Вариант №2
Задача №1
Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе:
|
Вес упаковки (гр.) |
Менее 975 |
975-1000 |
1000-1025 |
1025-1050 |
Более 1050 |
Всего |
|
Число упаковок |
6 |
38 |
44 |
34 |
8 |
130 |
Найти:
А) границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии;
Б) вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине)
В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Решение.
Находим
выборочную среднюю 
.
Примечание: В случае незамкнутых интервалов, они заменяются на интервалы той же длины, что и остальные интервалы выборки.
(962,5*6+987,5*38+1012,5*44+1037,5*34+1062,5*8)=1012,5
Находим
выборочную дисперсию 
=
615,3846
Находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли:
- для бесповторной выборки
Здесь w – выборочная доля деталей в выборке, вес которых меньше 1000 г.
= 0,3385
N – объем генеральной совокупности (в нашем случае – 2000)
0,04013
Находим доверительную вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине)
Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии.
По
таблицам значений функции Лапласа находим: Ф(t)=0,9901
2,58
Интервальные оценки для средней находятся по формулам:
Получаем :
=
Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Объем бесповторной выборки определяется по формуле:
Ответ:
А) границы, в
которых с вероятностью 0,9901 заключен средний вес упаковок в партии: 
Б) вероятность того, что доля упаковок, вес которых менее 1000 г, во всей партии отличается от доли таких упаковок в выборке не более чем 0,05 (по абсолютной величине) равна 0,7887
В) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего веса упаковок во всей партии можно гарантировать с вероятностью 0,95 равен 77.
Задача №2
Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе:
|
Вес упаковки (гр.) |
Менее 975 |
975-1000 |
1000-1025 |
1025-1050 |
Более 1050 |
Всего |
|
Число упаковок |
6 |
38 |
44 |
34 |
8 |
130 |
Требуется используя
критерий 
Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – вес
упаковок – распределена по нормальному закону. Построить на одном графике
гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение.
Используем данные, полученные в предыдущем задании:
1012,5
= 615,3846
Примечание: В принципе в качестве дисперсии нормального закона
распределения следует взять исправленную выборочную дисперсию. Но т.к.
количество наблюдений – 130 достаточно велико, то подойдет и “обычная” .
Таким образом, теоретическое нормальное распределение имеет вид:
подставляем а = 1012,5 
= 615,3846 
24,8069
Для расчета вероятностей pi попадания случайной величины в интервал [xi ; xi+1] используем функцию Лапласа:
в нашем случае получаем:
Примечание: Такие симметричные вероятности получились из-за того, что по нашим начальным условиям выборочная средняя попала точно в середину среднего интервала выборки.
Составим таблицу:
|
i |
Интервал[xi ; xi+1] |
Эмпирические частоты ni |
Вероятности pi |
Теоретические частоты npi |
(ni-npi)2 |
|
|
1 |
Менее 975 |
6 |
0,0597 |
7,761 |
3,101 |
0,3996 |
|
2 |
975-1000 |
38 |
0,2431 |
31,603 |
40,922 |
1,2949 |
|
3 |
1000-1025 |
44 |
0,3829 |
49,777 |
33,374 |
0,6705 |
|
4 |
1025-1050 |
34 |
0,2431 |
31,603 |
5,746 |
0,1818 |
|
5 |
Более 1050 |
8 |
0,0597 |
7,761 |
0,057 |
0,0073 |
|
|
|
130 |
0,9885 |
128,5 |
|
|
Итого,
значение статистики 
.
Определим
количество степеней свободы по формуле: 
.
m – число интервалов (m = 5)
r – число параметров закона распределения (в нормальном распределении r = 2)
Т.е. k = 2.
Соответствующее
критическое значение статистики 
Поскольку 
, гипотеза о нормальном
распределении с параметрами
N(1012,5; 615,3846) согласуется с опытными данными.
Ниже показана гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая.
Задача №3
Распределение 50 компаний по ежемесячным затратам на рекламу Х (тыс.руб) и объему выручки от продаж Y (млн.руб) представлено в таблице:
Необходимо:
1.
Вычислить групповые средние 
и 
и построить эмпирические линии
регрессии.
2. предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;
б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний объем выручки от продаж при ежемесячных затратах на рекламу в размере 2,4 тыс.руб
Решение.
Находим групповые средние по формулам:
; 
;
, 
- середины соответствующих
интервалов.
= 
=
Групповые средние:
Полученные по формулам значения заносим в таблицу:
Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы:
2.1*6+2.3*10+2.5*16+2.7*11+2.9*7 =
30*2+34*5+38*11+42*14+46*12+50*6 =
= 5295,6
Получаем искомые уравнения регрессии:
Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией
Находим
коэффициент корреляции 
радикал берем со
знаком + , т.к коэффициенты 
и 
положительны.
Оценим значимость коэффициента корреляции.
По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим
Т.к. 
, то коэффициент
корреляции значимо отличается от нуля. Связь тесная и прямая.
По найденному уравнению регрессии находим:
млн.руб
Ответ: Групповые средние:
Уравнения регрессии:
Коэффициент корреляции:
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Целью данной работы является практическое закрепление знаний о понятиях математической статистики.
Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).
6 663 944 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Фадеева Наталья Олеговна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.