Тема: Основные логические операции.
Цель:
ü закрепить понятия логики, алгебры высказываний;
ü рассмотреть основные логические операции, их свойства и обозначения.
План урока.
1. Проверка домашнего задания (фронтальный опрос).
2. Изучение нового материала.
3. Домашнее задание.
I. Проверка домашнего задания.
1) Сформулируйте определение логики как науки. (Логика – наука о формах и способах мышления; учение о способах рассуждений и доказательств.)
2) Дайте определение алгебры логики. (Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.)
3) Сформулируйте понятие высказывания. (Высказывание - это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или нет.)
4) Как обозначаются истинные и ложные высказывания? (В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0).)
5) Какие из следующих предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями?
ü Город Париж – столица Франции. (1)
ü 3+5=2х4. (1)
ü 2+6>10 (0)
ü Сканер – это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера. (0)
ü II+VI≥VIII (1)
ü Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8. (0)
ü Мышка – устройство ввода информации. (1)
6) Какое высказывание называется сложным? (Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными)
II. Изучение нового материала.
В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определённые логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».
Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.
Логическое отрицание (инверсия).
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным. Слово «инверсия» (от лат. inversio – переворачивание) означает, что белое меняется на чёрное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на единицу, единица на ноль.
Пусть A= «Два умножить на два равно четырём» - истинное высказывание, тогда высказывание НЕ (А)= «Два умножить на два не равно четырём», образованное с помощью операции логического отрицания, - ложно.
На формальном языке алгебры высказываний (алгебры логики) операцию логического отрицания (инверсию) принято обозначать: НЕ (А); А; NOT(A);Ã.
|
A |
НЕ (А) |
А= «У меня есть приставка Денди» - высказывание. Инверсия А – это высказывание «У меня нет приставки Денди» |
|
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
Логическое умножение (конъюнкция).
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.
Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
Рассмотрим следующие высказывания:
(1) «2*2=5 и 3*3=10»;
(2) «2*2=5 и 3*3=9»;
(3) «2*2=4 и 3*3=10;
(4)«2*2=4 и 3*3=9».
Истинным будет лишь четвёртое высказывание, так как в первых трёх хотя бы одно из простых высказываний ложно.
Обозначение конъюнкции: А И В; A AND B; A ^ B; A & B; A B.
Образуем составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний A и B: F = A^B. С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные A и B, которые могут принимать значения «истина» (1) и «ложь» (0).
Сама функция логического умножения F также может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах её аргументов.
|
A |
B |
F=A^B |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического умножения. Рассмотрим, например, составное высказывание «2*2=4 и 3*3=10». Первое простое высказывание истинно (А=1), а второе высказывание ложно (В=0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение ложь (F=0), то есть данное составное высказывание ложно.
Логическое сложение (дизъюнкция).
Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией. Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.
В русском языке союз «или» используется в двояком смысле, и это затрудняет толкование высказываний с союзом «или»
(1) «2*2=5 или 3*3=10»;
(2) «2*2=5 или 3*3=9»;
(3) «2*2=4 или 3*3=10;
(4)«2*2=4 или 3*3=9».
Из приведённых составных высказываний ложным будет лишь первое, так как в остальных хотя бы одно из простых высказываний истинно.
Обозначение операции логического сложения (дизъюнкции): А ИЛИ В; A OR B; A + B; AÚB.
Образуем составное высказывание F, которое получится в результате дизъюнкции двух простых высказываний A и B: F = A ν B. С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического сложения, аргументами которой являются логические переменные A и B.
|
A |
B |
F=A ν B |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
По таблице истинности легко
определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции
логического сложения. Рассмотрим, например, составное высказывание «2*2=4 или
3*3=10». Первое простое высказывание истинно (А=1), а второе высказывание ложно
(В=0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение истина
(F=1), то есть данное составное высказывание истинно.
Логическое следование (импликация).
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».
Примеры импликаций:
А = Если клятва дана, то она должна выполняться.
В = Если число делится на 9, то оно делится на 3.
В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания. Приведём примеры, которые не только правомерно рассматривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:
С= Если коровы летают, то 2+2=5
Х= Если я – Наполеон, то у кошки четыре ноги.
Обозначение импликации: А->B; A=>B;A IMP B.
Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечёт В; В следует из А.
Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Пояснить её можно, например, следующим образом. Пусть даны высказывания:
А=На улице дождь.
В= Асфальт мокрый.
(А импликация В)= Если на улице дождь, то асфальт мокрый.
Тогда, если идёт дождь (А=1) и асфальт мокрый (В=1), то это соответствует действительности, то есть истинно. Но если вам скажут, что на улице дождь (А=1), а асфальт остаётся сухим (В=0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А=0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).
|
Смысл высказываний А и В для указанных значений
|
Значение высказывания «Если на улице дождь, то асфальт мокрый» |
|
|
Дождя нет |
Асфальт сухой |
Истина |
|
Дождя нет |
Асфальт мокрый |
Истина |
|
Дождь идёт |
Асфальт сухой |
Ложь |
|
Дождь идёт |
Асфальт мокрый |
Истина |
Таблица истинности.
|
А |
В |
А=>B |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведёт к ложному выводу).
Разберем один из приведенных выше примеров следований, противоречащих здравому смыслу.
Дано высказывание: «Если коровы летают, то 2+2=5».
Форма высказывания: «если А, то В», где А = Коровы летают = 0; В = (2 + 2 = 5) = 0.
На основании таблицы истинности определим значение высказывания:0 => 0 = 1, т. е. высказывание истинно.
Логическое равенство (эквивалентность).
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».
Примеры эквивалентностей:
1) Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90°.
2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.
3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)
4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)
Все законы математики, физики, все определения суть эквивалентность высказываний.
Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В; A EQV B.
Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания: А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.
(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.
|
А |
В |
А<=> В |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
III. Домашнее задание.
Работа с конспектом.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема: Основные логические операции.Цель:üзакрепить понятия логики, алгебры высказываний;üрассмотреть основные логические операции, их свойства и обозначения.В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определённые логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не». Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.
6 660 402 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Елескина Наталья Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.