2. Актуализация
прежних знаний
|
Скажите,
а что нам нужно повторить, перед решением уравнений (если затрудняются,
помогаю)?
- Какое
уравнение называется квадратным?
-
Коэффициенты.
- Какие
виды квадратных уравнений вам известны?
- Формулы
корней квадратных уравнений.
- Устно
решите квадратные уравнения, с помощью теоремы Виета:
1. x2-9x+14=0
2.x2+3x+2=0
|
Ответы
учащихся (перечисляют, что нужно повторить).
Уравнение
вида ax2+bx+c=0, гдеa, b, c – действительные
числа, a ≠0.
а
– первый, старший; b –
второй; с – свободный член.
Приведенное,
неприведенное, полное, неполное.
D=b2-4ac
если
D< 0, не
имеет корней;
D = 0,
один корень ;
D> 0,
два корня x1,2=.
Коэффициент
b, четное число D=
x1,2=
Теорема
Виета
Пусть x1, x2 – корни
квадратного уравнения ax2+bx+c=0.
Тогда
x1+x2=,
x1x2=.
x1+x2= -(-9)
x1x2=14 (оба
корня одного знака), т.к. сумма положительна, оба корня положительны
х1=2
х2=7
x1+x2= -3
x1x2=2 (оба
корня одного знака), т.к. сумма отрицательна, оба корня отрицательны
х1=
-1 х2= -2
|
3. Введение
нового материала
|
-
Все ли способы решения квадратных уравнений вы изучили?
-
Сможете ли вы решить эти уравнения устно? Попробуйте.
5х2
+ 17х - 22 = 0
9х2
– 13х + 4 = 0
2012х2
– 2011х - 1 = 0
839х2+448х-391
=0
4х2+11х+7=0
13х2+29х+16=0
А
вот я могу. Хотите, что бы и вы тоже умели решать такие уравнения устно?
Хорошо
давайте познакомимся еще с одним способом решения квадратных уравнений,
который называется свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Пусть
нам дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0, где a≠0
10.
Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из корней
этого уравнения равен единице, а второй делению
свободного члена на первый коэффициент.a+b+c=0, то х1=1,
х2=
Попробуйте
узнать, чему же будет равен второй корень уравнения:
*
* *
a+b+c=0
найдем
один из коэффициентов.
a= -b-c
значение
коэффициента подставим в наше уравнение, получим
ax2+bx+c=0
(-b-c)x2+bx+c=0
-bx2-cx2+bx+c=0
Приведем
подобные
-bx(x-1)-c(x2+1)=0
-bx(x-1)-c(x-1)(x+1)=0
(x-1)(-bx-c(x+1))=0
(x-1)(-bx-cx-c)=0
x-1=0
или -bx-cx-c=0
x=1или(-b-c)x-c=0 (-b-c=a)
x=1 или
ax-c=0
x=1 или
ax=c
x=1
или x=
Что
и требовалось доказать.
*
* *
a+b+c=0
найдем
один из коэффициентов.
b= -a-c
значение
коэффициента подставим в наше уравнение, получим
ax2+bx+c=0
ax2+(-a-c)x+c=0
ax2-ax2-cx+c=0
Приведем
подобные
ax(x-1)-c(x-1)=0
(x-1)(ax-c)=0
x-1=0
или ax-c=0
x=1
или ax=c
x=1
или x=
Что
и требовалось доказать.
Самостоятельно
докажите это свойство, выразив с.
Вернемся
к уравнениям. Решаем.
5х2
+ 17х - 22 = 0
Проверим
сумму коэффициентов, 5+17+(-22)=0
х1=1,
х2=
х1=1,
х2=
х1=1,
х2= -4,4
9х2
– 13х + 4 = 0
Проверим
сумму коэффициентов, 9+(-13)+4=0
х1=1,
х2=
х1=1,
х2=
2012х2
– 2011х - 1 = 0
Проверим
сумму коэффициентов,
2012+(-2011)+(-1)=0
х1=1,
х2=
х1=1,
х2=
Решите
самостоятельно
67х2-75х+8=0
a=67 b= -75 c=8
67+(-75)+8=0
Значит
х1=1, х2=
Рассмотрим
второе свойство.
20.
Если a-b+c=0,то х1=
-1, х2=
Попробуем
найти второй корень и доказать это свойство.
ax2+bx+c=0
a-b+c=0
найдем
один из коэффициентов.
a=b-c
значение
коэффициента подставим в наше уравнение, получим
(b-c)x2+bx+c=0
bx2-cx2+bx+c=0
(bx2+bx)
–(cx2–c)=0
bx(x+1)-c(x2-1)=0
bx(x+1)-c(x-1)(x+1)=0
(x+1)(bx-c(x-1))=0
(x+1)(bx-cx+c)=0
(x+1)(x(b-c)+c)=0
x+1=0
или x(b-c)+c=0
x= -1
или x(b-c) = -c(b-c=a)
x= -1
или ax= -c
x= -1
или x=
Что
и требовалось доказать.
Докажите
самостоятельно выразив через другие коэффициенты, через b или а.
Вернемся
к уравнениям. Решаем.
839х2+448х-391
=0
839-448+(-391)=0
х1=
-1, х2=
х1=
-1, х2=
4х2+11х+7=0
4-11+7=0
х1=
-1, х2=
х1=
-1, х2=
х1=
-1, х2=
13
х2+29х+16=0
13-29+16=0
х1=
-1, х2=
х1=
-1, х2=
х1=
-1, х2=
Решите
самостоятельно:
341х2+290х-51=0
a=341b=290c= -51
341-290+(-51)=0
Значит
х1= - 1, х2=
|
Ответы
учащихся.
Открывают
тетради, записывают число.
Записывают
в тетради формулировку свойства.
Самостоятельно
находят корни, доказывают 10 свойство.
В
тетради запись:
ax2+bx+c=0, где a≠0
10.
Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из корней
этого уравнения равен единице, а второй делению свободного члена на первый
коэффициент.a+b+c=0, то х1=1,
х2=
a+b+c=0,
х1=1,
х2=
|
|
Учащиеся
предлагают выразить коэффициенты (a, b, c)
a+b+c=0
найдем
один из коэффициентов.
c= -a-b
значение
коэффициента подставим в наше уравнение, получим
ax2+bx+c=0
ax2+bx+(-a-b)=0
ax2+bx-a-b=0
Приведем
подобные
(ax2-a)+(bx-b)=0
a(x2-1)+b(x-1)=0
a(x-1)(x+1)+b(x-1)=0
(x-1)(a(x+1)+b)=0
(x-1)(ax+a+b)=0
x-1=0илиax+a+b==0
x=1илиax= -a-b(-a-b=c)
x=1
или ax=c
x=1или x=
Что
и требовалось доказать.
Ученики
устно решают уравнения, спрашиваю отстающих учеников, для создания ситуации
«успеха».
5х2
+ 17х - 22 = 0
х1=1,
х2= -4,4
9х2
– 13х + 4 = 0
х1=1,
х2=
2012х2
– 2011х - 1 = 0
х1=1,
х2=
Проверяем,
взаимопроверка обменяться тетрадями, поставить плюс, минус.
67х2-75х+8=0
х1=1,
х2=
В
тетради запись:
ax2+bx+c=0,
где a≠0
a-b+c=0
b
= a+c
х1=
-1, х2=
|
|
a-b+c=0
c= -a+b
значение
коэффициента подставим в наше уравнение, получим
ax2+bx+c=0
ax2+bx-a+b=0
Приведем
подобные
(ax2-a)+(bx+b)=0
a(x2-1)+b(x+1)=0
a(x-1)(x+1)+b(x+1)=0
(x+1)(a(x-1)+b)=0
(x+1)(ax-a+b)=0
х+1=0илиаx-a+b=0(-a+b=c)
x= -1
или ax+с=0
x= -1
или ax= -c
x=
-1 илиx= -
a-b+c=0
b= a+c
значение
коэффициента подставим в наше уравнение, получим
ax2+(a+c)x+c=0
ax2+ax+cx+c=0
ax(x+1)+c(x+1)=0
(x+1)(ax+c)=0
x+1=0
или ax+c=0
x= -1
или ax= -c
x= -1
или x= -
Ученики
устно решают уравнения, спрашиваю отстающих учеников, для создания ситуации
«успеха».
Три
ученика выходят к доске оформляют правильную запись на доске, остальные в
тетради.
839х2+448х-391
=0
х1=
-1, х2=
4х2+11х+7=0
х1=
-1, х2=
13
х2+29х+16=0
х1=
-1, х2=
Проверяем,
взаимопроверка, обмен тетрадями, ставим плюс, минус.
341х2+290х-51=0
х1=
- 1, х2=
|
4.
Заключительный этап
|
-Решить
следующие уравнения
190х2
+150х - 340 = 0
х2
-2000х - 2001 = 0
-
Молодцы. Сейчас мы с вами поиграем в математическое лото «Веселый художник».
Все играли в лото? У вас на столах лежат конверты, в них находятся карточка с
уравнениями и фишки с ответами. Достаньте карточку с уравнениями. Работаем в
парах. По очереди достаете фишки с ответами, находите уравнение, корнями
которого они являются, и кладете фишку на это уравнение. Ваша задача закрыть
все уравнения, при этом главное не ошибиться. Будьте внимательны при
вычислениях.
|
Двое
у доски, остальные в тетрадях.
a=190b= 150c= -340
190+150+(-340)=0
Значит
х1=1, х2=
х1=1,
х2=
a=1b= -2000c= -2001
1-(-2000)+(-2001)=0
Значит
х1= -1, х2=
Если
ребята правильно решили все уравнения, то у них должна получиться картинка.
Игра
проводится с целью развития логического мышления, для развития мыслительных
операций, для того что бы у учащихся развивался интерес к математике.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.