Конспект урока по теме «Системы счисления. Непозиционные и позиционные
системы счисления. Перевод целых и дробных чисел из n-ой в 10-ую систему
счисления» для 10 (профильного) класса.
Цели урока:
-
Образовательная: рассмотреть
историю систем счисления, деление на позиционные и непозиционные, дать понятие
системы счисления, ее алфавита и основания, дать формулу развернутой записи
числа, научить переводить целые и дробные числа из n-ой системы счисления в
десятичную;
-
Воспитательная: способствовать
воспитанию понимания значения чисел в истории человечества;
-
Развивающая: способствовать
развитию кругозора, развитию аналитического мышления и навыков обработки
информации.
Тип урока: Изучение
новых знаний.
Формы и методы работы:
Лекция, эвристическая беседа, программированный метод.
Материально-техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, доска, презентация, выполненная в MS Power Point.
План урока:
1. Организация начала урока.
2. Изучение нового материала.
3. Закрепление знаний.
4. Подведение итогов урока.
5. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организация начала урока.
Организационный момент.
Приветствие. Сообщение темы, цели и плана урока.
2. Изучение нового материала.
Мы с вами сегодня попытаемся
раскрыть историю возникновения чисел и углубиться в мир систем счисления.
Давайте проанализируем запись
числа с использованием арабских цифр, например, 111 и запись числа с
использованием римских цифр, например III. «Чем отличается принцип получения
значения многоразрядных чисел, записанных арабскими и римскими цифрами?»
Итак, и в том и в другом
способе записи числа используют определенные цифры и имеются правила, которые
позволяют понять значение числа по их записи, позволяют выполнять операции с
числами.
Давайте запишем определение:
Система счисления – это способ
представления чисел с помощью цифр и соответствующие правила действия над
числами.
Однако в римском способе
записи чисел значение цифры не зависит от ее позиции, а в арабском - зависит. Вспоминаем,
что же такое непозиционная и позиционная системы счисления? В непозиционной
системе счисления значение цифры не зависит от ее позиции. В позиционной
системе счисления значение цифры зависит от ее позиции.
Самой распространенной из
непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр используются
буквы:
I
|
V
|
X
|
L
|
С
|
D
|
M
|
1
|
5
|
10
|
50
|
100
|
500
|
1000
|
Значение цифры не зависит от
ее положения в числе. Величина числа в римской системе счисления определяется
как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей,
то она вычитается, если справа – прибавляется.
В числе XXX цифра X встречается
трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – 10. Так как
величина используемой цифры одинакова, то получаем: XXX= 10+10+10=30.
В числе VII использованы цифры
V,I,I. В данном случае меньшая цифра стоит справа от большей, поэтому мы
прибавляем значение данных цифр и получаем: VII = 5+1+1=7.
В числе IV тоже использованы
цифры V,I, но в данном случае меньшая цифра расположена слева от большей,
поэтому мы вычитаем из большего значения меньшее и получаем: IV= 5-1=4.
В непозиционных системах
счисления выполнять вычисления неудобно, потому что запись больших чисел
требует введения новых символов, а также невозможно представлять дробные и
отрицательные числа, сложно выполнять простейшие арифметические операции.
Первая позиционная система счисления
была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была
шестидесятеричной, так как в ней использовалось 60 цифр. При измерении времени
мы до сих пор ее используем (основание равно 60 – в 1часе – 60 минут, в минуте
– 60 секунд). Наиболее известна десятичная позиционная система счисления. В
Индии впервые появилась знакомая всем нам сегодня десятичная система счисления.
Позиционных систем счисления
существует бесконечное множество и отличаются они друг от друга алфавитом (упорядоченное
множество цифр) и основанием (количество цифр в алфавите).
Давайте рассмотрим алфавиты
различных позиционных систем счисления:
Основание
|
Название
|
Алфавит
|
10
|
Десятичная
|
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
|
2
|
Двоичная
|
0,1
|
8
|
Восьмеричная
|
0,1,2,3,4,5,6,7
|
16
|
Шестнадцатеричная
|
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)
|
3
|
…
|
…
|
В системах счисления с
основанием не больше 10 используют только арабские цифры, а если основание
больше 10, то используют латинские буквы в алфавитном порядке (к примеру, шестнадцатеричная
система счисления).
Для указания на основание
системы, которой относится число, вводится индексное обозначение. Например, 2510
- это число указывает, что это десятичная система счисления. Обратите внимание,
что нельзя говорить «двадцать пять», правильно произносить – «два пять».
В416 –
шестнадцатеричное число. Индекс всегда записывается десятичным числом, так как
в любой системе счисления ее основание будет равно 10 (один, ноль).
Давайте рассмотрим число 532.
В нем самая первая цифра обозначает пять единиц, вторая – три десятка и
третья – две сотни. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа
возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Число 532 записано в
свернутой форме. Для записи развернутой формы числа необходимо над каждым
числом определить степень основания, в которую данное основание системы будет
возводиться (начиная с нулевого), с самого крайнего целого числа. В развернутой
форме запись числа в десятичной системе счисления будет выглядеть таким
образом:
53210= 5*102
+ 3*101 + 2*100, то есть позиция цифры показывает, в
какую степень надо возвести основание в развернутой форме. Итак, мы с вами
получили правило позиционной системы счисления: чтобы получить значение числа,
надо цифры умножить на основание в степени позиции и сложить.
Для записи десятичных дробей
используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число
532, 25 в развернутой форме будет записываться следующим образом:
532,2510 = 5*102
+ 3*101 + 2*100 + 2*10-1 + 5*10-2.
В общем случае в десятичной
системе счисления запись числа А10 , которое содержит n целых
разрядов числа и m дробных числа, производится следующим образом: A10
= an-1*10n-1 + an-2*10n-2 + …+ a0*100
+ a-1*10-1 + a-2*10-2 +…+ a-m*10-m.
Запишите эту формулу в тетради.
Аналогично мы можем получить
развёрнутую форму чисел в других системах счисления. Например, для двоичного
числа. В двоичной системе счисления основание = 2, а ее алфавит состоит из двух
цифр – 0 и 1. Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме
записываются в виде суммы разряда степеней основания 2 с коэффициентами, в
качестве которых выступают цифры 0 или 1. Рассмотрим пример двоичной системы
счисления, в свернутой форме в двоичной системе выглядит таким образом:
A2 = 101,012.
В развернутой форме число в
двоичной системе выглядит так:
A2 = 1*22
+ 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 .
В общем случае в двоичной
системе счисления запись числа A10 , которое содержит n целых
разрядов числа и m дробных числа, производится следующим образом:
A2 = an-1
*2n-1 + an-2 *2n-2 +…+ a0 *20
+ a-1 *2-1 + a-2 *2-2 +…+ a-m
*2-m .
Так в восьмеричной системе
основание равно 8, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число A8
= 673,28 в развёрнутой форме будет выглядеть так: A8
= 6*82 + 7*81 + 3*80 + 2*8-1.
Также в шестнадцатеричной
системе счисления основание равно 16, тогда записанное в развернутой форме
число A16 = 8A,F16 будет иметь вид:
A16 = 8*161
+ A*160 + F*16-1.
Итак, в общем случае в системе
счисления с произвольным основанием q запись числа Aq , которое
содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, производится
следующим образом: Aq = an-1 *qn-1 + an-2
*qn-2 +…+ a0 *q0 + a-1 *q-1
+ a-2 *q-2 +…+ a-m *q-m.
Чтобы
перевести число, скажем, 12345N,
из системы счисления с основанием в
десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на в степени, равной
ее разряду:
4 3 2 10 ← разряды
1
2 3 4 5N = 1·N4 + 2·N3 + 3·N2 + 4·N1 + 5·N0
Последняя
цифра записи числа в системе счисления с основанием – это остаток от
деления этого числа на ,
две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д.
Какой
остаток от деления на 8 числа 124? Какие две последние цифры от деления на 2
числа 1352?
У позиционной системы
счисления может быть любое основание. Ребята, приведите свои примеры чисел в троичной,
пятеричной и других системах счисления, запишите эти числа в развернутой форме.
Теперь, когда мы подробнее
познакомились с позиционными системами счисления, давайте поговорим о переводе.
Запишите подзаголовок: «Перевод чисел из n-ой системы счисления в 10-ую».
Возьмем произвольное двоичное
число, например 11102. Запишем его в развернутой форме и произведем
вычисления: 11102 = 1*23 + 1*22 + 1*21
+ 0*20 = 1410.
Возьмем восьмеричное число 67,58.
Запишем его развернутой форме и произведем вычисления: 6*81 + 7*80
+ 5*8-1 = 55,62510.
Возьмем число 19F16
запишем в развернутой форме и произведем вычисления: 19F16 = 1*162
+9*161 +F*160 = 1*256 + 9*16 + 15*1= 41510.
Рассмотрим задачу из ЕГЭ.
Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение:
144 + 24 = 201.
Для решения такого задания составляем уравнение: 144х +
24х = 201х. Запишем в развернутом виде: х2 +
4х + 4 + 2х + 4 = 2х2 + 1.
х2
– 6х – 7 = 0
D = 36 + 4 * 7 = 64.
Отрицательный
корень не берем, т.к. он основание системы счисления положительно.
х = 7.
3. Закрепление знаний.
Теперь выполните перевод в
десятичную систему счисления самостоятельно. Поочередно вызываются учащиеся для
решения к доске, после чего всем классом проверяется и обсуждается решение.
a.
11000010012;
b.
1111110110,012;
c.
457,38;
d.
563,48;
e.
AE3,616;
f.
F18,C16
.
Задача:
Найдите основание системы счисления, в которой выполнено умножение: 3·213 =
1043.
4.
Подведение
итогов урока.
Итак, сегодня мы узнали краткую
историю систем счисления, а также вспомнили определения систем счисления, их
алфавита и основания. Кроме того, мы изучили развернутую форму записи числа и
научились переводу из n-ой в десятичную систему
счисления.
5.
Домашнее
задание.
Выполните перевод в десятичную
систему счисления:
a.
11000000002;
b.
11010111112;
c.
1011001101,000112;
d.
746,18;
e.
174,28;
f.
E26,A16;
g.
B4B,716 .
Задачи из ЕГЭ:
1)
В системе счисления с некоторым основанием
десятичное число 83 записывается в виде 123. Укажите это
основание.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.