Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации
Главная / Информатика / Конспект урока по информатике на тему "Сложные высказывания. Построение таблиц истинности сложных высказываний.кие операции"

Конспект урока по информатике на тему "Сложные высказывания. Построение таблиц истинности сложных высказываний.кие операции"

Курсы профессиональной переподготовки от Московского учебного центра "Профессионал"

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования только до 31 августа действуют скидки до 50% при обучении на курсах профессиональной переподготовки (184 курса на выбор).

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: ВЫБРАТЬ КУРС


7

Логика урок 3


Тема: Сложные высказывания. Построение таблиц истинности сложных высказываний.

Цель:

  • ввести понятие простых и сложных высказываний;

  • сформировать у учащихся умение определять формы сложных высказываний;

  • сформировать у учащихся умение строить таблицы истинности сложных высказываний.

План урока.

  1. Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос.

  2. Изучение нового материала.

  3. Выполнение заданий на закрепление.

  4. Домашнее задание.


    1. Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос.


      1. Что такое логическая операция? (Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.)

      2. Как образуется инверсия? (образуется из высказывания с помощью добавления к сказуемому частицы «не» или использования оборота речи «неверно, что ...)

      3. Постройте таблицу истинности для инверсии.

      4. Как образуется конъюнкция? (образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и»)

      5. Постройте таблицу истинности для конъюнкции.

      6. Как образуется дизъюнкция? (образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или»)

      7. Постройте таблицу истинности для дизъюнкции.

      8. Как образуется импликация? (образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «если ...., то...»)

      9. Постройте таблицу истинности для импликации.

      10. Как образуется эквивалентность? (образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...»)

      11. Постройте таблицу истинности для эквивалентности.


Задания для самостоятельного выполнения. Логические операции.


1. Среди следующих высказываний укажите составные; выделите в них простые, обозначив каждое их них буквой; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.

  1. Число 376 четное и трехзначное. (А= «число 376 чётное», В= «число 376 трёхзначное», A&B, конъюнкция)

  2. Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. ( А= «Солнце движется вокруг Земли», Ã, инверсия)

  3. Земля имеет форму шара. (Это простое высказывание, А= «Земля имеет форму шара»)

  4. На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу. (А= «На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя», В= «На уроке математики старшеклассники писали самостоятельную работу», A&B, конъюнкция)

  5. Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3. (A= «сумма цифр числа делится на 3», В= «Число делится на 3», А=>B, импликация)

  6. Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3. (А= «Число 15 делится на 3», В= «Сумма цифр числа 15 делится на 3», A<=>B, эквивалентность).

2. Ниже приведена таблица, левая колонка которой содержит основные логические союзы (связки), с помощью которых в естественном языке строятся сложные высказывания. Заполните правую колонку таблицы соответствующими названиями логических операций.


На естественном языке

В логике

... и ...

&, конъюнкция

... или ...

V, дизъюнкция

неверно, что ...

Ã, инверсия

... в том и только в том случае...

<=>, эквивалентность

... если ..., то ...

=>, импликация

... тогда и только тогда, когда ...

<=>, эквивалентность

... не ...

Ã, инверсия

3. Постройте отрицания следующих высказываний:
  1. Число 1 есть составное число. (Число 1 не является составным числом)

  2. Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, являются простыми (Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми

  3. Неверно, что число 3 не является делителем числа 198. (Неверно, что число 3 является делителем числа 198)

  4. Неверно, что любое число, оканчивающееся цифрой 4, делится на 4. (Неверно, что любое число, оканчивающееся цифрой 4, не делится на 4).

  5. Некоторые млекопитающие не живут на суше. (Некоторые млекопитающие живут на суше).


4. Из каждых трех выберите пару высказываний, являющихся отрицаниями друг друга:

  1. "1999 < 2000", "1999 > 2000","1999 <= 2000"; (1999>2000”, “1999<=2000”)

  2. "Луна — спутник Земли", "Неверно, что Луна спутник Земли", "Неверно, что Луна не является спутником Земли"; ("Луна — спутник Земли", "Неверно, что Луна спутник Земли"),

  3. "Прямая а не параллельна прямой с", "Прямая а перпендикулярна прямой с", "Прямые а и с не пересекаются", (считаем, что прямые а и с лежат в одной плоскости); ("Прямая а не параллельна прямой с","Прямые а и с не пересекаются")

  4. "Мишень поражена первым выстрелом", "Мишень поражена не первым выстрелом", "Неверно, что мишень поражена не первым выстрелом". ("Мишень поражена первым выстрелом", "Мишень поражена не первым выстрелом").

5. Даны два высказывания: А= «2x2=4», В = «2x2 = 5». Очевидно, что А = 1, В = 0.

Какие из высказываний истинны?

  1. Ã;

  2. В; (истина)

  3. А & В;

  4. А V В; (истина)

  5. А => В;

  6. А <=> В.

6. Определите истинность простых высказываний:

А = {Принтер - устройство ввода информации},

В = (Процессор - устройство обработки информации},

С = {Монитор - устройство хранения информации},

D = {Клавиатура - устройство ввода информации}.


    1. Изучение нового материала.

Сложные высказывания.

Высказывания бывают простые и сложные. Простым называется высказывание, которое не содержит в себе других высказываний. Примеры простых высказываний:

1) Идет дождь;

2) Нам живется весело.

Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций и скобок, то такое высказывание называется сложным. Скобки необходимы для определения порядка выполнения логических операций.

Примеры сложных высказываний:


Сложное высказывание

Составляющие простые высказывания

Форма сложного высказывания

Е = Идет дождь, а у меня нет зонта

А = Идет дождь; В = У меня есть зонт

Е = А&НЕ(В)

Е = Когда живется весело, то и работа спорится

А = Живется весело; В = Работа спорится

Е = А => В

Е = Идет налево - песнь заводит, направо — сказку говорит

А = Идет налево; В = Идет направо; С = Песнь заводит; D = Сказку говорит.

Е = (А=>С) v (В => D)

В формальной логике принято, что всякое простое высказывание обязательно имеет одно из двух значений — истина или ложь. Сложное высказывание также является истинным или ложным, но это значение вычисляется. Вычисление производится по форме сложного высказывания в соответствии с таблицами истинности входящих в него логических операций. Следовательно, для определения значения истинности сложного высказывания мы должны уметь определять его форму и знать правила логических операций.


Приведем примеры определения формы сложного высказывания.

Пример 1.

Е = Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным.

Составляющие простые высказывания:

А = Ваш приезд необходим;

В = Ваш приезд желателен.

Форма сложного высказывания: Е = НЕ(А)&НЕ(В)

Пример 2.

Е = Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал.

Составляющие простые высказывания:

А = Поиски врага длились три часа;

В = Врага нашли (результат есть);

С = Враг себя выдал.

Форма сложного высказывания: Е = НЕ(С) => А & НЕ(В)

Пример 3.

Е = Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце.

Составляющие простые высказывания:

А = Вчера было пасмурно,

В = Сегодня ярко светит солнце.

Форма сложного высказывания: Е=А& В.

Пример 4.

Е = И добродетель стать пороком может, когда ее неправильно приложат. (У. Шекспир.)

Составляющие простые высказывания:

А = Добродетель неправильно приложат,

В = Добродетель стать пороком может.

Форма сложного высказывания: Е = А => В.

В примерах 5 и 6 необходимо по форме высказывания и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получить фразу на естественном языке.

Пример 5.

Е = НЕ(А) & НЕ(В) => НЕ(С) & D

Составляющие простые высказывания:

А = Человек с детства давал нервам властвовать над собой;

В = Человек в юности давал нервам властвовать над собой;

С = Нервы привыкнут раздражаться;

D = Нервы будут послушны.

Фраза на естественном языке:

Е = Если человек с детства и в юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны. (К. Д. Ушинский.)

Пример 6.

Е = (В&НЕ(С))=>НЕ(А)

Составляющие простые высказывания:

А = Некто является врачом;

В = Больной поговорил с врачом;

С = Больному стало легче.

Фраза на естественном языке:-

Е = Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач. (В. М. Бехтерев.)


Приоритет логических операций

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

1) инверсия;

2) конъюнкция;

3) дизъюнкция;

4) импликация и эквивалентность.

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.


Пример 1.

Дана формула: A v В => С & D <=> НЕ(А).

Порядок вычисления:

1. НЕ(А) - инверсия

2. C&D - конъюнкция

3. AvB - дизъюнкция

4. AvB=>C&D - импликация

5. AvB=>C&D<=>HE(A) – эквивалентность


Пример 2.

Дана формула: A v (В => С) & D <=> НЕ(А).

Порядок вычисления:

1. НЕ(А) - инверсия

2. (В=>С) – импликация в скобках

3. (В => С) & D - конъюнкция

4. Av(B=>C)&D - дизъюнкция

5. A v (В => С) & D <=> НЕ(А) - эквивалентность.


Построение таблиц истинности сложных высказываний.

Значение сложного высказывания определяется по таблице истинности. Рассмотрим примеры определения значений сложных высказываний.


Пример 1.

В классе оказалось разбито стекло. Учитель объясняет директору: «Это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, так как в это время сдавал мне зачет. Следовательно, это сделал Коля.» Прав ли учитель?

Формализуем данное сложное высказывание. Для этого сначала выделим составляющие простые высказывания и определим их количество (n):

К = Это сделал Коля.

С = Это сделал Саша.

n = 2.

Определим форму высказывания: E = (KvC)&HE(C)=>K.

Определим количество строк и столбцов в таблице истинности. Так как каждое из простых высказываний может принимать всего два значения (О или 1), то количество разных комбинаций значений n высказываний – 2n. Количество строк в таблице равно 2n плюс 3 строки на заголовок. Количество столбцов в таблице равно сумме количества простых высказываний (n) и количества разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

В нашем примере:

• количество строк – 22 + 3 = 7;

• количество столбцов -2 + 4 = 6.

Начертим таблицу и заполним ее в соответствии с определениями логических операций последовательно по столбцам. Сначала заполняем 1-й и 2-й столбцы, затем вычисляем значения 3-го столбца по значениям 2-го, потом значения 4-го - по значениям 1-го и 2-го и т. д.:

1

2

3

4

5

6

K

С

НЕ(С)

KvC

vС)& НЕ(С)

vС)&НЕ(С)=>К



НЕ(2)

(l)v(2)

(4) & (3)

(5)=>(1)

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1


Вывод: мы получили в последнем столбце все единицы. Это означает, что значение сложного высказывания истинно при любых значениях простых высказываний К и С. Следовательно, учитель рассуждал логически правильно.


Пример 2.

Построим таблицу истинности для высказывания Е = A v НЕ(В) => НЕ(С).

Алгоритм построения таблицы истинности сложного высказывания (на примере n = 3):

  1. Вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности.

'Пусть сложное высказывание состоит из n простых. Тогда количество строк в таблице истинности равно 2n плюс 3 строки заголовка. Количество столбцов в таблице равно сумме количества переменных (n) и количества разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

В высказывание Е входят 3 переменные: А, В, С (n= 3) и 4 логические операции: инверсия В, инверсия С, дизъюнкция, импликация.

Имеем 23 + 3 = 11 строк и 3 + 4 = 7 столбцов.

  1. Начертить таблицу и заполнить заголовок.

В первой строке заголовка записываем номера столбцов, во второй - промежуточные формулы в соответствии с приоритетом логических операций, в третьей условные записи операций над значениями пар столбцов, содержащие номера этих столбцов.

  1. Заполнить первые 3 столбца.

Количество строк со значениями переменных равно 8.

8:2 = 4: в 1-м столбце чередуем 4 нуля и 4 единицы.

4:2 = 2: во 2-м столбце чередуем 2 нуля и 2 единицы.

2:2 = 1: в 3-м столбце чередуем 1 ноль и 1 единицу.

Таким образом, все возможные комбинации значений переменных учтены и никакие две не совпадают. Фактически такое заполнение столбцов соответствует двоичной записи чисел от 0 до 7.

  1. Заполнить остальные столбцы.

Столбцы с 4-го по 7-й заполняем в соответствии с таблицами истинности

1

2

3

4

5

6

7

А

В

C

НЕ(В)

НЕ(С)

A v НЕ(В)

AvHE(B)=>HE(C)

НЕ(2)

НЕ(3)

(l)v(4)

(6)=>(5)

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1 •

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

о

0

1

0


Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания

Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией.

Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным.

Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможными наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют равносильными, тождественными, эквивалентными. Для обозначения равносильных логических выражений используют знак «=».


    1. Выполнение заданий на закрепление/

1. Докажите равносильность (эквивалентность) сложных высказываний X и У:

X = Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него.

Х = НЕ(А&В)

У = Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.

У= НЕ(А) v НЕ(В)

Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных высказываний X и У, достаточно построить их таблицы истинности. Объединим эти две таблицы в одну:

1

2

3

4

5

6

7

8

А

В

НЕ(А)

НЕ(В)

А&В

X = НЕ(А & В)

У=НЕ(А) v НЕ(В)

Х<=>У

НЕ(1)

НЕ(2)

(1)&(2)

НЕ(5)

(3)v(4)

(6)<=>(7)

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

Существуют два варианта рассуждений:

1. Так как значения сложных высказываний Х(6-й столбец) и У (7-й столбец) совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то по определению X равносильно У.

2. Так как 8-й столбец содержит одни единицы, то эквивалентность X и У тождественно истинна, значит, X и У равносильны.


2. Определите логические формы следующих сложных высказываний, записав их на языке алгебры логики:

а) Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.

А = Погода солнечная.

В = Дождь идет.

С = Ветер есть.

НЕ(В)&НЕ(С)=>А

б) Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку.

А = У меня будет свободное время.

В = Дождь будет.

С = Я буду писать сочинение

D = Я пойду на дискотеку.

(А & НЕ(В)) => (НЕ(С) & D)

в) Лошадь погибает от одного грамма никотина, но я не лошадь, следовательно, курить вредно.

А = Лошадь погибает от одного грамма никотина

В = Я — не лошадь.

С = Курить вредно.

А & НЕ(В) => С

г) Без Вас хочу сказать Вам много, При Вас я слушать Вас хочу.

А = Вы рядом со мной.

В = Хочу Вам многое сказать.

С = Хочу Вас слушать.

(НЕ(А) => В) & (А => С)

д) Люди получают высшее образование тогда, когда они оканчивают институт, университет или академию.

А = Некто получил высшее образование.

В = Некто окончил институт.

С = Некто окончил институт университет.

D = Некто окончил академию.

А <=> (В v С v D).

3. Постройте таблицы истинности следующих сложных высказываний и определите, являются ли эти высказывания тождественно истинными:

  1. А=>(В=>А);

  2. (А => (В => С)) => ((А => В) => (А => С);

  3. А&В=>А;

  4. A&B=>B;

  5. (А => В) => ((А => С) => (А => В & С));

  6. A => (В v А);

  7. B=>(B v A);

  8. (A => С) => ((В => С) => (A v В => С)).


    1. Домашнее задание.

Работа с конспектом.

  • Информатика
Описание:

Тема: Сложные высказывания. Построение таблиц истинности сложных высказываний.

Цель:

üввести понятие простых и сложных высказываний;

üсформировать у учащихся умение определять формы сложных высказываний;

üсформировать у учащихся умение строить таблицы истинности сложных высказываний.

План урока.

1.Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос.

2.Изучение нового материала.

3.Выполнение заданий на закрепление.

4.Домашнее задание.

Автор Пастушук Галина Григорьевна
Дата добавления 23.01.2017
Раздел Информатика
Подраздел Конспекты
Просмотров 805
Номер материала MA-069722
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии: