МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №141 с углубленным изучением отдельных предметов» Советского района, г. Казани
Алгебра
8 класс
Конспект урока
«Методы решения квадратных уравнений. Свойство коэффициентов квадратного уравнения»
Учитель высшей категории
Бухарова Лидия Николаевна
г. Казань
2015 год
Тема урока:
«Методы решения квадратных уравнений. Свойство коэффициентов квадратного уравнения»
Цели урока:
Образовательные
· Расширить знания учащихся о способах решения квадратных уравнений;
· Закрепить пройденный материал.
Развивающие и воспитательные
· Формирование интеллектуальных умений: анализировать, обобщать, систематизировать;
· Развитие творчества и инициативы;
· Формирование интереса к предмету.
Ход урока
· Вводная часть.
Учитель выслушивает ответы учеников на вопрос: «Каким должно быть математическое решение, чтобы его можно было назвать красивым?» (рациональное, обоснованное, нестандартное и т.д.).
Для того чтобы ваше решение удовлетворяло критериям этого списка, нужно научиться владеть различными приемами и видами деятельности, уметь находить разные способы решения одной задачи.
Итак, тема урока – «Способы решения квадратных уравнений». Цель урока: рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений и расширить знания новыми свойствами коэффициентов квадратных уравнений.
· Устное упражнение.
На доске написаны три группы заданий:
|
А 2х2 – х = 0 4х2 + х – 3 = 0 х2 – 16 = 0 2х2 = 0 5х2 – 5х = 0 |
Б х2 – 11х + 5 = 0 9х2 – 6х + 10 = 0 х2 + 2х – 2 = 0 х2 – 3х – 1 = 0 х2 = 5х + 2 |
В х2 – 16х + 15 = 0 х2 – 5х + 4 = 0 2х2 + 15х – 17 = 0 98х2 – 99х + 1 = 0 4х2 -2х -7 = 0 |
В каждой группе уравнения объединены по какому-либо признаку. Какое из уравнений в каждой группе является «лишним»?
Ответы:
· В группе А - полное квадратное уравнение;
· В группе Б – неприведенное квадратное уравнение;
· В группе В – последнее уравнение, в котором сумма коэффициентов не равна нулю.
v Рассмотрим первое уравнение из группы В: х2 – 16х + 15 = 0
Задание: найти все возможные способы решения.
Первый способ:
х2 – 16х + 15 = 0
D = (-16)2 – 4•15 = 196
х1 = 
=
= 15; х2
= 
=
= 1
Второй способ:
х2 – 16х + 15 = 0
х = 
= 8∓7;
х1 = 15; х2 = 1
Третий способ:
х2 – 16х + 15 = 0
х2 - 2•8х + 64 – 64 + 15 = 0
(х – 8 )2 = 49
х – 8 = 7 или х - 8 = - 7
х = 15 или х = 1
Четвертый способ:
х2 – 16х + 15 = 0
х1 =
15 х2 = 1
Пятый способ:
х2 – 16х + 15 = 0
х2 - 15х – х + 15 = 0
х( х – 15) – (х - 15) = 0
(х – 15) • (х – 1) = 0
х – 15 = 0 или х – 1 = 0
х = 15 или х = 1
Вопрос к ученикам:
Какой способ вы считаете: а) самым рациональным? б) самым сложным? в) самым красивым?
Существуют и другие способы решения данного уравнения.
v Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Прежде, чем мы запишем утверждение и докажем его, сначала нужно научиться находить сумму коэффициентов квадратного уравнения.
Заполним таблицу:
|
Уравнение 3х2 – 7х + 4 = 0 5х2 – 8х + 3 = 0 -4х2 + 9х – 5 = 0 |
Сумма коэффициентов 3 – 7 + 4 = 0 5 – 8 + 3 = 0 - 4 + 9 – 5 = 0 |
Корни уравнения х1
= 1; х2 = х1
= 1; х2 = х1
= 1; х2 = |
Определите, есть ли закономерность и в чем она выражается?
Учащиеся делают
самостоятельно вывод – если сумма коэффициентов равна нулю, то один из
корней равен 1, а второй получается отношением 
.
v Теорема.
Если в квадратном уравнении ах2 + bх + с = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х1 =1; х2 =с / а.
Дано: ах2 + bх + с = 0 (а ≠ 0)
a + b + c = 0
Доказать: х1 =1; х2 = с/а
Доказательство: (предлагается сделать учащимся самостоятельно)
1) Пусть х1 = 1 – корень данного уравнения, тогда а•12 + b•1 + с = 0 должно быть верным числовым равенством. Проверка: а•12 + b•1 + с = а + b + c = 0 верно.
2)
Пусть с/а – корень, тогда а •(с/а)2
+ b • (с/а) + с = 
+ 
= 
= 
= 0 верно.
v Вернемся к уравнениям группы В. Попробуйте решить каждое из уравнений этой группы устно:
1. х2 – 16х + 15 = 0
1 – 16 +15 = 0, значит х1 = 1; х2 = 15
2. х2 + 5х + 4 = 0
1 – 5 + 4 = 0, значит х1 = 1; х2 = 4
3. 2х2 +15х – 17 = 0
2 + 15 – 17 = 0, значит х1 = 1; х2 = -17/2
4. 98х2 – 99х + 1 = 0
98 – 99 + 1 = 0, значит х1 =1; х2 = 1/98
v Дополнительные уравнения:
1. (m2 + n2) x2 + 2mnx – (m + n)2 = 0
х1 = 1; x2 = - (m + n)2 / (m2 + n2)
2. (х2 – 8) 2 + 4 (х2 – 8) – 5 = 0
v Домашнее задание.
1. Доказать утверждение: «Если в квадратном уравнении ах2 + bх + с = 0 известно, что а – b + с = 0, то х1 = -1; х2 = -с/а»
2. Придумать три примера на вышеприведенное утверждение и сделать проверку любым другим способом.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
На данном уроке закрепляется пройденный материал о способах решения квадратных уравнений.Изучаются дополнительные способы решения квадратных уравнений, рассматриваются частные случаи уравнений, когда сумма коэффициентов равна нулю и случай когда а-b+c =0.
Перед учащимися ставится вопрос:"Каким должно быть математическое решение, чтобы его можно было назвать красивым?"
Формируются интеллектуальные умения: анализировать, обобщать, систематизировать математические знания. На данном уроке происходит развитие творчества и инициативы, а также формируется интерес к предмету.
6 662 844 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Бухарова Лидия Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.