Иррациональные
неравенства
Если в
неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными
.
Стандартный
метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей
неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то
в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, как было
показано выше в правиле 4 преобразования неравенств, возводить в квадрат, не
нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны.
При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки,
могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и
неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство,
− тоже верное
неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное,
неравенство уже верным не
является.
Покажем,
как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов
неравенств.
Неравенства вида
Если x
лежит в ОДЗ: f ( x
) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и
неотрицательна. Поскольку для всех x ,
являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g
( x ) > 0.
Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x
, которые являются решениями неравенства, другие x
нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает
равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему
неравенств:
Пример 1
Решите
неравенство
Показать решение
Сразу
перейдём к равносильной системе:
Ответ.
Пример 2
Решите
неравенство
Показать решение
Перейдём
к равносильной системе:
Ответ.
Неравенства вида
ОДЗ
данного неравенства f ( x
) ≥ 0. Пусть для каких-то x из
ОДЗ g ( x ) < 0.
Тогда, очевидно, все эти x −
решения, так как при этих x левая
часть определена ( x ОДЗ) и неотрицательна, в то время как
правая часть g ( x ) < 0.
Для
других x из ОДЗ g ( x
) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и
его можно возвести в квадрат: Значит, данное неравенство равносильно
совокупности неравенств:
Заметим,
что в последнюю систему не входит требование f (
x ) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется
автоматически ибо полный
квадрат всегда неотрицателен.
Пример 3
Решите
неравенство
Показать решение
ОДЗ
неравенства: x ≥ –3.
1. Если то все эти x
ОДЗ, для которых верно x
< –1, − решения. Таким образом, − первая
часть ответа.
2. Если то обе части
неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем:
Получаем,
что решениями являются все
Объединяя
результаты пунктов 1 и 2, получаем:
Ответ.
Пример 4
Решите
неравенство
Показать решение
ОДЗ
данного неравенства: Будем
рассматривать только эти x , другие
x не могут являться решениями данного неравенства.
1. Если то есть то все такие x
из ОДЗ, удовлетворяющие этому условию, являются решениями
неравенства. Значит, все x ≤ –3
− решения неравенства.
2. Если то есть а с учетом
ОДЗ это означает, что то обе части
неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат:
Уравнение
имеет корни и Значит,
решением неравенства являются С учётом получается,
что на данном множестве решениями являются Объединяя
результаты пунктов 1 и 2, получаем
Запишем
это решение другим способом:
Ответ.
Неравенства вида
ОДЗ
данного неравенства: Обе части
неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим
равносильную систему
Заметим,
что из неравенства следует, что то есть
дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.
Отметим
полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем
отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет).
Тогда исходное неравенство равносильно следующему: а та система,
которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x
из ОДЗ) в виде Следовательно,
в ОДЗ
Ясно,
что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно
сделать полезное заключение:
Знак
разности совпадает со
знаком выражения
Отсюда
же получается ещё одно полезное следствие:
в
ОДЗ:
Пример 5
Решите
неравенство
Показать решение
Перейдём
к равносильной системе:
Решая
эту систему методом интервалов, сразу получаем:
Ответ.
Пример 6
Решите
неравенство
Показать решение
ОДЗ
данного неравенства:
Заметим,
что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует и значит,
Мы
воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0,
( x – 5)( x – 6) ≥ 0
и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы
вынесли за скобку который по
вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на
знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он
может ещё обратиться в нуль и те x , для
которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким
образом, в ответ необходимо включить число x = 5.
При x = 6 корень обращается в
нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь
тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных
выражений. Имеем:
Учтём теперь
ОДЗ и получим:
Ответ.
Неравенства вида
ОДЗ
данного неравенства: Предположим,
что функции f ( x ) и g (
x ) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство
(*)
1. Если g
( x ) < 0, то
для любого x из ОДЗ выполнено
2. Если g
( x ) ≥ 0, то
выражение может иметь
любой знак, но выражение всегда строго
положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число
не меняя
знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству
Таким
образом, в ОДЗ
Значит,
при g ( x ) ≥ 0, знак
разности совпадает со
знаком разности в ОДЗ.
Получаем
следующие условия равносильности.
Запоминать
приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.
Пример 7
Решите
неравенство
Показать решение
Выполним
равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для
применения результатов настоящего пункта виду.
Мы не
случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь
конкретно равняется функция g ( x
) = 2 x – 8.
Типичной ошибкой является считать, что g ( x
) = 2 x + 8.
ОДЗ
данного неравенства: то есть Теперь
перейдём к равносильной системе. В ОДЗ
С учётом ОДЗ
сразу получаем:
Ответ.
Смотреть
изменение Изменить блок текста
Добавить блок текста
Добавить Страницу
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.