Инфоурок Математика Другие методич. материалыИсследовательская работа на тему "Занимательные задачи"

Исследовательская работа на тему "Занимательные задачи"

Скачать материал

                                     

 

 

 

 

 

 

 

Занимательные задачи в России через века и годы

 

 

 

Научно – исследовательская работа                           

                       Шелепановой Александры Николаевны

          г Оленегорск МОУ ООШ №21, 5А класс

                  Научный руководитель

       Петухова Вера Александровна.

 

 

 

 

 

 

 

 

Оленегорск


 

Содержание работы

Введение………………………………………………………………….

3

1. Занимательные задачи в России с древних времен по наши дни………………………………………………………………………….

 

4

1.1. Общие сведения о занимательных задачах в математике……

4

1.2. Занимательные задачи в России с древних времен…………

4

2. Исследование занимательных задач различных времен…………..

8

2.1. Описание и постановка исследования………………………..

8

2.1.1. Временные расчеты……………………………………..

8

2.1.2. Поиск неизвестного……………………………………..

9

2.1.3. Задачи на движение……………………………………..

10

2.1.4. Денежные расчеты………………………………………

11

2.2. Вывод……………..……………………………………………

12

Заключение……………………………………………………………….

13

Список литературы………………………………………………………

14

Приложение……………………………………………………………….

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

На уроках математики мы иногда встречаемся с так называемыми «занимательными задачами», для решения которых необходимо прибегнуть не только к арифметическим расчетам, но и к логическим рассуждениям.

Начало своё занимательные задачи берут еще с древних рукописных книг. Сегодня такого плана задания включены в школьные учебники для того, чтобы разнообразить деятельность учеников и подготовить детей к нестандартным ситуациям, зачастую встречающимся в повседневной жизни. Вышесказанное характеризует актуальность выбранной темы исследования: Занимательные задачи в России через века и годы.

В рассуждениях мы столкнулись с проблемой: Находят ли занимательные задачи древности отклик в современных учебниках? В ответ на это была выдвинута следующая гипотеза: Если проанализировать занимательные задачи различных времен, то можно проследить за развитием математической мысли в России.

Целью исследовательской работы является выявление взаимосвязи занимательных задач древних времен и наших дней.

Для достижения цели необходимо выполнить следующие задачи:

- отбор и анализ материала, касающегося математической мысли в России;

- рассмотрение и сопоставление занимательных задач из источников различных лет;

- изучение способов решения некоторых старинных задач.

Объектом исследования является развитие математической мысли в России с древних времен до наших дней. В качестве предмета выступают занимательные задачи.

К методам исследования можно отнести:

- отбор и изучение литературы;

- решение, сравнение, анализ занимательных задач разных лет;

- уточнение сделанных выводов.

Глава 1.  Занимательные задачи в России с древних времен по наши дни.

В первой главе раскрывается суть термина «занимательные задачи», проводится краткое исследование их возникновения и изменения в математической литературе разных лет.

1.1                     Общие сведения о занимательных задачах в математике

В русской математической литературе и учебниках всегда большое внимание уделялось занимательным задачам, так как считалось, что элемент занимательности облегчает обучение. К занимательным задачам принято относить задачи с интересным содержанием или интересными способами решения, математические игры, задачи, касающиеся интересных свойств чисел и геометрических тел [3;1].

 

2.1. Занимательные задачи в России с древних времен

Из первых известных письменных источников мы узнаем о том, что математические знания на Руси были рас­пространены уже в X—XI веках.

Они были связаны с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т. д.     

В XVI—XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литера­тура (этого требуют межевание и измерение земель, сис­тема податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). В настоящее время известно значительное количество математических руко­писей XVII века. В основном они предназначались для куп­цов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили сугубо практический характер. Материал их распределялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояс­нялись разнообразными примерами и задачами. Некото­рые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Многие из них перешли в учеб­ники по арифметике и алгебре XVIII века, некоторые со­хранились и до нашего времени [3;6].

Рукописи XVI—XVII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. Они явились той основой, на которой создавалась учеб­ная литература XVIII века.

Перестройка государственной, общественной и куль­турной жизни страны, начатая Петром I, подняла и воп­росы образования. Требовались специалисты для создания новой регулярной армии, для постройки торгового и воен­ного флота, для развития промышленности и т. д. Для под­готовки таких кадров, для распространения в стране математических знаний нужны были учебники. В 1703 году такой учебник был издан типографским способом необы­чайно большим по тем временам тиражом — в количестве 2400 экземпляров. Назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная...» [7]. Автором его был выдающийся педагог - математик  — Леонтий Филиппович Магницкий. Взяв за основу имевшуюся рукописную ма­тематическую литературу, он создал книгу, ко­торая на протяжении 50 лет была основным учебником по математике для почти всех учебных заведений России. Она сыграла большую роль в распространении математичес­ких знаний, в подготовке кадров для государственных уч­реждений страны [3;7].

«Арифметика»— одна из самых замечательных рус­ских книг — являлась энциклопедией математических знаний того времени. Понимая роль заинтересованности в обучении, Магницкий приводит много задач с остроум­ным содержанием, занятными формулировками, интерес­ными способами решения. К некоторым задачам приводят­ся рисунки. Занимательным задачам он посвящает целый раздел «Об утешных некиих действах чрез арифметику употребляемых».

В 1725 году в Петербурге открылась Академия наук с университетом и гимназией. Вначале для работы в Ака­демии были приглашены ученые из-за границы. Среди них приехал в Россию двадцатилетний швейцарец Леонард Эй­лер, будущий великий математик. Его педаго­гическая деятельность способствовала форми­рованию русских национальных научных кадров. Отметим здесь учебники Эйлера по элемен­тарной математике: «Руководство к арифметике, для употребления в гимназии при Императорской Академии наук» (1738—1740 гг.) и «Универсальная арифметика» (1768—1769 гг.). Материал в этих книгах изложен очень ясно, доходчиво, сопровождается большим количеством различных увлекательных задач и примеров.

Книги Магницкого и Эйлера послужили основой для многих учебников других авторов: Н.Г. Курганова, Д. С. Аничкова, С. К. Котельникова, С. Я. Румовского и др. Кроме отдельных учебников, появ­ляются и целые курсы математики. Так, например, в 1787— 1790 гг. вышел «Курс чистой математики» Е. Д. Войтяховского, состоящий из пяти книг (Арифметика, Алгебра, Геометрия, Тригонометрия и Фортификация), предназна­ченный для учеников основанной им в Москве Математи­ческой школы. Книги эти пользовались большой популяр­ностью и неоднократно переиздавались [6].

Если в русской рукописной литературе XVII века и в книгах начала и середины XVIII века занимательные за­дачи были рассеяны среди учебных задач, то уже в конце XVIII века этим задачам посвящаются отдельные изда­ния. Такой, например, является книга «Детский гостинец, или четыреста девяносто девять загадок с ответами в сти­хах и прозе, взятых как из древней, так и новейшей истории и из всех царств природы и собранных одним другом детей для их употребления и приятного препровождения време­ни». Эта небольшая книжка вышла в Москве в 1794 году и содержала различные занимательные вопросы, загадки, пословицы и небольшие истории.

Немного позднее вышла книга И. Буттера "Занимательные и увеселительные задачи и загадки" (1831), содержавшая более сотни задач и головоломок.  В 1884 году вышли две книги Василия Обреимова - "Математические софизмы" и "Тройная головоломка". В самом начале прошлого века два московских преподавателя из университета и реального училища Д. Горячев и А. Воронец выпустили книгу "Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики" (1903). Она неплохо составлена методически и не устарела. Учитель из Казани П. Кильдюшевский адресовал свою книгу "Юным математикам" (1911) непосредственно школьникам. Задачи в ней интересны, но к ним почти нет ни решений, ни ответов. Определенную лепту в пропаганду нестандартных задач внес издававшийся в те же годы "Журнал элементарной математики" под редакцией профессора В. Ермакова. 

Выдающаяся роль в приобщении к математике посредством занимательных приемов принадлежит педагогам А. Лямину, Н. Аменицкому, И. Сахарову, Е. Игнатьеву, С. Рачинскому, работавшим в России в конце XIX - начале ХХ века. Их брошюры и книги пользовались неизменным успехом у учителей, родителей, учащихся и, как правило, переиздавались. Некоторые задачи в них были заимствованы из зарубежных источников, однако  большая их часть оригинальна.

Николай Аменицкий выпустил серию из двадцати брошюр по занимательной математике - "Научно-забавная библиотека для семьи и школы", а Иван Сахаров известен методическими разработками по астрономии, естествознанию, истории, литературе для детей. "Забавная арифметика" - их единственный совместный труд (1911). В нем почти 250 задач и вопросов, размещенных в трех главах - для детей младшего, среднего и старшего возрастов. Ко всем упражнениям приведены ответы [5]. 

Книги отечественных авторов выходили в XVIII - начале XX века практически одновременно с аналогичными зарубежными изданиями и по качеству не уступали им. 

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что так называемые «занимательные задачи» с давних времен применялись людьми для развития и совершенствования математических знаний. Во второй главе нами будут предоставлены решения таких задач как давних времен, так и современных.

 

Глава 2. Исследование занимательных задач различных времен

2.1 Описание и постановка исследования

Для подтверждения гипотезы, выдвинутой в главе 1, были решены некоторые  занимательные задачи различных времен и выделены основные тематические направления, которые исследовались далее.

 

2.1.1 Временные расчеты

Первый тип задач, с которым мы познакомились, касался расчетов лет, месяцев, дней недели, часов и т. д. Такие занимательные задачи мы объединили в группу « Временные расчеты». Вот некоторые из них:

Старинная задача XVIII век [3;55]

У одного старика спросили, сколько ему лет. Он ответил, что ему 100 лет, но дней рождений было только 25. Как такое могло быть?                                                                                                                                                             

Решение:

100:25=4 – значит,  у старика день рождения был раз в 4 года, а по календарю раз в 4 года бывает только 29 февраля.

Ответ: у старика день рождения был 29 февраля.

Современная задача XXI век [4; 65]

Парусник отправляется в плавание в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите время и день его возвращения.

Решение:

100ч. = 4сут. 4ч.,   полдень : 12 ч.

понедельник  

вторник   

среда   

четверг    

пятница

отплыл

1 сутки   

    2 сутки 

3 сутки   

4 сутки, приплыл

 

 

12 + 4 = 16 (ч.)

Ответ парусник приплыл в пятницу в 16:00.

 

2.1.2. Поиск неизвестного

Следующие задачи отнесены к группе «Поиск неизвестного». Сейчас они обычно решаются с помощью уравнений. Но, оказывается, в «Арифметике» Магницкого Л. Ф. для их решения предлагалось воспользоваться «…правилом фальшивым и гадательным…» [26;]

Старинная задача «Ответ учителя», XVIII век [3;28]

Спросил некто учителя: «Скажи, сколько учеников в твоем классе, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня в классе 100 учеников». Сколько было учеников классе?

Решение I (старинное):

По правилу «фальшивому» или «гадательному» следовало решать задачу так:

Предположим, что в классе было 24 ученика. Если придет столько же, затем полстолько, еще четверть столько и 1 ученик, всего получится:

24+24+12+6+1=67, что не соответствует условию задачи.

Предположим, что в классе 32 ученика. Получим:

32+32+16+8+1=89, что противоречит условию.

100 – 67 =33

100 – 89 = 11

24×11=264

33×322 = 1056

1056 – 264 =792

33 – 11=22

Согласно «фальшивому» правилу, составим схему:

 

24                            33           

32                            11           

 

Следовательно, в классе было: 792 : 22 = 36 учеников.   

Решение II (современное):

Пусть х - четверть учеников в классе. Тогда 2х – половина и 4х – полное количество учеников. Считая, что 4х учеников было в классе, 1 ученик – сын, а станет 100 учеников, составим уравнение:

х+2х+4х+4х+1=100

11х=100-1

11х=99

х=99:11

х=9 - четверть

9*4=36

Ответ: в классе было 36 учеников.

Занимательная задача XXI век[4;34]

Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 3 части. Всего стало 15 листов. Сколько листов бумаги разрезали?

Решение:

15-9=6(л) – на столько стало больше;

3-1=2(л) – становилось больше при 1 разрезе;

6:2=3(л) – разрезали;

Ответ: разрезали 3 листа на 3 части.

 

2.1.3. Задачи на движение

Следующий тип задач, с которым можно встретиться как на страницах старинных задачников, так и в современных сборниках занимательных заданий, представляет собой задачи на движение.

Старинная задача XVII век [3; 15]

Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет на встречу ему из другого города и в день проходит по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней встретятся путники?

Решение:

700:(30+40)=10 дней

Ответ: путники встретятся через 10дней.

Современная задача XXI век [2; 178]

Собака, почуяв приближение хозяина, побежала ему навстречу, когда он находился на расстоянии 150 м от дома. Через 10 с расстояние между ними сократилось до 50м. С какой скоростью шел хозяин, если скорость собаки на 8 м/с больше скорости хозяина?

Решение:

(150-50):10=10 (м/с)  – скорость сближения хозяина и собаки.

(10-8):2=1 (м/с) - скорость хозяина.

Ответ: хозяин шёл со скоростью 1м\с.

 

2.1.4. Денежные расчеты

Следующий рассмотренный тип задач был посвящен денежным расчетам. Так как в Древней Руси денежные единицы отличались от современных, для упрощения вычислений сделана таблица их соотношений.

1 гривна = 10 копеек

1 деньга = 1/2 копейки

1 алтын = 3 копейки

1 полушка = 1/4 копейки

 

Старинная задача XVIII век [3; 18]

Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?». Крестьянин ответил замысловато: «25 яиц без полушки стоят 5 полушек без 5 яиц». Сколько стоит десяток яиц?

Решение:

25+5(яиц) = 1+5(полушки)

30яиц = 6полушек

30:3 = 6:3

10 яиц = 2 полушки = 1 деньга

Ответ: десяток яиц стоит 1 деньгу.

Современная задача XXI век [4; 55]

Килограмм масла стоит 180 рублей, что составляет 90% стоимости килограмма мяса. Стоимость пакета молока составляет 20% стоимости килограмма мяса, или 4/5 стоимости десятка яиц. Сколько надо заплатить за 3 десятка яиц?

Решение:

180:90*100=180:9*10=200 (руб/кг) – мясо.

200:100*20=200:5=40 (руб/кг) – молоко.

40:4*5=50 (руб/дес) – яйца.

50*3=150 (руб/3 дес)

Ответ: 3 десятка яиц стоят 150 рублей.

 

2.2. Вывод

В разное время занимательные задачи носили практико – ориентированный характер, что объясняет те типы, которые были выделены в ходе исследования.

Что касается методов решения, то как старинные, так и современные задачи можно решить, прибегнув к помощи школьной математики и логических размышлений. Что касается «правил фальшивых и гадательных», то такие рассуждения сейчас не применяются, так как проще решить такие задания с помощью составления уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

При обращении к современной литературе, убедились в том, что занимательные задачи древности находят отклик в современных учебниках. Таким образом, проблема исследования была решена.

Изучив историю возникновения занимательных задач в России и заметив изменения, которые происходили с ними в течение времени, удостоверились в том, что таким образом можно проследить за развитием математической мысли в России. Следовательно, гипотеза нашла своё подтверждение.

Были реализованы следующие задачи:

- отбор и анализ материала, касающегося математической мысли в России;

- рассмотрение и сопоставление занимательных задач из источников различных лет;

- изучение способов решения некоторых старинных задач.

В результате, была достигнута цель исследовательской работы: выявлены взаимосвязи занимательных задач древних времен и наших дней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1.     Виленкин Н. Я.  Математика. 5 класс : учеб. Для общеобразоват. Учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 26-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 280 с. : ил.

 

2.     Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г., Математика. 5 класс. Часть 2. – Изд. 2-е, перераб. / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2011. – 240 с.: ил.

 

 

3.     Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К., Старинные занимательные задачи. – 2-е изд., испр. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. – 160 с.

 

4.     Фарков А. В. Математические олимпиады. 5-6 классы: учебно-методическое пособие для учителей математики общеобразовательных школ. / А. В. Фарков. – М.: Издательство «Экзамен», 2006. – 189, (2) с. (Серия «Учебно-методический комплект»).

 

5.     http://www.nkj.ru/archive/articles/2228/

 

6.     school-collection.edu.ru

 

7.     http://wiki.kgpi.ru/mediawiki/index.php

 

 

 

 

 

 

Приложение

Современная задача: [3;269]

Самый длинный день в Москве длится 1057 минут. Какова продолжительность самой короткой ночи в Москве?

Решение:

1057минут=17ч37мин

В сутках 24часа

24ч-17ч37мин=6ч23мин

Ответ: самая короткая ночь в Москве длится 6часов 37минут.

 

Старинная задача: [3;34]

 «Сколько лет твоему сыну?» - спросил один человек у своего приятеля. Приятель ответил: «Если к возрасту моего сына прибавить столько же да еще половину, то будет 10 лет». Сколько лет сыну?                                                  

Решение:

Обозначим за «х» половину возраста сына. Тогда полный возраст сына будет равен «2х». Составим уравнение:

х+2х+2х=10

 5х=10

 х=10:5

 х=2 - это половина

2*2=4 – возраст сына.

Ответ: его сыну 4 года.

 

Старинная задача: [2;70]

Средний из трех братьев старше младшего на 2 года, а возраст старшего брата превышает сумму лет двух остальных братьев на 4 года. Найди возраст каждого из братьев, если вместе им всем 96 лет.

Решение:

Пусть х лет – возраст младшего брата. Средний старше его на 2 года, ему (х+2) года, сумма лет двух братьев: (х+(х+2)) лет, что на 4 года меньше возраста старшего брата. Известно, что вместе братьям 96 лет.

Составим уравнение:

 х+(х+2)+(х+(х+2)+4)=96

 4х+8=96

4х=96-8

 4х=88

 х=88:4

 х=22

 22 года младшему брату

 22+2=24 года среднему брату

24+22+4=50  лет старшему брату.

Ответ: 22;24;50.

Старинная задача [2;57]

Дедка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Дедка, бабка, внучка, Жучка, кошка, мышка могут вытащить репку, а без мышки не могут. Сколько потребуется мышек, чтобы вытащить репку?

Решение:

1+1*6+1*6*5+1*6*5*4+1*6*5*4*3+1*6*5*4*3*2=1237

1+6+30+120+360+720=1237

Ответ: потребуется 1237 мышек.

 

Старинная задача: [3;15]

Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день по 54верст. На какой день второй человек догонит первого?

Решение:

40:(45-40)=8дней

Ответ: на 8 день второй человек догонит первого.

 

Старинная задача: [3;22]

Некто купил 96гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2алтына и 7полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

Решение: 96:2=48 2*3=6 48*2+(48*2+(48*7:4))=276копеек

Ответ: покупка гусей стоит 2рубля 76копеек.

 

Старинная задача [3; 48]

Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8бочек масла, то у него оставалось 20алтын. Когда же стал давать за 9бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег у этого человека?

Решение: (60+160)*8+60=(60+160)*9-160=1820копеек

Ответ: у этого человека было 18рублей 2гривны.

 

Современная задача [4;35]

Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она готовилась к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

Решение:

1сутки=24часа 1/3=8ч
1/2=12ч                                                                                                     1/6=4ч

24-12-8-4=0(ч)

Ответ: Стрекоза готовилась к зиме 0ч/сут.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Исследовательская работа на тему "Занимательные задачи""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Ландшафтный дизайнер

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

На уроках математики мы иногда встречаемся с так называемыми «занимательными задачами», для решения которых необходимо прибегнуть не только к арифметическим расчетам, но и к логическим рассуждениям.

Начало своё занимательные задачи берут еще с древних рукописных книг. Сегодня такого плана задания включены в школьные учебники для того, чтобы разнообразить деятельность учеников и подготовить детей к нестандартным ситуациям, зачастую встречающимся в повседневной жизни.  

Находят ли занимательные задачи древности отклик в современных учебниках? Если проанализировать занимательные задачи различных времен, то можно ли проследить за развитием математической мысли в России?

На эти вопросы постараемся дать ответ.

 

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 842 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 06.01.2015 704
    • DOCX 44.6 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Петухова Вера Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Петухова Вера Александровна
    Петухова Вера Александровна
    • На сайте: 9 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 18949
    • Всего материалов: 12

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Няня

Няня

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету "Математика" в условиях реализации ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 208 человек из 53 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 44 человека из 22 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика. Сложение и вычитание

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1354 человека из 85 регионов

Мини-курс

Дизайн-проектирование: теоретические и творческие аспекты дизайна

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Классики и современники: литературные портреты и психология творчества

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 16 регионов

Мини-курс

Социальная и поведенческая психология

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 13 регионов