5) = c – 5 * 25 + 250 + 20 = 270 – 125 = 145(м).

Решение: 145 м.

 

Задача 14.   Доказать, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение.

 Пусть одна сторона прямоугольника равна х см. Тогда другая сторона равна 10 – х  см, а площадь прямо­угольника равна х (10 – х ) см².

Раскрыв скобки в выражении х(10 – х), получим 10х—х².

Выражение  – х² +10х представляет собой квадратный трехчлен, в котором 

а = -1 , b=10, с = 0. Выделим квадрат двучлена:

-x²+10x= – (х² – 10х)= –(х² – 10х + 25 – 25)= –(х – 5)² + 25.

Так как выражение – (х-5)² при любом х ≠5 отрицательно, то сумма

(х—5)²+25 принимает на­ибольшее значение при х=5. Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна 5 см. В этом случае вторая сторона также равна 5 см, т. е. прямоугольник является квадратом.

Задача 15.   Найти наименьшее значение функции y = .

Решение. Для любого действительного х справедливо неравенство

 х² – х + 1>0.  Применяя неравенство Коши, находим:

 ≥ ,

 ≥ 12.

Равенство в неравенстве Коши возможно, если  .

Тогда х² – х + 1= , 4х² – 4х + 4 – 9 = 0,  4х² – 4х – 5 = 0.

D₁ = (-2)² – 4 * (-5) = 4 +20 = 24,  .

x₁ = ; x₂ = .

Следовательно, наименьшее значение функции равно 12 при х = .

Ответ: 12.

Задача 16.    Найти наименьшее значение функции

                                    y =    при х >0,8 .

Решение. Представим функцию в виде:

y = .

При х >0,8 каждое слагаемое в обеих скобках положительно, поэтому можно применить неравенство Коши для трех чисел:

≥,

≥ 9.

Наименьшее значение функции достигается в случае равенства всех чисел х = 2х – 1 = 4х – 3, то есть при х = 1 и равно 9.

Ответ: 9.

Задача17.  Площадь поверхности сферы равна 27. Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу?

Решение:

 S_сф= 4R². Отсюда

4R² = 27, R² = , R =

 

Цилиндр можно вписать в сферу, если ее диаметр совпадает с диаго­налью осевого сечения цилиндра. Пусть высота цилиндра H равна х. Из геометрических соображений

                                        0 < х < 2R,  т.е  0 < х <

Треугольник  ABC  является прямоугольным. Используя теорему Пифагора, найдем длину стороны треугольника АВС:

 АВ² = АС² – ВС²; AB² = 4R² – x²; АВ² = 27 – х², АВ = .

АВ = 2r, где r = OB, поэтому  

 

Объем цилиндра вычисляется по формуле.

V_ц=r²H,   где r = ОВ;   H = BC.

V_ц= * (27 -х²)* х;      V =  (27x – x³).
Введем функцию V(x) = (27х – х³), где  0 < х <.

 Найдем наибольшее значение функции V(x) на интервале (0; )

V' (x) = ( (27x – x³))'  =   (27– 3 x²)  ==.

 

V'(х) = 0 при х = 3 и х = - 3 ,  х = - 3 (0; ).

Найдём знаки V'(х) левее и правее критической точки х = 3.

 

       +                – 

 º                            º           х      

0              3           

 Объем цилиндра вычисляется по формуле.

V_ц=r²H,   где r = ОВ;   H = BC.

V_ц= * (27 -х²)* х;      V =  (27x – x³).
Введем функцию V(x) = (27х – х³), где  0 < х <.

 Найдем наибольшее значение функции V(x) на интервале (0; )

V' (x) = ( (27x – x³))'  =   (27– 3 x²)  ==.

 

V'(х) = 0 при х = 3 и х = - 3 ,  х = - 3 (0; ).

Найдём знаки V'(х) левее и правее критической точки х = 3.

       +                – 

 º                            º           х     

0              3           

 

V' (2) =,  > 0

V' (4) = ,  < 0

Так как производная сменила знак с «+» на «–», то х = 3 является точкой максимума. Так как это единственный экстремум на интервале

(0; ), то он и является наибольшим значением функции V(х) на этом интервале. Следовательно, высота цилиндра должна быть равной 3, чтобы цилиндр имел наибольший объем.

Ответ: 3

Задача18. 1. Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение пло­щади оставшейся части прямоугольника.

Решение:

Пусть АВ = 2, ВС = 5.

 S _ABCNM = S_ABCD — S_MDN.

Пусть ND= х. При этом 0 < х ≤ 2.  MD =у. При этом 0 < у ≤ 5.  Используя теорему Пифагора, найдем сторону MN:

MN = .  P_MDN = 8, т. е. Р= у + х+ ;8 = у + х +.

Теперь решим полученное уравнение.

= 8 – y– x; 

 х²+y² = (8 – y – x)²;

х² + у² = 64 – 16 (у + х) + х² + 2ху + у²;

х² + у² - 64 + 16(y + х) - х² - 2ху-у² = 0;

16(у + х) - 64 - 2ху = 0;

16у+ 16х – 64 – 2ху  = 0;

8у + 8х – 32 – х у = 0;

8у – ху = 32 – 8х;

у(8 – х) = 32 – 8х.

y = =.

S _ABCNM = AB*BC – MD*DN.

S _ABCNM =2*5 -xy  ;   S _ABCNM =10 –  = = 10 – =

 

= =

Получили функцию S(х)=        D(S) = (-oo;8)U(8;+oo).

Найдем наи­меньшее значение функции S(х) на промежутке (0; 2].

 

S' (х) =()' =

S'(x) = 0, если  – 4х ² + 64х – 128 = 0;     х²-16х + 32 = 0.

D = 256 – 4 *32 = 256 – 128 = 128 ,  .

х₁ = +;   

 х₂ = – ;  

Исследуем знак производной функции на промежутке (0; 2].

S' (1) =   <0.

Так как производная отрицательна, то функция S(х) убывает и при х = 2 достигает наименьшее значение.

S(2) = .

Следовательно,  S _ABCNM =

Ответ: .

Задача19.. Найдите наибольшее значение площади прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и диагональю ОР, где О – начало координат, а Р – точка на графике функции  y = + 16х²e ^{3 – 4х},   0,4 ≤ х ≤ 1.

Решение.

Длины сторон прямоугольника обозначим х и y. S = х_*y, т.е.

 S = х_*(  + 16х²e ^{3 – 4х}) = 3+16х³e ^{3 – 4х}

Получили функцию S(х) = 3+16х³e ^{3– 4х}, 0,4 ≤ х ≤ 1.

Найдем наибольшее значение этой функции на отрезке [0,4; 1]

S'(х)= (3+16х³e ^{3– 4х})'= 3' + 16(х³e ^{3– 4х})'=

=16_*((х³)'_*e ^{3– 4х} + х³_*( e ^{3– 4х})') =

= 16_*(3х²_*e ^{3– 4х} + х³_* e ^{3– 4х}_*(3 – 4х)')=

= 16_*(3х²e ^{3– 4х} + х³ e ^{3– 4х}_*(– 4))=

= 16_*(3х²e ^{3– 4х} – 4х³e ^{3– 4х})=

= 16х²e ^{3– 4х}(3 – 4х).

Найдём критические точки: 16х²e ^{3– 4х}(3 – 4х) = 0.

Так как  e ^{3– 4х} > 0 при всех значениях х, то  х²(3 – 4х) = 0.

х² = 0, х₁ = 0, 0 [0,4;1].

(3 – 4х) = 0, 4х = 3, х = , [0,4;1].             +              –

Итак, х =   – критическая точка.                                                х  

                                                                ^{0,4                     3/4                          1}                  

Найдём знаки производной на промежутках    [0,4; ] и [;1].

S'() = 16()²e ^{3– 4 *1/2} _* (3 – 4 _*) = 16 _*e ^{3– 2}(3 – 2) = 4e, 4е > 0

 S'() = 16()²e ^{3– 4 *7/8} _* (3 – 4 _*) = 16 _*e ^{3– 3,5}(3 – 3,5) =e ^–1/2(-)=

= – ,   –  < 0.

Производная функции S(х) при переходе через точку х = сменила знак с «+» на «–», значит    х =  – точка максимума. Так как это единственный экстремум на отрезке [0,4;1], то он и является наибольшим значением функции S(х) на отрезке [0,4;1].

S_наиб = S() = 3+16()³ _*e ^{3 – 4 *3/4} = 3+16_**е⁰ = 3 + = 3+6,75 = 9,75.

Ответ: 9,75.

 

Задача20. 4. Точка А лежит на графике функции y = f(x), точка В – на оси Ох, и её абсцисса в 4 раза больше ординаты точки А. Найдите наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где О – начало координат, а

 f(x) = , где    ≤ х ≤                                                                                   

 Решение.                                                                                           

            Т. к.  –1≤ sin2x ≤ 1 , то

               – 3   ≤ – 3sin2x ≤ 3,

–        3+17 ≤ 17 – 3sin2x ≤ 3+17,

               14 ≤  17 – 3sin2x ≤ 20.

 

Т. к.  – 1≤ соs х ≤ 1 , то

       –13 ≤–13cosx ≤ 13.

Cложив почленно два неравенства, получим:     14 ≤  17 – 3sin 2x ≤ 20

                  ⁺   –13 ≤–13cos x ≤ 13

               1 ≤ 17– 3sin 2x –13cos x ≤ 33                  

  По условию х[;],  то 6х > 0, значит, 17–3sin2x –13соs х + 6х > 0.

Функция у = определена на отрезке           [;].

Кроме того, график функции лежит в I четверти и ордината точ­ки А равна высоте треугольника ОАВ, проведенной из вершины А к стороне ОВ, длина которой равна y.

S_ОАВ =ОВ_* у =  _*4у _* у = 2у². Отсюда S_OAB = ()² = = 2(17 – 3 sin2x – 13cos x + 6x) = 34 – 6sin2x – 26cos x + l2x.

Введем функцию S(x) = 34 – 6sin2x – 26cos x + 12x.

Найдем наименьшее значение функции S(x) на отрезке [;].

S'(x) = (34 – 6sin2x – 26cos x + 12х)'= – 6 cos 2x_* (2x)' – 26(-sin x) + 12 =

= –12cos2x + 26sinx + 12 = – 12 (1 – 2 sin² x ) + 26sin x + 12 =

= –12 + 24sin² x + 26sin x + 12 = 24sin² x + 26sinx = 2(12sin² x+13sin x)

Найдем критические точки функции :

S'(x) = 0, если  12sin² x+13sin x = 0, sin x(12sinx+ 13) = 0.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

sin x = 0, x = n, n Z.

12sin x + 13 = 0. Уравнение 12sin x + 13 = 0 не имеет корней, т. к. |sin x| < 1 при х  R.

Отрезку  [;]  из множества x = n, n Z  принадлежит только одна критическая точка х = 2, которая получается при n = 2.

          –                  +                            Найдем знаки производной на проме-

                                             x     жутках [;2 ) и (2 ;].

           2                              S'() = 2(12sin² +13sin ).

Так как   12sin²  > 0, 13sin  < 0, а угол расположен в IV четверти,

то S'(x) < 0.

S'() = 2(12sin² +13sin) = 2(12sin² (2 +)+13sin(2 +)) =

=2(12sin² +13sin). Так как  – угол I четверти, то sin  > 0, значит S'(x) > 0.  При переходе через точку х = 2 производная функции S(x) меня­ет знак с «–» на «+», значит, х = 2 — точка минимума. Т. к. функция S(x) имеет единственный экстремум на данном от­резке и это — минимум, то он и является наименьшим значением функции S(x) на отрезке [;]  , т. е.

S_наим=S(2) = 34–6sin2–26cos2+ 12_*2 = 34–0 –26 + 24= 24+ 8.

Ответ: 24+ 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.                     ЗАДАЧИ ИЗ ЕГЭ

 

 

Задания с выбором ответа

1.Найдите наименьшее значение функции f(х) =  на отрезке [0;.2].

1)1;          2) ;     3) 2;          4) –1.

Решение:

  f(х) = ,     D(f ) = R.

Функция f(х) определена и дифференцируема на множестве R, а следовательно, на отрезке [0; 2].

  f '(х)=( )' = х³ –1.

Найдем критические точки функции: f '(х) = 0, если х³–1=0; х=1, 1[0;2].

Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке. f(0) = 0;   f(1) ==;   f (2) = 4 – 2 = 2.

Наименьшее значение функции f (х) равно .

Ответ: 2.

2.         Найдите наименьшее значение функции у = 11cos x — 14.
1) – 3 ; 2) – 25 ;          3) – 14 ;          4) –11 .

Решение:

у = 11cos x – 14 .        D(y) = R.

Наименьшее значение функции f(х) = cos x равно – 1 , значит, наи­меньшее значение функции у равно 11 • (– 1) – 14 = – 25.

 Ответ: 2.

Эту задачу можно оформить так:

у = 11cos x – 14 .       

–     1 ≤ cos x ≤ 1

–        11≤ 11 cos x ≤ 11

–          11 – 14 ≤ 11cos x – 14 ≤ 11 – 14

–        25 ≤ 11cos x – 14  ≤ – 3 

–        25 – наименьшее значение.

Ответ: 2.

 

Задания с кратким ответом

3. Функция у = f (х) определена на промежутке (–4; 7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х₀, в которой функция

у =f(x) принимает наименьшее значение.

 

Решение:

Производная у =f'(x) определена во всех точках интервала (– 4; 7) и обращается в нуль в точке с абсциссой 1. На промежутке (– 4; 1) производная отрицательна, на промежутке (1; 7) производная положительна. Значит, х = 1 является точкой минимума. Т. к. функция

у =f(х) непрерывна на интервале (– 4; 7) и имеет на нем единственную критическую точку, которая является точкой ми­нимума, то в этой точке функция у =f(х) принимает наименьшее значение. Значит, х₀ = 1.

 Ответ: 1.

4.  Укажите наименьшее значение функции f(х) = на множестве (0; +).                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

Решение:

   f(х) = .  D(f) = (-;0)U( 0;+ ).

Функция f(х) определена и дифференцируема на (—; 0) и на (0; +), а следовательно, на промежутке (0; +).

Найдем производную f '(х).

f '(х) =()' =  =  .

В точке х = 0 производная не существует. Но эта точка не является критической, так как 0  D(f).

f '(х) = 0, если 144х² – 1 = 0, (12х – 1)(12х + 1)=0, х₁ = и х₂ = – .

При этом (), – (0; +).

Исследуем знак производной функции на каждом из полученных интервалов во множестве х > 0.

         –              +                           f '(1/18) < 0,          

                |                    х

                 1/12                              f '(1) >0

Производная функции f(х) при переходе через точку х = сменила знак с «–» на «+», значит    х =  – точка минимума. Т. к. функция f(х) имеет единственный экстремум на данном про­межутке и это — минимум, то он и является наименьшим значе­нием функции f(х).

f_min =f() = 72_* – 

         Ответ: – 4 .

5. Укажите наименьшее значение функции y=3– Iog₂₅(5^-x) на отрезке [-1;5].

Решение:

  у = 3– Iog₂₅(5^-x) = 3 + x log₂₅5 =3 + x_*=x + 3.

Функция у = x + 3 возрастает на отрезке [-1; 5], значит наименьшее значение она принимает при х = -1 

y_min = y(-1) = _*(-1) + 3 = 2,5.

Ответ: 2,5.

6. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значения­ми функции у = 5,2(sin x + cos x) .

Решение:    D(y) = R.

Так как = cos , = sin , то данную функцию можно преобразовать

у = 5,2(sin x + cos x) = 5,2 (sin x _* cos  + cos x _* sin )= 5,2_*sin(x+);

  –1  ≤ sin(x+) ≤ 1

– 5,2 ≤ 5,2_* sin(x+) ≤ 5,2

    – 5,2 ≤ y ≤ 5,2

Значит, у_наиб = 5,2, а у_наим = -5,2.

Разность между наибольшим и наименьшим значениями равна

у_наиб – у_наим  = 5,2– (– 5,2) = 10,4.

Ответ: 10,4.

7.   Укажите наибольшее значение функции у = на отрезке [1;3].                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Решение:

Т. к. функции  f₁(x) = Зх – 10 и f₂(х) = 3^{х + 1} монотонно возраста­ют на множестве R, а следовательно, и на отрезке [1; 3], то сумма двух функций f₁(х) и f₂(х), т. е. f(х) = Зх –10 + З^х+1, также возрастает на отрезке [1; 3].

Так как знаменатель дроби   монотонно возрастает, то функция у = монотонно убывает на отрезке [ 1; 3].

Следовательно, наибольшее значение функции у достигается на

левом конце отрезка, т. е. у_наиб = у(1) == = 4.

Ответ: 4.

 

8.  Укажите наибольшее значение функции у = .

 Решение:

D(у) = R

Рассмотрим показатель степени  8х – 2х² и представим его в виде функции g(x) = 8х – 2х². Графиком функции g(x) является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функции g(x) достигается в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле х₀= , получим

х₀= = 4

g(x₀) = g(4) = 8_*4 – 2 _* 16 = 32 – 32  = 0.

Т. к. функция  у = непрерывна и монотонно возрастает на множестве  R, то наибольшее значение функции у достигается при наибольшем показателе, т.е. в точке х₀ =4. Значит, у_наиб = у(4) = ()⁰ = 1. Ответ: 1.

9.  Найдите наименьшее целое значение функции

у =.

Решение:

у =.

Данная функция имеет наименьшее значение тогда, когда функция

f(x) = sin²x – 2sin x + 10 имеет наименьшее значение.

Пусть sin x = t, где  –1 ≤  t ≤ 1, тогда функция f(t) = t² – 2t + 10.

Найдем её наибольшее и наименьшее значения на [-1; 1].

f(-1) = (-1)² – 2*(-1) + 10 = 13,    f(1) = (1)² – 2*(1) + 10 = 9.

Итак, функция f(t) = t² – 2t + 10 на отрезке [-1; 1] принимает

все значения из от­резка [9; 13].

Тогда данная функция у =принимает все значения из отрезка [_* 3 ; _*], т.е. [; ], где 8 – наименьшее целое значение

функции y.

Ответ: 8.

 

10.. Требуется разместить на земле участок площадью 2000 м², который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCDEFHMN, где EF = 20м, AB = 40м, AN = 25м, FH ≥ 30м. Найти наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KD, KM, FH, при которых периметр является наименьшим.

Решение. Обозначим через х – длину KD, y – длину KM. Периметр фигуры  ABCDEFHMN равен

 Р = 2(х + y)(так как EK+KN = EF+FN, NL+BL = =AN+AB). Площадь фигуры ABCDEFHMN вычислим как разность площади прямоугольника KDLM и площадей двух прямоугольников KEFH и ABLN. Тогда площадь фигуры ABCDEFHMN равна:

  S _ABCDEFHMN = KD ∙ KM – EF ∙ FH – AB ∙AN.

2000 = xy – 20 ∙ FN – 1000,  xy = 3000 + 20 ∙ FN.

Используя неравенство Коши для чисел x и y, можно записать, что

              x + y ≥  или  Р ≥ .

Наименьшее значение периметра равно Р = , если x = y.

Кроме того, по условию FH ≥ 30. Тогда наименьший периметр равен

Р =     при FH = 30.

Следовательно, наименьший периметр фигуры  ABCDEFHMN равен 240м, FH = 30м, KD = KM = 60м.

Ответ: 240м, 60м, 60м, 30м.

5. Найдите наибольший объем цилиндра, вписанного в шар радиуса R.

Решение. Пусть r – радиус основания цилиндра. Тогда его высота h может быть найдена по формуле , а объём V = .

Найдем наибольшее значение V. Введём в рассмотрение функцию

f(r) = . Легко увидеть, что V² = 16, и наибольшее значение f(r) позволяет определить наибольшее значение V. Применим неравенство Коши для оценки f(r):

                , или  .

Тогда наибольшее значение f(r) = ()³ =  при  , то есть при

 r = . Наибольшее значение объёма при этом равно

                           V() = = .

Ответ: .

СЗ. На рисунке изображен ковер с орнаментом (орнамент закрашен). Известно, что центры квадрата AELP и прямоугольника TUVZ совпадают, и DM ‌‌‌‌ ‌ UV, SF ‌‌‌‌ ‌ UT. Точки С, G, N, R — середины сторон квадра­та AELP. Найдите наименьшую возможную площадь орнамента, если; площадь всего ковра равна 3600, а АЕ не меньше 10.

Решение.                                                  

Пусть UT = х, UV = y,   x,yR

AE = a, a ≥ 10.

S_ковра= x_*y, x_*y= 3600, y =.

S_орн = S_AELP + 4S_LMN + S_PQR.

S_орн = a² + 4()+ 4() =

= a²+

+=

Докажем, что при любом фиксированном  площадь орнамента наименьшая, когда x = y.

S_орн == .

S′_орн= ()′=′ =

S′_орн= 0, если (х – 60)( х + 60) = 0, х₁ = 60, х₂ = – 60  R.

Итак, х = 60, y ==60.

S_орн== (60 + 60) = _* 120 = 60 а.

f(a)= 60 a – функция возрастающая. Так как a ≥ 10, то наименьшее значение функция принимает при наименьшем значении а, т.е. при а = 10.

S_наим = 60 _* 10 = 600.

Ответ: 600.

 

СЗ. Требуется разместить на земле участок площадью 1600 м², который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCEFGHM, где MA = GF = 20 м, МН = 15 м и GH ≥ 10 м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин ВК, КЕ и GH, при которых периметр является наимень­шим.

Решение.

S_уч = S_ABCEFGHM = 1600 м².

Р_ABCEFGHM = Р_BCEK.

Обозначим ВК = х, КЕ = y,тогда

Р_BCEK = 2(x + y), GH ≥ 10.

S_BCEK = x_*y = S_уч + S₁+ S₂.

S_BCEK = 1600 + 20 _* GH + 20 _* 35=2300 + 20 _* GH.

Если  GH = 10, то S_BCEK =1600+200+700 =2500(м²).

Т.к GH ≥ 10, то S_BCEK ≥ 2500, x_*y ≥ 2500, y ≥.

Так как Р_BCEK = 2(x + y), то Р_BCEK  ≥ 2(x + ), ≥ x + .

Обозначим полупериметр через функцию f(x) и найдём её наименьшее значение.

f(x) = x +   при х > 0.

f ′ (x) = (x +  )′ = 1 – = .

f ′ (x) = 0 при х = 50, значит  х = 50 – критическая точка функции f(x).

       –             +                     Определим знаки производной левее и правее

|             |                      х        критической точки .      

    0            50                             f ′ (x) < 0 при < х < 50,  f ′ (x) > 0 при х > 50.

Производная в точке х = 50 сменила знак с «–» на «+», значит  х = 50 – точка минимума и в ней функция f(x) принимает наименьшее значение.

f(50) = 50 + = 50 + 50 = 100,  = 100, Р_BCEK = 200(м) – наименьшее значение периметра. Следовательно, наименьшее значение периметра участка равно 200 м при  х = 50м, y = 50м, GH = 10м.

Итак, ВК = 50м, КЕ = 50м, GH = 10м.

Р_уч = Р_ABCEFGHM = 200м.

Ответ: 200м, 50м, 50м, 10м.

 

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной  2. Боковое ребро параллелепипеда равно 5. Через отрезок, соединяющий две точки на противоположных сторонах основания и параллельный двум другим сторонам основания, проведена плоскость, отсекающая от параллелепипеда треугольную призму с периметром основания равным 8. Найдите наименьшее значение объёма оставшейся части параллелепипеда.

Решение.                                                                                                     

АD = AB = 2. Возьмём точку N на отрезке AD. Пусть АN = х, где х(0;2].

AM = y.  AMN – основание треугольной призмы AMNBM₁N₁.

В  AMN по теореме Пифагора

MN² = AM² + AN²

MN = , MN = .

По условию  Р _AMN = 8, Р _AMN = х + y + .

Получили уравнение  х + y + = 8

= 8 – (х + y)

    х² + y² = (8 – (х + y))²

х² + y² = 64 – 16(х + y) + (х + y)²

х² + y² = 64 – 16х – 16y + х² + 2xy + y²

16y – 2xy = 64 – 16x

 2y(8 – x) = 64 – 16x

2y(8 – x) = 2(32 – 8x)

  y(8 – x) = 32 – 8x

  y = .

V_AMNBM1N1 = S _AMN * AB = xy_*2 = xy.

Объём оставшейся части наименьший, если объём призмы AMNBM₁N₁ –наибольший.

                                V_AMNBM1N1 = xy = х _* = .

Имеем функцию f(x) = , где х(0;2]. Найдем наибольшее значение этой функции на промежутке  (0;2].

f ′(x) =()′ = (8 _* )′ = 8 _*

=8 _* 8 _*

= 8 _*.

f ′(x) = 0, если  х² – 16х + 32 = 0.

D₁ = (-8)² – 32 = 64 – 32 = 32, .

x₁ = 8 +  (0;2],   x₂ = 8 – (0;2].

На промежутке  (0;2]  f ′(x) > 0, значит, функция f(x) на этом промежутке возрастает и достигает наибольшего значения при х = 2.

f(x) = f(2) = =  = V_AMNBM1N1

V_ABCDA1B1C1 = AB*AD*AA₁= 2*2*5 = 20.

Наименьший объем оставшейся части параллелепипеда равен

V_ост = V_ABCDA1B1C1 – V_AMNBM1N1 = 20 –  = .

Ответ:  .

4. Какой наибольший объём может иметь цилиндр, вписанный в конус с образующей 10 и радиусом основания 6?

Решение.               

Пусть цилиндр вписан в конус. Изобразим осевое     сечение. Введём обозначения:

АО – радиус основания конуса

 AS – образующая конуса

SO – высота, ЕО – радиус основания цилиндра

СЕ – образующая цилиндра.     

В  AOS  SO=.

Пусть ОЕ = х,  0 < х < 6, АЕ = ОА – ОЕ = 6 – х.

SOA ~ СЕА, так как    А – общий,     SOA =    СЕА (как прямые углы),

.  Отсюда   СЕ = , СЕ = = .

V_цил = х² * СЕ = х² * = = , где 0 < х < 6.

Введём функцию y(x) = . Исследуем её с помощью производной на интервале (0;6) на наибольшее значение:

y′(x) = ()′ = 16x - 4x² = 4x(4 – x).                        

y′(x) = 0, если   х = 0 или  х =4 , 0(0;6),  4(0;6)     о    ⁺    |   ^–     |            х

                                                                                        ^{0         4             6}

y′(3) = 4_*3(4 – 3) = 12, 12 > 0

y′(5) = 4_*5(4 – 5) = – 20, – 20 < 0.

В точке х =4 производная сменила знак с «+» на «–» , значит х = 4 является точкой максимума. Так как функция y(x) на промежутке (0;6) имеет единственную точку экстремума и это – точка максимума, то в этой точке функция y(x) принимает наибольшее значение.

V_цил = 8_*4² – = .

Ответ: .

5. Бригада рыболовов планировала выловить в определённый срок 3840 центнеров рыбы, вылавливая ежедневно одно и то же количество центнеров рыбы. В течение  этого срока был шторм, вследствие чего ежедневное плановое задание недовыполнялось на 20 центнеров. Однако в остальные дни, кроме последнего, бригаде удавалось вылавливать на 20 центнеров больше дневной нормы. В последний день рыбаки не вышли в море из-за сильного шторма. Какое максимальное количество центнеров рыбы могла выловить бригада за установленный срок при таких погодных условиях?

Решение.    Пусть по плану бригада должна работать х дней (х > 0). Тогда в день по плану она должна вылавливать  ц   рыбы. Фактически во время шторма бригада работала х дня и вылавливала ( – 20) ц  в день. Всего выловила  х _* ( – 20) ц  рыбы. Остальных рабочих дней было ( – 1), в день вылавливала ( + 20) центнеров. Всего за это время удалось выловить ( + 20) * ( – 1) ц. За весь период бригада выловила:

(х _* ( – 20) + ( + 20) * ( – 1)) центнеров рыбы. Получили функцию f(x) = х _* ( – 20) + ( + 20) * ( – 1), где  х > 0.

Найдём её наибольшее значение при х > 0. Преобразуем функцию f(x):

f(x) = 2560 –  + 1280 +  –  – 20 = 3820 –  – .

f ′(x) = ( – )′ = .     f ′(x) = 0,  = 0

= , х² = , х = .             _о    +      ²⁴_|   –         х

В точке х =24 производная сменила знак с «+» на «–» , значит х = 24 является точкой максимума. Так как функция f(x) на промежутке (0; + ∞) имеет единственную точку экстремума и это – точка максимума, то в этой точке функция f(x) принимает наибольшее значение.

f(24) = _* 24 _* ( – 20) + ( + 20) * ( – 1) = 2240 +1260 = 3500.

За весь период времени бригада выловила 3500 центнеров рыбы.

Ответ: 3500 ц.

 

6. Из всех конусов объёма 3 выбирается такой, у которого сумма радиуса основания и высоты минимальна. Найдите объём куба, ребро которого равно радиусу выбранного конуса.

Решение.

Пусть х – радиус основания конуса, где х >0.

V_кон = ,  =3,   х²h = 9,    h = .

Сумма радиуса основания и высоты равна   х + h = x + .

Имеем функцию g(x) = x + , где х >0. Найдем её наименьшее значение на промежутке (0; + ∞).

g′ (x) = (x + )′ = .

g′ (x) = 0,  х³ – 18 = 0,  х³ = 18,  х =  – критическая точка.

_о      ^–         _|     ⁺                   х                    g′ (1) = 1 – 18 = – 17,  – 17< 0.

                                                 g′ (3) = ,  >0.

В точке х =   производная сменила знак с «–» на «+», значит х =

является точкой минимума. Так как функция g(x) на промежутке (0; + ∞) имеет единственную точку экстремума и это – точка минимума, то в этой точке функция g(x) принимает своё наименьшее значение.

Радиус основания конуса равен  .

Ребро куба а = , V_куба = а³ = ()³ = 18.

Ответ: 18.

7. Укажите наименьшее значение функции (без использования производной)  y = 3^2x – 4*3^x + 0,5 на отрезке [– 2;1].

Решение.

Введём новую переменную  3^x = t,  где   ≤ t ≤ 3, тогда   y = t² – 4t + 0,5.

Графиком квадратичной функции  y = t² – 4t + 0,5 является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой  t =                                        =2, 2[; 3].

                          y(2) = 2² – 4*2 + 0,5 = 4 – 8 + 0,5 = – 3,5.

(2; – 3,5) – координаты вершины параболы. В этой точке функция имеет наименьшее значение, равное – 3,5.

Ответ: – 3,5.

8 Укажите наименьшее значение функции (без использования производной)  y =  на отрезке [– 5;1].

Решение.

Данная функция определена и непрерывна на отрезке [– 5;1], что позволяет выполнить следующие преобразования:

y =  = = =

=.

На отрезке [– 5;1]   2х – 3 < 0, значит, │2х – 3│= 3 – 2х.

y = 1 + 3 – 2х = – 2х + 4. Функция   y = – 2х + 4 – убывающая, значит, наименьшее значение она имеет на правом конце отрезка [– 5;1], т.е. при х = 1.  

y_наим = y(1) = – 2 * 1 + 4 = 2.

Ответ: 2.

 

9. Найдите наименьшее значение функции y =.

Решение.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком корня.

.

Так как      – 1  ≤ ≤ 1, то   1  ≤ +2 ≤ 3. Тогда

, т.е. .

Следовательно, наименьшее значение данной функции равно 1.

Ответ: 1.

10. Найдите наибольшее значение функции  y = .

Решение.

Используя формулу  sin x + cos x = , получим:

y =  = .

Так как функция  y =  – возрастающая и непрерывная, то наибольшему значению подкоренного выражения соответствует наибольшее значение функции  y. Наибольшее значение подкоренного выражения достигается при наибольшем значении  , т.е. при =1.

Тогда  y = ==1.

Итак, y = 1 – наибольшее значение функции.

Ответ: 1.