МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №141 с углубленным изучением отдельных предметов» Советского района, г. Казани
Алгебра
8 класс
Конспект урока
«Методы решения квадратных уравнений. Свойство коэффициентов квадратного уравнения»
Учитель высшей категории
Бухарова Лидия Николаевна
г. Казань
2015 год
Тема урока:
«Методы решения квадратных уравнений. Свойство коэффициентов квадратного уравнения»
Цели урока:
Образовательные
Расширить знания учащихся о способах решения квадратных уравнений;
Закрепить пройденный материал.
Развивающие и воспитательные
Формирование интеллектуальных умений: анализировать, обобщать, систематизировать;
Развитие творчества и инициативы;
Формирование интереса к предмету.
Ход урока
Вводная часть.
Учитель выслушивает ответы учеников на вопрос: «Каким должно быть математическое решение, чтобы его можно было назвать красивым?» (рациональное, обоснованное, нестандартное и т.д.).
Для того чтобы ваше решение удовлетворяло критериям этого списка, нужно научиться владеть различными приемами и видами деятельности, уметь находить разные способы решения одной задачи.
Итак, тема урока – «Способы решения квадратных уравнений». Цель урока: рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений и расширить знания новыми свойствами коэффициентов квадратных уравнений.
Устное упражнение.
На доске написаны три группы заданий:
А
2х2 – х = 0
4х2 + х – 3 = 0
х2 – 16 = 0
2х2 = 0
5х2 – 5х = 0
Б
х2 – 11х + 5 = 0
9х2 – 6х + 10 = 0
х2 + 2х – 2 = 0
х2 – 3х – 1 = 0
х2 = 5х + 2
В
х2 – 16х + 15 = 0
х2 – 5х + 4 = 0
2х2 + 15х – 17 = 0
98х2 – 99х + 1 = 0
4х2 -2х -7 = 0
В каждой группе уравнения объединены по какому-либо признаку. Какое из уравнений в каждой группе является «лишним»?
Ответы:
В группе А - полное квадратное уравнение;
В группе Б – неприведенное квадратное уравнение;
В группе В – последнее уравнение, в котором сумма коэффициентов не равна нулю.
Рассмотрим первое уравнение из группы В: х2 – 16х + 15 = 0
Задание: найти все возможные способы решения.
Первый способ:
х2 – 16х + 15 = 0
D = (-16)2 – 4•15 = 196
х1 = =
= 15; х2 =
=
= 1
Второй способ:
х2 – 16х + 15 = 0
х = = 8∓7; х1 = 15; х2 = 1
Третий способ:
х2 – 16х + 15 = 0
х2 - 2•8х + 64 – 64 + 15 = 0
(х – 8 )2 = 49
х – 8 = 7 или х - 8 = - 7
х = 15 или х = 1
Четвертый способ:
х2 – 16х + 15 = 0
х1 = 15 х2 = 1
Пятый способ:
х2 – 16х + 15 = 0
х2 - 15х – х + 15 = 0
х( х – 15) – (х - 15) = 0
(х – 15) • (х – 1) = 0
х – 15 = 0 или х – 1 = 0
х = 15 или х = 1
Вопрос к ученикам:
Какой способ вы считаете: а) самым рациональным? б) самым сложным? в) самым красивым?
Существуют и другие способы решения данного уравнения.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Прежде, чем мы запишем утверждение и докажем его, сначала нужно научиться находить сумму коэффициентов квадратного уравнения.
Заполним таблицу:
Уравнение
3х2 – 7х + 4 = 0
5х2 – 8х + 3 = 0
-4х2 + 9х – 5 = 0
Сумма коэффициентов
3 – 7 + 4 = 0
5 – 8 + 3 = 0
- 4 + 9 – 5 = 0
Корни уравнения
х1 = 1; х2 =
х1 = 1; х2 =
х1 = 1; х2 =
Определите, есть ли закономерность и в чем она выражается?
Учащиеся делают самостоятельно вывод – если сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней равен 1, а второй получается отношением .
Теорема.
Если в квадратном уравнении ах2 + bх + с = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х1 =1; х2 =с / а.
Дано: ах2 + bх + с = 0 (а ≠ 0)
a + b + c = 0
Доказать: х1 =1; х2 = с/а
Доказательство: (предлагается сделать учащимся самостоятельно)
Пусть х1 = 1 – корень данного уравнения, тогда а•12 + b•1 + с = 0 должно быть верным числовым равенством. Проверка: а•12 + b•1 + с = а + b + c = 0 верно.
Пусть с/а – корень, тогда а •(с/а)2 + b • (с/а) + с = +
=
=
= 0 верно.
Вернемся к уравнениям группы В. Попробуйте решить каждое из уравнений этой группы устно:
х2 – 16х + 15 = 0
1 – 16 +15 = 0, значит х1 = 1; х2 = 15
х2 + 5х + 4 = 0
1 – 5 + 4 = 0, значит х1 = 1; х2 = 4
2х2 +15х – 17 = 0
2 + 15 – 17 = 0, значит х1 = 1; х2 = -17/2
98х2 – 99х + 1 = 0
98 – 99 + 1 = 0, значит х1 =1; х2 = 1/98
Дополнительные уравнения:
(m2 + n2) x2 + 2mnx – (m + n)2 = 0
х1 = 1; x2 = - (m + n)2 / (m2 + n2)
(х2 – 8) 2 + 4 (х2 – 8) – 5 = 0
Домашнее задание.
Доказать утверждение: «Если в квадратном уравнении ах2 + bх + с = 0 известно, что а – b + с = 0, то х1 = -1; х2 = -с/а»
Придумать три примера на вышеприведенное утверждение и сделать проверку любым другим способом.
Чтобы скачать материал, введите свой E-mail, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку
Нажимая кнопку, Вы соглашаетесь получать от нас E-mail-рассылку
Если скачивание материала не началось, нажмите еще раз "Скачать материал".
На данном уроке закрепляется пройденный материал о способах решения квадратных уравнений.Изучаются дополнительные способы решения квадратных уравнений, рассматриваются частные случаи уравнений, когда сумма коэффициентов равна нулю и случай когда а-b+c =0.
Перед учащимися ставится вопрос:"Каким должно быть математическое решение, чтобы его можно было назвать красивым?"
Формируются интеллектуальные умения: анализировать, обобщать, систематизировать математические знания. На данном уроке происходит развитие творчества и инициативы, а также формируется интерес к предмету.
Автор | |
---|---|
Дата добавления | 07.01.2015 |
Раздел | Математика |
Подраздел | |
Просмотров | 1505 |
Номер материала | 42743 |
Оставьте свой комментарий:
Комментарии: