ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ (КОЛЬЦЕВОЙ ТРАССЕ)
Справочный материал
1. Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным, при этом пройденный путь определяется по формуле:
S = v 
t,
где S - расстояние, пройденное телом; v-скорость движения тела; t – время движения тела.
Отсюда, v = 
и t = 
.
2. Все величины (расстояние, скорость, время) считаются положительными:S > 0; v > 0; t > 0.
3. Указанные величины должны быть в одной системе единиц.
|
Расстояние |
Скорость |
Время |
|
км |
км/ч |
ч |
|
м |
м/с |
с |
|
м |
м/мин |
мин |
4. Если два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2 соответственно (v1 > v2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2-му со скоростью v1 – v2.
В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на один круг больше.
В момент, когда 1-й велосипедист во второй раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на два круга больше и т.д.
Решение задач
Задача 1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?
Пусть автомобили различаются по цвету. Зеленый автомобиль имеет большую скорость, поэтому, изначально вырвавшись вперед, должен обойти соперника ровно на 1 круг, чтобы догнать его на трассе.
Первый способ (алгебраический)
Пусть х ч – время встречи
Зная, что один круг равен 15 км, составим и решим уравнение:
80х – 60х=15
20х=15
х=0,75
Значит, первый автомобиль будет опережать второй через 0,75 ч или 45 минут
Ответ. 45 мин
Второй способ (арифметический).
1) 80 – 60 = 20 (км/ч) скорость вдогонку. С этой скоростью 2-й автомобиль должен преодолеть расстояние в 1 круг (15 км).
2) 15:20 = 
(ч) = 45 (мин).
Ответ: 45 мин.
Задача 2.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Сколько кругов проехал каждый мотоциклист нам не важно. Важно, что синий проехал до точки встречи на половину круга больше, т.е. на 7 км.
Пусть х км/ч – скорость одного мотоциклиста, а t ч – время первой встречи.
Зная, что разница в пройденном пути равна 7км, составим и решим уравнение:
t(x+21) – tx=7
tx + 21t – tx = 7
21t = 7
t= 
Значит, мотоциклисты встретятся первый раз, через часа или 20 минут.
Ответ. 20 мин.
Задача 3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
1 встреча.
Велосипедист был до 1 встречи 40 мин (2/3 ч), мотоциклист 10 мин (1/6ч). А расстояние за это время они проехали равное.
Пусть х км/ч – скорость мотоциклиста, а у км/ч – скорость велосипедиста.
Зная, что расстояния равны, составим 1-е уравнение: 
2 встреча.
Велосипедист и мотоциклист были в пути до 2-й встречи 30 мин (1/2 ч).
Зная, что мотоциклист проехал на один круг больше, составим 2-е
уравнение: 
Получим систему уравнений:
Û 
Û 
Û 
Значит, скорость мотоциклиста 80 км/ч.
Ответ. 80 км/ч
Задача 4. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
В первый раз минутной стрелке надо пройти на 
круга
больше, чтобы догнать минутную стрелку.
Во 2-й раз – еще на 1 круг больше.
В 3-й раз – еще на 1 круг больше.
В 4-й раз – еще на 1 круг больше.
Пусть х ч- время за которое стрелки сделают один оборот.
Зная, что всего минутной стрелке надо пройти на 
круга
больше, чем часовой стрелке, составим и решим уравнение.
=
х=1
Значит, стрелки сделают один оборот за 1 час, а 4 оборота за 4 часа или 240 минут.
Ответ. 240 мин
Второй способ
Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:
L/1=(L+8+36):12;
12L=L+44;
L=4.
Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.
Ответ. 240 мин
Задачи для самостоятельного решения
1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
2. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?
3. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого?
4. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
6. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
7. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
8. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
9. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.
10. Часы со стрелками показывают 8 часов 30 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
11. Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?
12. Часы со стрелками показывают 6 часов 40 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Ответы
1. 20. 2. 33. 3. 30.
4. 59. 5. 65. 6. 57.
7. 80. 8. 60. 9. 120.
9. 240. 11. 435. 12. 320.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Цель: развитие навыков решения текстовых задач в рамках подготовки к итоговой аттестации выпускников. Задачи: систематизация текстовых задач;формирование вычислительных и формально-оперативных умений для использования их при решении задач различного направления;развитие навыков применения аппарата уравнений как основного средства математического моделирования прикладных задач; формирование устойчивой положительной мотивации к изучению математики. Прикладная направленность обеспечивается систематическим обращением к примерам, раскрывающим возможности применения математики к изучению действительности и решению прикладных задач.
6 661 021 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Золотина Ирина Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.