Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодическая разработка для элективного курса.

методическая разработка для элективного курса.

Скачать материал

Иррациональные неравенства

 

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, как было показано выше в правиле 4 преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство, http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430527-1.gif− тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430543-2.gifуже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.


Неравенства вида http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430558-3.gif

Если x лежит в ОДЗ: f  ( x ) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x , являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g  ( x ) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x , которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430589-4.gif

Пример 1

Решите неравенство http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430636-5.gif

Показать решение

Сразу перейдём к равносильной системе:
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430714-6.gif
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430761-7.gif

Ответ.   http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430777-8.gif

 

Пример 2

Решите неравенство http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430824-9.gif

Показать решение

Перейдём к равносильной системе:

Ответ.   http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430918-12.gif

 


Неравенства вида http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514430964-13.gif

ОДЗ данного неравенства f  ( x ) ≥ 0. Пусть для каких-то x  из ОДЗ g  ( x ) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена ( x   ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g  ( x ) < 0.

Для других x  из ОДЗ g  ( x ) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:


http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431043-15.gif

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f  ( x ) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431089-16.gifибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Пример 3

Решите неравенство http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431152-17.gif

Показать решение

ОДЗ неравенства: x  ≥ –3.

1. Если http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431246-18.gifто все эти x   http://e-science.ru/img/math/algebr/isinv.gifОДЗ, для которых верно x  < –1, − решения. Таким образом, http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431277-19.gif− первая часть ответа.

2. Если http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431339-20.gifто обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем:
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431480-21.gif

Получаем, что решениями являются все http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431543-22.gif

Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем:

Ответ.   http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431558-23.gif

 

Пример 4

Решите неравенство http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431558-24.gif

Показать решение

ОДЗ данного неравенства: http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431589-25.gifБудем рассматривать только эти x , другие x не могут являться решениями данного неравенства.

1. Если http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431668-26.gifто есть http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431683-27.gifто все такие x  из ОДЗ, удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x  ≤ –3 − решения неравенства.

2. Если http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431714-28.gifто есть http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431761-29.gifа с учетом ОДЗ это означает, что http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431824-30.gifто обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат:
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431855-31.gif

Уравнение http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431933-32.gifимеет корни http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431980-33.gifи http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514431996-34.gifЗначит, решением неравенства являются http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432011-35.gifС учётом http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432011-36.gifполучается, что на данном множестве решениями являются http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432027-37.gifОбъединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем

http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432074-38.gif

Запишем это решение другим способом:


http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432105-39.gif
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432152-40.gif

Ответ.   http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432214-41.gif

 


Неравенства вида http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432261-42.gif

ОДЗ данного неравенства: http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432277-43.gifОбе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему


http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432293-44.gif

Заметим, что из неравенства http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432339-45.gifследует, что http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432355-46.gifто есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432371-47.gifа та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432386-48.gifСледовательно, в ОДЗ


http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432386-49.gif

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432386-50.gifсовпадает со знаком выражения http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432433-51.gif

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432449-52.gifв ОДЗ: http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432480-53.gif

Пример 5

Решите неравенство http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432511-54.gif

Показать решение

Перейдём к равносильной системе:
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432511-55.gif

Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем:

Ответ.   http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432543-56.gif

 

Пример 6

Решите неравенство http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432605-57.gif

Показать решение

ОДЗ данного неравенства: http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432621-58.gif


http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432621-59.gif

Заметим, что в ОДЗ x  ≥ 0, поэтому существует http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432652-60.gifи значит,
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432668-61.gif

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x  ≥ 0, ( x  – 5)( x  – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432683-62.gifкоторый по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x , для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x  = 5. При x  = 6 корень http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432714-63.gifобращается в нуль, но x  = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем:
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432746-64.gif
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432761-65.gifУчтём теперь ОДЗ и получим:

Ответ.   http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432761-66.gif

 


Неравенства вида http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432777-67.gif

ОДЗ данного неравенства: http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432777-68.gifПредположим, что функции f  ( x ) и g  ( x ) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432793-69.gif(*)

1. Если g  ( x ) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432808-70.gif

2. Если g  ( x ) ≥ 0, то выражение http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432839-71.gifможет иметь любой знак, но выражение http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432855-72.gifвсегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432855-73.gifне меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432855-74.gifТаким образом, в ОДЗ
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432871-75.gif

Значит, при g  ( x ) ≥ 0, знак разности http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432871-76.gifсовпадает со знаком разности http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432871-77.gifв ОДЗ.

Получаем следующие условия равносильности.
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432871-78.gif

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Пример 7

Решите неравенство http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432886-79.gif

Показать решение

Выполним равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для применения результатов настоящего пункта виду.
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432886-80.gif
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432918-81.gif

Мы не случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь конкретно равняется функция g  ( x ) = 2 x  – 8. Типичной ошибкой является считать, что g  ( x ) = 2 x  + 8.

ОДЗ данного неравенства: http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432933-82.gifто есть http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432949-83.gifТеперь перейдём к равносильной системе. В ОДЗ
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432949-84.gif
http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432964-85.gifС учётом ОДЗ сразу получаем:

Ответ.   http://e-science.ru/img/math/algebr/63261514432964-86.gif

 

 

Смотреть изменение     Изменить блок текста


Добавить блок текста

Добавить Страницу

 


ммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммм

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методическая разработка для элективного курса."

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Специалист по корпоративной культуре

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Иррациональные неравенства

 

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако,  возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство  16 меньше 1,уже верным не является. 

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 600 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 03.01.2015 314
    • DOCX 147.5 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Богданова Ирина Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Богданова Ирина Алексеевна
    Богданова Ирина Алексеевна
    • На сайте: 8 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 23663
    • Всего материалов: 9

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Методист-разработчик онлайн-курсов

Методист-разработчик онлайн-курсов

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 66 человек из 34 регионов

Курс повышения квалификации

Применение математических знаний в повседневной жизни

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика")

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 21 человек из 15 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ЕГЭ по математике в условиях реализации ФГОС СОО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 193 человека из 56 регионов

Мини-курс

Управление персоналом и коммуникация в команде

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Интегрированное управление бизнес-процессами

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Библиотечная трансформация: от классики до современности с акцентом на эффективное общение и организацию событий

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе