Выбранный для просмотра документ Вероятность!!!.pptx
Скачать материал "Конспект урока алгебры в 11 классе на тему "Простейшие задачи на вероятность""
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Теория вероятностей и комбинаторные правила для решения задачи ЕГЭ В10.
Новые прототипы (2013)
2 слайд
2
Классическое определение вероятности
Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями.
Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие).
Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным.
Пример: В мешке лежат три картофелины.
Опыт – изъятие овоща из мешка.
Достоверное событие – изъятие картофелины.
Невозможное событие – изъятие кабачка.
3 слайд
3
Классическое определение вероятности
Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других.
Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В).
События А и В - несовместны.
2) В результате двух выбрасываний выпадает
орел (событие А) или решка (событие В).
События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз
не исключает выпадение решки во второй
4 слайд
4
Классическое определение вероятности
Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны.
Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета.
Элементарные события: выпадение орла
и выпадение решки образуют полную группу.
События образующие полную группу называют элементарными.
Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны.
5 слайд
5
Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий m, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу n .
Классическое определение вероятности
Сумма вероятностей всех событий, входящих в полную группу равна 1.
Пример: Опыт – один раз выбрасывается монета.
А – выпал орел Р(А)=0,5
В – выпала решка Р(В)=0,5
Полная группа.
6 слайд
6
Два события, образующие полную группу называются противоположными.
В – за одно выбрасывание выпал орел
А – за одно выбрасывание выпала решка
А и В – противоположные события
Классическое определение вероятности
7 слайд
7
Классическое определение вероятности
Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие.
Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета.
Выпадение орла и выпадение решки –
равновозможные события.
2) В урне лежат три шара. Два белых и синий.
Опыт – извлечение шара.
События – извлекли синий шар и извлекли
белый шар - неравновозможны.
Появление белого шара имеет больше шансов.
Вероятности равновозможных событий равны.
8 слайд
8
Классическое определение вероятности
Вероятность произведения совместных событий равна произведению вероятностей этих событий.
Пример: Найти вероятность того, что в результате двух выбрасываний игральной кости выпадет шестерка.
Событие А (первый раз выпала шестерка Р(А)=1/6) и событие В (второй раз выпала шестерка Р(В)=1/6) - совместны.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В.
9 слайд
9
Классическое определение вероятности
Вероятность наступления суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Пример: Найти вероятность того, что в результате одного выбрасывания игральной кости выпадет шестерка или двойка.
Событие А (выпала шестерка Р(А)=1/6) и событие В (выпала двойка Р(В)=1/6) - несовместны.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
10 слайд
10
Классическое определение вероятности
Вероятность наступления суммы совместных событий равна сумме вероятностей наступления этих событий минус вероятность их произведения.
Пример: Найти вероятность того, что в результате двух выбрасываний игральной кости выпадет один раз шестерка или один раз двойка.
Событие А (выпала шестерка Р(А)=1/12) и событие В (выпала двойка Р(В)=1/12) - совместны.
11 слайд
11
Задачи открытого банка.
Классическое определение вероятности.
12 слайд
№ 319170
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
11.08.2021
12
Решение:
Благоприятных событий – 4.
Всего событий – 16.
Р=4/16=0,25
Ответ:0,25
13 слайд
№ 320190
На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
11.08.2021
13
Неудобных мест 12+18=30
Событие А – досталось удобное место.
Р(А)=30/300=0,1
Всего событий – 300 (равно количеству мест)
Ответ:0,1
Решение:
14 слайд
№ 320181
В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
11.08.2021
14
Решение:
Возможные комбинации пар из 5 человек (1,2,3,4,5)
12
13
14
15
23
24
25
34
35
45
Всего - 10
У каждого 4 шанса
Р=4/10=0,4
Ответ:0,4
15 слайд
№ 320205
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
11.08.2021
15
А- «Статор» начинает игру
Решение:
В- начинает игру другая команда
«Статор» играет с тремя командами
Возможные
комбинации:
ААА
ААВ
АВА
ВАА
АВВ
ВВА
ВАВ
ВВВ
Всего - 8
Благоприятное - 1
Ответ:0,125
16 слайд
№ 320212
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
11.08.2021
16
Благоприятное событие А – паук пришел к выходу D. Одно.
Решение:
На пути три развилки по два варианта 2·2·2=8
Ответ:0,125
17 слайд
№ 320194
В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
11.08.2021
17
Решение:
- всего рейсов.
Попасть на первый рейс (равно как и на второй и на любой
имеющийся) – один шанс из пяти .
Ответ:0,2
18 слайд
№ 320186
На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
11.08.2021
18
Решение:
Возможные комбинации (независимо от количества групп):
ДШН
ДНШ
ШДН
ШНД
НДШ
НШД
6 - вариантов
Благоприятных - 2
Ответ:0,33
19 слайд
№ 320196
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
11.08.2021
19
Решение:
А – диаметр не больше 66,99 и не меньше 67,1
Диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм – противоположное событие
Р(А) =0,965
Ответ:0,035
20 слайд
№ 320191
На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
11.08.2021
20
Решение:
Только 10 из 250 участников имеют шанс попасть в
запасную аудиторию.
- участников не попали в
первые две аудитории
Ответ:0,04
21 слайд
№ 320188
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
11.08.2021
21
Решение:
События «ничья», «выиграла», «проиграла» составляют
полную группу.
=>Р(ничья)=1-Р(выиграла)-Р(проиграла)=1-0,4-0,4=0,2
22 слайд
11.08.2021
22
Решение:
Условию удовлетворяют три независимых события:
А – команда выиграла в первой и во второй игре. Р(А)=0,4∙0,4=0,16
В – команда выиграла в первой игре и во второй сыграла вничью. Р(В)=0,2∙0,4=0,08
С – команда выиграла во второй игре и в первой сыграла вничью Р(С)= 0,2∙0,4=0,08
Ответ:0,32
А, В, С -несовместны
№ 320188
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
23 слайд
23
Задачи открытого банка.
Сумма несовместных событий.
24 слайд
№ 319171
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
11.08.2021
24
Решение:
Событие А – вопрос на тему «Вписанная окружность»
Событие В – вопрос на тему «Параллелограмм»
События А и В – несовместны. (Если достался первый, то не достался второй.)
Ответ:0,35
25 слайд
№ 320203
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
11.08.2021
25
Решение:
Ответ:0,38
В=А+С
А и С - несовместны
26 слайд
№ 320198
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
11.08.2021
26
Решение:
Ответ:0,07
С=А+В
А и В - несовместны
27 слайд
27
Задачи открытого банка.
Произведение совместных событий.
28 слайд
№ 320183
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
11.08.2021
28
Решение:
Возможные исходы, удовлетворяющие условию:
1 игра – жребий выигран Р=0,5 (Вероятность орла=0,5)
2 игра – жребий выигран Р=0,5 (Вероятность орла=0,5)
3 игра – жребий не выигран Р=0,5 (Вероятность решки=0,5)
Порядок игр в данной задаче не имеет значения. События совместны.
Событие А – жребий выигран ровно два раза
Р(А)=0,5∙0,5∙0,5=0,125
Ответ:0,125
29 слайд
№ 320210
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
11.08.2021
29
Решение:
Ответ:0,8836
События А1 и А2 - совместны
30 слайд
№ 320187
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
30
Решение:
Событие А – первый раз не попал. Р(А)=1-0,4=0,6
Лучше переформулировать задачу.
Сколько выстрелов (n) надо сделать, чтобы вероятность непопадания была меньше или равна 0,02 (1-0,98)
31 слайд
№ 320187
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
31
Решение:
Тогда рассматриваем события – не попал при следующих выстрелах (возможны если не попал первый раз т. е. к-во событий =n-1). P=1-0,6=0,4
Перебором определяем n.
n=5
Ответ: 5
32 слайд
№ 320187
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
32
Решение(второй способ):
Ответ: 5
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1-0,4=0,6
Вероятность промаха при каждом следующем выстреле
равна 1-0,6=0,4
Будем стрелять, пока вероятность промаха будет менее 0,02 (1-0,98 – вероятность не уничтожения цели)
0,6∙0,4∙0,4∙∙∙<0,02
33 слайд
№ 319175
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
11.08.2021
33
Решение:
Вероятность того, что перегорят обе лампы равна 0,3∙0,3=0,09
Событие – не перегорела хотя бы одна лампа – противоположное.
Его вероятность равна 1-0,09=0,81
Ответ:0,81
34 слайд
№ 319173
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
11.08.2021
34
Решение:
Событие А – попал.
Р(А) =0,8
Р(А) =0,8 =>
(вероятность непопадания)
Все пять событий совместны
Р=0,8∙0,8∙0,8∙0,2∙ 0,2=0,02048
Ответ:0,02048
35 слайд
35
Задачи открытого банка.
Произведение совместных событий и сумма несовместных.
36 слайд
№ 320211
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.
11.08.2021
36
Решение:
37 слайд
11.08.2021
37
Решение:
Возможные благоприятные для задачи события
Исправная батарейка
забракована (совместны)
Неисправная батарейка
забракована (совместны)
Батарейка исправна и неисправна – несовместны, значит событие – забракована
исправная и забракована неисправная – несовместны.
Ответ:0,0296
38 слайд
№ 320207
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
11.08.2021
38
Решение:
39 слайд
39
А1 – поступил пациент с гепатитом
Решение:
Р(А1) =5%:100%=0,05
В1 – у больного гепатитом положительный анализ
Р(В1) =0,9
А1 и В1 – совместны
А2 – поступил здоровый пациент
Р(А2) =1-0,05=0,95
В2 – у здорового пациента положительный анализ
Р(В2) =0,01
А2 и В2 – совместны
Возможные благоприятные для задачи события
Поступил больной и анализ
положительный
Поступил здоровый и анализ
положительный
Эти события несовместны
Ответ:0,0545
40 слайд
40
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу А.
Шутка от составителей тренировочных работ на сайте
alexlarin.com (убрали одну стенку).
Решение:
Паук может прийти
к выходу А синим путем.
Три развилки с двумя
вариантами исходов.
Р1 =0,5∙0,5∙0,5=0,125
41 слайд
41
Шутка от составителей тренировочных работ на сайте
alexlarin.com (задача отсутствует в открытом банке)
2) Паук может прийти к выходу А
зеленым путем.
Пять развилок.
Р1=0,5∙0,5∙0,5=0,125
Р2=0,5∙0,5∙0,5∙0,5∙0,5=0,03125
Пришел к выходу А синим путем
и пришел зеленым путем –
несовместные события.
Р=Р1+Р2=0,125+0,03125=
=0,15625
Ответ: 0,15625
42 слайд
№ 320206
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
11.08.2021
42
Решение:
А4 – 4 июля хорошая погода. Р(А4)=0,8
В4 – 4 июля отличная погода. Р(В4)=1-0,8=0,2
А5 – 5 июля хорошая погода. Р(А5)=
0,8·0,8+0,2·0,2=0,68
В5 – 5 июля отличная погода. Р(В5)=
0,2·0,8+0,8·0,2=0,32
В6 – 6 июля отличная погода. Р(В6)=
0,32·0,8+0,68·0,2=0,392
Ответ:0,392
?
43 слайд
43
Событие А5 – 5 июля хорошая погода возможно в двух случаях.
Была хорошая и осталась такой. Вероятность=0,8·0,8 (была и осталась – совместные события)
Была отличная и изменилась.
Вероятность=0,2·0,2 (была и изменилась – совместные события)
Случаи несовместны =>
Р(А5) = сумме вероятностей двух событий
44 слайд
№ 320199
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить
хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
11.08.2021
44
Решение:
45 слайд
45
Решение:
А – набрано не менее 70 баллов по математике. Р(А)=0,6
В – набрано не менее 70 баллов по русск. языку. Р(В)=0,8
С – набрано не менее 70 баллов по англ. языку. Р(С)=0,7
D – набрано не менее 70 баллов по обществозн. Р(D)=0,5
Все эти события совместны
Вероятность поступления только на «Лингв.» =
0,6·0,8·0,7·(1-0,5)=0,168
Вероятность поступления только на «Комм.» =
0,6·0,8·0,5∙(1-0,7)=0,072
Вероятность поступления хотя бы на одну специальность =
=0,168+0,072+0,168=0,408
Ответ:0,408
Вероятность поступления на обе специальности=
0,6·0,8·0,7·0,5=0,168
Все эти события несовме
стны
46 слайд
№ 320180
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
11.08.2021
46
Решение:
Событие А – взял пристрелянный. Р(А)=4/10=0,4
Событие В – взял непристрелянный. Р(В)=1-Р(А)=0,6
Вероятность непопадания из пристрелянного=1-0,9=0,1
Вероятность непопадания из непристрелянного=1-0,2=0,8
47 слайд
11.08.2021
47
Событие А1 – взял пристрелянный и не попал. Р(А1)=Р(А)∙0,1=0,4∙0,1=0,04 (взял и не попал – совместные события)
Событие В1 – взял непристрелянный и не попал. Р(В1)=Р(В)∙0,8=0,6∙0,8=0,48
Вероятность непопадания
Ответ:0,52
№ 320180
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение:
48 слайд
№ 319353
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая –– 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
11.08.2021
48
Решение:
Событие А –стекло выпустила первая фабрика
Р(А)=0,45
Событие В –стекло выпустила вторая фабрика
Р(В)=0,55
Событие А1 – колесо, выпущенное первой фабрикой – бракованное.
Р(А1 )=0,03
Событие В1 – колесо выпущенное второй фабрикой – бракованное.
Р(В1 )=0,01
49 слайд
№ 319353
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая –– 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
11.08.2021
49
Решение:
- куплено бракованное колесо первой ф.
- куплено бракованное колесо второй ф.
Эти события - несовместны
Р=0,0135+0,0055=0,019
Ответ:0,019
50 слайд
50
Задачи открытого банка.
Статистическое определение вероятности..
51 слайд
№ 320189
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
11.08.2021
51
Решение:
родилось девочек.
статистическая вероятность
(частота рождения).
Ответ:0,4976
52 слайд
№ 320195
Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
11.08.2021
52
Решение:
статистическая
вероятность.
Ответ:0,006
53 слайд
№ 320200
На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
11.08.2021
53
Решение:
А – произведенная тарелка имеет дефект
Р(А) =10%:100%=0,1
В – при контроле выявлена дефектная тарелка
Р(В) =80%:100%=0,8
Вероятность того, что произвели
дефектную тарелку и обнаружили дефект =
Событие – произведена тарелка без дефекта и дефект не обнаружен противоположно предыдущему.
Его вероятность =
Ответ:0,92
54 слайд
№ 319177
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
11.08.2021
54
Решение:
В задаче требуется узнать, какую часть всех яиц выпускает первое хозяйство. Это статистическая вероятность события «куплено яйцо из первого хозяйства»
Пусть х яиц выпускает первое хозяйство (0,4х – высшей кат.), у – второе (0,2у – высшей кат.).
Составим уравнение:
Значит первое хозяйство поставляет ¾ всех яиц.
Ответ:0,75
55 слайд
55
Задачи открытого банка.
Сумма совместных событий.
56 слайд
№ 320174
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
11.08.2021
56
Решение:
Событие А – исправен первый автомат Р(А)=1-0,05=0,95
Событие В – исправен второй автомат
А∙В – исправны оба
Р(А∙В)=0,95∙0,95=0,9025
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)∙Р(В)=0,95+0,95-0,9025=0,9975
Ответ:0,9975
Р(В)=1-0,05=0,95
А+В– хотя бы один исправен
События А и В – совместны.
57 слайд
№ 319172
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
11.08.2021
57
Решение:
Событие А – кофе закончилось в первом автомате Р(А)=0,3
Событие В – кофе закончилось во втором автомате
D – кофе закончилось в двух автоматах
Р=1-Р(С)=0,52
Р(D)=0,12
Р(С)=Р(А)+Р(В)-Р(А)∙Р(В)=0,3+0,3-0,12=0,48
Ответ:0,52
Р(В)=0,3
С– кофе закончится хотя бы в одном из двух
События А и В – независимы
События «кофе закончилось хотя бы в одном» и «осталось в обоих» - противоположны.
58 слайд
58
Условная вероятность.
59 слайд
59
320192
В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Решение:
Андрей обязательно попал в какую то группу (достоверное событие) Р=1
Теперь в этой группе 12 свободных мест и осталось 25 учеников..
Сергей попал в ту же группу Р=12/25
Рассматриваемые события – совместны.
Ответ:0,48
60 слайд
60
В банке нет, но в некоторых тренировочных работах предлагается
На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами. Ответ округлите до сотых.
Решение:
Вероятность того, что первый взятый наугад холодильник имеет дефекты равна 5/35=1/7
Теперь из 34 холодильников 4 имеют дефекты.
Вероятность того, что второй взятый наугад холодильник имеет дефекты при условии, что один с дефектами уже взяли равна 4/34=2/14
Рассматриваемые события – совместны.
Ответ:0,02
61 слайд
61
Источники:
УМК А. Г. Мордкович (профильный уровень)
И. Л. Бродский, Р. А. Литвиненко.“Вероятность и статистика.” - М.: Аркти. - 2006.
Открытый банк задач.
Г. В. Сычева, Н. Б. Гусева “Математика. ГИА. 9 класс”
А. Г. Мордкович “Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 10 класс.”
http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-probability.pdf
http://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par14
http://ta-shah.ucoz.ru/load
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Урок по теме Простейшие вероятностные задачи.docx
Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.
П. Лаплас
Урок по теме «Простейшие вероятностные задачи»
Организационная информация
Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи».
Предмет: алгебра и начала анализа.
Класс: 11.
Тип урока: комбинированный.
Длительность: 2 учебных часа.
Цель урока: рассмотреть простейшие понятия теории вероятностей.
Задачи урока:
образовательные: научить в процессе реальной ситуации определять достоверные, невозможные, равновероятностные, совместные и несовместные события; научить решать задачи из жизни;
воспитательные: воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.
развивающие: развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Используемые технологии: развивающее обучение, групповая технология, ИКТ, элементы исследовательской деятельности, элементы блочного изучения тем.
Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, презентация по теме «Простейшие вероятностные задачи», экран.
План урока:
1) Организационный момент.
3) Изучение нового материала.
3.1. Что такое событие?
3.3. Что такое теория вероятностей? Алгоритм нахождения вероятности случайного события.
3.4., 3.5. Решение простейших вероятностных задач.
4) Итоги урока.
5) Домашнее задание.
Ход урока
1. Организационный момент
Приветствие учеников, сообщение темы и цели урока
3. Изучение нового материала
3.1. Что такое событие? (класс заранее был поделен на группы, одна из групп подготовила информацию об этом понятии) (слайд 3)
Например:
В теории вероятностей возможный исход эксперимента, называется элементарным событием, а множество таких исходов называется просто событием.
Событие – это результат испытания.
Пример.
Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.
В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух. Да, оно произошло. Нет, оно не произошло.
В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторое событие может произойти, а может и не произойти.
Например:
В следующем году первый снег выпадет в субботу. Бутерброд упадет маслом вниз. При бросании кубика выпадет шестерка. При бросании кубика выпадет четное число.
У меня есть лотерейный билет. После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня событие – выигрыш тысячи рублей, либо происходит, либо не происходит. В следующем году первый снег выпадет в субботу.
Такие непредсказуемые события называются случайными. (слайд 4)
Теория вероятностей изучает различные модели случайных событий, их свойства и характеристики. Разумеется, эта теория не может однозначно предсказать, какое событие в реальности произойдет, но может оценить, какое событие наиболее вероятно. При этом будем считать, что случайные события равновероятны (или равновозможны), - идеализированная модель.
Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными. ( слайд 5)
Примеры.
1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместные.
2. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.
3. Примеры ребят.
Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ. (слайд 6)
Неравновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое то преимущество.
Примеры.
1. Появление герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.
2. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).
3. Примеры ребят.
Событие, которое происходит всегда, называют достоверным событием.
Вероятность достоверного события равна 1. (слайд 7)
Событие, которое не может произойти, называется невозможным.
Вероятность невозможного события равна 0.
Примеры.
1. В следующем году снег не выпадет. При бросании кубика выпадет семерка. Это невозможные события.
2. В следующем году снег выпадет. При бросании кубика выпадет число, меньше семи. Ежедневный восход солнца. Это достоверные события.
3. Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара – достоверное событие; появление белого шара – невозможное событие.
4. Приведите примеры достоверных и невозможных событий.
3.3. Что такое «теория вероятностей»? (ребята из третьей группы знакомят с определениями теории вероятностей)
Например:
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. (Советский энциклопедический словарь, 1982 год)
Теория вероятностей – это математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким – либо образом с первыми. (А.А.Боровков «Теория вероятностей», М.: Наука, 1986 год.)
Вероятность – это численная характеристика реальности появления того или иного события.
Классическое определение вероятности. ( слайд 8)
Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.
Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события. (слайд 9)
Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти:
число N всех возможных исходов данного испытания;
количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А;
частное 
оно и
будет равно вероятности события А.
Принято вероятность события А обозначать
так: Р(А). Значит Р(А) = 
Примеры. (слайд 10)
На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.
Решение. Число стандартных подшипников равно 1000 – 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N(A) = 970 исходов.
Поэтому 
Р(А) = 
Ответ: 0,97.
2. Найдем вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадает: а) три очка; б) число очков, кратное трем; в) число очков больше трех; г) число очков, не кратное трем.
Решение. Всего имеется N=6 возможных исходов: выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Считаем, что эти исходы равновозможны.
а) Только при одном из исходов N(А)=1 происходит интересующее нас
событие А – выпадение трех очков.
Вероятность этого события 
.
б) При двух исходах N(B) = 2 происходит событие B: выпадение числа очков
кратных трем: выпадение или трех или шести очков. Вероятность такого события 
.
в) При трех исходах N(C) = 3 происходит событие C: выпадение числа очков
больше трех: выпадение четырех, пяти или шести очков. Вероятность этого события
.
г) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4 и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие D,
наступает в четырех случаях, т.е. N(D) = 4. Вероятность такого события: 
.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Для вычисления вероятности часто используют правило умножения. (слайд 11)
Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.
Пример.
Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5.
Решение. Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях:
1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 – четыре
благоприятных случая (N(A) = 4).
Всего возможных исходов N = 6·6 = 36 (по шесть для каждой
кости). Тогда вероятность рассматриваемого события 
Ответ: 
.
Вероятность Р(А) некоторого
события 
.
При решении некоторых задач удобно использовать свойство вероятностей противоположных событий. (слайд 12)
События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А – наступление события В.
Событие, противоположное
событию А, обозначают символом 
. Сумма вероятностей
противоположных событий равна 1. 
.
Примеры.
1. Бросаем один
раз игральную кость. Событие А – выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков.
2. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому
N = 1000.
Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.
Поэтому N(A) = 994.
Тогда 
Ответ: 0,994.
Эту задачу можно решить с помощью формулы
вероятности противоположного события = {аккумулятор
неисправен}. Тогда N(Ā)=6.
Имеем 
= 
Значит, P(A) = 1- =1 – 0,006 = 0,994.
Ответ: 0,994.
3.4. Решение задач (у доски).
1. Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что:
а) герб выпадет хотя бы один раз? б) герб выпадет два раза? (слайд 13)
Решение. а) Пусть А - событие,
состоящее в том, что в результате проведенного
испытания герб выпал хотя бы один раз.
Равновозможными элементарными исходами
здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР, т.е. N = 4.
Событию А благоприятствуют исходы: ГГ, ГР, РГ, т.е. N(A) = 3.
Следовательно, 
б) Пусть В - событие, состоящее в
том, что в результате проведенного
испытания герб выпал два раза.
Событию В благоприятствует один исход: ГГ, т.е. N(B) = 1.
Следовательно, 
Ответ: а) 
;
б) 
.
2. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)? (слайд 16)
Решение. Равновозможными элементарными
исходами здесь являются пары (x, y), где x и y принимают значения: 1,2,3,4,5,6. Таким образом, общее число
элементарных исходов равно N = 6 · 6 = 36.
Событию А благоприятствуют пары
(1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1), число которых
равно N(А) = 5.
Следовательно, 
.
Ответ:
.
3. В ящике лежат 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Определите вероятность события А - все выбранные шары красные. (слайд 14)
Решение. Р(А) = 0, т.к. это событие А - невозможное.
Ответ: 0.
4. Научная конференция проводится 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день – 30 докладов, а остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? (слайд 15)
Решение.
Так как в третий
день будут слушать 10 докладов, то благоприятных исходов N(А) = 10, а всего докладов 50, т.е. равновозможных исходов N = 50. Поэтому 
.
Ответ: 0,2.
5. Перед началом первого тура чемпионата по теннису разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким – либо теннисистом из России. (слайд 16)
Решение.
Число всех
исходов N = 45. Число элементарных событий,
благоприятствующих событию А равно 18. Все элементарные
события равновозможны по условию задачи, поэтому 
Ответ: 0,4.
3.5. Решение задач в группах
А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями на столах. Помогайте друг другу при решении. (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).
Задачи:
1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий - кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
2. Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше чем 4?
3. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.
4. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза?
5. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5- из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
6. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решения к задачам
1. Случайный эксперимент – бросание жребия. Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечислим их:
(Вася), (Петя), (Коля) и (Лёша).
Общее число элементарных событий N = 4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны. Событию A = {жребий выиграл Петя}
благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1.
Тогда 
.
Ответ: 0,25.
2. Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие –число
на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные события:
1,2,3,4,5 и 6. Значит, N=6. Событию A={выпало
больше, чем 4} благоприятствует два элементарных события: 5 и 6. Поэтому N(A) = 2. Элементарные события равновозможны,
поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому 
.
Ответ:
.
3. Элементарный исход в этом опыте – порядочная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе – на втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных событий N = 3.
1 2 3 4 5 6
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
1
2
3
4
5
6
Напишем в каждой клетке таблицы сумму выпавших очков и закрасим клетки где сумма равна 8. Таких ячеек 5. Значит событию А = {сумма равна 8} благоприятствует пять элементарных исходов. Следовательно, N(A) = 5.
Поэтому 
Ответ: 
Орёл обозначим буквой О, решку – буквой Р. В описанном эксперименте элементарные исходы – тройки, составленные из букв О и Р. Выпишем все их в таблицу:
|
Элементарный исход |
Число орлов |
|
ООО |
3 |
|
ООР |
2 |
|
ОРО |
2 |
|
ОРР |
1 |
|
РОО |
2 |
|
РОР |
1 |
|
РРО |
1 |
|
РРР |
0 |
Всего исходов получилось 8. Значит, N=8. Событию А = {орёл выпал ровно два раза} благоприятствует
элементарные события ООР, ОРО, РОО. Поэтому N(A)=3. Тогда 
Ответ: 0,375.
5. Элементарный исход – спортсмен, который выступает последним. Последним может оказаться любой спортсмен. Всего спортсменов N=4+7+9+5+5=25. Событию А = {последний из Швеции} благоприятствуют только 9 исходов (столько, сколько участвует шведских спортсменов). Поэтому N(A)=9.
Тогда 
Ответ: 0,36.
6. Элементарные события – спортсменка,
выступающая первой. Поэтому N=20. Чтобы найти число
элементарных событий, благоприятствующих событию А = {первой выступает
спортсменка из Китая}, нужно подсчитать число спортсменок из Китая: N(A)=20-(8+7)=5. Все элементарные события
равновозможны по условию задачи, поэтому 
Ответ: 0,25.
7. Элементарный исход – случайно выбранная сумка. Поэтому N = 108.
Событию А = {качественная сумка} благоприятствуют 100 исходов.
Поэтому N(A) = 100.
Тогда 
Ответ: 0,93.
Отчет групп о проделанной работе
4. Итоги урока (слайд 17)
Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят. При выходе из кабинета каждый ученик выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт.
5. Домашнее задание
Выполнить онлайн тест по адресу http://gomonova.ucoz.ru/index/test/0-32
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Задачи урока: образовательные: научить в процессе реальной ситуации определять достоверные, невозможные, равновероятностные, совместные и несовместные события; научить решать задачи из жизни; воспитательные: воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда. развивающие: развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
6 655 928 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Челепис Татьяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.