Исследовательская работа "Приемы быстрого счета"

Содержание:

I.                    Введение……………………………………………………….………………2

II.                 Основная часть………………………………………………………………..4

1. История вопроса……………………………………………………..………………4

2. Таблица умножения на пальцах………………………………….…………………6

3.  Приёмы быстрого умножения на некоторые числа………………………………7

4.  Быстрое возведение в квадрат…………………………………………………….10

III.             Заключение……………………………………………………………………11

IV.             Список литературы………………………………………………………….12

Приложение

I  Введение.

  Большинство учащихся испытывают затруднения при выполнении вычислений.  Многие часто используют калькулятор, устно же в основном считают плохо. Приемов рациональных вычислений в учебниках очень мало, однако при сдаче ЕГЭ и ГИА использование калькулятора не разрешается, и на экзамене требуются умения и навыки хороших вычислений.

Выбрав тему «Приемы быстрого счета», я задался вопросом: можно ли овладеть такими приемами и улучшить свои вычислительные способности. Я думаю, что знание таких приемов помогает человеку не только на уроках математики, но и в обыденной жизни, развивает внимание, память.

Я провел анкетирование учащихся 5-го, 6-го и 10-го классов по следующим вопросам:

  1. Умеешь ли ты быстро и правильно считать?

  2. Как часто ты пользуешься калькулятором?

  3. Знаешь ли ты какие-либо приемы быстрого счета?

  4. Как ты думаешь, развивает ли умение считать такие функции, как память, внимание, способность сосредоточиться?

  Результаты исследований представлены на диаграмме.

         Считают, что умеют быстро считать третья часть 5 и 10 класса, половина 6 класса, иногда пользуются калькулятором большинство 5 класса, половина 6 класса и все учащиеся 10 класса. Все учащиеся считают, что владеют приёмами быстрого счёта, но называют лишь умножение и деление на 10, 100 и 0,1 , 0,01.Все опрошенные считают, что умение считать такие функции, как память, внимание, способность сосредоточиться.

Я сделал вывод, что тема эта важная, и ее следует изучать. Я предлагаю несколько интересных приемов устного счета. Ведь сколько бы замечательных гаджетов (телефоны, смартфоны, айподы и айпады) своя голова она всегда лучше.

Цель исследования:

овладеть приемами устного счета для повышения качества и скорости вычислений.

Задачи:

·         изучить  литературные источники, в которых встречаются различные приемы быстрого счета;

·         сделать подборку наиболее распространенных и общедоступных приемов;

·        провести констатирующий эксперимент с обучающимися в 5, 6 и 10 классах;

·        познакомить обучающихся своего класса с приёмами  быстрого счета, провести промежуточные диктанты, обучающие этим приемам.

Объект  исследования:

 различные алгоритмы счета.

Методы исследования:

1. Поиск и анализ информации в литературе и интернет-ресурсах.
2. Анкетирование.

II Основная часть.

1. История вопроса.

Трудно сказать, когда появились числа, и как человек научился считать. Однако наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить продукты, добычу, делать запасы впрок. Таким образом, человек, сам не замечая того, научился считать, производить вычисления. Для счета использовали пальцы рук, ног, различные предметы. Появились и  изображения чисел. Например, индейцы изображали числа с помощью узелков на верёвках. Первым способом  «записи» чисел были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая значки палочкой на глиняной дощечке. А сейчас мы пользуемся цифрами, нам это привычно и удобно. Сначала люди научились складывать и вычитать, потом умножать и делить, причем способы вычислений не всегда были удобны и понятны. В  соответствующей литературе упоминаются такие способы умножения, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие.

Возможно, и наш способ умножения не является совершенным; может быть будет придуман еще более быстрый и   надежный.

Есть люди, умеющие невероятно быстро считать в уме. Они могут мгновенно умножить 45623 на 679, знают наизусть таблицу умножения чисел от 1 до 100, не задумываясь, отвечают, на какой  день недели приходится 22 декабря 3487 года.

В огромном мире людей с давних пор известны обладатели феноменальных способностей устного счета. Ими владели многие ученые, например, Андре Ампер и Карл Гаусс. А также и многие люди, чья профессия была далека от математики и науки в целом. Ранее на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счете. Иногда они устраивали между собой показательные соревнования, проводившиеся, в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, таких как Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме, на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты.

Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие.

Известна необычная история создания целой системы повышения быстроты счета. Она создана была в годы второй мировой войны профессором математики Я. Трахтенбергом. Она известна под названием "Системы быстрого счета". В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

Конечно, знать все способы быстрого счета невозможно, но наиболее доступные можно изучить и применять.

2. Таблица умножения на пальцах

Таблица умножения — это те необходимые знания, которые требуются человеку в любом возрасте. Кроме того, знание таблицы Пифагора для школьника — залог успеха в дальнейшей учебе. Ведь с твердым знанием правил умножения усваивать более сложные темы школьной программы становится намного проще.

Существует немало способов запоминания — в стихах, картинках, играх. Мы предлагаем вам показать своему ребенку еще один интересный способ — таблицу умножения на пальцах. Этот метод подходит для заучивания правил умножения на девятку. Зачастую примеры с умножением на 9 даются детям труднее всего.

Итак, всё, что вам понадобится — это десять пальцев рук. Положите ладони на стол. Мысленно дайте каждому пальцу, начиная от мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой, свой номер от 1 до 10.

Допустим, нам надо умножить 3 на 9. Чтобы вычислить ответ, надо найти палец под номером 3 и поднять его. А затем посмотреть, сколько пальцев осталось лежать справа и слева. Количество пальцев слева от поднятого пальца (в нашем случае их 2) — это десятки, количество пальцев справа (у нас это 7) — это единицы. Итого, получаем — 2 и 7, то есть 27.

Совсем необязательно использовать пальцы, хотя совсем маленьким ребятам считать на пальцах будет проще. Можно также использовать 10 тетрадных клеточек или 10 нарисованных палочек.

3. Приёмы быстрого умножения на некоторые числа

Умножение на 11.

Закономерность здесь такая:

53 х 11 = 583

Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8

Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами данного двузначного числа: 583

n     XY*11 = X(X+Y)Y

  63*11 = 693

  48*11 = 528

        (10a+b)*11=110a+11b=100a+10(a +b)+b.

59 х 11 = 649

Шаг 1 — 5 + 9 = 14

Шаг 2 — Сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9. Единицу надо прибавить цифре десятков двузначного числа, а в середину вставлять  только цифру единиц суммы: 5 + 1 = 6

Шаг 3 —4 ставим в центр, и дописываем 9: 649.

Умножение на 12..

Умножение на  производится примерно так же, как и на 11. Каждую цифру числа удваиваем и прибавляем к результату соседа исходной цифры справа.

Примеры. Умножим  на .

Начнем с самой правой цифры – это . Удвоим  и добавим соседа (его нет в данном случае). Получаем . Запишем  и запомним .

Перейдем влево к следующей цифре . Удвоим , получим , добавим соседа, , получим , прибавим , которую запоминали, получим . Запишем  и запомним .

Перейдем влево к следующей цифре, . Удвоим , получим . Добавим соседа,  и получим . Прибавим , которую запоминали, получим . Запишем  и запомним .

Перейдем влево к несуществующей цифре – нулю. Удвоим его, получим  и добавим соседа, , что даст нам . Наконец, добавим , которую запоминали, получим . Запишем .

Ответ: .

Умножение двузначных и трехзначных чисел на 101.

Умножим двузначное число на 101.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.

57 * 101 = 5757                    63*101=6363

n     XY*101 = XYXY   

n     145*101 = 14645     145

                                    +         145

                                            14645

Пример:

n     349*101 = 35249      349

                                      +        349

                                             35249

Умножение двузначных, трехзначных и четырехзначных чисел на 1001.

n     39*1001 = 39039

n     567*1001 = 567567

n     1242*1001 = 1243242    1242

                                               +       1242

                                                   1243242

n     3249*1001 = 3252249    3249

                                            +          3249

                                                   3252249  

Умножение на       0,5;  0,25;  0,125;  1,5;  2,5.

n     Чтобы число умножить на 1,5, нужно к этому числу прибавить его половину   84*1,5 =84+42=126

n     Чтобы число умножить на 2,5 нужно к числу прибавить его же и его половину : 84* 2,5 =84+84+42=210

n     Чтобы число умножить на 0,5; 0,25; 0,125 надо это число разделить

  на 2, на 4, на 8  :        98*0,5=49 

              124*0,25=31     168*0,125=21

4. Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

Шаг 1 — умножить цифру  десятков на следующую за ней цифру: 8 x (8 + 1) = 72

Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25: 7225

45 x 45 = 2025

Шаг 1 — 4 х (4 + 1) = 20

Шаг 2 — 2025

Квадрат двухзначных чисел, начинающихся с 5-ти.

Чтобы возвести в квадрат число, начинающееся  на 5, надо:

к 5²=25 прибавить число единиц

К полученному результату приписать справа квадрат единиц.

    56²=(25+6) (6²)=3136

    59²=(25+9) (9²)=3481

Умножение на 5

Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5.

Это срабатывает всегда:

2682?5 = (2682 / 2) & 5 или 0

2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0).

III  Заключение

n  Множество материала по данной теме свидетельствует о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами.

n  Некоторыми приемами, ускоряющими вычисления, может овладеть любой  человек.

n  Знание и использование таких приемов позволит существенно  увеличить скорость и качество счета, добиться успехов в изучении не только математики, но и других школьных предметов.

IV Список литературы

1.      Минских Е. М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982г.

2.  Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга для учащихся,- М. Просвещение, 1986

3. Катлер Э.,  Мак-шейн Р.  Система быстрого счета по Трахтенбергу, - М.  Просвещение, 1967.  

Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс

 (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855,Гёттинген) —немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821), Российской(1824) Академий наук, английского Королевского общества. Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: .

До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.

С учителем ему повезло: М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского) оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу закончить колледж Collegium Carolinum в Брауншвейге (1792—1795).

1798 год: закончен шедевр «Арифметические исследования» (лат. Disquisitiones Arithmeticae), напечатан только в 1801 году. В этом труде подробно излагается теория сравнений в современных (введённых им) обозначениях, решаются сравнения произвольного порядка, глубоко исследуются квадратичные формы, комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, изложены свойства квадратичных вычетов, приведено доказательство квадратичного закона взаимности и т. д. Гаусс любил говорить, что математика — царица наук, а теория чисел — царица математики.

После 1801 года Гаусс, не порывая с теорией чисел, расширил круг своих интересов, включив в него и естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера (1801), потерянной вскоре после обнаружения. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления, пользуясь разработанным им же новым вычислительным методом, и с большой точностью указал место, где искать «беглянку»; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена.

С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной инеевклидовой геометрии, математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, а также в аналитической и небесной механике,астрономии, физике и геодезии. «В каждой области глубина проникновения в материал, смелость мысли и значительность результата были поражающими. Гаусса называли „королём математиков“» (лат. Princeps mathematicorum).

Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этой темой незавершённой. На его личной печати было изображено дерево с несколькими плодами, под девизом: «Pauca sed matura» (немного, но спелые). Изучение архива Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих открытий, и в результате его опередили другие математики. Вот неполный перечень упущенных им приоритетов.

·             Неевклидова геометрия, где его опередили Лобачевский и Бойяи.

·             Эллиптические функции, где он также далеко продвинулся, но не успел ничего напечатать, а после работ Якоби и Абеля надобность в публикации отпала.

·             Содержательный набросок теории кватернионов, 20 лет спустя независимо открытых Гамильтоном.

·             Метод наименьших квадратов, переоткрытый позднее Лежандром.

·             Закон распределения простых чисел, с которым его также опередила публикация Лежандра.

Несколько студентов, учеников Гаусса, стали выдающимися математиками, например: Риман, Дедекинд, Бессель, Мёбиус.

Памятник Гауссу в Брауншвейге с изображенной на нём 17-лучевой звездой.

Слайд 1

Хотя я не имею пятерки по математике, но считаю устно неплохо. Приемов рациональных вычислений в учебниках очень мало .И поэтому хотел бы освоить приемы быстого счета и научить этому своих сверстников.

Слайд 2

Я провел вот эту анкету среди обучающихся 5, 6 и 10 класса.

Слайд 3

Выяснил, что по мнению учеников умеют быстро считать третья часть 5 и 10 класса, половина 6 класса.

Иногда пользуются калькулятором большинство 5 класса, половина 6 класса и все учащиеся 10 класса, однако при сдаче ЕГЭ и ГИА использование калькулятора не разрешается, и на экзамене требуются умения и навыки хороших вычислений.

Все учащиеся считают, что владеют приёмами быстрого счёта, но называют лишь умножение и деление на 10, 100 и 0,1 , 0,01.

Все опрошенные считают, что умение считать такие функции, как память, внимание, способность сосредоточиться.

Я сделал вывод, что тема эта важная, и ее следует изучать. Я предлагаю несколько интересных приемов устного счета. Ведь сколько бы замечательных гаджетов (телефоны, смартфоны, айподы и айпады) своя голова она всегда лучше.

Слайд 4

Цель моего исследования: овладение приемами устного счета для повышения качества и скорости вычислений.

Задачи:

· провести констатирующий эксперимент с обучающимися в 5, 6 и 10 классах;

· изучить  литературные источники, в которых встречаются различные приемы быстрого счета;

· сделать подборку наиболее распространенных и общедоступных приемов;

· познакомить обучающихся своего класса с приёмами  быстрого счета, провести промежуточные диктанты, обучающие этим приемам.

Объект  исследования: различные алгоритмы счета.

Слайд 5

Есть люди, умеющие невероятно быстро вычислять в уме.

Они могут мгновенно умножить 21734 на 543, запомнить идущие подряд 1000 цифр, знают наизусть таблицу умножения  чисел от 1 до 100, сразу отвечают, на какой день недели придётся 21 марта 4871 года.

Слайд 6

В огромном мире людей с давних пор известны обладатели феноменальных способностей устного счета. Ими владели многие ученые, например, Андре Ампер и Карл Гаусс.

Слайд 7

Таблица умножения — это те необходимые знания, которые требуются человеку в любом возрасте. Зачастую примеры с умножением на 9 даются детям труднее всего.

Итак, всё, что вам понадобится — это десять пальцев рук. Положите ладони на стол. Мысленно дайте каждому пальцу, начиная от мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой, свой номер от 1 до 10.

Допустим, нам надо умножить 3 на 9. Чтобы вычислить ответ, надо найти палец под номером 3 и поднять его. А затем посмотреть, сколько пальцев осталось лежать справа и слева. Количество пальцев слева от поднятого пальца (в нашем случае их 2) — это десятки, количество пальцев справа (у нас это 7) — это единицы. Итого, получаем — 2 и 7, то есть 27.

Слайд 8

Умножение двузначных чисел  на 11

Умножим 26 на 11. Достаточно сложить цифры 2+6=8 и поставить эту восьмёрку между 2 и 6, чтобы сразу сказать ответ: 286.

Слайд 9

При умножении 75 на 11 складываем 7 и 5, получим 12, 1 прибавляем к 7, а 2 вставляем между 8 и 5. Получаем ответ 825.

Слайд 10

Умножение двузначных  чисел на 101

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.

57 * 101 = 5757                   

Слайд 11

n  Чтобы число умножить на 1,5, нужно к этому числу прибавить его половину   84*1,5 =84+42=126

n  Чтобы число умножить на 2,5 нужно к числу прибавить его же и его половину : 84* 2,5 =84+84+42=210

n  Чтобы число умножить на 0,5; 0,25; 0,125 надо это число разделить

         на 2, на 4, на 8  :  98*0,5=49 

Слайд 12

Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

Шаг 1 — умножить цифру  десятков на следующую за ней цифру: 8 x (8 + 1) = 72

Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25: 7225

45 x 45 = 2025

Шаг 1 — 4 х (4 + 1) = 20

Шаг 2 — 2025

Слайд 13

Выводы:

n  Множество материала по данной теме свидетельствует о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами.

n  некоторыми приемами, ускоряющими вычисления, может овладеть любой  человек.

знание и использование таких приемов позволит существенно  увеличить скорость и качество счета, добиться успехов в изучении не только математики, но и других школьных предметов.