- 28.11.2020
- 10223
- 479
ФГБОУ ВО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева»
Физико-математический факультет
Кафедра информатики и вычислительной техники
Дисциплина «Визуализация решений математических задач»
Реферат по теме:
Линейные математические модели в системах компьютерной математики
Выполнил: студент группы МДМ-115 П.В.Михайлов
Проверил: доцент кафедры информатики и ВТ Т.В. Кормилицына
Саранск, 2017
1. Математическое моделирование решения системы линейных алгебраических уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений являются одним из основных объектов линейной алгебры, а теория систем линейных алгебраических уравнений широко применяется во всех разделах аналитической геометрии, т.к. эти системы описывают весьма важные для геометрии линейные образы (плоскости и прямые).
Рассмотрим решение системы линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система из m линейных уравнений относительно n неизвестных:
где A – основная матрица системы, B – матрица-столбец свободных членов, X – матрица-столбец неизвестных:
В пакете LinearAlgebra существует про-граммная процедура решения системы (1), одна-ко она неудобна тем, что представляет решение в малопонятной Российскому студенту форме. По-этому создадим собственную программную про-цедуру SolLin в библиотеке Algebra, позво-ляющую находить решение системы (1) в удоб-ном виде:
>Algebra[SolLin]:=proc(Eqs) local n,m,A,B1,B,F,k1,k2: n:=LinearAlgebra[ColumnDimension](convert(Eqs, Matrix)): A:=convert([seq([coeffs(lhs(Eqs[i]))],i=1..n)],Matri x): m:=LinearAlgebra[RowDimension](A): B1:=seq(rhs(Eqs[i]),i=1..n):
B:=Vector([B1]):
F:=convert([seq([coeffs(lhs(Eqs[i])),rhs(Eqs[i])],i= 1..n)],Matrix):k1:=linalg[rank](A):k2:=linalg[rank ](F):
if k1=k2 then LinearAlgebra[LinearSolve](A,B,free='C'): else
("Система не совместна"): end if: end proc:
и сохраним созданную процедуру в библиотеке
Algebra, файле Alg.m : >save(Algebra,`Alg.m`):.
Для исполнения этой процедуры необходимо вызвать созданную библиотеку из любой рабо-чей тетради Maple, имеющей собственное имя:
>read "\Path\Alg.m": with(Algebra):
Покажем пример решения системы уравнений с помощью созданной процедуры:
>SolLin([x-y+z-u=3,x+y=2,2*x-2*y+2*z-2*u=6,x-y-z-u=1]);
2. Математическое моделирование трехмерных линейных объектов
2.1. Алгебраический этап моделирования Системы линейных алгебраических уравнений имеет адекватную геометрическую интерпретацию (см., например, [1]): каждое линейное алгебраическое уравнение в n-мерном пространстве определяет гиперплоскость, а система линейных алгебраических уравнений определяет взаимное расположение этих гиперплоскостей. Если система уравнений не имеет решения, то гиперплоскости не пересекаются, т.е. параллельны, в случае существования решения гиперплоскости пересекаются по k-мерным плоскостям, включая 1-мерные (прямые) и 0-мерные (точки).
В случае трехмерных пространств, которые важны для общего среднего и нематематического высшего образования, число различных типов взаимного расположения плоскостей или прямых значительно сокращается.
Как известно (см., например, [1]), прямая в евклидовом пространстве E3 определяется опор-ной точкой М0 и ненулевым направляющим вектором q ≠ 0, как геометрическое место точек
где параметр λ принимает значения на всем множестве действительных чисел \ . Плоскость в евклидовом пространстве также определяется опорной точкой М0 и ненулевым нормальным вектором N ≠ 0, как геометрическое место
Соответственно этим определениям, при за-данном декартовом репере R{O, e1,e2,e3}, где ei
векторы ортонормированного базиса:
прямая d(M0,q) описывается параметрическими (или каноническими) уравнениями:
где, xi q i xi - координаты опорной точки M0, направляющего вектора q, и текущей точки пря-мой M, соответственно. Плоскость же в евклидо-вом пространстве E3 описывается общим уравне-нием:
|
где Ai – |
координаты нормального вектора |
N = ( A, B , C) .
При построении математических моделей линейных объектов в трехмерном евклидовом пространстве принципиально важными являются три теоремы (см. [1] и более подробно [2]):
Теорема 1. Две прямые, d(M1,q1) и d(M2,q2), в евклидовом пространстве E3:
1. пересекаются в единственной точке при условии:
Фактически уравнения (2), (3) и перечисленные три теоремы с алгебраической точки зрения полностью описывают задачу о взаимном расположении линейных объектов1. Однако, с геомет рической точки зрения задача о взаимном расположении линейных объектов еще далеко не завершена.
|
|
2.2. Геометрический этап моделировании
При получении ответа о реализации одного из перечисленных типов взаимного расположения линейных объектов в теоремах 1-3 (4 типа для прямых, 3 – для плоскостей и 3 – для плоскостей и прямых) необходимо далее решить конкретную геометрическую задачу.
Такими задачами являются:
1. нахождение координат точки пересечения прямых
2. вычисление угла между прямыми
3. вычисление расстояния между параллельными прямыми
4. нахождение угла между скрещивающимися прямыми
5. нахождение прямой пересечения плоскостей
6. вычисление угла между плоскостями
7. вычисление расстояния между параллельными плоскостями
8. нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости
9. вычисление угла между прямой и плоскостью
10. вычисление расстояния между параллельными прямой и плоскостью
Решение каждой из перечисленных выше стандартных геометрических задач обеспечивается рядом определений и алгоритмов, которые дополняют математическую модель и позволяют дать ей четкую геометрическую интерпретацию.
Приведем пример моделирования взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве в случае их взаимного пересечения (Рис.1). На этом рисунке показано определение угла α между прямой d и плоскостью П как угла между прямой d и ее ортогональной проекцией d1 на плоскость П, при этом численное значение угла
Список литературы:
Атанасян Л.С., Базылев В.Т.. Геометрия. – М.: ские чтения – 2009". – Казань: Казан. матем. об-
Просвещение, 1987. – Ч.I. – 352 с. во, 2009. – Т.39. – 417 с.
2. Игнатьев Ю.Г. Курс лекций по аналитической 7. Самигуллина А.Р. Создание компьютерных
|
|
геометрии. – Казань: Изд-во НИЛИТМО, ТГГПУ, |
средств сопровождения курса линейной алгебры |
|
|
2005. – Ч.I, II. – 124 с. |
и аналитической геометрии для нематематиче- |
|
3. |
Дьяконов В.. Maple 7. Учеб. курс. – СПб.: Питер, |
ских факультетов с помощью СКМ Maple. Систе- |
|
|
2002. – 672 c. |
мы компьютерной математики и их приложения: |
|
4. |
Проблемы информационных технологий в мате- |
материалы международной конференции. – Смо- |
|
|
матическом образовании: учеб. пособ. / Под ред. |
ленск: СмолГу, 2009. – Вып.10. – 303 с. |
|
|
Ю.Г. гнатьева. – Казань: ТГППУ, 2005. – 118 c. |
8. Игнатьев Ю.Г., Самигуллина А.Р.. Библиотека |
|
5. |
Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей |
программных графических процедур по курсу ал- |
|
|
математики и механики. – СПб: БХВ-Петербург, |
гебры и аналитической геометрии в пакете Maple. |
|
|
2001. – 528 с. |
Системы компьютерной математики и их прило- |
|
6. |
Игнатьев Ю.Г., Самигуллина А.Р. Библиотеки |
жения: материалы XI международной научной |
|
|
пользовательских программных процедур для ме- |
конференции, посвященной 70-летию профессора |
|
|
тодического сопровождения курса высшей мате- |
В.П.Дьяконова. – Смоленск: СмолГу, 2010. – |
|
|
матики. Труды Математического центра имени |
Вып.11. – 342 с. |
|
|
Н.И.Лобачевского: Материалы Восьмой моло- |
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Как известно, линейная алгебра и аналитическая геометрия традиционно тесно связаны меж-ду собой, что вызвано как историческими корня-ми этих разделов математики, так и определяю-щей зависимостью структур аналитической геометрии структурами и методами линейной алгебры. Особенно тесно эта связь проявляется в области векторной алгебры. В свою очередь все наглядные интерпретации алгебраической структуры векторных пространств фактически являются геометрическими. Проблема обеспечения наглядности этих структур играет важную роль в высшем образовании, т. к. усвоение фундаментальных геометрических понятий подготавливает основу для понимания процесса математического моделирования и овладения методами компьютерного моделирования, что в свою очередь, создает предпосылки для инновационного развития современного образования.
6 653 528 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Крыуленко Лилия Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.