Функцию у = хn (где
х - независимая переменная, n -
натуральное число) называют степенной функцией с натуральным показателем.
Частные случаи такой функции для n =
1, 2, 3 (т. е. у = х, у = х2, у = х3) мы уже рассматривали. Известны свойства и
графики этих функций. Теперь необходимо обсудить свойства и график степенной
функции при любом натуральном n. Эти
характеристики существенно различаются в зависимости от четности или нечетности
числа n.
Приведем свойства функции у = хn при
четном n (они аналогичны свойствам функции у = х2):
1. Область определения функции - промежуток
(-∞; ∞).
2. Если х = 0, то у = 0. Поэтому график
функции проходит через начало координат.
3. Если х ≠ 0, то у > 0. Следовательно,
график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
4. Функция четная: у(-х) = у(х). Поэтому
график функции симметричен относительно оси ординат.
5. Функция возрастает в промежутке [0; +∞) и
убывает в промежутке (-∞; 0]. Наименьшее значение у = 0 функция принимает при х
= 0, наибольшего значения функция не имеет.
6. Функция ограничена снизу, у ≥ 0.
7. Область значений функции - промежуток [0;
+∞).
8. График функции представлен на рис. а.
Рассмотрим также свойства функции у = хn при
нечетном n (они аналогичны свойствам функции у = x3):
1. Область определения функции - промежуток
(-∞; +∞).
2. Если х = 0, то у = 0. Поэтому график
функции проходит через начало координат.
3. Если x <
0, то y < 0 и если х > 0, то у > 0. Следовательно, график
функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
4. Функция нечетная, у(-х) = -у(х). Поэтому
график функции симметричен относительно начала координат.
5. Функция возрастает на всей области
определения.
6. Функция неограниченная.
7. Область значений функции - промежуток (-∞;
+∞).
8. График функции представлен на рис. б.
Пример 1
Дана функция f(х)
= x3. Вычислим выражение f(3) – 4f(2)
+ 7f(1).
Чтобы найти значение функции при данном
значении аргумента, надо подставить этот аргумент в формулу, задающую функцию,
и выполнить действия.
Получаем: f(3) – 4f(2)
+ 7f(1) = 33 - 4 · 23 + 7 · 13 = 27 - 4 · 8 + 7 · 1 = 27 - 32 + 7 = 2.
Пример 2
Сравните числа.
а) (-3,2)4 и (-1,8)4; б) 2,44 и 2,74; в)
(-6,5)3 и (-4,8)3; г) 2,83 и 4,13.
При решении подобных задач учитывают
монотонность соответствующей функции.
Рассмотрим функцию f(x)
= х4. Эта функция убывает на промежутке (-∞; 0].
Так как -3,2 < -1,8, то f(-3,2)
> f(-1,8), или (-3,2)4 > (-1,8)4. На промежутке [0; +∞) эта
функция возрастает. Так как 2,4 < 2,7, то и f(2,4)
< f(2,7), или 2,44 < 2,74.
Теперь рассмотрим функцию g(x)
= x3. Такая функция возрастает на всей области определения.
Так как -6,5 < -4,8 и 2,8 < 4,1, то
и g(-6,5) < g(-4,8) и g(2,8)
<g(4,1), или (-6,5)3 < (-4,8)3 и 2,83 < 4,13.
Пример 3
Построим график функции у = (x -
1)3 + 1.
Учтем ранее изученные способы преобразования
графиков. График функции у = (x - 1)3 + 1 получается
сдвигом графика функции у = х3 на одну единицу вправо и на одну единицу вверх.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.