Министерство образования и науки Российской Федерации
    Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
                                «Салаватский индустриальный колледж»

Методическая разработка урока

 по математике для 1курсов
      Тема: «Степенная функция»

                                                          
                                                          Автор: преподаватель по математике Волоцкова Р.Р.

                                                            Салават
                                                              2015

                                           СОДЕРЖАНИЕ

Свойства степеней. Степенная Функция………………………………………...3

       Вещественная функция………………………………………………………3

       Комплексная функция………………………………………………………..5

Виды степенных функций………………………………………………………..6

       Нулевой показатель…………………………………………………………..6

       Натуральный нечётный показатель…………………………………………6

       Натуральный чётный показатель……………………………………………7

       Целый отрицательный показатель…………………………………………..7

       Рациональный (дробный) показатель……………………………………….9

       Иррациональный показатель……………………………………………….14

Литература……………………………………………………………………….17

История возникновения степени числа

История возникновения степени числа

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы,  получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» (1544 г.) сыграла в этом значительную роль.

«Сумма знаний…» Луки Пачоли была одним из первых опубликованных  сочинений.  Но математики продолжали искать более простую систему обозначений так как его обозначения были не удобны.

Француз, бакалавр медицины Никола Шюке (? - около 1500 г.) смело ввёл в свою сим­волику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента.

В XVI в. итальянец Раффаэле Бомбелли в своей «Алгебре» использовал ту же идею. Он обозначал неизве­стное специальным символом 1, а символами 2, 3,... - его степени. Обозначе­ния Бомбелли  также оказали влияние и на символику нидерландского математика Симона Стевина (1548—1620). Он обозначал неиз­вестную величину кружком О,  внутри которого указывал показатели степени. Стевин предложил называть степени по их показателям - четвёртой, пятой и т. Д. и отверг Диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб».

У Рене Декарта в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а?,... Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а² и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей. Немецкий ученый Лейбниц считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей  и применял знак а².

                                 СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ

       Свойства и формулы степеней используются при сокращении и упрощении сложных выражений, при решении уравнений и неравенств. Свойства степеней можно использовать совместно с таблицей степеней и таблицей умножения.

Пример 1.

Пример 2.  

Пример 3.     

Пример 4.

Пример 5.

                                  СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция – функция , где  (показатель степени) – некоторое вещественное число. К степенным часто относят и функцию вида , где  – некоторый масштабный множитель. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

ВЕЩЕСТСВЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Область определения

Если показатель степени – целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при . Если , то функция определена так же и при , иначе ноль является её особой точкой.

                                                                                                                                   3

Рациональный показатель степени

·    Графики степенной функции при натуральном показателе  называются параболами порядка . При  получается функция , называемая прямой пропорциональной зависимостью.

·     Графики функций вида , где  – натуральное число, называются гиперболами порядка . При  получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью.

·     Если , то функция есть арифметический корень степени .

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период  обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью  её орбиты соотношением:  (полукубическая парабола)

                                                                                                                                   4

Свойства

·        Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция  определена в нуле и его правой окрестности, но её производная  в нуле не определена.

·    В интервале  функция монотонно возрастает при  и монотонно убывает при . Значения функции в этом интервале положительны.

·     Производная функции: .

·        Неопределённый интеграл:

• Если , то

• При  получаем:

КОМПЛЕКСНАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция комплексного переменного  в общем виде определяется формулой:

Здесь показатель степени  – некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение  равно , где  – произвольное целое, а его главное значение есть. Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

1.    При натуральном показателе степени функция  однозначна и n-листна.

2.     Если показатель степени – положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь , то у функции будет  различных значений.

                                                                                                                                 
                                                                                                                                   5

                          ВИДЫ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Степенная функция с показателем равным нулю,

Если показатель степенной функции  равен нулю, , то степенная функция определена для всех  и является постоянной, равной единице: .

Степенная функция с натуральным нечётным показателем,  

Рассмотрим степенную функцию  с натуральным нечётным показателем степени . Такой показатель также можно записать в виде:  где  – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

Область определения:
Множество значений:       Чётность: нечётная,
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при  выпукла вверх
при   выпукла вниз
Точки перегибов:
Пределы:

Частные значения:
при при
при
Обратная функция:
при  функция является обратной к самой себе:
при  обратной функцией является корень степени  

                                                            6
Степенная функция с натуральным чётным показателем,

Рассмотрим степенную функцию  с натуральным чётным показателем степени Такой показатель также можно записать в виде:  где – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

Область определения:
Множество значений:
Чётность: чётная,
Монотонность:
примонотонно убывает
при  монотонно возрастает
Экстремумы: минимум,
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Пределы:

Частные значения:
при при
при
Обратная функция:
при  квадратный корень: ,
при  корень степени

Степенная функция с целым отрицательным показателем,

Рассмотрим степенную функцию  с целым отрицательным показателем степени Если положить , где   натуральное, то её можно представить в виде:

 
                                                                                                                                   7

Нечётный показатель,

Ниже представлены свойства функции с нечётным отрицательным показателем  .

Область определения:
Множество значений:
Чётность: нечётная,
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при : выпукла вверх
при : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при
при
Пределы:

Частные значения:
при
при
Обратная функция:
при
при
 

Чётный показатель,

Ниже представлены свойства функции с чётным отрицательным показателем

                                                                                                                                   8

Область определения:
Множество значений:
Чётность: чётная,
Монотонность:
при  монотонно возрастает
при  монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:  
Пределы:

Частные значения:
при
при
Обратная функция:
при
при

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию с рациональным дробным показателем степени где целое,  натуральное. Причём,  не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя – нечётный

Пусть знаменатель дробного показателя степени  нечётный: В этом случае, степенная функция  определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель  находится в определённых пределах.

Показатель отрицательный,

Пусть рациональный показатель степени (с нечётным знаменателем
                                                                                                                                   9

 меньше нуля: .

Нечётный числитель,

Приводим свойства степенной функции с рациональным отрицательным показателем , где  нечётное отрицательное целое,  нечётное натуральное.

Область определения:
Множество значений:
Чётность: нечётная,
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при  выпукла вверх
при  выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при
при
Пределы:

Частные значения:
при
при
Обратная функция:

Чётный числитель,

Свойства степенной функции с рациональным отрицательным показателем , где чётное отрицательное целое, нечётное натуральное.

                                                                                                                                 10

Область определения:
Множество значений:
Чётность: чётная,
Монотонность:
при  монотонно возрастает
при  монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
Пределы:

Частные значения:
при
при
Обратная функция:

Показатель  положительный, меньше единицы,

Нечётный числитель,

Представлены свойства степенной функции с рациональным показателем , находящимся в пределах , где нечётное натуральное,  нечётное натуральное.

Область определения:
Множество значений:
Чётность: нечётная,
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:


                                                                                          

                                                                                                                                 11
при  выпукла вниз
при  выпукла вверх
Точки перегибов:
Точки пересечения с осями координат:
Знак:
при
при
Пределы:
Частные значения:
при        
при
при
Обратная функция:

Чётный числитель,

Представлены свойства степенной функции с рациональным показателем , находящимся в пределах , где чётное натуральное,  нечётное натуральное.

Область определения:
Множество значений:
Чётность: чётная,
Монотонность:
при  монотонно убывает
при  монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат:  
Пределы:
Частные значения:
при        
при
при
                                                                                                                                 12

Обратная функция:

Показатель больше единицы,

Нечётный числитель,

Свойства степенной функции с рациональным показателем, большим единицы: . Где  нечётное натуральное, нечётное натуральное.

Область определения:
Множество значений:
Чётность: нечётная,
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при : выпукла вверх
при  выпукла вниз
Точки перегибов:
Точки пересечения с осями координат:
Пределы:
Частные значения:
при
при
при
Обратная функция:

Чётный числитель,
Свойства степенной функции с рациональным показателем, большим единицы: . Где чётное натуральное,
нечётное натуральное.                                                                                                                                 
                                                                                                                                 13
Область определения:
Множество значений:
Чётность: чётная,
Монотонность:
при  монотонно убывает
при  монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат:  
Пределы:
 
Частные значения:
при        
при
при
Обратная функция:

Знаменатель дробного показателя – чётный

Пусть знаменатель дробного показателя степени  чётный:  В этом случае, степенная функция  не определена для отрицательных значений аргумента. Её свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем.

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию  с иррациональным показателем степени  Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя и не зависят от того, является ли целым, рациональным или иррациональным.     

                                                                                                                                 14   

Степенная функция с отрицательным показателем

Область определения:
Множество значений:
Монотонность: монотонно убывает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Пределы:
 
Частное значение: при

Степенная функция с положительным показателем

Показатель меньше единицы

Область определения:
Множество значений:
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вверх
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат:
Пределы:
Частные значения:
при
при

                                                                                                                                 15

Показатель больше единицы

Область определения:
Множество значений:
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат:
Пределы:
Частные значения:

                                                                                                                                 16

                                        ЛИТЕРАТУРА

https://ru.wikipedia.org/wiki/Степенная_функция

http://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/stepennaya/grifik

http://www.webmath.ru/poleznoe/svoistva_stepeni.php

                                                                                                                                 17