Конспект
урока по теме «Решение неравенств методом интервалов»
Класс:9
Дата:27.11
Цели
урока:
Образовательная:
обеспечение усвоения решения квадратных неравенств методом интервалов.
Развивающая: развитие умений анализировать, выделять главное,
обобщать.
Воспитательная:
формирование у учащихся навыков самостоятельной работы, воспитание внимания, сообразительности
и аккуратности.
Ход
урока:
1.
Оргмомент
2.
Устная работа «Покопаемся в памяти»
Двоечник
Вася, решая квадратные неравенства, получил следующие ответы:
а)
б) – 2 ˂ х ˂ 2 в) х > ± 3 г)
х ˂ - 3 и х > 3
Как вы считаете, могли ли
получиться такие ответы. Если да, то придумайте неравенства, имеющие такие
решения. Если нет, объясните, почему вы так считаете.
3. Постановка проблемы.
На предыдущих уроках мы
научились решать квадратные неравенства. Для чего же нам нужен еще и метод
интервалов? Допустим, нам надо решить вот такое неравенство: (x − 5)(x + 3) > 0
Какие есть варианты? Первое,
что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает
плюс» и «минус на минус дает плюс». Т.е. неравенство свелось к совокупности
двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Второй вариант – раскрыть скобки, в результате
получается квадратное неравенство, графический метод решения которого также
хорошо отработан.
Имеем: x2 − 2x − 15 > 0. Ветви параболы направлены вверх, т.к.
коэффициент a = 1 > 0. График пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3.
Эскиз этой параболы:
Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX, т.е. интервалы (−∞ −3) и (5; +∞)
Почему эти методы неэффективны? Мы рассмотрели два
решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В
первом решении возникает совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не
особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.
И это было очень простое неравенство. В нем всего 2
множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4.
Например: (x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9) < 0.
Как решать такое неравенство? Перебирать все возможные
комбинации плюсов и минусов? Рисовать график — тоже не вариант, поскольку
непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости. Для таких
неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.
4. Изучение нового материала.
Что такое метод интервалов?
Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для
решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:
1.
Решить уравнение f (x) = 0;
2.
Отметить все полученные
корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько
интервалов;
3.
Выяснить знак (плюс или
минус) функции f (x) на
самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f
(x) любое число, которое будет правее всех
отмеченных корней;
4.
Отметить знаки на
остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через
каждый корень знак меняется.
5.
Выписать интервалы,
которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имеет вид f (x) > 0, или знаком «−»,
если неравенство имеет вид f (x)
< 0.
5. Закрепление
1. Разобрать решение неравенств:
а) (x − 2)(x + 7) < 0
б) x 3 − х
< 0
в) (х 2 – 9)(х + 3)(х - 2) > 0. На
решение этого неравенства обратить особое
внимание, т.к. при переходе через х = – 3 знак на соседних
интервалах не меняется.
2. Работа в парах.
Каждой паре учеников предлагается решить неравенства и
заполнить таблицу 1 (решению каждого неравенства соответствует буква, ее и
нужно занести в таблицу)
|
1
|
(2 – х)(8 – х) < 0
|
|
х ˂ 1 и х > 7
|
И
|
|
2
|
(1 – х)(7 – х) > 0
|
2 ˂ х ˂ 8
|
А
|
|
3
|
(х – 2)(5 + х) > 0
|
х ˂-5 и х >2
|
М
|
|
4
|
х 2 – 5х > 0
|
х ˂ 0 и х > 5
|
О
|
|
5
|
2х – 5х 2 < 0
|
х ˂ 2
|
С
|
|
6
|
(х – 2)(2х - 3)2 < 0
|
0 ˂ х ˂ 2,5
|
Р
|
|
7
|
(– х 2 + 9)(5х + 2) > 0
|
х > 2
|
Г
|
|
8
|
(х 2 – 4)(х +2) > 0
|
х ˂-3 и -0,4 ˂ х ˂ 3
|
Т
|
Таблица 1
В результате заполнения таблицы возникает имя Томас Гарриот.
|
7
|
4
|
3
|
1
|
6
|
8
|
1
|
5
|
5
|
2
|
4
|
7
|
|
Т
|
О
|
М
|
А
|
С
|
Г
|
А
|
Р
|
Р
|
И
|
О
|
Т
|
В связи
с этим дается краткая историческая справка.
Знаки неравенства в их современном виде придумал английский
математик Томас Гарриот (1560—1621). Книга с такими обозначениями вышла после
смерти автора, в 1631 году. Знаки «<» и «>» являлись повёрнутыми на 90°
буквами V и этим полюбились математикам (2, с.680)
3. Выполнение упражнений из учебника
№ 678 (5, 6) (1, с.186)
6. Рефлексия деятельности на уроке
Сегодня мы научились решать неравенства методом
интервалов. Однако существуют более сложные неравенства — дробные. Для них тоже
можно применять метод интервалов, но это тема для следующего урока.
7. Домашнее задание
П.15, №326,330
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.