Конспект урока математики по теме "Прогрессии"

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ

В задачах на движение  рассматриваются  три взаимосвязанные величины:

S - расстояние (пройденный путь)

t  - время движения

v – скорость движения

Средняя скорость вычисляется по формуле:

 

, где S_общ – все расстояние (весь путь),

                           t_общ. – все время.

 

Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и всё время движения.

 

Задача 1.Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

 

     v=120 км/ч                       v=100 км/ч         v=95 км/ч

      t=2ч                                   t=1ч                   t=2ч

 

       1-й участок                         2-й участок           3-й участок   

 

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения.

Путь, пройденный автомобилем равен сумме расстояний, пройденных автомобилем на каждом из трех участков:

S_общ. = S₁+S₂+S₃=2 · 120 + 1 · 100 + 2 · 95 = 530 км.

Затраченное на весь путь время:

t_общ. = 2 + 1 + 2 = 5 ч,

тогда средняя скорость равна:

v_ср. = 530 : 5 = 106 км/ч.

Ответ: 106.

Задача 2.Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

 

         v=60 км/ч             v=80км/ч                v=120 км/ч

 

 

               180 км                      200км                     180 км

 

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения.

Путь, пройденный автомобилем равен:

S_общ. =S₁+S₂+S₃=180 + 200 + 180 = 560 км.

Затраченное на весь путь время:

t_общ. = t₁+t₂+t₃=180: 60 + 200 : 80 + 180 : 120 = 3 + 2,5 + 1,5 = 7 ч,

тогда средняя скорость равна:

v_ср. = 560 : 7 = 80 км/ч.

Ответ: 80.

Задача 3.Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 67 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

        v=67 км/ч                  v=85 км/ч

 

              0,5t                          0,5t

 

 

                       t- общее время

Пусть t ч – время, затраченное на весь путь.

 

Тогда путь на каждом участке найдем по формуле  

Получим:

S₁= 67·0,5t=33,5t(км)- первая часть пути.

S₂= 85·0,5t=42,5t(км)- вторая часть пути.

S_общ.= S₁+S₂=33,5t+42,5t= 76t (км) – весь путь.

Тогда найдем среднюю скорость:

v_ср. =  = 76 (км/ч) – средняя скорость.

Ответ: 76.

 

Задача 4. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 561 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

                                            v=17км/ч

Путь «туда»

                                         s-расстояние

                                         s-расстояние

 

Путь «обратно»                    v=561км/ч

 

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть S км –путь путешественника в одну сторону, тогда

S_общ. = S+S=2S.

Найдем время по пути «туда» и «обратно» по формуле

 ,

тогда время «туда» составит =(ч),

время «обратно» =(ч).

Найдем общее время

t_общ. = t_туда+t_{обратно}=(ч).

Тогда средняя скорость равна:

(км/ч) – средняя скорость.

Ответ: 33.

Задача 5. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 45 км/ч, вторую треть – со скоростью 70 км/ч, а последнюю – со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение. 

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения.

Для решения этой задачи удобно расстояние на каждом из трех участков обозначить за S, тогда весь путь будет

S_общ. = S+S+S=3S (км).

Найдем теперь время на каждом участке

(ч),   (ч),  (ч).

Тогда выражение для общего времени будет:

t_общ. = t₁+t₂+t₃= (ч).

Осталось найти среднюю скорость:

 (км/ч)

Ответ: 63.

Тренировочные задачи:

Задача 1.

 Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующий час — со скоростью 65 км/ч, а затем один час — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 2.

 Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два часа — со скоростью 90 км/ч, а затем два часа — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 3.

 Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 140 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 4.

Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 150 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 5.

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 66 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 82 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 6.

 Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 71 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 77 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 7.

 Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 323 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 8.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 414 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 9.

 Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, вторую треть — со скоростью 75 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 10.

 Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть — со скоростью 60 км/ч, а последнюю — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

ОТВЕТЫ

1.      64

2.      88

3.      80

4.      96

5.      74

6.      74

7.      32,3

8.      34,5

9.      75

10.  60

 

 

 

 

ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЕННЫХ ТЕЛ

В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

Задача1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Рис 1.

Рис 2.

 

Пройденное расстояние равно длине поезда!

Зная скорость движения v = 80 км/ч и время, за которое он проезжает мимо столба t = 36 с,  можно найти длину поезда как пройденное расстояние по формуле:S=v.

Выразим время в часах.

 

 

 

Ответ: 800.

 

 

Задача 2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

 

Решение.

 

Рис. 1

Рис 2.

Пройденное расстояние = длина поезда + длина лесополосы!

Зная скорость движения v = 60 км/ч и время, за которое он проезжает мимо лесополосы t = 1 мин, можно найти расстояние, которое прошел поезд (длина лесополосы + длина поезда). Не забудем предварительно перевести минуты в часы.

t=1мин=

S=60·=1(км)=1000(м)

1000-400=600(м) – длина поезда.

Ответ: 600.

 

При решении задач на движение двух тел часто очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи.

 

Задача 3. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение.

Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью v(м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов, так как корабли движутся в одном направлении, то есть вдогонку.Поэтому для того, чтобы найти, на сколько км/ч скорость первого сухогруза меньше скорости второго, достаточно найти скорость, с которой второй сухогруз приближается к первому.

Рис.1

 

Рис.2

За 12 минут второй сухогруз должен обогнать первого и пройти расстояние, равное  400+120+600+80=1200м (см. рисунок 2).

v=1200:12=100(м/мин)=  (км/ч)=6(км/ч)

Ответ: 6.

 

Задача 4. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Будем считать, что один поезд неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью v(м/мин), равной разности скоростей поездов, так как поезда движутся в одном направлении (вдогонку).

v=90-30=60(км/ч).

 

 

 

 

Рис1.

Рис 2.

Тогда за 1 минуту второй поезд обгонит первого и проедет расстояние, равное сумме длин этих составов. Переведем минуты в часы и найдем это расстояние.

t=1мин=

S=60·=1(км)=1000(м)

Не забудьте перевести километры в метры, так как ответ требуется дать в метрах.

Осталось найти длину пассажирского поезда:

1000-600=400(м).

Ответ: 400.

 

Задача 5. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение.

При движении навстречу скорость сближения находится как сумма скоростей поездов.

v= 65+35=100(км/ч)-скорость сближения.

Рис 1.

Рис 2.

Расстояние, пройденное пассажирским поездом равно сумме длин этих поездов. Найдем это расстояние, предварительно переведя 36с в часы.

S=100·0,01= 1 (км)= 1000м.

1000-700=300(м) – длина скорого поезда.

Ответ: 300.

Особое внимание при решении этих задач следует уделить переводу единиц длины, расстояния и скорости.

 

Перевод единиц длины

 

 

Перевод единиц времени

 

Перевод единиц скорости

 

 

 

Тренировочные задачи

Задача1

 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 50 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 72 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

Задача2

 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Задача 3

 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 70 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 1000 метров, за 1 минуту 48 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Задача 4

 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 500 метров, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Задача 5

 По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 130 метров, второй — длиной 120 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 600 метров. Через 11 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

 Задача 6

 По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 160 метров, второй — длиной 140 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 300 метров. Через 9 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 900 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

 Задача 7

 По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 1200 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минутам. Ответ дайте в метрах.

 Задача 8

 По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 50 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 1000 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 4 минутам 3 секундам. Ответ дайте в метрах.

 Задача 9

 По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 800 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 33 секундам. Ответ дайте в метрах.

 Задача 10

 По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 30 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 400 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 38 секундам. Ответ дайте в метрах.

 

ОТВЕТЫ

 

1.      1000

2.      500

3.      1100

4.      300

5.      9

6.      10

7.      300

8.      350

9.      300

10.  550

 

 

 

ПРОГРЕССИЯ

Определение

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа.

 

Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Напомним,

а₁ – первый член арифметической прогрессии,

а_n– n-й членарифметической прогрессии.

 

                           - формула n-го члена арифметической прогрессии.

S_n = а₁+ а₂ +…+ а_n – сумма n первых членов арифметической прогрессии.

 

- формула сумма n первых членов арифметической прогрессии.

 

S_n =    - формула сумма n первых членов арифметической прогрессии.

 

Задача 1.Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение.

Так как в условии сказано, что бригада маляров ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число, то задача решается с помощью арифметической прогрессии.

Пусть a₁ метров забора бригада покрасила в первый день;

a₂ – во второй,

a₃ – в третий,

… ,

a_n – в последний (n-ый) день.

Тогда  a₁ + a_n = 60 м, а за n дней было покрашено 240 м, то есть S_n =240м. Подставим данные задачи в формулу.

 

 

Получим

240=

240=30n

n=8 дней.

Ответ: 8.

 

Задача 2.Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение.

Задача решается с помощью арифметической прогрессии.

Пусть a₁= 3 метра тоннеля проложили в первый день;

n = 10 дней,

a₁₀ –столько метров тоннеля проложили в последний (n-ый) день.

Тогда за 10 дней рабочими было проложено 500 м тоннеля, S₁₀ =500м.

Воспользуемся формулой S_n =

S₁₀ =

500=

500=(3+)·5

3+=100

а₁₀=97

Ответ: 97.

 

Задача 3.Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Решение.

1 способ

Пусть a₁= 10 км прошел турист в первый день;

n = 6 дней,

a₃ – в третий день,

a₆ – в последний (n-ый) день.

Тогда за 6 дней турист прошел 120 км, то есть S₆ =120 км.

S_n =

120=

120=(20+5d)·3

20+5d=40

5d=20

d=4 км ежедневная прибавка

Найдем теперь, сколько километров прошел турист за третий день, то есть a₃по формуле n-го члена арифметической прогрессии

 

a₃=18 км прошел турист в 3-й день.

Ответ: 18.

2 способ

Воспользуемся формулой S_n =

120=

120=(10+a₆)·3

10+ a₆=40

a₆=30

 

30=10+(6-1)·d

d=4км ежедневная прибавка.

Найдем теперь, сколько километров прошел турист за третий день, то есть a₃по формуле n-го члена арифметической прогрессии

 

a₃=18 км прошел турист в 3-й день.

Ответ: 18.

 

Задача 4.Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

 

Решение.

Пусть a₁ метров проползла улитка в первый день;

a_n – в последний (n-ый) день.

Тогда  a₁ + a_n = 10 м, а за n дней проползла 150 м.

S_n =

 

 

300=10n

n=30 дней.

Ответ: 30.

Тренировочные задачи

Задача 1.

 Бригада маляров красит забор длиной 810 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 180 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Задача 2.

 Бригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Задача 3

 Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.

Задача 4

 Рабочие прокладывают тоннель длиной 117 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 9 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.

Задача 5.

 Пете надо решить 333 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Петя решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Петя в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Задача 6.

 Мише надо решить 390 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Миша решил 12 задач. Определите, сколько задач решил Миша в последний день, если со всеми задачами он справился за 10 дней.

Задача 7.

 Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 8 километров. Определите, сколько километров прошел турист за четвертый день, если весь путь он прошел за 10 дней, а расстояние между городами составляет 215 километров.

Задача 8.

 Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 12 километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за 7 дней, а расстояние между городами составляет 147 километров.

Задача 9.

Грузовик перевозит партию щебня массой 360 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 18 дней.

Задача 10.

Грузовик перевозит партию щебня массой 224 тонны, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Задача 11.

 Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 11 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 33 метрам.

Задача 12.

 Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 15 метрам.

Задача 13.

 Лене надо подписать 972 открытки. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Лена подписала 20 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за седьмой день, если вся работа была выполнена за 18 дней.

Задача 14.

 Насте надо подписать 799 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Настя подписала 15 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за шестой день, если вся работа была выполнена за 17 дней.

 

ОТВЕТЫ

1.      9

2.      9

3.      15

4.      17

5.      69

6.      66

7.      17

8.      24

9.      19

10.  19

11.  6

12.  3

13.  44

14.  35