Пропорция спасет! Но как её составить?
Понимать, что такое пропорция, уметь
составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы
маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё
математика обречена неполноценной.
Для начала вспомним, что такое
пропорция. Это равенство вида:
что то же самое (это разная форма записи).
Основное правило пропорции:
произведение крайних членов равно произведению средних
,то есть a∙d=b∙c.
Если какая-либо величина в пропорции неизвестна,
ее можно найти именно по этому правилу.
Если рассматривать форму записи
вида: ,то используют ещё следующее правило, его
называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел
или выражений) стоящих по диагонали
a∙d=b∙c
Как видите результат тот же.
Если три элемента пропорции известны, то мы всегда
можем найти четвёртый.
Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции
при решении задач.
Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная
величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:
Таким образом, величина, стоящая по диагонали от
х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали
записываются в числитель, как произведение.
Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи.
Когда пропорция может спасти и где используется? Например:
1. Решение задач на проценты.
2. Многие формулы заданы в виде пропорций:
·
теорема синусов
·
отношение элементов в
треугольнике
·
теорема Фалеса и другие.
3. В задачах по геометрии в условии часто
задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3
и прочие.
4. Перевод единиц измерения, причём пропорция
используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из
одной меры в другую:
ü часы в минуты (и наоборот).
ü единицы объёма, площади.
ü длины, например мили в километры (и наоборот).
ü градусы в радианы (и наоборот).
Ключевой момент в том, что нужно правильно установить
соответствие, рассмотрим простые примеры:
Задача 1: Необходимо определить число, которое составляет
35% от 700.
В задачах на проценты за 100% принимается та величина,
с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим
соответствие:
Можно сказать, что семисот
тридцати пяти соответствует 100 процентов.
Иксу соответствует 35 процентов.
Значит, 700 – 100%
х – 35 %.
Решаем
Ответ: 245
Задача 2: Переведём 50 минут в часы.
Мы знаем, что одному часу
соответствует 60 минут, x часов - это 50 минут. Значит, 1
– 60
х
– 50
Решаем:
То есть 50 минут это пять шестых
часа.
Ответ: 5/6
Для перевода
градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Но можно не зная их,
перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользоваться пропорцией.
Задача 3 :Перевести 65 градусов в радианную меру.
Главное это запомнить, что 180 градусов это радиан.
Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем
соответствие.
Ста восьмидесяти градусам соответствует радиан.
Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.
Если необходимо перевести градусы в радианы, то в эту
пропорцию нужно подставить градусы и вычисляете радианы; если необходимо
перевести радианы в градусы, то подставить радианы и вычислить градусы.
Если вспомнить само определение математики, то в нём
есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ
(ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как можно видеть, в самом
определении математики заложена пропорция. В общем, математика без пропорции
это не математика!
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.