Введение в теорию систем счисления. Представление информации в ЭВМ.

Определение.

Система счисления – способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков – цифр.

История чисел.

Арифметика каменного века – глиняные фигурки.

Числа начинают получать имена (20-25 тыс лет назад)

Сахалин (нивхи) – одно число называется по-разному в зависимости от формы.

Общие названия чисел. Сначала только 1 и 2. 1-Сонце, 2 – крылья, уши, 1 – я, 2 – ты.

Много.

Новая Гвинея – 1 – урапун, 2 – окоза., 3 – урапун-окоза, 4 – окоза – окоза, после 6 – много. Мы говорим похоже – триста, пятьсот.

Тройка. Раньше вместо 3 говорили – много, отсюда – «Обещанного 3 года ждут», «Я тебе 3 раза должна повторять», «3-девять земель». ПРИДУМАТЬ САМИМ примеры на число 3: 3 богатыря, 3 царства, 3 сына, 3 головы, 3 царства - небесное, земное, подземное, 3 раза перекрестился, сплюнуть 3 раза.

Четверка – после нее менялся падеж.

Пять. Количество пальцев., Русский – пять=пясть.

Семь. Семеро одного не ждут, семь раз отмерь – один раз отрежь, Семь бед – один ответ.

Десять – десять пальцев.

Сорок – сороконожка, 40 дней был потоп, сорок сороков, в пуде 40 фунтов, в бочке 40 ведер.

Шестьдесят - у шумеров и вавилонян и у греков. 60 минут, секунд.

Тьма. 1000 – 5-7 тыс лет назад

Счет десятками.

Счет связан с пальцами на древнегреческом – считать=пятерить, дюйм, пядь, локоть

Миклухо-Маклай в Новой Гвинее объяснял когда придет «Витязь». 3 пальца первого человека, 4 пальца второго человека, 2 пальца третьего=342

Вместо пальца второго человека – говорим десять (дцать). Двадцать, семьдесят., т.е. считаем десятками.

Вместо пальца третьего человека – говорим сто.

12-ричная система и 20-ричная.

Дюжина, гросс – дюжина дюжин.

Сервизы, 12 богов у греков, 12 подвигов Геракла, Гулливер в 12 раз больше, 12 месяцев, в фунте 12 унций, в футе 12 дюймов.

Суставы – шумеры.

Возврат к двоичной системе счисления.

Изображения чисел.

Сперва не умели писать.

5 тыс лет назад догадались, что можно одним значком обозначить сразу много предметов.

Египет - -единица, -десяток, - сто, - тысяча (лотос), - десять тысяч_, - сто тысяч, –миллион (ЭТО БЫЛА НЕПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА).

Россия – буквы+титло. Первые 9 букв – единицы, потом – десятки, последние - сотни.

Рим – I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Арабы – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Непозиционные системы счисления.

Римская форма записи чисел использует значки.

Число обозначается набором стоящих подряд знаков, с учетом сложения и вычитания. Если меньшее стоит перед большим, то оно вычитается из него, если после большего – то складывается. Например, IV, VI, IX, XI, XIX, XXI.

Позиционные системы счисления.

Первая позиционная система появилась в Вавилоне.

Значение цифры зависит от ее места (позиции в числе).

Это стало возможно, благодаря открытию нуля. Все пользовались позиционными системами счисления, но для обозначения новых разрядов нужны новые картинки. Архимед мог называть, но обозначать не умел.

Первый нуль придумали вавилоняне 2 тысячи лет назад, но они обозначали только пропущенные числа в середине.

В Индии 1,5 тысячи лет назад додумались писать нули в конце числа.

В нашей стране нуль известен всего лишь с 18 века.

Рассмотрим числа 135, 315, 531.

Как идет счет?

Десятками

0, 2, 3, ……9 все, кончилось, теперь еще одна цифра – новый разряд – 10, теперь крайняя правая цифра обозначает единицы, а левая – десятки.

Опять считаем – 97, 98, 99, все, дальше 100.

Значит, каждое последующая цифра обозначает новый разряд – десятки, сотни, тысячи и т.д.,

135 = 1*100+3*10+5 = 1*10+3*10+5*10

Пронумеруем каждую цифру, начиная с нуля справа налево. Эти номера совпадают с разрядами.

10 основание системы счисления – количество различных знаков, которые используются для изображения цифр.

135,6= 1*100+3*10+5+6*0,1

Пятерками

Числа 0, 1, 2, 4. Все кончились числа. Значит, добавляем впереди цифру, которая теперь считает количество пятерок. 11=1 пятерка и 1 единица. Всего – 6. 1 пятерка, 2-я пятерка, 3-я пятерка, 4-я пятерка, 5-я пятерка, кончились цифры, получилось 25, значит добавляем еще одну цифру впереди. 234= 2 двадцатипятерки, 3 пятреки и 4 единицы=69.

Двойками.

Числа 0, 1. Все кончились. Теперь добавляем впереди цифру. 10 и 11. 10 – одна двойка и ноль единиц, 11=1 двойка и 1 единица. Кончились цифры. Добавляем вереди 1. 100 и т.д.

Единая формула представления числа в позиционной системе счисления

,

где m – основание системы счисления

Принцип хранения информации в компьютере

По иронии судьбы все элементные составляющие ЭВМ имеют всего 2 устойчивые составляющие – диод открыт-закрыт, триггер-открыт-закрыт, магнитный домен на дискете – повернут-развернут, свет от лазерной поверхности отражается-не отражается и т.д. Получается единый принцип представления информации в компьютере – последовательность сменяющих друг друга двоичных состояний «да-нет».

Эти состояния для людей проще описывать единицей и нулем. Можно было бы договориться и кодировать информацию буквами «А-Б», но, договорились кодировать нулем и единицей. На самом деле никаких нулей и единиц в компьютере нет, есть напряжение больше и меньше, есть отсутствие или наличие сигнала и тому подобное.

Информация бывает текстовой, графической, звуковой, тактильной, обонятельной. Мы используем компьютер для обработки информации любой, кроме обонятельной.

Любую информацию можно изобразить некими символами. Например, текстовая – буквы, музыка – ноты. А также знаки дорожного движения, сигналы флажками, красный цвет светофора и прочее.

Но помним, что компьютер может работать только с двумя символами - 0 и 1. Значит, придется придумывать правила записи различной информации с помощью двух составляющих. Например, азбука Морзе – точка, тире. Так и придумали со временем различные алгоритмы оцифровки текста, звука, графики и осязательной информации.

И теперь мы можем с помощью единицы и нуля представить любую информацию. А значит, мы можем различной природы информацию хранить и обрабатывать в одном устройстве. Так на диске можно иметь и рисунки и музыку. И в ОЗУ попадет тоже последовательность единиц и нулей. А чтобы правильно обработать эту последовательность, нужны соответствующие программы, которые по разному будут воспринимать цепочку из ноликов и единичек.

Лучшая ли двоичная система? Чем больше основание системы счисления, тем меньше требуется число разрядов для представления числа, а значит для его передачи и хранения (на диск больше влезет). Однако с ростом основания повышаются требования к аппаратуре создания и распознавания символов, логические элементы должны иметь больше устойчивых состояний. Поэтому целесообразно выбрать систему счисления, обеспечивающую минимум произведения основания системы счисления и количества разрядов. Обычно берут большое число, например, 60 000 и записывают в различных системах счисления, подсчитывая m и l.

m

l

m*l

1

60000

60000

2

16

32

3

10

30

4

8

32

8

6

48

10

5

50

16

4

64

60000

1

60000

Как видно лучшая система троичная. С точки зрения физической реализации мы не можем сейчас использовать троичную систему.

Количество информации

Теория

Объем файлов приятно измерять в битах. Почему?

На самом деле в битах измеряется не объем файлов, а количество информации.

Вообще-то принято количество информации измерять по степени изменения тезауруса приемника.

Но возможны варианты: приемник не воспринимает информацию, т.к. тезаурус его слишком мал, приемник воспринимает информацию, приемник не нуждается в информации.

В 1948 году Клод Шеннон вел математическое понятие количества информации. Идея такова: информация устраняет неопределенность, а неопределенность поддается измерению. Идеализированную модель неопределенной ситуации называют опытом.

Например, опыт. Пусть в урне 1 шар. Исход опыта заранее предопределен, опыт неинформативен, количество информации=0. Если в урне два шара – черный и белый. Исходы опыта равновероятны и равны=1/2. При изымании информации неопределенность снимется вообще. При увеличении количества исходов опыта, степень неопределенности возрастает, а значит возрастает количество информации о наступлении исхода.

Значит, численная мера неопределенности пропорциональна количеству возможных исходов опыта. Значит, можно было бы написать I=n, где n- количество исходов. Но при n=1, I=0, значит,

I=log n – мера информации.

Определение – за единицу информации принимают количество информации, заключенной в выборе одного из двух равновероятных событий, т.е. при сужении неопределенности вдвое.

Значит, при n=2, I=1, отсюда формула Хартли:

Ввообще то полная формула такая

Единица информации называется двоичной единицей или битом (binary digit-bit)

Бит не единственная единица информации. При количестве исходов=10, мы получаем дит. 1дит=3,32 бит, 1 нит=1,44 бит (число e).

Применение в ЭВМ

Как это все может быть приложено к проблемам обработки информации на ЭВМ?

Сообщение фиксируется как последовательность слов, составленных из символов (знаков алфавита).

Появление каждого символа равносильно исходу опыта, состоящего в случайном выборе символа из алфавита.

Для русского языка на 1 знак сообщения приходится 1,21 бит (вспомним, чтовASCII – 8 бит), в немецком – 1,6 бит.

В технических системах в алфавите всего 2 символа. Поэтому на каждый символ приходится 1 бит информации.

Так фатально сложилось, что теория информации (информатики), придуманная гораздо раньше ЭВМ нашла свое блестящее применение и подтверждение в вычислительных системах. Просто так сложилось, что единица информации оказалась пригодной напрямую для измерения объемов информации, хранящейся на электронных носителях.