Лаборатория математики и естествознания

 

«Логарифмические уравнения»

 

Логарифмические уравнения (5 часов).

 

Литература.

1. А. Г, Мордкович «Алгебра и начала анализа» - учебник, задачник 10-11 классов.
2. Б. М. Ивгев, С. М. Саакян, С. И. Швацбург. «Алгебра и начало анализа 11класс»- дидактические материалы.
3. С. М. Саакян, А. М. Гольдисак, Д. В. Данилов. «Задачи по алгебре «Начало анализа для 10-11 классов».
4. Материалы для подготовки к ЕГЭ.

 

Количество часов	№ учебного занятия	Тип учебного занятия
2 часа	1. Вводное повторение	Беседа
	2. Изучение нового материала на базовом уровне	Лекция – беседа
	3. Закрепление изученного материала на базовом уровне.	Урок – практикум
	4. Контроль за усвоением изученного материала на базовом уровне.	Урок – зачет
1 час	5. Изучение нового материала на более высоком уровне	Семинар
1 час	Дифференцированное закрепление изученного материала.	Семинар – практикум
	Обобщающее повторение.
1 час	8. Контроль изученного материала.	Трехуровневый зачет
15 минут	9. Анализ контрольной работы.	Занятие - коррекция

 

 

 

 

 

Учебное занятие № 1. Вводное повторение.

Тип учебного занятия: беседа

Тема учебного занятия: Логарифмические уравнения.

 

Цель учебного занятия:

1. Формирование общеучебных умений и навыков:

- продолжить формирование понятий равносильности и следствия, логарифма числа, умение применять свойства логарифмов 

-  совершенствовать умение выделять в объекте существенные свойства и особенности;

- совершенствовать умение выявлять общие и различающиеся свойства сравниваемых объектов;

 

2. Развивающие:

- развивать логическое мышлений;

- продолжить формирование ясного, точного, грамотного изложения своей мысли в устной и письменной речи;

- развивать умений использовать словесный, символичный, графический языки математики;

- развивать умение проводить доказательных рассуждений, аргументаций.

 

3. Воспитательные:

- способствовать овладению учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

- формирование качеств личности, необходимых для жизни в современном обществе: ясности и точности мысли, критичности, интуиции, логического мышления, способности к преодолению трудностей.

 

Оборудование:

1.      Таблица «Свойства логарифмов»

2.      Таблица «Свойства логарифмов (теорема 4)»

 

Ход учебного занятия.

I. Организационный этап.

Сообщение учителем темы, целей и задач урока, его основных этапов.

Тема нашего занятия «Логарифмические уравнения». Цель занятия: научиться решать простейшие тригонометрические уравнения на основании свойств, познакомиться с различными видами логарифмических уравнений.

 

 

II. Этап проверки домашнего задания.

 

III. Этап актуализации субъективного опыта учащихся.

 

На предыдущих уроках мы изучили свойства логарифмов, научились логарифмировать, потенцировать выражения. Тема сегодняшнего урока «Логарифмические уравнения», при решении которых применяются изученные свойства. Повторим изученное, выполним устные упражнения.

 

Устные упражнения:

1. Решите уравнения:

а) 2^х = 32,      б) 2^х = 0,5          в) 2^х = 7

2. Найти область определения функции:

a) f (x) = log_π  x,     б)  f (x) = log₂  (x-4),     в) f (x) = log_0,5  x²,     г) f (x) = log₂  x³,     д) f (x) = log_х  5,    

3. Вычислите:

а) log₃  18 – log₃  2,   б) log₆  4  + log₆  1/24,   в) log₅ ٧⁴  125

4. Решите уравнение:

а)  log₂  x = 3,  б) log₁₆  x  = ½,  в) log_х  16 = 2, 

г) log₂  x = log₂  72 – log₂  9,   д) log₂  x = log₂  9

5. Сформулировать теорему 4.

III. Этап подведения итогов учебного занятия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное занятие № 2.  Изучение нового материала на базовом уровне.

 

Тип учебного занятия: лекция - беседа

Тема учебного занятия: Логарифмические уравнения.

 

 Цель учебного занятия:

1. Формирование общеучебных умений и навыков:

- познакомить учащихся с простейшими логарифмическими уравнениями, способами их решения;

- продолжить формирование понятий равносильности и следствия, логарифма числа, умения применять свойства логарифмов при решении логарифмических уравнений;

-  совершенствовать умение выделять в объекте существенные свойства и особенности;

- совершенствовать умение выявлять общие и различающиеся свойства сравниваемых объектов;

- совершенствовать умение классифицировать объекты по способам решения;

- совершенствовать навыки решения системы неравенств, квадратных уравнений, вычислительные навыки;

-совершенствовать умение формулировать выводы по результатам анализа.

 

2. Развивающие:

- развивать логическое мышлений;

- продолжить формирование ясного, точного, грамотного изложения своей мысли в устной и письменной речи;

- развивать умений использовать словесный, символичный, графический языки математики;

- развивать умение проводить доказательных рассуждений, аргументаций.

 

3. Воспитательные:

- способствовать овладению учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

- формирование качеств личности, необходимых для жизни в современном обществе: ясности и точности мысли, критичности, интуиции, логического мышления, способности к преодолению трудностей.

 

Оборудование:

1.      Таблица «Свойства логарифмов»

2.      Таблица «Свойства логарифмов (теорема 4)»

3.      Таблица «Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений».

 

Ход учебного занятия.

 

I. Этап  формирования  новых знаний и способов действия.

На уроках по теме «Свойства логарифмической функции» мы уже решали простейшие логарифмические уравнений графическим способом, сегодня мы дадим  понятие логарифмическое уравнений и научимся аналитическому способу решения логарифмических уравнений.

Для успешного решения логарифмического уравнения  Вам необходимо:

- безошибочно решать простейшие логарифмические уравнения;

- не только знать все логарифмические тождества, но и множество значений переменной, на котором эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более не терять решение уравнения;

- четко, подробно и  без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (перенос из одной части в другую, приведение к общему знаменателю дробей  тому подобное). Это называется математической культурой.   И помните – небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.

- знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения). Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется определить тип уравнения, вспомнить и применить соответствующий этому типу метод решения задачи.

 

1. Введем определение логарифмического уравнения.
2. Опираясь на  теорему 4, для решения логарифмических уравнений, мы можем сформулировать следующее утверждение:

ТЕОРЕМА

Если  f (x) > 0  и g (x) > 0, то логарифмическое уравнение log_а f (x) =   log_а g (x)  (1)  (где а>0, а ≠ 1)  равносильно уравнению f (x)  = g (x) (2).

На практике эту теорему применяют так: переходят от уравнения (1) к уравнению (2)  (такой переход называют потенцированием), решают уравнение (2), а затем проверяют его корни по условиям:   f (x) > 0  и g (x) > 0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения (2),  которые  удовлетворяют этим условиям, являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения (2), которые не удовлетворяют  хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для уравнения (1).

Иногда удобнее использовать другой  порядок ходов: сначала решить систему неравенств: f (x) > 0  и g (x) > 0, т.е найти область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем найти корни уравнения (2), и сделать проверку по найденному значению ОДЗ.

3.  Рассмотрим решение разных типов  простейших логарифмических уравнений различными методами:

Пример 1   log₃  ( х² – 3х – 5) =   log₃  (7 – 2х)

ОДЗ :         

                      х² – 3х – 5> 0,

                      7 – 2х > 0.

Освободимся от знаков логарифмов на основании теоремы

х² – 3х – 5= 7 – 2х, х₁=4, х₂=-3

Проверим выполнение условия ОДЗ: х₁=4 – посторонний корень, х₂=-3 – корень логарифмического уравнения.

Ответ: -3

Пример 2    log_1/6  (7х-9) =   log_1/6  х

ОДЗ   

                   7х-9> 0,                      получим х > 9/7.

                    х> 0.

Освободимся от знаков логарифмов на основании теоремы

7х-9=х, х=3/2, 3/2 > 9/7, значит х=3/2 корень логарифмического уравнения.

Ответ: 3/2

При  решении данных уравнений  использовался метод  потенцирования. Решим следующее уравнение,  применив метод потенцирования.

Пример 3    log₂  (х+1) +   log₂  (х+3) = 3

ОДЗ:                 Х+1> 0,                      получим ОДЗ х > -1

                        Х+3> 0.

 Представим 3= log₂  8

log₂  (х+1)(х+3) = log₂  8

Освободимся от знаков логарифмов на основании теоремы

(х+1)(х+3) = 8, х=1, х=-5.

х=-5 – посторонний корень,  х=1 – корень логарифмического уравнения

ответ: 1

Для решения  другого типа логарифмических уравнений  применяется метод введения новой переменной.

Пример 4     log ²₂  х +   log₂  х  - 2= 0

ОДЗ: х > 0.

Пусть log₂  х = у, получим

у² + у – 2 = 0, у = -1, у= 2.

Вернемся к переменной х:

Если у=-1, то log₂  х = -1, х=1/2

Если у=2, то log₂  х = 2, х= 4.

½ > 0., значит х=1/2 – корень логарифмического уравнения

4 > 0. значит х=4 – корень логарифмического уравнения.

Ответ: ½, 4

Для решения  другого типа логарифмических уравнений  применяется метод  логарифмирования

Пример 5    х ^log₃ ^x= 81.

Правую и левую части уравнения принимают положительные значения, значит возьмем логарифмы по основанию 3 от обеих частей, получим:

Log₃х ^log₃ ^x= log₃81, ОДЗ х > 0.

Log₃х Log₃х= 4

Log ²₃х = 4

Log₃х = 2 или Log₃х = -2

х= 9, х=1/9

9 > 0, значит х=9 – корень логарифмического уравнения

1/9 > 0, значит х=1/9 – корень логарифмического уравнения.

II. Этап подведения итогов учебного занятия.

Итак, мы познакомились с  тремя методами решения логарифмических уравнений, проанализировав данные примеры,  можем составить алгоритмы решения различных типов логарифмических уравнений разными методами (таблица «Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений»).

1)	2)
3)	4)
5)

 

Историческая справка. Принято считать, что вся современная наука оформилась в 17 веке. Действительно, в конце этого столетия образовались первые академии наук и была создана первая научная картина мира, объединившая механику с астрономией. Основу такого синтеза первым угадал Галилей, заявивший около 1630 года: Природа говорит с нами на языке математики! Вернее сказать, что природа обращается к нам сразу на многих диалектах единого математического языка. Мы называем эти диалекты арифметикой, геометрией, алгеброй или математическим анализом, но не всегда чувствуем их единство, а многих диалектов мы еще не знаем. Оттого в любой момент времени наше представление о законах природы не полно, и нередко оно противоречиво.

Устранение каждого противоречия требует серьезной перестройки в системе математических понятий. Что-то привычное мы вынуждены отвергнуть, как заблуждение; другие знакомые слова приобретают новый смысл. Начиная с 17 века, это "понятийное землетрясение" сделалось в науке обычным явлением: все к нему привыкли и терпят его, а многие радуются такой беспокойной жизни. Но войти в этот режим работы нелегко даже в наши дни; насколько же труднее было первопроходцам! Не удивительно, что у истока новой науки собрались люди с причудливыми характерами. Всех их объединяло безграничное любопытство, беспредельное трудолюбие и буйная фантазия.

Первым в этом ряду богатырей оказался немец Иоганн Кеплер (1571-1630) - неутомимый наблюдатель и неугомонный вычислитель. Он вошел в большую науку в 1600 году - когда императорский астроном Тихо Браге принял его на работу в Пражскую обсерваторию. Тщательно наблюдая за движением планет среди звезд в течение 30 лет, Браге накопил огромный запас точных данных - но не мог привести их в единую систему. Он быстро отверг давнюю геоцентрическую модель Птолемея и недавнюю гелиоцентрическую модель Коперника (в которой сохранилась система эпициклов, введенных Гиппархом). Но каковы истинные траектории полета планет в пространстве ? В каком режиме они движутся по этим кривым? Браге поручил Кеплеру разобраться в движении Марса: оно более всего противоречит здравому смыслу, ибо временами Марс вдруг останавливается среди планет и пятится назад.

Кеплер сразу догадался: если орбита Марса не может быть окружностью, то, скорее всего, она - эллипс. Кажущееся движение Марса вспять можно объяснить просто: Солнце находится не в центре эллипса, а сдвинуто куда-то вбок. Куда? Скорее всего, в фокус эллипса - самую замечательную точку, связанную с этой кривой. Но в каком режиме движется Марс по своему эллипсу - это можно выяснить только путем громоздких расчетов. Эта работа заняла у Кеплера 8 лет; он испытал и отверг около 20 разных гипотез, пока не нашел (в 1609 году) истинную: за равные отрезки времени вектор, соединяющий Солнце с Марсом, заметает в плоскости их общего движения секторы равной площади.

Чтобы справиться с огромным объемом вычислений, Кеплеру пришлось сделать два замечательных изобретения. Во-первых, он научился заменять умножение многозначных чисел сложением их логарифмов. Во-вторых, Кеплер научился вычислять путь, пройденный планетой за данное время, по известной (переменной) скорости планеты.

Переход от чисел к их логарифмам и обратно требует громоздких и точных таблиц. Сначала Кеплер составлял их сам; но в 1614 году появились подробные таблицы логарифмов Чарльза Непира. За 20 лет упорного труда этот шотландец рассчитал не только логарифмы чисел, но и логарифмы значений всех тригонометрических функций: они постоянно встречаются в астрономических расчетах. Таблицы Непира открыли путь к автоматизации всех арифметических вычислений; первым шагом в этом направлении стала привычная нам логарифмическая линейка.

Ее изобрел в 1622 году англичанин Вильям Оутред. При этом он использовал десятичные логарифмы: они более удобны в расчетах, чем натуральные логарифмы, с которыми работал Непир. Следующие шаги в автоматизации вычислений сделали француз Блез Паскаль (в 1642 году) и немец Вильгельм Лейбниц (в 1671 году). Паскаль построил первый механический арифмометр, выполняющий сложение и вычитание многозначных чисел. Арифмометр Лейбница позволил также умножать и делить многозначные числа. Следующий важный шаг в развитии вычислительной техники был сделан только в 20 веке - когда развитие физики позволило создать электронные вычислительные машины (компьютеры).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное занятие № 3.  Закрепление изученного материала на базовом уровне.

 

Тип учебного занятия:  урок – практикум 

Тема учебного занятия: Логарифмические уравнения.

 

Цель учебного занятия:

1. Формирование общеучебных умений и навыков:

- обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме;

- закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появление типичных ошибок;

- закрепить у учащихся умение решать  простейшие логарифмические уравнения различными  способами;

- совершенствовать  опыт выполнения инструкций  на математическом материале;

- совершенствовать опыт самостоятельной деятельности, соотнесения своего мнения с мнением других;

- продолжить формирование понятий равносильности и следствия, логарифма числа, умения применять свойства логарифмов при решении логарифмических уравнений;

-  совершенствовать умение выделять в объекте существенные свойства и особенности;

- совершенствовать умение выявлять общие и различающиеся свойства сравниваемых объектов;

- совершенствовать навыки самоконтроля своей работы;

- совершенствовать умение классифицировать объекты по способам решения;

- совершенствовать навыки решения системы неравенств, квадратных уравнений, вычислительные навыки.

 

2. Развивающие:

- развивать логическое мышлений;

- продолжить формирование ясного, точного, грамотного изложения своей мысли в устной и письменной речи;

- развивать умений использовать словесный, символичный, графический языки математики;

- развивать умение проводить доказательных рассуждений, аргументаций.

 

3. Воспитательные:

- способствовать овладению учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

- формирование качеств личности, необходимых для жизни в современном обществе: ясности и точности мысли, критичности, интуиции, логического мышления, способности к преодолению трудностей.

 

 

Оборудование:

1.      Таблица «Свойства логарифмов»

2.      Таблица «Свойства логарифмов (теорема 4)»

3.      Таблица «Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений».

4.       Проектор, экран, компьютер (или кодоскоп)

 

 

 

Ход учебного занятия.

 

I. Этап первичной проверки понимания изученного.

 Проверка теоретических знаний.

Фронтальный опрос класса:

Что понимают под логарифмическим уравнением?

Что называется корнем уравнения?

Что значит “решить уравнение”?

Какие уравнения называются равносильными?

Диктант (с последующей взаимопроверкой)

Возможные ответы: “да” — , “нет” —

В-1	В-2
Верно ли утверждение:
Равносильны ли уравнения:
Ответы:

 

На занятиях вы познакомились с  четырьмя  основными методами решения логарифмических уравнений  (таблица «Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений»):

- функционально – графический метод;

- метод потенцирования;

- метод введения новой переменной;

- метод логарифмирования.

 Выбери уравнения, соответствующие каждому виду, и, используя ключ, составь слово:

Шотландец Джон Непер впервые пришел к идее логарифмических вычислений. Термин “логарифм” означает “искусственное число”.

II. Этап закрепления  изученного. 

 

На уроке мы потренируемся  в решении этих видов уравнений, чтобы получить математические навыки решения.

 

А) Решим уравнение № 1550 (в), 1552 (а). На доске решаются уравнения 2  ученика, остальные в тетрадях, обсуждаются выбранные приемы оформления решения, допущенные ошибки. Комментируя решение сказать, что можно данное уравнения решить по определению логарифма или представив число 2 через логарифм.

Б) Решим уравнения № 1558 (а), 1559 (б). на доске решают 2 ученика.  Комментируя выбор метода решения сказать, что более рационально при решении уравнения перенести 2 слагаемое в правую часть, а не выполнять деление по свойству логарифма.

В) решим самостоятельно уравнение № 1555 (б). 1 ученик решает на переносной доске или на пленке, для проверки с помощью кодоскопа. Решение обсуждается, проверяется остальными учениками.

Г) Задания из ЕГЭ. Задания решаются учащимися самостоятельно с последующей самопроверкой ответа и показа решения через кодоскоп.

1. Найдите произведение корней уравнения 1- Lg ( х² + 1) =0

Ответы 1) - 99, 2) -9, 3) 33, 4) -33

2. Какому промежутку принадлежит корень уравнения:  Log_π ( 2х  + 3) = Log_π 1/3 - Log_π 2.

Ответы: 1) (-9; 8) 2) [-8, -6), 3) (-7, -3], 4) (-4, 0).

III. Этап подведения итогов учебного занятия.

 

Учебное занятие № 4.  Контроль за усвоением изученного материала на базовом уровне.

 

Тип учебного занятия:  урок – зачет  

Тема учебного занятия: Логарифмические уравнения.

Цель учебного занятия:

1. Формирование общеучебных умений и навыков:

-  предоставить каждому  из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме;

- осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую  атмосферу;

- совершенствовать  опыт выполнения инструкций  на математическом материале;

- совершенствовать опыт самостоятельной деятельности, соотнесения своего мнения с мнением других;

- продолжить формирование понятий равносильности и следствия, логарифма числа, умения применять свойства логарифмов при решении логарифмических уравнений;

-  совершенствовать умение выделять в объекте существенные свойства и особенности;

- совершенствовать умение выявлять общие и различающиеся свойства сравниваемых объектов;

- совершенствовать навыки самоконтроля своей работы;

- совершенствовать умение классифицировать объекты по способам решения;

- совершенствовать навыки решения системы неравенств, квадратных уравнений, вычислительные навыки.

 

2. Развивающие:

- развивать логическое мышлений;

- продолжить формирование ясного, точного, грамотного изложения своей мысли в устной и письменной речи;

- развивать умений использовать словесный, символичный, графический языки математики;

- развивать умение проводить доказательных рассуждений, аргументаций.

 

3. Воспитательные:

- способствовать овладению учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

- формирование качеств личности, необходимых для жизни в современном обществе: ясности и точности мысли, критичности, интуиции, логического мышления, способности к преодолению трудностей.

 

Оборудование:

1.      Таблица «Свойства логарифмов»

2.      Таблица «Свойства логарифмов (теорема 4)»

3.      Таблица «Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений».

4.      Кодоскоп

Ход учебного занятия.

I. Этап контроля и самоконтроля.

Учащимся предлагается самостоятельная работа по решению простейших логарифмических уравнений предлагается  на 4 варианта.

Пример составления самостоятельной работы:

II. Этап коррекции.

На стенде «Сверим решение» в конце урока вывешиваются правильные решения самостоятельной работы. Учащиеся класса проверяют и уточняют свои решения самостоятельно после сдачи тетрадей учителю.

III. Этап информации о домашнем задании.

Дома Вы продолжите тренироваться  в решении логарифмических уравнений и выполните задания: № 1550 (г), 1552 (б), 1555 (г), 1557 (г), 1558 (г), 1560 (а).

IV. Этап подведения итогов учебного занятия.

6 учащимся дается задание  заранее дома подготовит  к следующему уроку решение домашнего задания на отдельных листах и вывесить их на перемене на стенд  «Сверим решение».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное занятие № 6, 7.  Дифференцированное закрепление изученного материала. Обобщающее повторение.

 

Тип учебного занятия:  семинар – практикум (Игра «Знатоки) 

Тема учебного занятия: Логарифмические уравнения.

Цель учебного занятия:

1. Формирование общеучебных умений и навыков:

- обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме.

- совершенствовать умение выделять  при решении логарифмических уравнений существенных свойств и особенностей;

- самоконтроль учащимися своей работы;

- развитие логического мышления, математической интуиции;

- развитие творческих способностей;

- воспитание по средствам математической культуры личности;

- развитие умения преодолевать трудности при решении математических задач;

- развитие самостоятельной и культурной деятельности;

- включение своих результатов в результаты работы группы соотношения своего мнения с мнением других учеников, учебного коллектива  и мнением авторитетных источников;

 

2. Развивающие:

- развивать логическое мышлений;

- продолжить формирование ясного, точного, грамотного изложения своей мысли в устной и письменной речи;

- развивать умений использовать словесный, символичный, графический языки математики;

- развивать умение проводить доказательных рассуждений, аргументаций.

 

3. Воспитательные:

- способствовать овладению учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

- формирование качеств личности, необходимых для жизни в современном обществе: ясности и точности мысли, критичности, интуиции, логического мышления, способности к преодолению трудностей.

 

Оборудование:

Кодоскоп,  Секундомер, Магнитная доска, Кодопленки, Фломастеры, Чистые альбомные листы, Таблицы, формулы, отражающие свойства логарифмов.

Этапы учебного занятия:

1. Организационный этап.
2. Этап актуализации субъективного опыта учащихся.
3. Этап обобщения и систематизации.
4. Этап контроля и самоконтроля.
5. Этап коррекции.
6. Этап информации и домашнем задании.
7. Этап подведения итогов учебного занятия.

 

 

 Подготовка к учебному занятию.

Вопросы к уроку выписываются заранее, чтобы у ребят было больше времени на подготовку, так как некоторые задания сложнее, чем в учебнике и нужны для тех, кто готовиться сдавать математику в вуз. Вопросы и задания к семинару даются в двух вариантах А и Б, так чтобы каждой их двух команд вопросы давались равноценными по сложности.

Вопросы к семинару:

Вопросы к семинару.

1. Какие основные методы решения логарифмических уравнений вам известны?
2. Сформулируйте свойства логарифмов.
3. Использование, каких свойств логарифмов приводит к появлению посторонних корней при решении логарифмического уравнения, потери корней?
4. какие уравнения называются равносильными?
5. Решить уравнения:

а) log₂  (х²-3х+10) = 3

б) log₃  (3х-5) = ) log₃  (х+3)

6. Решить уравнения:

а)  lgх – lg11= lg19 – lg (30-x) 

б)  log  log_x-1  4=2

7. решить уравнения:

а) lg² x – 3lgx = lg (x²) - 4

б) log₂ ²x + 2 log₂ √x – 2 = 4

8. . Решить уравнения:

а) x^{(2 lg3 x – 1?5 lgx)}= √10

б) √x ^log₅ ^x-1= 5

9. . Решить уравнения:

а)(100x)^lgx = x³

б)(0,1 x)^lgХ= 1000x

Запишите сумму корней.

10. Решите уравнение.

Ход учебного занятия.

Класс делится на  две партии, в каждой «ячейки» из 5, 6 учащихся (для активизации работы учащихся).

1. Повторить свойства логарифмической функции, способы решения логарифмических уравнений.

Оформление: на доске записано «Игра «Знатоки»», по теме «Логарифмические уравнения».

      На доске вывешиваются вопросы, по которым шла подготовка к семинару. На отдельной доске записываются счет – баллы, которые будут получать команды.

 

      Геймы.

1. «Разминка»   2.  «Гонки за лидером»  3.  «Спешите видеть»   4. «Невидимка»  5. «Вперед к финалу»

1 гейм.

Разминка.

            Каждая «ячейка» партии получает кроссворд наполовину шуточный. Та партия, которая быстрее разгадает все шесть слов, получает 1 балл.

Кроссворд «Настроение для учения».

			6	1					5		4
2
	3

 

По вертикали:  1. Число основных методов решения логарифмических уравнений                         по учебнику А. Г. Мордковича.

                              Записать методы на пленке.

(Кто-то из учащихся заполняет кроссворд, кто-то сокращено пишет на пленке названия методов)

4. Проверка учеников на выживание.

5. Есть у любого слова, у растения, и может быть у уравнения.

По горизонтали:  2. Уравнение x^{1 – log}₅^x = 0,04 решается методом……

3. исчезающая разновидность учеников.

6. Необходим в конце каждого уравнения.

      Во время разгадывания кроссворда учитель готовит пленку с дополнением для показа через кодоскоп. Затем подчеркивает, что на сегодняшнем уроке внимание будет уделено методам решения логарифмических уравнений по определения потенцирование, логарифмирование, подстановки, перехода к одному основанию.

 

      2 гейм.

Гонка за лидером.

      В коробке лежат карточки с номерами вопросов.    Вопросы из тех что вывешены на доске. ответы учитель заготавливает заранее на местах, которые помещаются на магнитную доску по мере проверки, на случай, если будут допущены ошибки.  Лидеры команд по очереди достают карточку с номером вопроса, одна «партия» отвечает на вопросы А, другая на вопрос Б. За каждый правильный ответ – 1 балл. Время для обдумывания 1-2 минуты, где требуется решение – 3 минуты, чтобы партия успела записать решение на альбомном листе и повесить его на магнитную доску.

 

3 гейм.

Спешите видеть.

      Команды обмениваются карточками или составленными, после решения объясняют у доски по одному от партии

Решить уравнения

А) x^lgx= x¹⁰⁰

           Lgx^lgx= lgx¹⁰⁰

Lgx (lgx - 100) = 0

Lgx=0, x=10¹⁰⁰

x = 1

Проверка.

1⁰=1¹⁰⁰, 10¹⁰⁰=10¹⁰⁰

Ответ: 1, 10¹⁰⁰

 

А)  lg √75 + 5√x-1=1

ОДЗ x ≥ 1

√75 + 5√x-1= 10

5√x-1=25

√x-1=5

X=26

Ответ: 26

Б) lg10 + 1/3 lg(271+3^√2x)=2

lg(271+3^√2x)=3

271+3^√2x=100

3^√2x=729

3^√2x= 3⁶

√2x=6, 2x=36,  x=18

Проверка.

lg10 + 1/3 lg(271+3^√2x)=2, 2=2

Ответ: 18

Б) 4 –lgx=3√lgx

ОДЗ{x > 0, x ≥ 1

         Lgx ≥ 0

√lgx = t, lgx = t²

t² + 3t – 4=0

t₁ = -4, t₂ = 1

√lgx = -4 – нет решений

√lgx=1,lgx=1,x=10

На каждый пример отвести 3 минуты, за правильно решенные примеры – 1 балл.

4 гейм.

Невидимка.

При каких а уравнения  имеют единственное решение.

А) 2 lg (x+1) = lg(аx)

Решение:      (х+1)² = ах,       х² + 2х + 1 – ах = 0,       х² + х (2-а) + 1 = 0

                      х+1> 0,               х > -1,                             х > -1,                              

1 случай: Д=0, а=0, а=4; х=-3/2, х=1 Итак а=4

2 случай: уравнение f (х) =0, где f (х) = х² + х (2-а) + 1 имеет два корня, удовлетворяющие двойному неравенству х₁ < -1 < х₂    f (-1)  < 0, а < 0 Ответ: а < 0, а = 4

 

Б) 2 lg (x+4) = lg(аx)

Решение:      (х+4)² = ах,       х² + 8х + 16 – ах = 0,       х² + х (8-а) + 16 = 0

                      х+4> 0,               х > -4,                             х > -4,                              

1 случай: уравнение имеет 1 корень Д=0, а=0, а=16; х=4, х=-4 Итак а=16

2 случай: уравнение f (х) =0, где f (х) = х² + х (8-а) + 16 имеет два корня, удовлетворяющие двойному неравенству х₁ < -4 < х₂    f (-4)  < 0, а < 0 Ответ: а < 0, а = 16

 

5 гейм.

Вперед к финишу.

             Учитель раздает карточки с текстом, содержащим уравнения всех видов; проверка осуществляется  по ходу решения учителем. Варианты ответов записаны под условием каждого примера.

А) Решите уравнение

1. log₅ (х+1) = log₅ (4х+5)

1)                     2)                    3)                    4)

2. log₃ (х²+4х +12) =  2

1)                     2)                    3)                    4)

3. 4 - lg х = 3 √lgx

1)                     2)                    3)                    4)

4. log₉ (9х) *  log_х (√3 ) = log_1/4  (√2 )

1)                     2)                    3)                    4)

5. x ^{log ( x – 3)}= 4

1)         2            2)        5            3)       3             4)  -5

6. Укажите наибольший корень. Log_х  125х  * log₂₅ ²х = 1

1)     5                2)         16           3)        0,0016            4) 0,5

Б)  Решите уравнение

1. log₃ х +  log₃ (х+1) = 1 + log₃  2

1)             1        2)               2     3)               3     4) нет верного ответа

2. log₃  х (х-2) =  1

1)            3, -1         2)          -1, -3          3)      -3, 1              4) нет верного ответа

3. Укажите наибольший корень. Lg² х² -  3lg х² =4

1)         -100            2)      √0,1           3)    10                4)100

4. Log_х  8  * log_0,5 0,5х = Log    1/27

 

1)           2 √2         2)    1/8                3)       1/4             4) 4

5.  x ^{log   ( x – 2)}= 9

1)             2        2)          4          3)         5           4)  -5

6. Укажите наименьший корень. √ log₃ х⁹ – 4 log₉  √3х = 1

1)        81             2)          3          3)        9            4) 19

Ответы:

№	1	2	3	4	5	6
А)				2	2	1
Б)	1	1		4	3	2

 

Игра закончена. Подводиться итог, подсчитываются баллы у каждой команды. Партия победитель получает отличные оценки, остальные по вкладу активности и труд.

Домашнее задание № из учебника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное занятие № 8.  Контроль изученного материала.

 

Тип учебного занятия:  урок – трехуровневый зачет  

Тема учебного занятия: Логарифмические уравнения.

Цель учебного занятия:

1.      Формирование общеучебных умений и навыков:

-совершенствование умения выделять в объекте существенные свойства и особенности;

-развитие логического мышления и интуиции;

-совершенствование опыта систематизации полученной  информации;

-умение использовать приобретенные знания в практической деятельности;

-выявление знаний учащихся и степени усвоения ими материала;

- воспитание средствами математической культуры личности

-формирование качеств личности необходимых человеку в современном обществе, ясности и точности мысли, интуиции логического мышления, способности преодоления трудностей.

 

2.      Развивающие:

- развивать логическое мышлений;

- продолжить формирование ясного, точного, грамотного изложения своей мысли в устной и письменной речи;

- развивать умений использовать словесный, символичный, графический языки математики;

- развивать умение проводить доказательных рассуждений, аргументаций.

 

3.      Воспитательные:

- способствовать овладению учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

- формирование качеств личности, необходимых для жизни в современном обществе: ясности и точности мысли, критичности, интуиции, логического мышления, способности к преодолению трудностей.

 

Ход учебного занятия.

I.                   Организационный  этап.

Сообщить тему урока, основные требования к работе, оформлению и решению задач, нормы оценки данной работы.

II. Этап контроля и самоконтроля.

Каждый из учащихся может сам проверить свой уровень подготовки к ЕГЭ по данной теме. Ученикам предлагается тест, содержащий задания трех уровней сложности и бланк для ответов.

Вариант1

Часть 1

А 1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) ; 2) [15; 18]; 3) ; 4) (-16,5; 16,5)

А2. Найдите корень уравнения

1) 6; 2) -3; 3) -6; 4) 3

А3. Найдите произведение корней уравнения

1) 13 2) -36 3) 32 4) 9

Часть 2

В 1. Найдите целые корни уравнения

Часть 3

С 1. Решите уравнение

Вариант 2

Часть1

А 1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) ; 2) ; 3) ; 4)

А 2. Найдите наибольший корень уравнения

1) -7; 2) -3; 3) 7; 4) 3

А3. Найдите произведение корней уравнения

1) 1000; 2) 0.1; 3)100; 4)10

Часть 2

В 1. Найдите сумму корней уравнения

Часть 3

С 1. Решите уравнение

Вариант 3

Часть 1

А 1. Решите уравнение

1) 29; 2) 7; 3) 25; 4) 11

А 2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) ; 2) [0; 1]; 3) ; 4)

А3. Найдите сумму корней уравнения

1) ; 2) ; 3) 25; 4)

Часть 2

В 1. Напишите целые корни уравнения

Часть 3

С 2. Найдите произведение корней уравнения

Вариант 4

Часть 1

А 1. Решите уравнение

1) 6,5; 2) ; 3) ; 4) 5,5

А 2. Найдите корень уравнения

1)7; 2) -7; 3) 0; 4)

А3. Найдите сумму корней уравнения

1) 27; 2) ; 3) ; 4)

Часть 2

В 1. Решите уравнение

Часть 3

С 2. Найдите произведение корней уравнения

 

 

Бланк ответов

Ответы к тестам:

Вариант Задания	А1	А2	А3	В1	С1
1	2	1	3	4	4
2	4	4	1	12	-2
3	3	2	4	49	1
4	4	1	2	16	1

Одновременно учитель работает индивидуально с учениками по разноуровневым карточкам.

Индивидуальная работа.

Заполни пропуски.

III.  Этап информации о домашнем задании.

Повторить свойства логарифмов, решение логарифмических уравнений п. 50 и 51.

IV. Этап подведения итогов учебного занятия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное занятие № 9.  Анализ контрольной работы.

 

Тип учебного занятия занятие – коррекция 

Тема учебного занятия: Логарифмические уравнения.

Цель учебного занятия:

4.      Формирование общеучебных умений и навыков:

- скорректировать у учащихся умения, навыки решения логарифмических уравнений,

- совершенствовать умение анализировать допущенные ошибки

5.      Развивающие:

- развивать логическое мышлений;

- продолжить формирование ясного, точного, грамотного изложения своей мысли в устной и письменной речи;

- развивать умений использовать словесный, символичный, графический языки математики;

- развивать умение проводить доказательных рассуждений, аргументаций.

 

6.      Воспитательные:

- способствовать овладению учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

- формирование качеств личности, необходимых для жизни в современном обществе: ясности и точности мысли, критичности, интуиции, логического мышления, способности к преодолению трудностей.

Оборудование: кодоскоп

 

Ход учебного занятия.

I. Этап коррекции.

1. Учащиеся предложен подробный разбор аналогичного варианта контрольной работы (проецируется на доску)   подробно разбираются решение каждой задачи, грамотное  оформление части С.
2. Учащиеся самостоятельно выполняют работу над ошибками (получая индивидуальную консультацию учителя).