Исследовательская работа "Лист Мебиуса", ученика 6 класса

 

 

 

 

 

 

Лист  Мёбиуса

 

 

                                                         

 

 

 

 

 

 

 

                                                           Автор:  Волкова Елизавета

                                                                                Россия,  г.Барнаул

           МБОУ «Гимназия №40»  6А класс

                                                          Руководитель:  Бакунина Ольга Анатольевна

                                                                       учитель математики

 высшей категории

                                                                                        МБОУ “ Гимназия №40 ”

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                               

г. Барнаул 2012 год

 

Содержание

 

Введение                                                                                                3 

Часть 1. Историческая справка                                                            4

Часть 2. Изготовление листа Мебиуса                                                 6

Часть 3. Эксперименты с бумагой                                                        6

Часть 4. Топологические свойства                                                      12 

Часть 5. Применение листа Мёбиуса                                                   14

Заключение                                                                                           19

Список литературы                                                                              20

Библиография                                                                                       20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

На занятиях математического кружка я услышала о листе Мебиуса. Меня очень заинтересовала эта тема. Я решила углубить свои познания в этой области. Мне захотелось, как можно больше узнать о листе Мебиуса. Я изучила литературу, затем сама изготовила лист Мебиуса, а потом я исследовала, ставя опыты, его волшебные, необыкновенные свойства.

Цель  исследовательской работы: изучить лист Мебиуса.

Объект исследования: лист Мебиуса.

Задачи исследования:

1.     Собрать всевозможную информацию о листе Мебиуса.

2.     Изготовить лист Мебиуса.

3.     Исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса.

Методы исследования :

1.      Теоретический анализ литературы по исследуемой теме.

2.      Практическое моделирование листа Мебиуса.

3.      Опыты.

Занимаясь,  этой работой я пришла  к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли,  ещё в XΙX веке он был актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса (работа с бумагой « Лист Мёбиуса и его модификации»).

 

 

 

 

 

1.         Историческая справка.

 

"Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

К. Прутков

        Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858г.

         Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». Рассказывают, что открыть свой  «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Как бы то ни было,  но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790 – 1868), ученик К.Ф. Гаусса,  астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.  Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

 

 

Лента Мебиуса положила начало новой науке – топологии. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время (1862 году), что и его Лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паук, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.         Изготовление листа Мёбиуса.

 

    Лист Мёбиуса относится к числу (математических неожиданностей).Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВСD, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АD и BC, т.е. так что совместятся точки А и C и точки D и В.

 

 

 

 

 

3.         Эксперименты с бумагой.

 

       Все эти опыты проводим с помощью ножниц и клея.

Поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны. Одной стороной кольцо соприкасается с пальцем, вторая сторона – наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какое-нибудь насекомое захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то она при этом непременно должна пересечь ту или иную границу.

Это сам    Лист Мёбиуса-

    

 

Эксперимент 1.  Она имеет только одну сторону : возьмем фломастер и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели.

    

  Потому как поверхность ленты Мебиуса – односторонняя.

 

 

 

Эксперимент 2. А еще, из свойств, следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Сначала разрежем посередине. Сейчас получиться два отдельных кольца. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального кольца

 

 

Эксперимент 3. Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое.  

 

Эксперимент 4. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма "затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине.

 

 

Эксперимент 5. Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

 

 Вам придётся перевернуть чтобы закрасить весь лист ,который мы перевернули на 360 градусов.

 

Эксперимент 6. Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой.

 

Эксперимент 7. Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать

Кольца по очереди ,но они всякий раз будут сцеплены вместе.

 

 

 

Эксперимент 8. Если взять не бумажную ленту, а полосу любой ткани, повернуть один из концов полоски на три оборота, т.е. на 540 градусов, сшить оба конца. Затем взять ножницы и аккуратно разрезать полоску посередине, то получается три одинаковых кольца, сцепленных между собой.

 

4. Топологические свойства.

• Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него.

• Непрерывность – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность, На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

• Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен и т.д.

• Ориентированность – свойство,  отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

 

    Какой формы бумажную полоску следует взять, чтобы склеить ленту Мёбиуса?

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается  мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров» – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

    Сделать это можно так:  сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его  чётное  число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса. Ясно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мёбиуса, оказался смятым.

   Предположим теперь, что бумажную полоску можно  изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё ленту Мёбиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ – нельзя. Очень хотелось бы найти это λ.  Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно.

     Докажем теорему, вычисление нижней грани длин бумажных полосок ширины 1, из которых можно склеить несмятую ленту Мебиуса.

 

Теорема:  λ ≤ √3

   Для доказательства этой теоремы достаточно объяснить, как склеить ленту Мёбиуса из полоски, длина которой больше √3. Предложим сначала, что её длина в точности равна√3. Тогда на этой полоске можно расположить два правильных треугольника.

 

 

Перегнём полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба.

 

Края АВ и СD полоски совместятся, причем точка А совместится с точкой D, а точка В – с точкой С. Получится лента Мёбиуса.

  При этом построении было нарушено главное правило – не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше √3, то излом по образующей можно заменить изгибанием, производимым на узком участке. То есть, излом вдоль прямолинейного отрезка нам нестрашен: его можно заменить близким к нему изгибанием.                               

 

                                                         

                              

            

                                     

 

 

 

                                             

5.  Применение листа Мёбиуса.

     Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мебиуса – в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же  односторонняя поверхность. В 1923 году знаменитый американский изобретатель  Ли де Форест, который придумал трехэлектродную  лампу  - триод, предложил записывать звук на киноленте  без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Скольких людей приводят в восторг аттракционы «Американские горки». Лента Мёбиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

   У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мёбиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

 

 

  Целую серию скульптур в виде листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл.

 

 

                     

 

 

 

 

    Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по ленте Мёбиуса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Наряду  с этим  были сделаны  еще ряд открытий советскими  изобретателями. В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году уральский изобретатель Чесноков П. Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. В 1979 году была изобретена детская игрушечная электрифицированная железная  дорога. Полотно железной дороги также представляет собой ленту Мебиуса. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Лента Мёбиуса  понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений.

 

 

 

Заключение

          Лист Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл ученый. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по-прежнему привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников.

         В своей работе я пыталась описать свойства этой прекрасной поверхности – листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мебиуса

– топологическая фигура. На основании проведённой работы я пришла

следующим выводам:

1. Лист Мёбиуса – топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лист Мёбиуса не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

2. Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств,   Вселенной. Лента Мёбиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин. Удивительные свойства листа Мёбиуса порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных).

 

         Я сумела получить интересный математический материал. Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

         Мною не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Я обязательно буду возвращаться к опытам с листом Мебиуса.

 

 

 

Литература.

 

1.         В.А.Гусев, А.П.Комбаров «Математическая разминка»

2.         А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова «Я познаю мир математика»

3.         Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября»,№14 1999г., № 24 2006г.   

4.         Гарднер М.Математические досуги. М. Мир,1972.

5.         Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Наука, 1978.

6.         Энциклопедия для детей. Математика. Аванта +, 2001 г., стр. 111-112.

7.         Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.

8.         Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984

 

 

 

 

 

   

 Библиография.

 

1.     http://www.vlink.ru/~v-design/mebius.htm.

2.     http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса

3.     http://oriart.ru/publ/3-1-0-11

4.     http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor

5.     http://www.sola.narod.ru/top.htm