исследовательская работа "Число Пи"

Муниципальное Бюджетное Образовательное Учреждение «Таштыпская

общеобразовательная средняя школа №2»

 

 

 

 

 

 

 

 

Математика

 

 

 

 

 

 

 

 

Число π

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                         Автор               

                                                                                  Араштаева Карина

                                                                        Алексеевна

                                                                                             11б класс      

 

Руководитель:             

Заречнева Галина         

                                                                         Викторовна

                                                                                           Учитель математики                

 

 

 

 

 

Таштып, 2014

 

 

Код _____________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математика

 

 

 

 

 

 

 

 

Число π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление.

 

 

 

Введение.  ________________________________________________________3

Глава І. Предисловие_______________________________________________4

Глава ІІ. История числа π.__________________________________________________6 Глава ІІІ. Библейское толкование числа π______________________________8

Глава ІV. Методы нахождения числа π._______________________________ 12 4.1 Простейшее измерение._________________________________________  12

4.2 Измерение с помощью взвешивания. ______________________________13

4.3 Суммирование площадей прямоугольников, вписанных

в полукруг. _______________________________________________________ 13

4.4 Метод Монте-Карло.___________________________________________   14

4.5 Метод «падающей иголки»._____________________________________    15

4.6 Вычисление π с помощью ряда Тейлора.___________________________  16

Заключение._____________________________________________________ 17

Список литературы.  _____________________________________________ 19

Приложение_____________________________________________________  20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

         В истории черпаем  мы мудрость, в поэзии –

остроумие, в математике проницательность.
Ф. Бэкон

        Тема моей учебно-исследовательской работы «Число π». Впервые я узнала о числе π на уроках геометрии, затем на физике, химии, алгебре и мне стало интересно, откуда взялось это число, кто впервые заговорил о нём, как его получили.   Без знаний о числе π нельзя вычислить длину окружности, площадь круга, выполнить многие расчеты в радиотехнике, электротехнике и космонавтике. Можно с уверенностью утверждать, что по характеру и уровню знаний о числе π можно судить о научно-техническом уровне развития данного общества. Я хочу раскрыть все тайны числа π. Известно, что число π даже было неким образом зашифровано в Библии, я собираюсь подробнее узнать об этом. Мне очень интересно узнать, как вычисляли число π в древние времена и как вычисляют его сейчас, сравнить эти методы. Я хочу узнать какие ученые, и в какие века начали заниматься проблемой числа π, попытаться самому вычислить приближенное значение числа π.

         Итак, я буду исследовать число Пи, а именно, находить более точный метод вычисления числа Пи.

 

                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава І. Предисловие.

 

         В истории науки встречаются задачи, которые, кажется, не имеют никакого практического значения, тем не менее поколения исследователей в течение сотен, а то и тысяч лет бьются над их решением. Одно из первых мест в этом ряду занимает задача о квадратуре круга, то есть задача построения квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Математики античной Греции уточнили: строить надо только при помощи циркуля и линейки. Неожиданно оказалось, что так просто сформулированная задача никак не поддается решению. Сколько раз различные ученые объявляли, что они решили эту задачу, столько же раз в их рассуждениях обнаруживались ошибки. Со временем стало понятно, что правильнее искать доказательство того, что эта задача не имеет решения.
         Давайте посмотрим, что это значит. Если площадь круга с радиусом т равна площади квадрата со стороной а, то верно равенство πr² = a². Если взять радиус окружности равным 1, получим  π = a², то есть число π окажется равным квадрату числа a. Итак, вопрос задачи свелся к такому: можно ли из отрезка длины 1 с помощью циркуля и линейки построить отрезок, квадрат длины которого равен π?
         Постепенно выяснилось, что из отрезка длины 1 с помощью циркуля и линейки можно построить только те отрезки, длины которых являются корнями многочленов с целыми коэффициентами (такие числа называют алгебраическими). Числа, которые не являются алгебраическими, называют трансцендентными.
                                   

День рождения числа π
         Итак, надо было понять, является ли число (а значит, и л) алгебраическим, или оно трансцендентно. Если это число трансцендентно, то никакими построениями с помощью циркуля и линейки получить отрезок а не удастся.
         В 1766 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число π иррационально, то есть не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел. доказать его трансцендентность удалось только в 1882 г. Это сделал соотечественник Ламберта — Фердинанд фон Линдеман.
         Так завершилась история одной из самых знаменитых задач в истории человечества. Кстати, вспомните, вам наверняка приходилось слышать или читать фразу: «Ему приходится искать квадратуру круга». Так говорят о человеке, перед которым стоит очень трудная проблема.

Взгляд с Другой стороны
         До сих пор мы обсуждали только геометрические связи числа л. Но по мере того, как развивался новый математический аппарат, появлялись новые математические понятия и символы, обнаружилось, что это число возникает в огромном количестве задач, никак не связанных с окружностью. Вывод большинства формул, приведенных ниже, требует знаний, выходящих за пределы школьной программы, но достаточно просто посмотреть на них, чтобы понять, насколько многообразны и сложны связи числа л с другими математическими понятиями. Это даже дало повод английскому математику Моргану сказать, что число п «лезет в дверь, в окно и через крышу».

Число π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83297 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679…, равное отношению длины окружности к ее диаметру, привлекало к себе внимание математиков на протяжении сотен, если не тысяч лет.(Более точное число в приложении 1 )

Рассказывают, что однажды в Афинах разразилась чума, никак не желавшая покидать город. Тогда решено было обратиться за советом к оракулу на острове Делос, откуда был получен следующий ответ: «Удвойте алтарь в храме Апполона!» Поскольку алтарь имел форму куба, афиняне немедленно соорудили другой алтарь, ребра которого были в два раза больше прежних. Однако чума не унималась. Недоуменные афиняне потребовали у жрецов объяснения. «Вы увеличили объем алтаря в восемь раз, тогда как было сказано в два раза», - ловко парировали жрецы. Так родилась знаменитая делосская задача о соизмеримости стороны и диагонали квадрата, а вместе с ней и до сих пор волнующее воображение исследователей проблемы современной теории чисел.

 Долгое время люди оперировали лишь целыми и дробными числами – числами, представленными в виде отношения двух целых чисел; они называются рациональными. Попытки представить число π в таком виде все время оканчивались неудачей. Число π входит в формулу площади круга, и масса математиков как профессиональных, так и любителей, ломала голову над задачей: как с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий данному кругу. Эта задача была настолько популярна, что всякая трудноразрешаемая задача сравнивалась с задачей квадратуры круга. Термин «квадратура круга» стал синонимом неразрешимой проблемы.

Обозначение числа π возникло от греческого слова «».

Древнегреческие математики умели строить квадрат, площадь которого вдвое больше площади заданного квадрата, - достаточно было построить квадрат со стороной, равной диагонали данного квадрата.

Однако попытки выразить сторону этого квадрата через сторону исходного с помощью рациональных чисел оказались обреченными на провал. И это поняли уже ученики Пифагора. Этот факт подорвал уверенность математиков в том, что число π можно выразить в виде отношения целых чисел, и с того момента началась гонка за достижение все более высокой точности вычисления числа π.

 

Глава ІІ. История числа π.

 

         Число π выражает отношение длины окружности к своему диаметру.  «Письменная история числа π начинается с египетского папируса, датируемого примерно 2000 годом до нашей эры, но оно было известно еще древним людям. Число π обратило на себя внимание людей еще в те времена, когда они не умели письменно излагать ни своих знаний, ни своих переживаний, ни своих воспоминаний. С тех пор как первые натуральные числа 1,2,3,4,… стали неразлучными спутниками человеческой мысли, помогая оценивать  количества предметов либо их длины, площади или объема, люди познакомились с числом π. Тогда оно еще не обозначалось одной из букв греческого алфавита и его роль играло число 3. Нетрудно понять, почему числу π  уделяли так много внимания. Выражая величину отношения между длиной окружности и ее диаметром, оно появилось во всех расчетах связанных с площадью круга или длиной окружности». Но уже в глубокой древности математики довольно быстро и не без удивления обнаружили, что число 3 не совсем точно выражает то , что теперь известно как число пи. Безусловно, к такому выводу могли прийти только после того, как к ряду натуральных чисел добивались дробные или рациональные числа. В Древнем Египте площадь круга диаметром d определяли как          В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н. э.) имеется указание, из которого следует, что число π в то время прини­мали равным  , что дает дробь 3,162…, в Китае равным , а еще  .

Архимед в III в. до н. э. обосновал в своей небольшой работе «Измерение круга» три положения: 1) всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и ее радиусу; 2) площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14; 3) отношение любой окружности к ее диаметру меньше  и больше . (В V в. н. э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: π ≈ 3,1415927 ...  .

В первой половине XV в. в обсерватории Улугбека, возле Са­марканда, астроном и математик Ал-Каши вычислил π с 16 де­сятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон много­угольников и дошел до многоугольника, имеющего  углов. Ал-Каши произвел уникальные расчеты, которые были нужны для составления таблиц синусов с шагом в . Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.

В конце 16 века было установлено, что  между рациональными и иррациональными числами имеется существенная разница: рациональные числа выражаются бесконечной периодической дробью, тогда как в записи иррациональных чисел нет периодичности цифр. Спустя полтора столетия в Европе Ф. Виет нашел число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф. Виет первым за­метил, что число π можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислять π с какой угодно точностью. Только через 250 лет после Ал-Каши его результат был превзойден.

В 17 веке Декарт представил математикам новый инструмент исследования – аналитическую геометрию.

Первым ввел обозначение отношения длины окружности к ди­аметру современным символом π английский математик У. Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова «периметр». Введенное У. Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введен­ным символом впервые в 1736 г.

Заметим, что к тому времени не было доказано, является ли число Пи рациональным или иррациональным. Леонард Эйлер ввел для обозначения числа Пи греческую букву и связал показательную функцию мнимого переменного exp(ix) с тригонометрическими функциями Cos x  и Sin x в известном уравнении, из которого , в частности, следует exp(iPi)=-1. Здесь на сцену вышла еще одна знаменитая математическая константа e, о которой раньше математики ничего не знали. Число е оказалось не менее любопытным, чем Пи. После того, как Непер избрал число е в качестве основы для своей логарифмической системы, им стали повсеместно пользоваться.

Дальнейшее исследование числа Пи продолжалось разными путями. В 1767 году Ламберт впервые показал, что Пи является иррациональным числом, а в 1844 году Лиувилль установил, что существуют иррациональные числа, не являющиеся решением алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Эти числа получили название трансцендентных. Новая форма увлекла многих математиков. В 1873 году Шарль Эрмит дает новое доказательство иррациональности числа Пи и доказывает трансцендентность числа е. А 26 ноября 1882 года профессор Линдеман наконец публично доказывает долгожданную трансцендентность числа Пи и ставит крест на проблеме квадратуры круга.

В конце XVIII в. А. М. Лежандр на основе работ И. Г. Ламберта доказал, что число π иррационально. Затем немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на исследования Ш. Эрмита, нашел строгое доказательство того, что это число не только иррациональ­но, но и трансцендентно, т. е. не может быть корнем алгебраичес­кого уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине  окружности, невозможно,   а, следовательно, не существует решения за­дачи о квадратуре круга.

Поиски точного выражения числа π продолжались и после работ Ф. Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф Ван Цейлен (1540—1610) — некоторые историки его называют Л. Ван Кейлен — нашел 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа  π с 32 десятичными зна­ками получило название числа Лудольфа.

К концу XIX века,  после   20 лет упорного труда,  англичанин Вильям Шенкс нашел 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обна­ружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке  и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число π. Некоторые из этих формул позволяют вычислять π приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу π можно прийти, отыскивая пределы неко­торых рядов. Так, Г. Лейбниц (1646—1716) получил в 1674 г. ряд , который дал возможность вычислить π более  коротким  путем,  нежели Архимед. Все же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчетов. Для вычисления π удобно использовать ряд, получаемый от разложения arctgх при значении , при котором разложение функции arctg  в ряд дает равенство , т. е. π = . Частично суммы этого ряда можно вычислять по формуле , при этом π будет ограничено двойным неравенством  < π < . Еще более удобную формулу для вычисления π получил Дж. Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил π (в 1706 г.) с точ­ностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для π дает выражение π =. Однако следует помнить, что это ра­венство надо рассматривать как приближенное, так как правая часть его — число алгебраическое, а левая — число трансцендент­ное, следовательно, эти числа равными быть не могут.

В современной математике число π — это не только отношение длин окружности к диаметру, оно входит в большое число различ­ных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и определяется чисто аналитически. Входит оно и в замечательную формулу Л. Эйлера, которая устанавливает связь числа π и числа «е» следующим образом: = 1, где i=. Эта и другие вза­имозависимости позволили математикам еще глубже выяснить природу числа π.

 

                        Глава ІІІ. Библейское толкование числа π.

 

                                                                 И сделал литое из меди море – от края

                                                                 его до края его десять локтей, -

                                                                совсем круглов, вышиною в пять локтей,

                                                                и снурок в тридцать локтей обнимал его  кругом.

                                                                                                                                    (Книги священного писания ветхого завета. Третья книга царств, гл. 7, стих 23)

 

В приведенной цитате рассказано об одном из элементов Первого Иерусалимского Храма, построенного царем Соломоном – правителем Иудейско-Израильского царства около 3000 лет тому назад, точнее в 965-928 гг. до н. э. Считается что описании храма, приведенное в Ветхом Завете (Танахе) принадлежит пророку Ирмия, жившему во времена Первого Храма. Датируется оно по-разному: еврейская традиция говорит о том, что описание сделано во времена Соломона; критики этого мнения настаивают на том, что оно могло быть сделано значительно позже, в течение 4-5 веков после Соломона, но все равно не позднее 2500 лет тому назад.

Наше внимание к этому тексту вызвано тем, что из него можно узнать об одном из древнейшем представлении о числе π – отношении длинны окружности к длине своего диаметра. Теперь мы знаем многое об этом числе:

Оно иррационально, т. е. его нельзя представить в виде отношения натуральных чисел – оно может быть выражено бесконечной десятичной непериодической дробью;

Оно трансцендентно, т. е. не может быть корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами и натуральными показателями у переменной.

Изучением числа π занимались многие математики всех времен и народов. Столь внимательное отношение к числу π неслучайно. Это число играет важную роль в математике, физике, астрономии, технике и других науках, многих практических расчетах. Действительно без знаний о числе π  нельзя вычислить длину окружности, площадь круга, площади поверхностей и объемы круглых тел, выполнить многие расчеты в электротехнике и радиотехнике, астрономии и космонавтике. Можно с полной уверенностью утверждать, по характеру и полноте знаний о числе π возможно судить о научно-техническом уровне развития данного общества.

Первый вопрос при этом возникает о том, каким приближением числа π владели люди, каким значением числа они пользовались в практических расчетах. Из приведенного выше стиха следует, что во времена Соломона знали, что число

π ≈ 3. Действительно, если “Литое море” было построено диаметром десять локтей и, по утверждению автора, имело “снурок” (длина окружности основания внутри “литого моря”) в тридцать локтей, то π ≈ 3.

         Такой уровень знаний о числе π в иудейском обществе 2500-3000 лет тому назад в принципе соответствует знаниям, известным из других источников. Из Папируса Ахмеса (около 2000 лет до н. э.) следует, что за площадь S круга принимается площадь квадрата, сторона которого равна диаметра,

т. е.

Это значит, что в качестве числа π берется число = 3,16. Из древнеегипетских источников известно, что потребности того времени  вполне удовлетворялись значением числа π равным 3. Позже римляне принимали значение π, равное 3,12.

         В истории математики считается, что первое вычисление на основе строгих теоретических рассуждений было выполнено выдающимся математиком древности Архимедом (287-212 гг. до н. э., подробней о нем в приложении). В своем труде «Об измерении круга» он доказал, что < π <. Использование найденного Архимедом значения π = 3,14 многие годы вполне удовлетворяло практические расчеты.

         Примерно такое же представление о числе характерно для математиков древней Азии. В индийских «сутрах» (VII-V вв. до н. э.) принимается значение числа π, равное  3,008. Значительно позже Арибахта (V в.) и Бхаскара (XII в.) в качестве π брали значение , т. е. 3,1416..., Брахмагупта (VI-VII в.), Магавира (IX в.) и Срид-дхара (XI в.) - значение, т. е. 3,162...; астроном Ван Фань (229-267 гг.) считал, что π = , т. е. 3,155... . Цзу Чун-чжи (428-499 гг.) считал "точным" значением π: = . Ничего сенсационного пока мы не сообщили.

         Сенсация начинается при анализе ивритского первоисточника приведенного выше стиха из Танаха. Внимательное изучение этого текста показывает, что ивритское слово "кав" (קוה) - "линия" написано вроде бы с лишней буквой ГЕЙ (ה) и по традиции ее читать не следует. Во многих изданиях ивритского текста Танаха справа написано слово линия, как и принято по традиции, без буквы ГЕЙ, этим указывается как надо читать это слово. Таким образом, в ивритском тексте Танаха явная непонятность: слово "линия" как бы удлинено при помощи буквы ה (ГЕЙ), хотя согласно "инструкции" на полях написано, что читать ее не следует (и по традиции ее в этом месте не читают). Не странно ли это? Тысячелетиями переписывается текст Танаха с вроде бы лишней буквой в слове "линия" и рядом почему-то указывается, что по традиции ее читать не надо. (Кстати, подобных мест в Танахе немало - в ивритских текстах во многих случаях указывается, как следует читать отдельные слова.)

         Дело в том, что согласно иудейской традиции каждое слово отражает двойную мудрость - внешнюю (что написано) и внутреннюю (что читается). Именно поэтому по иудейской традиции столь трепетное отношение к слову написан­ному и слову произнесенному. Именно поэтому переписчики Танаха тысячеле­тиями воспроизводили его без малейших изменений, даже в том случае, если и не всегда понимали смысл написанного.

Нельзя сказать, что подобное, казалось бы лишнее, удлинение слова не сму­щало переводчиков Танаха. Так, в приведенном выше отрывке из каноническо­го издания Библии употреблено слово "снурок" - автор перевода тем самым уточняет ивритский (или греческий) текст и подчеркивает, что речь идет не просто о линии, а о длине внутренней окружности основания "литого моря". В одном из последних переводов Библии на русский язык, выполненном груп­пой высоко квалифицированных иерусалимских профессоров, очевидно, имен­но удлинение слова "линия" вызвало необходимость уточнить текст словами, заключенными в скобки. Вот как звучит перевод этого стиха в их изложении:

       И сделал он море литое – от края его и до

      края его десять локтей, – совершенно круглов,

      высотою в пять локтей, так что линия (длиною)

      в тридцать локтей шла вокруг него по кругу.

          Пророки Мелаким |, гл. 7, стих 23.

          Мосад арав К(Иерусалим, 1987, с. 167)

Попытаемся проникнуть в смысл удлиненного написания слова "линия" в рассматриваемом тексте с помощью традиционно иудейского учения о гематрии слов. Каждая буква ивритского алфавита имеет числовое значение. Гематрия слова - это сумма числовых значений букв составляющих это слово.

Еврейские мудрецы часто пользовались гематрией для более глубокого про­никновения в смысл текста Торы (Пятикнижия Моисея). И многие их находки поражают. Гематрия слова "линия" (קוה), как оно написано в тексте Танах (имеется в виду, что ה = 100, ו = 6, ק = 5), равна 100 + 6 + 5= 111. Гематрия слова "линия" (קוה), как его следует читать по традиции, равна 100 + 6 = 106.

Мы исходим из предположения, что автор текста, удлинив слово на одну букву, хотел тем самым показать, насколько окружность "литого моря" диамет­ром 10 локтей фактически длиннее его примерного значения, которое выра­жено традиционно произносимым словом "линия". Такое ""удлинение" окруж­ности найдем с помощью отношения гематрий этих слов:  = 1,0471698... . Умножив это число на 30 (именно столько локтей в произносимом тексте со­ставляет длина окружности), мы получим более точное значение "окружнос­ти" "литого моря". Оно равно 31,415094... . Разделив это число на диаметр (10 локтей) "литого моря", мы получаем примерное значение числа π, о котором знали и пользовались строители Первого Иерусалимского Храма во времена Соломона:

π = 3,1415094... .

Здесь верны четыре десятичных знака числа π. Вот к какому поразительно­му выводу привела нас принятая гипотеза.

Такой точности в вычислении числа π математики добивались только в сред­ние века, применяя метод Архимеда, т. е. вычисляя длину окружности с помо­щью периметров вписанных в нее или описанных около нее многоугольников. Так, Ал-Каши в 1424 году в книге “Обизмерении окружности” нашел 16 верных зна­ков числа π, бельгиец А. Ван Ромен в XVI веке нашел 17 верных десятичных зна­ков π, голландец Лудольф ван Цейлен - 35 верных десятичных знаков для π. В течение XVIII-XX веков А. Эйлер, У. Джоне, В. Шенкс, Ферпоссом, Ренг постепен­но увеличивали точность значений числа π и нашли его значение с огромной точностью (808 знаков!). Но они уже пользовались методами высшей матема­тики. В настоящее время с помощью компьютера можно найти значение сколь угодно "далекого" десятичного знака числа π за сравнительно небольшой про­межуток времени.

И все же на фоне этих достижений нас не может не поражать та высокая точность (5 верных знаков!) значения числа π, которым, вероятно, владели строители Первого Храма времен царя Соломона! Неведом нам пока метод, с помощью которого могла быть достигнута подробная точность. Мне представляется, что мы до сих пор очень плохо и поверхностно знаем Древний мир. Вполне возможно, что методом вписанных многоугольников при вычислении длины окружности владели за много веков до Архимеда и не только в Иудейско-Израильском царстве.

И еще одна тайна: если описанная гипотеза верна, то вызывает удивление и восхищение способ, которым зашифровано в Танахе это знание. Анализ ивритского текста Танаха показывает, что по отношению к слову (линия) добавлением букв такое шифрование методом гематрий возможно единственным спосо­бом! Поистине, тайны Библии неисчерпаемы!

Выдвинутая выше гипотеза, как и всякая другая, может быть либо подтверждена и доказана, либо опровергнута. Для прямого или косвенного ее подтверждения необходим поиск фактов о том, что где-то еще в Древнем мире времен царя Соломона знали о значении числа π с точностью до 4-5 знаков, либо упоминаний о сколь-нибудь приемлемом методе получения такой точности вычислений. Пока нам такие факты неизвестны. Опровергнуть же выдвинутую гипотезу можно, если будут приведены убедительные аргументы в пользу необходимости добавления нечитаемой буквы ה в слове "линия" ивритского текста Библии.

 

 

Глава ІV. Методы нахождения числа π.

 

Я также попыталась опытным путем получить число π. Для этого можно воспользоваться нижеследующими способами.

 

                                               4.1  Простейшее измерение

Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тон­кую нить. Измерив длину l одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа π, т. е. π =. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа π с точностью до 1 знака после запятой.

Ниже я хочу описать свой опыт нахождения приблизительного значения числа π методом измерения.

         На листе картона я нарисовала и вырезала окружность радиусом 5,65 см.

Потом я обмотала получившуюся окружность крепкой нитью. Измерив длину одного полного оборота нити, я нашла длину моей окружности – 35,5 см. (приложение1). Далее остается только обработать полученные данные. По формуле π = я посчитала π с этими данными: π = π ≈ 3,14159292…. Это значение π получилось близко к реальному . Я довольна этим результатом т. к. выше сказано, что такой способ дает в обычных условиях приближенное значение числа π с точностью до 1 знака после запятой, у меня же получилось число с точностью 6 знаков после запятой.

 

 

 

4.2 Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квад­рата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата   (m_кв)  и вписанного в него круга (m_кр), воспользуемся форму­лами m=QV, V=Sh_y где Q и h — соответственно плот­ность и толщина картона, S — площадь фигуры. Рас­смотрим равенства: , . Отсюда , т. е. π =

Естественно, что в данном случае приближенное значение π зависит от точности взвешивания. Если взвеши­ваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значе­ния масс, которые обеспечат приближение числа π с точностью до 0,1.

Далее идет опыт нахождения числа π используя метод взвешивания.

Я начертила на плотном листе картона квадрат, затем вписала в него круг. Вырезала квадрат и взвесила его на аптечных весах и получила массу квадрата (m_кв)  равную 1,315 гр. Далее я вырезала из квадрата круг и взвесила его, получила массу круга (m_кр)  равную 1,67гр. Из вышеприведенных преобразований следует, что π =. Подставляем наши данные в эту формулу, получается π = . Этот результат отличается от оригинала, начиная с третьей цифры после запятой..(Приложение 2)

 

    4.3 Суммирование площадей прямоугольников вписанных в полукруг.

Пусть А (а;0), В (b;0). Опишем на АВ полуокруж­ность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на п равных частей точками , , …,  и восставим из них перпен­дикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждо­го такого перпендикуляра — это значение функции  f(x)=. Из рис. 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле:

(( f()+f()+…+f())

 В нашем случае b=1, а= -1. Тогда π ≈2S.

Значения π будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ.

Рис. 1

 

 

 

                                       4.4   Метод Монте-Карло

Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными дома­ми. Дело в том, что метод требует применения случай­ных чисел, а одним из простейших приборов, генерирую­щих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи ... дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть  — число капель в кругу, — число капель в квадрате, тогда π =  (1)

Я вынесла под дождь на несколько секунд лист картона с чертежом.  Получились такие результаты: в четверти круга - 100 капель, в квадрате – 125. Проведём расчёт:  π = =3,2.  Полученный результат очень отличается от оригинала.  (Приложение 3)

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специаль­ной программе. Каждому следу капли поставим в соот­ветствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. (см. рис. 2) Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, на­пример подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно «приготовить» пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, y=0,65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случай­ными числами. Если окажется, что для точки (, ) выполняется неравенство >1, то, значит, она лежит вне круга. Если 1, то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения π снова воспользуемся форму­лой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна -, где D — некоторая постоянная, a N— число испытаний. В нашем случае N = . Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компью­терам.

 Рис. 2

 

4.5Метод «падающей иголки»

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а — расстояние между прямыми, l — длина иглы.

Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы (см. рис. 3) определяется расстоянием х от ее середины до ближайшей прямой и углом , который игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на  ближайшую прямую   (см.   рис. 4).  Ясно,  что ,

На рис. 5 изобразим графически функцию y = 0_.5lcos . Всевозможные расположения иглы характеризуются точка­ми с координатами (; у), расположенными на участке ABCD. Заштрихованный участок AED — это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события А — «игла пересекла прямую» — вычисляется по формуле:

Р(А)= , где S_AED=,

, т. е. Р(А)=

Вероятность Р(А) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж S раз и k раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом S имеем Р(А) =. Отсюда π ≈

Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает сов­местить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.

 

Рис 3

Рис. 4                                                                              Рис. 5

 

 

 

Я бросала иглу длинной 3,2 см на чертёж, на котором расстояние между линиями 5 см, 15 раз, 6 раз игла упала на линию. Подставим данные в формулу

π ≈   (Приложение 4)

 

 

4.6  Вычисление π с помощью ряда Тейлора

Обратимся к рассмотрению произвольной функции f(x). Предположим, что для нее в точке  существуют произ­водные  всех  порядков до n-го  включительно.   Тогда  для функции f(x) можно записать ряд Тейлора:

f(x)=f()

Пусть теперь f(x)=arctg x при  и .

Тогда arctg x=

         Если x=1, arctg 1=, значит,

         Вычисления с помощью этого ряда будет тем точнее, чем больше членов ряда будет задействовано. 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

 

         Проделав работу, я узнала много нового о числе π. Удивление у меня вызвало то, что значение числа π было зашифровано в Библии, это значит, что о числе π знали ещё задолго до нашей эры. Я узнала, что существует множество способов вычисления числа π. Здесь я провела 4 опыта и получила число π равное 3,14159292…. в первом ,  3,1497005… во втором, 3,2 в третьем и  3,2 в четвёртом опытах.   У меня получились приблизительные значения числа. Более точным значение числа пи получилось в первом опыте (измерение при помощи нити).В работе я выяснила, что число π берет свое название от греческого слова «периметр». Множество ученых бились над определением точного значения числа π. Архимед в ІІІ веке до нашей эры обосновал три положения в своей работе «Измерение круга». Начиная, примерно с 1600 года появляется множество способов нахождения числа π, одни длиннее - другие короче, одни сложнее – другие легче. Сейчас число π имеет высочайшую точность – более 51миллиона знаков после запятой .

          Конечно, число Пи сейчас используется уже в готовом виде и мало кто опытным путём выводит его. В своей работе я показала более приемлемые способы нахождения числа Пи. Но более точные вычисления числа Пи проводит ЭВМ при помощи специальных программ. Число имеет очень широкое применение в алгебре, геометрии, химии, астрономии, генетике, теории вероятностей, статистике, физике звука и света и др. Об этом числе складывают стихи, люди и природа создают изображение символа числа Пи

         В перспективах развития этой работы я наметила одно: опытным путем самостоятельно найти более 6 знаков после запятой числа π.

 

                                                      О числе Пи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

Энциклопедия для детей / Математика. Издательство: «Аванта+» 1998 год.

История математики в школе ІХ – Х классы. Москва «Просвещение» 1983 год.

Толковый словарь математических терминов. Москва «Просвещение» 1965 год.

Газета «Математика» №8 1997 год.

Газета «Математика» №6 2008год.

Журнал «Математика в школе». №5 1991 год.

Сайт журнала «Квант» - http://kvant.mirror0.mccme.ru/

Интернет портал Referat.ru - http://www.referat.ru/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №1

 

Простейшее измерение

 

 

Радиус окружности – 5,65 см

Длина окружности – 35,5 см

Π ≈ 3,14159292…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №2

 

Измерение с помощью взвешивания

 

Масса квадрата – 1,315 гр

Масса круга – 1,67 гр

Π ≈ 3,1497005

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение № 3

 

Метод Монте-Карло

 

Количество капель в четверти круга – 100

Количество капель в квадрате – 125

 

Π ≈ 3,2

 

 

 

Приложение № 4

 

Метод «падающей иголки»

 

Длинна иглы – 3,2 см

Расстояние между линиями – 5 см

Игла брошена 15 раз

Упала на линию 6 раз

 

Π ≈ 3,2