Методическая разработка по геометрии на тему " Вступ до стереометрії. Геометрія, 10 клас "

Тема роботи: « Навчально-методичний комплекс для вивчення

тематичного блоку «Вступ до стереометрії». Геометрія, 10 клас

(академічний рівень).»

Черкаси, 2012

РОЗДІЛ I

ВСТУП

Тема « Вступ до стереометрії» найкоротша в курсі геометрії 10 класу, але вона відіграє важливу, фундаментальну роль. В ході її вивчення закріплюються й поглиблюються знання учнів про логічну структуру геометрії. Розширена система аксіом, яка одержана приєднанням до аксіом планіметрії аксіом площини, є основою для доведення перших теорем курсу стереометрії.

Головними цілями вивчення теми є:

1. Продовжити формування навиків логічного мислення.

2. Розвиток просторових уявлень.

3. Продовжити знайомство з прикладним апаратом і додатками класичної та сучасної геометрії

На перше місце виділено формування навиків логічного мислення. Геометрія у вигляді «Начал» Евкліда протягом двох з половиною тисячоліть була тим осередком, на якому відпрацьовувалось логічне мислення. Тому головним завданням викладання геометрії в школі – навчити учнів логічно міркувати, аргументувати свої судження, доводити.

Існує два основні типи просторових уявлень: за описом уявити собі, представити просторову конфігурацію або знову-таки за описом побудувати хороший рисунок в проекції. Не кожний учень володіє достатньою просторовою уявою, але її можна розвинути навчанням: малювати рисунки, розв’язувати задачі на просторові зображення.

Найскладніше для курса геометрії питання : додатки до практики. Найбільш важливі сучасні додатки з геометрії пов’язані з векторами, координатами, з методами аналітичної геометрії та векторної алгебри. Але використання координат і векторів для розв’язування задач виявилось складним для багатьох учнів, тому, зокрема, в підручниках А.В. Погорєлова, Бевз Г.П., автори обмежились тільки ознайомлювальним планом.

Тема « Вступ до стереометрії» відіграє важливу роль у розвитку просторових уявлень учнів, які починають знайомитися з просторовою геометрією. Тому виклад теми слід вести з широким застосуванням моделей, рисунків. Введення в розгляд таких геометричних фігур, як прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, дозволяє розширити систему задач, включивши до неї задачі на побудову точок і ліній перетину прямих і площин, простіші задачі на побудову перерізів многогранників. У процесі розв’язання цих задач слід вимагати від учнів проведення доказових доведень, обґрунтувань із посилкою на аксіоми та наслідки з них.

ЗМІСТ

1. Вступ.

2. Поурочне календарне планування тематичного блоку.

3. Вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів з теми.

4. Критерії оцінювання навчальних досягнень учнів з теми.

5. Теоретичний матеріал у вигляді опорних схем і таблиць.

6. Матеріал для мотивації вивчення нової теми.

7. Система розвивальних вправ з теми.

8. Контрольна робота та її поелементний аналіз.

9. Додаток 1.

10. Бібліографія.

РОЗДІЛ 2.

Поурочне календарне планування тематичного блоку: «Вступ до стереометрії».

№ уроку

Дата

Тема уроку

Мета уроку

Примiтки

1

Основні поняття стереометрії.

Сформувати поняття про стереометрію як складову частину геометрії; ознайомити з логічною будовою шкільного курсу геометрії як основою майбутньої навчальної діяльності; сформувати уявлення про основні поняття стереометрії.

2

Аксіоми стереометрії.

Домогтися засвоєння аксіом стереометрії; сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання аксіом стереометрії.

3

Наслідки з аксіом стереометрії.

Домогтися засвоєння наслідків з аксіом стереометрії; сформувати вміння застосовувати їх до розв’язування задач

4

Просторові геометричні фігури.

ричнi фiгури

Розглянути приклади просторових плоских i неплоских геометричних фігур

5

Найпростіші задачі на побудову перерізів куба, прямокутного паралелепіпеда, піраміди.

Сформувати поняття перерізу геометричного тіла; сформувати вміння розв’язувати нескладні задачі на побудову перерізів многогранників.

6

Контрольна робота № 1

Перевірити рівень засвоєння знань учнів із теми: «Вступ до стереометрії»

Академічний рівень ( 6 годин)

РОЗДІЛ 3.

Програмові вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів

з теми «Вступ до стереометрії»

При вивченні теми учні:

розпізнають означувані і не означувані поняття, аксіоми, теореми. Називають основні поняття стереометрії. Наводять приклади просторових геометричних фігур (плоских і неплоских). Формулюють аксіоми стереометрії та наслідки з них. Пояснюють застосування аксіом стереометрії до розв’язування нескладних геометричних і практичних задач. Розв’язують нескладні задачі на побудову перерізів куба, прямокутного паралелепіпеда та піраміди.

РОЗДІЛ 4.

РОЗДІЛ 5.

Теоретичний матеріал у вигляді опорних схем і таблиць.

Основні поняття стереометрії

РИСУНОК

ФІГУРИ

ПОЗНАЧЕННЯ

точки

А, В, С...

прямі

а, в, с...

АВ, ВС...

площини

α , β, γ...

Аксіоми стереометрії

С1

С2

С3

С4

Існують точки, що лежать у даній площині і точки, що не лежать у ній

Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того тільки одну

Якщо дві точки прямої лежать у площині , то вся пряма лежить у цій площині

Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку

Наслідки з аксіом стереометрії

Наслідок 1

теорема

Наслідок 2

теорема

Наслідок 3

теорема

Через пряму і точку поза нею, можна провести площину і до того ж тільки одну

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину і до того ж тільки одну

Через будь-яку пряму в просторі можна провести безліч площин

Способи задання площини

Площину можна провести через три точки, що не лежать на одній прямій

Площину можна провести через пряму і точку поза нею

Площину можна провести через дві прямі, що перетинаються

Аксіома 1

Теорема 1

Теорема 2

Перерізи многогранників

Якщо многогранник перетнути площиною, то фігура, яка складається з усіх точок, спільних для многогранника і січної площини, називається перерізом многогранника даною площиною.

Щоб побудувати переріз многогранника площиною, треба задати цю площину (вказати три точки, що не лежать на одній прямій, або пряму і точку, або паралельні прямі тощо).

РОЗДІЛ 6

Матеріал для мотивації вивчення теми.

Найбільш досконалим зразком логічної будови геометрії впродовж більше 2 тисяч років слугували " Начала" Евкліда, написані близько 300 року до нашої ери.

Про життя Евкліда(близько 365 р. до нашої ери - 300 р. до нашої ери) майже нічого не відомо. До нас дійшли тільки окремі легенди про нього. Перший коментатор " Начал" Прокл(V століття нашої ери) не міг вказати, де і коли народився і помер Евклід. На його думку "цей вчений чоловік" жив в епоху царювання Птолемея I. Деякі біографічні дані збереглися на сторінках арабського рукопису XII століття : "Евклід, син Наукрата, відомий під ім'ям " Геометра", учений старого часу, походженням грек, за місцем проживання сирієць, родом з Тиру".Одна з легенд розповідає, що цар Птолемей вирішив вивчити геометрію. Але виявилось, що зробити це не так-то просто. Тоді він призвав Евкліда і попросив вказати йому легкий шлях до математики. "У геометрії немає царської дороги", - відповів йому вчений. Так у вигляді легенди дійшов до нас цей вислів, що став крилатим. Цар Птолемей I, щоб звеличити свою державу, запрошував у країну вчених і поетів, створивши для них храм муз - Мусейон. Тут були зали для занять, ботанічний і зоологічний сади, астрономічний кабінет, астрономічна вежа, кімнати для індивідуальної роботи і головне - прекрасна бібліотека. У числі запрошених учених виявився і Евклід, який заснував в Александрії - столиці Єгипту, - математичну школу і написав для її учнів свою фундаментальну працю.Саме в Александрії Евклід засновує математичну школу і пише велику працю з геометрії, під назвою " Начала" - головну прац свого життя. Вважають, що вона була написана близько 325 року до нашої ери. Попередники Евкліда - Фалес, Піфагор, Арістотель та інші багато зробили для розвитку геометрії. Але усе це були окремі фрагменти, а не єдина логічна схема.Начала" Евкліда є викладом тієї геометрії, яка відома і понині під назвою геометрії Евкліда. В якості постулатів Евклід вибрав такі пропозиції, в яких стверджувалося те, що можна перевірити простими побудовами за допомогою циркуля та лінійки. Евклід прийняв також деякі загальні пропозиції-аксіоми, наприклад, що дві величини, нарізно рівні третьою, рівні між собою. На основі таких постулатів і аксіом Евклід строго і систематично написав усю планіметрію. У " Началах" він описує метричні властивості простору, який сучасна наука називає простором Евкліда. Начала" Евкліда були грунтовно вивчені арабами, а пізніше європейськими вченими. Вони були перекладені основними світовими мовами. Перші оригінали надруковані в 1533 році в Базелі. Цікаво, що перший переклад англійською мовою, що відноситься до 1570 року, був зроблений Генрі Біллінгвеєм, лондонським купцем. Звичайно, усі особливості Евклідового простору були відкриті не відразу, а в результаті багатовікової роботи наукової думки, але відправним пунктом цієї роботи послужили " Начала" Евкліда. Знання основ геометрії Евкліда є нині необхідним елементом загальної освіти у всьому світі.

Можна сміливо стверджувати, що Евклід заклав основи не лише геометрії, але і усієї античної математики. Лише у дев'ятнадцятому столітті дослідження основ геометрії піднялися на новий, більш високий рівень. Перегляд фільму про Евкліда. Додаток 2.

РОЗДІЛ 7

Система розвивальних вправ до теми: « Вступ до стереометрії»

1. Площини та перетинаються по прямій b. Пряма a лежить у плошині та перетинає плошину у точці М. Доведіть, що точка М лежить на прямій b.

2. Точки А,В,С, D не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АВ і СD не перетинаються.

3. Доведіть, що будь-яка медіана трикутника належить його площині.

4. Дано дві прямі m і n, що перетинаються. Точи M і лежать на прямій m, а точки N і - на прямій n. Доведіть, що прямі MN і лежать в одній площині.

5. Прямі a та b перетинаються в точці О. Aa, BYAB. Довести, що прямі a,

b і точка Y лежать в одній площині.

6. Чи завжди можна провести площину через три довільні точки простору? Відповідь поясніть.

7. Якщо три точки кола у площині , то й усі точки кола лежать у даній площині. Доведіть.

8. Чи лежать в одній площині всі прямі, що перетинають сторони даного кута? Відповідь поясніть.

9. Доведіть, що існують точки поза прямою на площині, в якій лежить дана пряма.

10. Три площини попарно перетинаються по прямих a,b іc. Доведіть, що коли ці площини мають спільну точку А, то прямі a,b і c перетинаються в точці А.

11. Площина перетинає площини по прямих a і b. Доведіть, що коли прямі a і b перетинаються, то точка їх перетину лежить на лінії перетину площин і .

12. Дано промені зі спільним початком. Ніякі три з них не лежать на одній площині. Скільки різних площин можна провести так, щоб в кожній площині лежало по два з даних променів, якщо всього променів:

1. три;

2. чотири;

3. n?

13. Продовження двох протилежних сторін чотирикутника ABCD перетинаються. Доведіть, що всі сторони даного трикутника лежать в одній площині.

14. Прямі AD і BC не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі AC і BD не лежать в одній площині.

15. Дано паралелограм і площину, що не перетинає його. Через вершини паралелограма проведено паралельні відрізки, які кінцями впираються у площину. Довжини трьох послідовних відрізків відповідно дорівнюють 21см, 24см, і 35см. Обчислити довжину четвертого відрізка.

16. АВСА₁С₁ – трикутна призма, точка F – середина ребра АВ, точка О лежить на продовженні ребра ВС так, що точка С розташована між В і О. Побудуйте переріз призми площиною В₁FO.

17. Дана трикутна піраміда SABC. Точки Р і R лежать на ребрах SA і ВС, точка F лежить на продовженні ребра АС так, що точка С лежить між точками А і F. Побудуйте переріз пирамиди площиною PRF.

18. Точка О – середина ребра DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Побудуйте точки перетину прямих A₁O і C₁O з площиною основи ABCD і обчисліть відстань між ними, якщо довжина ребра куба 2 см.

До задачі 16.

До задачі 17.

До задачі 18.

Самостійна робота ( 30 хв)

Варіант 1

I рівень (6 балів)

Виберіть правильну відповідь.

1. Дві різні площини можуть мати:

а) тільки одну спільну точку;

б) тільки дві спільні точки;

в) тільки три спільні точки;

г) безліч спільних точок.

2. Якщо через дві прямі не можна провести площину, то вони:

а) перетинаються;

б) співпадають;

в) не перетинаються, але паралельні;

г) не перетинаються, і не паралельні.

3. Дві суміжні вершини і точка перетину діагоналей паралелограма лежать у площині , тоді дві інші вершини:

а) не лежать у площині ;

б) можуть не лежати у площині ;

в) обов’язково лежать у площині;

г) тільки одна з двох вершин лежить у площині ;

II рівень ( 9 балів)

1. Точка А належить площині . Доведіть, що через точку А можна провести площину, що не співпадає з площиною .

2. Площини перетинаються по прямій АВ. У площинах проведено відповідно прямі m та n, що перетинаються. Де знаходиться точка перетину прямих m і n?

3. У просторі проведено прямі, що перетинають прямі a і b, які перетинаються в точці А, в точках, відмінних від точки А. Доведіть, що всі такі прямі лежать в одній площині.

III рівень (12 балів)

1. Прямі a і b не лежать в одній площині. Прямі c і d перетинають кожну з прямих a і b . Доведіть, що прямі c і d не перетинаються.

2. Площини перетинаються по прямій m. Площина перетинає площини по прямих a і b відповідно. Прямі a та b перетинаються в точці А. Доведіть, що А m.

Варіант 2.

I рівень ( 6 балів)

Виберіть правильну відповідь:

Якщо через дві прямі можна провести площину, то:

а) прямі завжди перетинаються;

б) прямі можуть перетинатися або бути паралельними;

в) прямі завжди паралельні;

г) прямі не можуть перетинатися.

2. Через пряму a точку А можна провести дві різні площини, тоді:

а) площини перетинаються по прямій a, що не проходить через точку А;

б) площини не можуть бути різними;

в) точка А належить прямій a;

г) правильної відповіді немає.

3. З чотирьох точок M, N, K і L жодні три не лежать на одній прямій. Тоді ці чотири точки:

а) завжди лежать в одній площині;

б) ніколи не лежать в одній площині;

в) можуть лежати в одній площині;

г) визначають одну площину.

II рівень (9 балів)

1. Доведіть, що через дві довільні точки можна провести хоча б одну площину.

2. Доведіть, що якщо прямі MN і KL не лежать в одній площині, прямі MK і NL також не лежать в одній площині.

3. Прямі a та b перетинаються в точці О. Доведіть, що всі прямі, які перетинають пряму b та проходять через точку прямої а, відмінну від точки О, лежать в одній площині.

III рівень (12 балів)

1. Площини перетинаються по прямій m. У площині проведено пряму а, що перетинає пряму m. Через пряму а проведено площину , що перетинає площину по прямій b. Доведіть, що прямі а та b перетинаються.

2. Точка А не лежить на прямій а. Доведіть, що всі прямі, які проходять через точку А та перетинають пряму а, лежать в одній площині.

3. Вершини А та В трикутника АВС лежать по один бік від площини , а вершина С - по інший. Доведіть, що точки перетину сторін ВС та АС і медіани СМ з площиною лежать на одній прямій.

РОЗДІЛ 8

Тематична контрольна робота № 1

Аксіоми стереометрії

Початковий і середній рівні (6 балів)

Завдання 1-3 містять по п'ять варіантів відповідей, серед яких тільки одна правильна. Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь.

Поелементний аналіз контрольної роботи

№ завдання

Що виконав учень

Кількість балів

1.

Отримав правильну відповідь

Отримав не правильну відповідь

2

0

2.

Отримав правильну відповідь

Отримав не правильну відповідь

2

0

3.

Отримав правильну відповідь

Отримав не правильну відповідь

2

0

4.

Отримав правильну відповідь і навів повне її обґрунтування

Отримав правильну відповідь, але вона недостатньо обґрунтована аксіомами та теоремами або розв’язання містить незначні недоліки: допустив помилку обчислювального або логічного характеру.

Розпочав розв’язувати завдання правильно, але в процесі розв’язування припустився помилки у застосуванні необхідної аксіоми, теореми, формули.

Розпочав розв’язання хибним шпяхом і кінцевий результат не відповідає правильному.

3

2

1

0

5.

Отримав повне обгрунтоване доведення твердження.

Отримав доведення, але воно недостатньо обґрунтоване.

Лише розпочав доведення, або розпочав доводити хибним шляхом, але в подальшому окремі етапи доведення обґрунтовані правильно

Доведення не відповідає жодному з критеріїв

3

2

1

0

БІБЛІОГРАФІЯ

1. Програма для загальноосвітніх закладів. Математика 5-11 класи.

2. Погорєлов О. В. Геометрія: Стереометрія, Підр. для 10-11 кл. серед. шк..-К.: Освіта, 1994.

3. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г. Геометрія. 10-11 кл.-К.: Вежа, 2002.

4. О. Я.Біляніна, Г. І. Білянін, В. О. Швець Геометрія. 10 клас, академ. рівень. – К.: «Генеза», 2010.

5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и конрольные работы по геометрии для 10

класса.-М.: Илекса, 2005 - 176с.

6. Зив Б. Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. - М.: Просвещение, 1994, - 144с.

7. Підручна М. В., Янченко Г. М. Дидактичні матеріали з геометрії для 10 класу. – Тернопіль.:

Підручники і посібники. – 40с.

8. Грицаенко Н. П. Устные упражнения по математике для 8 – 10 классов: Пособие для учителя. – К.:

Рад. Шк..,1988. – 158с.- На укр.яз.

9. Грузін О. І. Геометрія 10 клас.:Збірник самостійних робіт для поточного оцінювання навчальних

досягнень. Дидактичні матеріали. – Х.: Світ дитинства, 2002.