Конспект урока алгебры в 8 классе "Методы решения квадратных уравнений. Свойство коэффициентов квадратного уравнения"

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №141 с углубленным изучением отдельных предметов» Советского района, г. Казани

Алгебра

8 класс

Конспект урока

«Методы решения квадратных уравнений. Свойство коэффициентов квадратного уравнения»

Учитель высшей категории

Бухарова Лидия Николаевна

г. Казань

2015 год

Тема урока:

«Методы решения квадратных уравнений. Свойство коэффициентов квадратного уравнения»

Цели урока:

Образовательные

• Расширить знания учащихся о способах решения квадратных уравнений;

• Закрепить пройденный материал.

Развивающие и воспитательные

• Формирование интеллектуальных умений: анализировать, обобщать, систематизировать;

• Развитие творчества и инициативы;

• Формирование интереса к предмету.

Ход урока

• Вводная часть.

Учитель выслушивает ответы учеников на вопрос: «Каким должно быть математическое решение, чтобы его можно было назвать красивым?» (рациональное, обоснованное, нестандартное и т.д.).

Для того чтобы ваше решение удовлетворяло критериям этого списка, нужно научиться владеть различными приемами и видами деятельности, уметь находить разные способы решения одной задачи.

Итак, тема урока – «Способы решения квадратных уравнений». Цель урока: рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений и расширить знания новыми свойствами коэффициентов квадратных уравнений.

• Устное упражнение.

На доске написаны три группы заданий:

А

2х² – х = 0

4х² + х – 3 = 0

х² – 16 = 0

2х² = 0

5х² – 5х = 0

Б

х² – 11х + 5 = 0

9х² – 6х + 10 = 0

х² + 2х – 2 = 0

х² – 3х – 1 = 0

х² = 5х + 2

В

х² – 16х + 15 = 0

х² – 5х + 4 = 0

2х² + 15х – 17 = 0

98х² – 99х + 1 = 0

4х² -2х -7 = 0

В каждой группе уравнения объединены по какому-либо признаку. Какое из уравнений в каждой группе является «лишним»?

Ответы:

• В группе А - полное квадратное уравнение;

• В группе Б – неприведенное квадратное уравнение;

• В группе В – последнее уравнение, в котором сумма коэффициентов не равна нулю.

• Рассмотрим первое уравнение из группы В: х² – 16х + 15 = 0

Задание: найти все возможные способы решения.

Первый способ:

х² – 16х + 15 = 0

D = (-16)² – 4•15 = 196

х_{1 =} = = 15_; х_{2 =} = = 1

Второй способ:

х² – 16х + 15 = 0

х ₌ = 8∓7; х₁ = 15; х₂ = 1

Третий способ:

х² – 16х + 15 = 0

х² - 2•8х + 64 – 64 + 15 = 0

(х – 8 )² = 49

х – 8 = 7 или х - 8 = - 7

х = 15 или х = 1

Четвертый способ:

х² – 16х + 15 = 0

х₁ = 15 х₂ = 1

Пятый способ:

х² – 16х + 15 = 0

х² - 15х – х + 15 = 0

х( х – 15) – (х - 15) = 0

(х – 15) • (х – 1) = 0

х – 15 = 0 или х – 1 = 0

х = 15 или х = 1

Вопрос к ученикам:

Какой способ вы считаете: а) самым рациональным? б) самым сложным? в) самым красивым?

Существуют и другие способы решения данного уравнения.

• Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Прежде, чем мы запишем утверждение и докажем его, сначала нужно научиться находить сумму коэффициентов квадратного уравнения.

Заполним таблицу:

Уравнение

3х² – 7х + 4 = 0

5х² – 8х + 3 = 0

-4х² + 9х – 5 = 0

Сумма коэффициентов

3 – 7 + 4 = 0

5 – 8 + 3 = 0

- 4 + 9 – 5 = 0

Корни уравнения

х₁ = 1; х₂ =

х₁ = 1; х₂ =

х₁ = 1; х₂ =

Определите, есть ли закономерность и в чем она выражается?

Учащиеся делают самостоятельно вывод – если сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней равен 1, а второй получается отношением .

• Теорема.

Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х₁ =1; х₂ =с / а.

Дано: ах² + bх + с = 0 (а ≠ 0)

a + b + c = 0

Доказать: х₁ =1; х₂ = с/а

Доказательство: (предлагается сделать учащимся самостоятельно)

1. Пусть х₁ = 1 – корень данного уравнения, тогда а•1² + b•1 + с = 0 должно быть верным числовым равенством. Проверка: а•1² + b•1 + с = а + b + c = 0 верно.

2. Пусть с/а – корень, тогда а •(с/а)² + b • (с/а) + с = + = = = 0 верно.

• Вернемся к уравнениям группы В. Попробуйте решить каждое из уравнений этой группы устно:

1. х² – 16х + 15 = 0

1 – 16 +15 = 0, значит х₁ = 1; х₂ = 15

2. х² + 5х + 4 = 0

1 – 5 + 4 = 0, значит х₁ = 1; х₂ = 4

3. 2х² +15х – 17 = 0

2 + 15 – 17 = 0, значит х₁ = 1; х₂ = -17/2

4. 98х² – 99х + 1 = 0

98 – 99 + 1 = 0, значит х₁ =1; х₂ = 1/98

• Дополнительные уравнения:

1. (m² + n²) x² + 2mnx – (m + n)² = 0

х₁ = 1; x₂ = - (m + n)² / (m² + n²)

2. (х² – 8) ² + 4 (х² – 8) – 5 = 0

• Домашнее задание.

1. Доказать утверждение: «Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 известно, что а – b + с = 0, то х₁ = -1; х₂ = -с/а»

2. Придумать три примера на вышеприведенное утверждение и сделать проверку любым другим способом.