МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ « ДВУГРАННЫЙ УГОЛ »

Скачать материал

Федеральное агентство по образованию

ГОУ СПО Выксунский металлургический техникум

Им. А.А.Козерадского

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ПО ТЕМЕ

« ДВУГРАННЫЙ УГОЛ »

Выкса 2011 г.

Содержание

1. Введение

2. Теоретический материал по теме « Двугранный угол »

3. Тесты – тренажеры ( №1, №2, №3,№4)

4. Алгоритм решения задач по теме

5. Задание для групповой работы( 6 вариантов )

6. Решение стереометрических задач на двугранный угол

7. Задания для самостоятельной работы

8. Литература

1. Введение

Одной из основных тем стереометрии является тема « Двугранный угол».

Несмотря на то, что понятия двугранного угла и его линейного угла учащиеся устанавливают легко, возникает много трудностей при решении стереометрических задач. Анализ этих затруднений показал, что это связано с недостаточной сформированностью навыка изображения линейных углов. Чтобы преодолеть эти проблемы , необходима определенная система задач.

Тема : « Двугранный угол , решение задач по теме » .

Цель : Сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями. Отработать определение двугранного угла.

2. Теоретический материал по теме « Двугранный угол »

Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами , исходящими из одной точки. В стереометрии наряду с такими углами рассматривается еще один вид углов – двугранные углы. Чтобы ввести понятие двугранного угла, напомним, что любая прямая , проведенная в данной плоскости , разделяет эту плоскость на две полуплоскости.

Рисунок 1 – Прямая а разделяет плоскости на две полуплоскости.

Представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так, что две плоскости с границей а оказались уже не лежащими в одной плоскости.

Рисунок 2 – Двугранный угол

Полученная фигура и есть двугранный угол.

Таким образом, можно дать такое определение двугранного угла : двугранным углом называется фигура , образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называется его гранями.

У двугранного угла две грани, отсюда и название – двугранный угол. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.

В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющие форму двугранного угла. Такими предметами являются двускатные крыши зданий, полураскрытая папка, стена комнаты совместно с полом и т.д.

Мы знаем, что углы на плоскости ( обычные углы ) измеряются в градусах. А как измеряются двугранные углы? Это делается следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую – нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла.

Равенство и неравенство двугранных углов.

Два двугранных угла считаются равными, если они при вложении могут совместиться; в противном случае тот из углов , который составит часть другого угла , считается меньшим.

Можно рассматривать сумму , разность , произведение и частное двугранных углов в том же смысле , как и для углов планиметрии. Подобно этим углам, двугранные углы могут быть смежные и вертикальные.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.

Теоремы :

1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

2. Большому двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Обратные теоремы :

1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2. Большому линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Следствия :

1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол и обратно.

2. Все прямые двугранные углы равны.

3. Вертикальные двугранные углы равны.

4. Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково ( или противоположно ) направленными гранями равны.

5. Двугранный угол измеряется его линейным углом.

Построение линейного угла двугранного угла.

С <90 º

ВО $\perp$ α;

ВК – наклонная к α;

ОК=пр.α ВК ;

ОК $\perp$ АС;

Из всего этого следует, что ВК $\perp$ АС; поэтому

ВКО – линейный угол двугранного угла с ребром АС.

2. С = 90º

ВСО – линейный угол двугранного угла ВАСО

3. С >90º

ВКО - линейный угол двугранного угла ВАСО

3.Тесты – тренажеры.

Тренажер 1

Включает в себя задачи на доказательство того, что отмеченный на рисунке угол является линейным.

1. SABCD –пирамида; SВ( АВС ) ; ВР DC.

Доказать, что угол SРВ – линейный угол двугранного угла с ребром CD.

2. SABC - пирамида ; угол АСВ = 90 º; SВ( АВС ).

Доказать, что угол SCВ- линейный угол двугранного угла с ребром АС.

3. SABC – пирамида; АВ = ВС; D – середина отрезка АС; SВ( АВС ).

Доказать , что угол SDB является линейным углом двугранного угла с ребром АС.

Рисунок 1 Рисунок 2

Рисунок 3

Тренажер 2.

Это задачи на выделение линейного угла среди обозначенных на рисунке углов.

1. SABC – пирамида , основание которой – правильный треугольник . Какой из отмеченных углов является линейным углом двугранного угла с ребром АС, если :

а) Е – середина отрезка АС ( рисунок 4 ), прямая SВ ( АВС )

б) К – середина отрезка АС ( рисунок 5 ), ОN||ВК и SО ( АВС ).

2. SАВС – пирамида , D – середина отрезка АС, SB (АВС)

(рисунок 6).

Каким должен быть треугольник АВС, чтобы линейный углом двугранного угла с ребром АС являлся угол SDB; угол SAB ; угол SKB ?

Рисунок 4 Рисунок 5

Рисунок 6

Тренажер 3

(Задачи на построение линейного угла данного двугранного угла).

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде SABC :

а) АВ=ВС ;SВ ( АВС ) ( рисунок 7 )

б) грань ( АВС ) – правильный треугольник, О - точка , пересечения медиан прямая SO ( АВС ) ( рисунок 8 )

в) грань ( АВС ) – правильный треугольник, О – середина отрезка АВ, SO ( АВС ) ( рисунок 9)

2. Дан прямоугольник АВСD и точка S не лежит в его плоскости.

Построить линейный угол двугранного угла с ребром CD, если :

а)SB ( АВС )

б) точка О принадлежит отрезку АВ, прямая SO ( АВС ) ( рисунок 11)

в) О – точка пересечения диагоналей, SO ( АВС ) ( рисунок 12)

3. Дан ромб ABCD,SC ( ABC )

Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD ( рисунок 13 ).

4. а) ABCD – трапеция ; угол BAD=90º; SВ ( АВС ) (рисунок 14 )

б) ABCD – трапеция ; угол BAD=90º ; точка О принадлежит отрезку ВС, SО ( АВС ) ; ( рисунок 15 )

в) ABCD – равнобедренная трапеция , SВ ( АВС ); ( рисунок 16 ).

г) ABCD – равнобедренная трапеция , SС

( АВС ); ( рисунок 17 ).

Построить линейный угол двухгранного угла с ребром AD.

Рисунок 7

Рисунок 8

Рисунок 9 Рисунок 10 Рисунок 11

Рисунок 12

Рисунок 13 Рисунок 14 Рисунок 15

Рисунок 16 Рисунок 17

Тренажер 4

( Задачи вычислительного характера )

1. Дана пирамида SABC. Найти величину двугранного угла с ребром АС, если :

а) SB ( АВС ) ; угол С = 90 º ; ВС = SB= 6см. ; ( рисунок 18)

б) прямая SB ( АВС ) ; АВ = ВС = 10 см.; SB= АС = 12см.;

(рисунок 7)

в) грань ( АВС ) – правильный треугольник; АВ = 6 см. ; О –точка пересечения медиан, SO ( АВС ) ; SO=4см.; (рисунок 8 )

г) грань АВС – правильный треугольник; О – середина отрезка АВ ; АВ = 6см.; SO ( АВС ) ; SO= 9 см.; ( рисунок 9)

2. АВСD – прямоугольник, BD=4√3 см. Прямая SB ( АВС ), SB=6см.; двугранный угол с ребром DC =60º. Найти стороны прямоугольника.

3. АВСD – прямоугольник; его площадь 48см². DC = 4 см. ;

OS( АВС )

OS=6см. Найти величину двугранного угла с ребром DC

( рисунок 12)

4. АВСD – ромб, ВD=8см.; SC ( АВС ) , SC = 16 см, двугранный угол с ребром ВD = 45º. Найти площадь ромба ( рисунок 13 ).

5. В параллелограмме АВСD угол АDC=150º, АD=16см, СD=12см.;

SC ( АВС ), SC=18см., ( рисунок 19). Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.

Рисунок 18

Рисунок 19

Эти четыре тренажера выступают в роли тестов.

4 Алгоритм решения задач по теме

30º

Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30º. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.

Дано :

Δ АВС ; ∠ С = 90 º;

Угол между ВС и α = 30 º

Найти двугранный угол с ребром АВ.

Решение :

1. Строим линейный угол двугранного угла с ребром АВ.

СО $\perp$ α ; CD – наклонная к плоскости α;

OD $\perp$ АВ ( по построению );

СВ $\perp$ АВ ( по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно ∠СDО – линейный угол двугранного угла с ребром АВ ).

∠ СВО – угол наклона ВС к плоскости α.

Пусть СО = α;

30º

2а

Рассмотрим ΔСОВ : ∠В=30 º ; СВ = 2а ( свойство катета, лежащего против угла в 30 º).

Рассмотрим ΔACD : S_Δ= 0,5*АС*СВ = 0,5*2а*2а=2а²

S_Δ= 0,5*АВ*СD;CD=2* S_Δ/АВ

АВ =√АС²+СВ² = √4а²+4а² = √8а² = 2а√2

;

3. ;

Ответ : ∠CDO=45º

Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольник АВС , сторона которого равна 4 см. Расстояние от точки М до плоскости (АВС ) 2 см. Найдите угол между плоскостью ( ВМС ) и плоскостью ( АВС ) и угол между МС и плоскостью ( АВС ).

Дано :

Δ АВС;

АВ=АС=ВС=4см;

МО=2 см.

Найти : 1. Угол между ( ВМС) и ( АВС )

2.Угол между МС и (АВС)

Решение :

Так как точка М равноудалена от всех сторон треугольник АВС , то ее проекцией на плоскость ( АВС ) является центр вписанной окружности, следует ОК=ON = OL =r;

ОК $\perp$ ВС ( радиус , проведенный в точку касания) ; ОМ $\perp$ ( АВС );

МК – наклонная к ( АВС ) ;

ОК = пр. _{( АВС )}МК ; ОК $\perp$ ВС следует, что МК $\perp$ ВС следует ,что ∠ МКО – линейный угол двугранного угла МСВО.

2)Рассмотрим Δ МОК ;

;

∠ МКО= 60º

3) Угол между МС и плоскостью ( АВС ) равен углу МСО.

ОС=R; R=2r ;

Ответ : ∠ МКО= 60º;

5. Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант № 1

1) Дан прямоугольник АВСD и точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC, если :

SB $\perp$ ( АВС )

О – точка пересечения диагоналей, SO $\perp$ ( АВС ).

2) Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ1. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ =2 см.; ∠ ВАС = 150º ; и двугранный угол ВАСВ1 = 45 º.

Вариант № 2

1) ABCD - ромб; BD=8см; двугранный угол с ребром BD = 45º. Найти площадь ромба.

2) В параллелограмме ABCD ∠АDC=150º; АD=16см; DC=12см; SC $\perp$ ( АВС ); SC=18см. Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.

Вариант № 3

1) Дан куб ABCDА1В1С1D1; (ABCD – нижнее основание ). Найдите величину угла между плоскостью грани АВВ1А1 куба и плоскостью, проходящего через диагональ АВ1 этой грани и середину ребра DC куба.

2) Плоскость α проходит через сторону АС треугольника АВС под углом 30º к плоскости треугольника. Найти расстояние от вершины В до плоскости α, если ВС = 6 см; ∠С=120º.

Вариант № 4

1) В тетраэдре DABC все ребра, кроме АВ, имеют равные длины. ∠АСВ=90º. Найдите величину двугранного угла при ребре ВС.

2) Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BACD =90º. Найдите сторону ромба, если ∠BAD=45º и расстояние от точки В до плоскости ADM = 4√3см.

Вариант № 5

1) Найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

а) BS $\perp$ ( ABC ); ∠ C=90º; BC= BS=6см.

б) BS $\perp$ ( ABC ); АВ=ВС=10см; BS=АС=12см.

2) ABCD – прямоугольник . S=48см²; DC=4см; OS $\perp$ (АВС); OS=6см. найти величину двугранного угла с ребром DC.

Вариант № 6

1) Дан прямоугольник ABCDи точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC если : SB $\perp$ (АВС); О – точка пересечения диагоналей, прямая SO $\perp$ (АВС).

2) Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольника АВС, сторона которого 4см. Расстояние от точки М до плоскости ( АВС ) равно 2 см. Найдите угол между плоскостью ( ВМС ) и плоскостью ( АВС ) и угол между МС и плоскостью ( АВС ).

6. Решение стереометрических задач на тему « Двугранный угол »

1) Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 является квадратом со стороной 3, а пространственная диагональ параллелепипеда равна . Найдите угол между плоскостью A1B1C1D1 и плоскостью ADC1

Дано: - прямоугольный параллелепипед

ABCD – квадрат

AB=3

B₁D=

Найти угол между плоскостями (A1B1C1D1) и (ADC1)

Решение

Двугранный угол С₁ADC. Строим его линейный угол. ; - наклонная к плоскости ; (стороны квадрата) по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах , значит - линейный угол двугранного угла .

;

B₁

Ответ:

2) Диаметр и хорда AB основания конуса равны соответственно 26 и 24, тангенс угла между образующей и основанием конуса равен 8. Найдите тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса, проходящей через вершину конуса и хорду AB.

Дано: SAC – конус

AC=26

AB=24

Найти:

Решение

Строим линейный угол двугранного угла SABO.

– равнобедренный.

- медиана на .

104

;

Ответ:

3) Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 – ромб ABCD со стороной, равной 7. Площадь ромба равна 28. Тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ABC1 равен 2,75. Найдите длину бокового ребра призмы.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольная призма

ABCD – ромб.

AB=7.

S ромба=28.

Найти: DD₁

Решение

1) Проведём тогда (по теореме о трёх перпендикулярах), тогда - линейный угол двухгранного угла C₁ABC.

С₁

₁

Ответ: .

4) Высота прямой призмы ABCA1B1C1 с основанием ABC равна 12. Угол между прямыми BC1 и AC равен 90º , а синус угла между прямыми A1B и AC равен . Найдите тангенс угла между плоскостью BC1A и плоскостью ABC, если A1B равно 13.

Дано:

ABCA1B1C1 – прямая призма

АА1=12

Найти:

Решение

Прямые DC1 и AC – скрещивающиеся.

Прямые A1B и AC – скрещивающиеся.

Двугранный угол C1ABC. Строим его линейный угол.

C1K – наклонная;

(по построению) по теореме о трёх перпендикулярах - линейный угол двугранного угла .

₁

A₁

₁

С₁

₁

₁

Найдём СК

₁

С₁

₁

Ответ:

7. Задания для самостоятельной работы

1) Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые грани составляют с плоскостью основания равные углы, причем их тангенс равен 3.Найдите объём пирамиды.

2) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки K и F- середины ребер SB и SC соответственно. Сторона основания пирамиды равна 2√3, боковое ребро равно √79. Найдите угол между плоскостью AKF и плоскостью основания пирамиды.

3) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точки M и N- середины ребер SA и SB соответственно. Сторона основания пирамиды равно 4∕3 апофема 2√10∕3. Найдите угол между плоскостью MNC основания пирамиды.

4) В правильной треугольной пирамиде ABCD боковое ребро в 1,5 раза длиннее, чем сторона основания ABC. Точки K и M делят пополам ребра AD и CD соответственно. Найдите синус угла между плоскостями ACD и BKM.

5) В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания равна боковому ребру. Точка M делит ребро DC пополам, K- середина BC. Найдите синус угла между плоскостью AKM и плоскостью ABC.

6) Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует угол, равный 60°, с плоскостью основания, а полученное сечение имеет площадь 5√3. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

7) Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 является квадратом со стороной 2,а пространственная диагональ параллелепипеда равна 2√5. Найдите угол между плоскостью A1B1C1D1 и плоскостью ADC1.

8) В прямоугольном параллелепипеде ABCD A1B1C1D1 известны длины ребер: AB=3, AD=4,CC1=9. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

9) В прямоугольном параллелепипеде ABCD A1B1C1D1 известны длины ребер:

AB=12, AD=16, CC1=9. Найдите угол между плоскостями BDD1 и AB1D1.

8. Литература

1. Электронный учебник « Стереометрия. 10-11 классы »

2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов « Геометрия 10-11 классы» - Москва, Просвещение,2000

3. С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов « Изучение геометрии 10-11 классы» - Москва, Просвещение,2003

4. Л.С. Атанасян « Поурочные планы по геометрии 10 класс» - издательство «Учитель »

5. Н.Г.Федин, С.Н. Федин « Геометрия. Учебное пособие для техникумов» - Москва , Высшая школа,1989

6. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев « Геометрия » - Москва, Наука,1990

7. Г.Н. Яковлев « Геометрия» Москва, Наука, 1982

8. «Задачи по геометрии с комментариями и решениями » - перевод с французского,Москва,Мир,1989

9. Н.Н. Кущенко « Решение задач по математике» - Москва, Мир,1982

10. Сканави « Сборник задач по математике » - Москва, Мир, 1996

Скачать материал

Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ « ДВУГРАННЫЙ УГОЛ »"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

Одной из основных тем стереометрии является тема « Двугранный угол». Несмотря на то, что понятия двугранного угла и его линейного угла учащиеся устанавливают легко, возникает много трудностей при решении стереометрических задач. Анализ этих затруднений показал, что это связано с недостаточной сформированностью навыка изображения линейных углов. Чтобы преодолеть эти проблемы , необходима определенная система задач. Тема : « Двугранный угол , решение задач по теме » . Цель : Сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями. Отработать определение двугранного угла.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 656 994 материала в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

pptx

Математика 2 сынып 20 сабақ

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.

31.12.2020
728
3

«Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.

pptx

Презентация по математике. Объем параллелепипеда

Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Тема: § 23. Объём прямоугольного параллелепипеда

31.12.2020
970
93

«Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

pptx

Презентация по математике: Параллелепипед.

Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Тема: § 22. Прямоугольный параллелепипед. Пирамида

Рейтинг: 5 из 5

31.12.2020
1176
184

pptx

Презентация по математике: "Площадь фигур. Единицы площади"

Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Тема: § 21. Площадь. Площадь прямоугольника

31.12.2020
1269
110

docx

Урок - зачет по математике "График линейного уравнения" (7 класс)

31.12.2020
461
0

pptx

Презентация по математике .

Учебник: «Математика», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

31.12.2020
484
0

«Математика», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

docx

Математический вечер. Геометрический сьезд

31.12.2020
410
0

pptx

Презентация по математике .Четырехгольники

31.12.2020
407
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 02.03.2020 3434
- DOCX 1 мбайт
- 142 скачивания
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Новгородова Ольга Тимофеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Новгородова Ольга Тимофеевна
- На сайте: 3 года и 3 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 94724
- Всего материалов: 244