МБОУ «Благовещенская средняя общеобразовательная школа №5»
с. Благовещенское Вельского района Архангельской области
Окатова Ангелина Владимировна, учитель математики.
Конспект бинарного урока по в 10 классе геометрии
по теме «Правильные многогранники»
Цель урока: познакомить учащихся с правильными многогранниками.
Задачи:
· знакомство с понятием правильного многогранника, видами таких многогранников;
· формирование навыков решения стереометрических задач, развитие пространственного воображения
· расширение знаний учащихся о многогранниках в природе, живописи, архитектуре.
Фраза урока (на доске):
«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный
по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.»
Л. Кэролл
1. Актуализация знаний учащихся (5мин.)
а) Устный опрос:
- определение многогранника, его элементов;
- определение призмы, пирамиды, их элементов;
- правильная призма, пирамида, формула площади их поверхности;
- определение правильного многоугольника.
б) Определить вид многогранника по демонстрируемой модели (усечённая
3-угльная пирамида, наклонная 4-уголная призма, прямая 6-угольная призма, 5-гранник, прямоугольный параллелепипед).
2. Знакомство с понятием правильного многогранника (15 мин.)
а) Рассказ учителя:
Среди многогранников выделяется особая группа – правильные многогранники. Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.
Ученье о правильных многогранника содержится в последней книге Евклида, является венцом его «Начал», сначала Евклид доказывает существование этих многогранников, затем доказывает, что их только 5.
Используя свои знания о многогранниках, вы тоже сможете это доказать.
б) Доказательство существования 5 видов правильных многогранников проводится в ходе совместных рассуждений с учащимися.
Пусть при одной вершине сходится n рёбер, значит при вершине n углов и они равны
между собой. Обозначим плоский угол - x, значит сумма плоских углов при одной вершине
nx, nx меньше 360. Следовательно угол x меньше 360/n.
Если n ≥ 7, плоский угол меньше 60, а такого правильного многоугольника не существует.
Учащиеся делают расчёт:
Треугольник. Квадрат. Пятиугольник. Шестиугольник.
60×3 = 180 90×3 = 270 108×3 = 324 120×3 = 360 – не может быть такого
60×4 = 240 многогранника
60 ×5 = 300
Значит, каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной 3, 4, 5 равносторонних треугольников, 3 квадратов, или 3 правильных пятиугольников.
В соответствии с этим получаем 5 видов правильных многогранников:
тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр.
в) Презентация «Правильные многогранники» (приложение 1)
3) Практическая работа с моделями многогранников. (25 мин.)
Учащиеся работают в группах (3 - 4 чел.), каждой группе выданы модели правильных многогранников.
1 задание: используя модели и выводы из первой части урока, заполнить таблицу:
|
Многогранник |
Грань |
Количество граней |
Количество вершин |
Количество рёбер |
Сумма плоских углов при вершине |
|
Тетраэдр |
треугольник |
4 |
4 |
6 |
180 |
|
Октаэдр |
Правильный треугольник |
|
|
|
|
|
Икосаэдр |
Правильный треугольник |
|
|
|
|
|
Гексаэдр |
Квадрат |
|
|
|
|
|
Додекаэдр |
Правильный пятиугольник |
|
|
|
|
Для проверки используется заполненная таблица на доске (до этого - закрытая)
2 задание:
Найти площадь поверхности моделей многогранников.
1группа: тетраэдр и октаэдр.
2 группа: гексаэдр и икосаэдр.
3 группа: додекаэдр.
На задание отводится 5минут, затем представитель каждой группы знакомит с решением.
3 задание:
Изобразить развёртки многогранников (на отдельном листе).
Для проверки предлагается вырезать развёртку и сложить многогранник. Затем демонстрируется рисунок с возможными развёртками (приложение 3).
3. Дополнительный материал по теме. (15 мин.)
а) Учитель: кроме 5 правильных многогранников существует 13 полуправильных. Многогранник называется полуправильным, если его грани - правильные многоугольники, возможно с различным числом сторон и все многогранные углы равны. Их открытие принадлежит Архимеду, поэтому такие многогранники называют «Тела Архимеда».
Презентация «Тела Архимеда» (Приложение 2).
б) Защита проектов учащихся:
«Звёздчатые многогранники»
«Правильные многогранники в природе, живописи, архитектуре».
На выступление отводится 5 минут.
(Работа над проектами идёт в течение изучения темы «Многогранники», каждый учащийся выбрал тему из 10 предложенных, защита по мере подготовки и рассмотрения вопроса на уроке).
4. Решение задач (25 мин.)
Учащимся предлагаются задачи на комбинации правильных многогранников.
Их предваряет рассказ учителя:
Правильные многогранники можно вписывать друг в друга.
При этом возможны следующие случаи:
1. Вершинами вписанного многогранника являются некоторые вершины описанного многогранника.
2. Вершинами вписанного многогранника являются середины ребер описанного многогранника.
3. Вершинами вписанного многогранника являются центры граней описанного многогранника.
4. Серединами ребер вписанного многогранника являются центры граней описанного многогранника.
5. Центрами граней вписанного многогранника являются некоторые центры граней описанного многогранника.
Последовательное вписывание друг в друга правильных многогранников называется каскадом. Примером такого каскада может служить «Кубок Кеплера».
(Рисунок - приложение 4)
На рисунке представлен каскад, в котором в качестве первого многогранника взят
икосаэдр, в него вписан додекаэдр, затем куб, далее тетраэдр и, наконец, октаэдр.
Иоганн Кеплер (1571-1630) в своей работе "Тайна мироздания" в 1596 году, используя
правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры
орбит планет Солнечной системы. Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру,
заключалась в следующем: "Земля (имеется в виду орбита Земли) есть мера всех орбит.
Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса.
Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера
Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера
Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В
сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия". Такая
модель Солнечной системы получила название "Космического кубка" Кеплера.
Задача №1.
(Рисунки к задачам в приложении 5)
Тетраэдр можно вписать в куб так, что вершинами тетраэдра будут некоторые вершины куба.
Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный куб.
Ответ: √ 2
Решение первой задачи - в ходе совместных рассуждений с записью на доске, остальные задачи – самостоятельно, при необходимости - консультация учителя.
Проверка – по листу ответов на столе учителя.
Задача №2.
В куб можно вписать октаэдр. Вершинами октаэдра являются центры граней куба. В свою очередь, центры граней октаэдра образуют вершины вписанного в него куба. Многогранники, обладающие таким свойством, называются взаимно двойственными. Таким образом, октаэдр и куб - взаимно двойственные многогранники.
Найти ребро октаэдра, вписанного в единичный куб.
Ответ: √ 2 / 2
Задача №3.
Найдите ребро куба, вписанного в единичный октаэдр.
Ответ: √ 2 / 3
Задача №4.
Куб можно вписать в додекаэдр так, что вершинами куба будут некоторые вершины додекаэдра.
Найдите ребро куба, вписанного в единичный додекаэдр.
Ответ:
(1 + √ 5) / 2
Задача № 5.
Октаэдр можно вписать в тетраэдр так, что вершинами октаэдра будут середины ребер тетраэдра.
Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный тетраэдр.
Ответ: 1/2
Задача № 6.
В октаэдр можно вписать куб так, что вершинами куба будут центры граней октаэдра. Вписывая в куб тетраэдр, получим тетраэдр, вписанный в октаэдр.
Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный октаэдр.
Ответ: 2/3
Количество решённых на уроке задач может быть ограничено временем урока, нерешённые задачи предлагаются в домашнее задание.
5. Домашнее задание. Итоги урока. (5мин.)
а) Домашнее задание: читать п. 36, 37 учебника, решить оставшиеся задачи с урока, изготовить модели правильных многогранников.
б) Объявляются оценки за урок (за работу в группах, защиту проектов, за решение задач).
в) Мнение учащихся об уроке, изученном материале (одно предложение от каждого учащегося).
Список литературы.
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
2. Веннинджер М. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1983.
4. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995.
5. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. естеств.-научного профиля обучения. – М.: Просвещение, 2001.
Приложения.
1. Презентация «Правильные многогранники» (в электр. виде)
2. Презентация «Тела Архимеда» (в электр. виде)
3. Развёртки правильных многогранников.
4. Рисунок «Кубок Кеплера».
5. Рисунки к задачам «Каскады многогранников» (6 листов).
Приложение №3
Развёртки правильных многогранников.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Среди многогранников выделяется особая группа – правильные многогранники. Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.
Ученье о правильных многогранника содержится в последней книге Евклида, является венцом его «Начал», сначала Евклид доказывает существование этих многогранников, затем доказывает, что их только 5.
Используя свои знания о многогранниках, вы тоже сможете это доказать.
6 662 926 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Окатова Ангелина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.