Конспект по алгебре и началам анализа на тему :" Геометрический смысл производной" (10 класс)

Организационная информация

Тема урока

Геометрический  смысл производной.

Предмет

алгебра

Класс

10

Автора урока

Постникова Алла Александровна, Подколзина Ольга Евгеньевна, учитель математики

Образовательное

МБОУ «СОШ № 84» ЗАТО Северск

Республика/край,

Томская область,

Город/поселение

г Северск

Методическая информация

Тип урока

Изучение нового материала

Цели урока

обучающая:

ü обобщить и закрепить идею геометрического смысла производной на основе знакомства с составлением математических «портретов» (под математическим «портретом» понимается схематичное или словесное описание требуемых свойств);

ü  сформировать начальное представление об истории развития математического анализа,

ü  учить работать с теоретическими вопросами учебника;

ü  «открыть» зависимость между значениями производной и свойствами
монотонности функции, экстремумами;

развивающая:

ü  способствовать развитию общения как метода научного познания,
аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,

ü  развитие навыков исследовательской деятельности (планирование своей деятельности, выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов);

воспитательная:

ü  развивать у учащихся коммуникативные  компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства);

ü  способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Задачи урока

Сформировать:

-- представление о геометрической интерпретации касательной;

–        представление о необходимых и достаточных условиях существования экстремума, условиях возрастания и убывания функции;

–        сформировать план дальнейшего  изучения темы «Использования свойств производной для исследования функции»

Используемые педагогические технологии,  методы и приемы

Проблемное изложение материала, постановка задачи перед обучающимися и совместный  поиск решения.

Время реализации урока (мероприятия, занятия)

45 минут.

Универсальные учебные действия

Регулятивные: различать способ и результат действия;

Познавательные: ориентироваться на разнообразие способов решения задач;

Коммуникативные: контролировать действие партнера, учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.

Планируемые образовательные результаты

Знают геометрический смысл производной, как с помощью алгоритма исследовать функцию на монотонность.

Умеют исследовать функцию на монотонность в простейших случаях.

Необходимое оборудование

Компьютер, проектор, экран, учебник (Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа)

Дидактическое обеспечение урока (мероприятия, занятия)

Обучающие и контрольные тесты.

Список учебной и дополнительной литературы

Список используемой литературы

1.      Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.

2.      Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений
/А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова-
10-е изд.- М..: Просвещение,2000. – стр. 160-166

3.      Единый государственный экзамен: Математика: Контрол. измерит. материалы
/Л.О. Денищева, Е.М.Бойченко, Ю.А.Глазков и.др.; М - во образования Рос.
Федерации.- М.: Просвещение, 2003.

4.      Производная и её применение: Дидакт. матер, по курсу алгебры и начал анализа
для 10-11 кл.ср.шк./Под ред. М.И.Башмакова - СПб, Свет, 1995.

5.      Клайн М. Математика. Утрата определённости: Пер. с англ./ Под ред. С предисл. И
примеч. И.М.Яглома.- М.: Мир, 1984.

6.      Маркова В. Что такое исследовательская деятельность школьников / Математика (приложение к 1 сентября), №12, 2007.

Подробный конспект урока

Мотивация обучающихся

Домашнее задание в виде лабораторной работы.

. Для функции y = f(x) (график функции изображен на слайде 7)  найдите:

              А) промежутки возрастания и убывания функции;

              Б) точки максимума и минимума;

              В) экстремумы функции;

        Г) наибольшее и наименьшее значение на отрезках [-7;-4], [-4;0], [-7;7].

Постройте график функции y = f (x) (рис. 121) в масштабе 2:1, приняв за единицу        измерения осей 2 клетки.

     3. На построенном графике с шагом h = 1 клетка на отрезке [-6;5] проведите касательные в точках графика с абсциссами х₀ = - 6 + n / 2, где n = 0,…,22 и вычислите значения производной в полученных точках, используя геометрический смысл производной. Заполните таблицу 1.

Таблица 1.

Подсказка для учащихся (читайте учебник, стр.328-340 [1]).

     4. Постройте график производной по точкам, вычисляя значения производной в точке, используя  определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

  5. Ответьте на вопросы, используя построенный график производной:

          А) На каких промежутках производная функции принимает положительные

            (отрицательные) значения?

            Б) Можно ли определить значение производной в точках экстремума функции? Если можно, то чему равно значение производной в точках экстремума?

            В) Сделайте предположения о связи значений производной с промежутками     монотонности функции, с точками экстремумов функции. Заполните таблицу 2.

Таблица 2.

Ход и содержание урока

     I.            Организационный момент – 1 минута

Учитель приветствует учащихся и объявляет цель урока и план, используя презентационное сопровождение. Зачитывается эпиграф к уроку.

Учитель. (Слайды 1-3) Сегодня на уроке мы  обобщим и закрепим геометрический смысл производной, сформируем начальное представление о приложениях производной в математике и истории их развития, выясним  зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и значениями производной; рассмотрим план дальнейшего изучения темы «Исследование свойств функций при помощи производной».

(Слайд 4) Эпиграфом к уроку служат слова Энгельса: «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы».

  II.            Проверка домашнего задания и постановка проблемы – 9 минут

Учитель. Дома Вы должны были выполнить лабораторную работу: построить график функции и схематично по точкам график её производной, используя геометрический смысл производной. А также Вы должны были ответить на вопросы. Проверим, как вы справились с домашним заданием.

Акцентируем теорию по теме. (Слайды 5, 6)

Учитель. Ответьте на вопросы и проведите самооценку своего устного ответа, сопоставив его с выводимыми на экран элементами опорного конспекта.

Учитель объясняет метод теоретического опроса. Подает вопросы по теории на слайдах презентации. Демонстрирует после ответа учащегося соответствующие элементы опорного конспекта.

Учащиеся отвечают на теоретические вопросы устно. После демонстрации элементов опорного конспекта ими проводится самооценка  своего устного ответа.

      Применение теории на практике. (Слайд 7)

      Учитель. На экране представлен график функции из домашнего задания. По графику функции нам предстоит с Вами определить некоторые свойства функции и её производной. Далее составим так называемые «математический образ» функции и её производной.  Под «математическим образом» будем понимать либо словесное описание, либо  схематическое изображение соответствующих свойств на числовой оси.

     Учитель демонстрирует график из домашнего задания, задает вопросы. Фиксирует результаты ответов учащихся на слайдах презентации.

      Учитель.

• Назовите промежутки убывания функции (кадр).
• Отметим эти промежутки на «образе» функции (кадр).
• В каждой точке промежутков убывания проведем касательные (кадр). Под каким углом наклонена касательная к положительному направлению оси ОХ?
• Какой знак имеет производная?
• Отметим знаки значений производной на «образе» производной (кадр).
• Назовите промежутки возрастания функции (кадр).
• Отметим эти промежутки на «образе» функции (кадр).
• В каждой точке промежутков возрастания проведем касательные (кадр). Под каким углом наклонена касательная к положительному направлению оси ОХ?
• Какие значения имеет производная?
• Отметим знаки значений производной и  её нулевые значения на «портрете» производной (кадр).
• Назовите точки экстремумов функции.
• Отметим эти точки на «образе» функции (кадр).
• Проведем касательные в каждой точке экстремума (кадр).
• В каждой ли точке экстремума можно провести касательную? Если можно, то какой угол она образует с положительным направлением оси ОХ?
• В каждой ли точке экстремума существует значение производной? Если такое значение существует, то чему оно равно?
• Отметим сделанные Вами выводы на «образе» производной надписями «Не сущ.» и « 0 » в точках экстремума (кадр).

      Постановка проблемы и выдвижение гипотезы. (Слайд 8)

      Учитель направляет предложения учащихся по выдвижению  гипотезы. Выдвигаемые предположения фиксируются на слайдах. Намечается план действий по исследованию проблемы.

        Учащиеся проводят обсуждение ответов, выдвигают идеи по дальнейшему плану действий.

III.             Открытие нового знания. Анализ наблюдений – 12 минут

      Первичный анализ наблюдений. (Слайд 9 - 10)

      Задание 1. Учитель демонстрирует тестовые задания, зачитывает условие с экрана. Проверка результатов ответов осуществляется выводом на экран столбца с ответами по каждому вопросу. Учащиеся самостоятельно отвечают на вопросы. Для проверки обмениваются тетрадями в статических группах. Идет обсуждение под руководством учителя.

      Задание 2. Учитель демонстрирует тестовые задания, результаты проверки. Зачитывается условие с экрана.  Если возникают трудности при решении, делает подсказки различных уровней, даёт комментарии. Учащиеся работают в динамических группах, обсуждают решение. Представители групп оглашают принятое решение.

IV.            Открытие нового знания. Обобщение наблюдений – 8 минут

      Первичное обобщение. (Слайд 11 - 12)

      Учитель. Установите соответствие между строками столбцов так, чтобы образовалось верное утверждение, соответствующее схеме, представленной на экране. При этом одной строке из левого столбца должна соответствовать только одна строка из правого столбца.

      Учитель демонстрирует  тестовые задания по выбору в виде таблицы. Оказывает помощь, если она требуется,  выводя подсказки на экран. Учащиеся работают в динамических группах, обсуждают решение. Представители групп оглашают принятое решение.

      Вторичное обобщение. (Слайд 13)

      Учитель выводит на  экран две схемы утверждений. В форме беседы проводит обсуждение применение этих схем к примеру 1 из  предыдущей таблицы.

     Учитель.

·         Рассмотрим две схемы построения утверждений (кадр).

·         Чем отличаются они друг от друга?

·         Рассмотрим  утверждений 1  предыдущей таблицы (кадр).

·         Формально поменяем местами (кадр). Получим ли опять верное утверждение?

       Проводится беседа с учащимися. (Ответ. Нет, так как  1. не указано «место», где выполняется условие «если …»;  2. условие «и имеет на нем производную» выполняется автоматически в условии «если…»; 3. из условия «если…» не следует преобразованное условие «то…» (может существовать промежуток, в каждой точке которого f ´(x) = 0).)

·         Теперь рассмотрим правильно построенные утверждения.

  V.            Открытие нового знания. Работа с учебником – 5 минут

       Учитель выводит на экран каждому ряду задания по работе с учебником (Слайд 14), предполагая, что учащиеся применят результаты своих исследований при выполнении задания по учебнику. Зачитывается условие с экрана. Проводит обсуждение результатов работы, выводит на экран отсканированные утверждения из учебника и правильные ответы (Слайды 15 - 17).

      Учащиеся работают самостоятельно с учебником, предлагают решения, делают выводы.

VI.             Экскурс в историю – 6 минуты

      Учитель. (Слайд 18 - 29)  Математический анализ, ядро которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления, - самая тонкая область всей математики. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением, а раздел математики, в котором изучается операция интегрирования функции, то есть восстановления функции по её производной, называется интегральным исчисление

 Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения и др.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Жиля Роберваля, английского ученого Джеймса Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

      Архимед, который задолго до этого решил задачу на построение касательной к спирали, сумел найти максимум функции f(x) = х² (а - х),

Николо Тарталья (около 1499 — 13 или 14 декабря 1557) – итальянский математик. Труды посвящены вопросам математики, механики, баллистики, геодезии, фортификации и др. В сочинении «Новая наука» (1537) он показал, что траектория полёта снаряда на всём протяжении есть кривая линия (парабола) и что наибольшая дальность полёта снаряда соответствует углу в 45°. Другая его важная работа - «Общий трактат о числе и мере» - содержит обширный материал по вопросам арифметики, алгебры и геометрии. Имя Тартальи также связано с разработкой способа решения кубических уравнений.

Галилео Галилей (15 февраля 1564 – 8 января 1642) – итальянский философ, математик, физик, механик и астроном, оказавший значительное влияние на науку своего времени. Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий

Рене Декарт (31 марта 1596 – 11 февраля 1650) – французский математик, философ, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике.

Жиль Роберваль (8 августа 1602 – 27 октября 1657) – выдающийся французский математик, астроном и физик. Занимался проблемами бесконечно малых, пределами, проблемой квадратуры круга и вычислением объёмов различных тел. Роберваль нашел метод построения касательных, рассматривая кривые, как результат перемещения точки, которое складывалось из нескольких более простых движений.

Джеймс Грегори (ноябрь 1638 – октябрь 1675) – шотландский математик и астроном. Один из основоположников математического анализа, предшественник Ньютона, который называл его в числе своих учителей и вдохновителей.

Исаак Ньютон (1643 - 1727), проводивший математические исследования, при помощи которых легче всего было понять природу производной,

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 -1716), который установил геометрический смысл производной, как тангенс угла наклона касательной. «Штрихи к портрету» Готфрида  Лейбница (кадр):  в своей работе «Новый метод максимумов и минимумов», используя    геометрическое истолкование, он кратко разъясняет признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости (следовательно, и достаточные условия экстремума для простейшего случая), а также точки перегиба. Его знаменитая фраза: "Без настоящих единиц не может быть и множества".

Якоб Бернулли (27 декабря 1654 – 16 августа 1705) – швейцарский математик. Внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Решил задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Ввёл и проинтегрировал дифференциальное уравнение. Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, теории вероятностей, теории чисел.

Гийом Франсуа Лопиталь (1661 – 1704) – французский математик, автор первого учебника по математическому анализу «Анализ бесконечно малых» (1696)

Леонард Эйлер (4 (15) апреля 1707 – 7 (18) сентября 1783), немецкий и русский математик, механик и физик. Ему принадлежат сочинения о дифференциальном и интегральном исчислениях, где рассматриваются не только данные разделы математики, но и развивается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных.

Жозеф Луи Лагранж (25 января 1736 – 10 апреля 1813) – французский математик и механик итальянского происхождения. Лучший математик 18 века

Внёс огромный вклад в развитие анализа, теории чисел, теорию вероятностей и численные методы, создал вариационное исчисление.

Подведение итогов – 3 минуты

     Учитель предлагает обобщить учащимся свои исследования, демонстрирует на слайдах результаты подведения итогов и дальнейший план изучения темы. На экране непрерывно идут титрами новые математические понятия: необходимое условие, достаточное условие, необходимое и достаточное условие.

     Учащиеся высказывают свое мнение,  подводят общий итог исследованию.

VII.            Запись домашнего задания – 1 минута

     Учитель выводит на экран обязательную и необязательную части домашнего задания, делает соответствующие пояснения о том, что результаты будут необходимы на следующем уроке.

      Учащиеся записывают задания.

Проверка и оценивание ЗУНКов

 Контролирующие и обучающие тесты. Самостоятельную работу для всех учеников целесообразно провести на следующем уроке.

Рефлексия деятельности на уроке

Заключается в повторении определения геометрического смысла  производной

Домашнее задание

Составить опорный конспект  по данной теме. Параграф 35, п. 1,2. Ответить на вопросы: 1. Почему признак возрастания (убывания) называется достаточным?

2. Почему условие существования экстремума в точке называется необходимым?

Ссылки на использованные интернет-ресурсы

Интернет – источники

Лейбниц

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%2C_%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D0%B8%D0%B4_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC

http://tsh-solyaris.narod.ru/img3.html

http://schools.keldysh.ru/sch444/MUSEUM/PRES/DK-08-2002/

http://www.turizm.ru/germany/gallery-22596

http://www.univer.omsk.ru/omsk/Edu/Math/lleibniz.htm

Ньютон

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%2C_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA

Архимед

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%B4

Лагранж

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%2C_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%83%D0%B8

Ферма

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%2C_%D0%9F%D1%8C%D0%B5%D1%80 

Ньютон

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%2C_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA

Разработки уроков и методические материалы

1. Логунова Л.В. "Прямая пропорциональность", ВиЭкс-М-2008_II этап
Интегрированный урок-исследование (алгебра-информатика), 7 класс

http://it-n.ru/profil.aspx?cat_no=692&d_no=4120

2. Савченко Е.М. "Простейшие задачи в координатах", геометрия 11 класс.

http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&lib_no=53992&tmpl=lib&page=1

В помощь учителю

Обоснование, почему данную тему оптимально изучать с использованием медиа-, мультимедиа, каким образом осуществить

Производная – одна из самых трудных и в то же время интересных тем школьного курса математического анализа. Как правило, учащиеся воспринимают предложенный материал  поверхностно, не выделяют и не видят связей между производной функции, ее геометрическим смыслом. Учащиеся заучивают формулы и основные приемы действий при исследовании функций и выполнении других задач, не понимая сути этих действий.   Целесообразность использования презентационного сопровождения на уроке продиктована следующими факторами:

·      повышение интенсификации учебно-воспитательного процесса (увеличение скорости подачи  и наглядности учебного материала, количества предлагаемой информации, частичная автоматизация системы контроля),

·      эффективность усвоения изучаемого учебного материала за счет групповой и индивидуальной исследовательской деятельности учащихся.