Жуганов Михаил Юрьевич
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Руководитель: Бакунина Ольга Анатольевна
учитель математики высшей категории
МБОУ «Гимназия №40»
Россия, г. Барнаул
МБОУ “ Гимназия №40
” 6А класс
Оглавление
Введение…………………………………………………………………………….2
Основная часть……………………………………………………………………...3
1. История магических квадратов………………………………………. ……….3
2. Магические квадраты 3*3……………………………………………………….6
3. Способы составления магических квадратов………………………………….7
Магические квадраты нечетного порядка
……………………………………..7
1. Метод достроения
…………………………………………………………7
2. Метод А. Лубера……………………………………………………………8
4. Магический квадрат Пифагора ……………………………………………… 13 Заключение…………………………………………………………………………18
Литература и источники Интернет………………………………………………..18
Приложение…………………………………………………………………………19
ВВЕДЕНИЕ
Цель моей работы – выяснить
различные способы составления магических квадратов и изучить области их
применения.
Для этого поставил следующие
задачи:
·
познакомиться
с историей появления магических квадратов;
·
выяснить
виды магических квадратов;
·
научится
составлять магические квадраты нечетного порядка;
·
провести
исследование, магического квадрата Пифагора, научиться, составлять
психологический портрет личности.
·
выявить
области применения магических квадратов.
Актуальность: В сборниках нестандартных
задач по математике часто встречаются задачи на составление магических
квадратов. Кроме того, такие задания нередко включают в математические
олимпиады, поэтому ребятам, увлекающимся математикой полезно знать способы
решения задач такого типа.
Гипотеза: Я думаю, что существуют
способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить
магический квадрат любого порядка.
При работе пользовался
следующими методами:
·
поисковый метод с использованием
научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети
Интернет;
·
практический метод составления магических
квадратов на основе полученных знаний;
·
исследовательский метод при работе с
магическим квадратом Пифагора.
·
анализ полученных в ходе
исследования данных.
1. ИСТОРИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
В рукописи «Же – Ким» («Книга
перестановок»), записано предание, император Ию, живший примерно 4000 лет тому
назад, увидел на берегу реки священную черепаху, на панцире которой был
изображен рисунок из белых и черных кружков.
●
●
● ● ○○○○○○○○○ ●
● ○
○
○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○
○ ○
○
● ● ○
●
● ○
● ● ○ ● ● ●
● ● ● ● ●
Если заменить каждую фигуру соответствующим
числом, возникает такая таблица:
Рис. 1
При сложении чисел в каждой строке,
столбце и диагонали получается одна и та же сумма. Притом мистическом
толкование, которое придавали числам древние китайцы, открытие таблицы со столь
чудесными свойствами произвело неизгладимое впечатление.
Данный рисунок назвали « ло – шу »,
стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому
сейчас любую квадратную таблицу чисел с одинаковыми суммами по каждой строке,
столбце и диагонали назвали магическим квадратом (рис. 1).
Из Китая магические
квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На
Востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали
при заклинании.
В древности магические
квадраты очень уважали и приписывали им
различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело,
их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье
предлагали в качестве панацеи от всех болезней. В средние века магические
квадраты приобрели необычайную популярность.
Первым квадратом, придуманным европейцем, считается
квадрат А.Дюрера, изображенный на
его знаменитой гравюре «Меланхолия» (рис.2).
|
16
|
3
|
2
|
13
|
|
5
|
10
|
11
|
8
|
|
9
|
6
|
7
|
12
|
|
4
|
15
|
14
|
1
|
Рис.2
Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух
центральных клетках нижней строки.
Еще более замечательным
является магический квадрат 4-го порядка, найденный в индийской надписи XI в. до н.э. (рис.3).
|
7
|
12
|
1
|
14
|
|
2
|
13
|
8
|
11
|
|
16
|
3
|
10
|
5
|
|
9
|
6
|
15
|
4
|
Рис. 3
Этот квадрат сохраняет свойство
быть магическим и после того, как его строки одна за другой перемещаются сверху
вниз или столбцы аналогично перемещаются слева направо. Иными словами, если
сделать ковер из этих квадратов, то, вырезав любую его часть из 4 строк и 4
столбцов, получаем снова магический квадрат.
Получение магических квадратов
было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты,
например, 43*43, содержащий числа от 1 до 1849, причем обладающие помимо
указанных свойств магических квадратов, еще многими дополнительными свойствами.
Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако
до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество
магических квадратов данного размера.
В IX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их
стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.
2. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 3*3
Полного описания всех
возможных магических квадратов не получено и до сего времени.
Магических квадратов 2*2
не существует. Существует единственный магический квадрат 3*3, так
как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо
перестановкой строк (рис. 4а) или столбцов (рис. 4б) либо путем поворота
исходного квадрата на 900 (рис. 4в) или на 1800 (рис 4г).
а б в
г
Рис. 4
С увеличением размеров квадрата
(числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого
размера. Например, существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 000000
магических квадратов порядка 5.
3. СПОСОБ
СОСТАВЛЕНИЯ НЕЧЕТНЫХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Общий
метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные
частные алгоритмы. Некоторые из них я рассмотрел и попробовал составить сам, представляю
ниже.
Магические квадраты нечетного порядка
1. Метод достроения
|
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*
|
*
|
*
|
|
|
|
|
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
|
|
|
*
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
*
|
|
|
*
|
*
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
*
|
*
|
|
|
*
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
*
|
|
|
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
|
|
|
|
|
*
|
*
|
*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
1) Сначала исходный (пустой)
квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как
показано на рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом 0, а
достроенные ячейки - символом *.
2)
Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам сверху-вниз-направо
целыми числами в натуральном порядке.
3)
Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного (закрашенного)
квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного
(закрашенного) квадрата на число клеток, равное порядку квадрата.
4)
Освободившиеся ячейки, заполненные
символом
*, должны быть исключены.
Оставшиеся
внутренние ячейки,
Заполненные
натуральными числами.
2. Метод А. де ла Лубера (французского геометра 17 в.)
Рассмотрим
этот метод на примере квадрата 5-го порядка
Число
1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа
располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках
диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа
1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего
столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять
диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки
(число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после
чего процесс заполнения продолжается.
Сумма
чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 65.
|
17
|
24
|
1
|
8
|
15
|
|
23
|
5
|
7
|
14
|
16
|
|
4
|
6
|
13
|
20
|
22
|
|
10
|
12
|
19
|
21
|
3
|
|
11
|
18
|
25
|
2
|
9
|
Теперь на практике используя полученные знания, для этого решим следующие
задачи:
Задача
№1:
В каждой из 9 клеток квадрата надо поставить одно из чисел 1, 2, 3 так что сумма
чисел, стоящих в каждом столбце, строке и по диагонали равнялась 6.
Решение:
Самое главное, надо узнать, какое число, стоит в центре квадрата. Легко
убедится, что в центре не могут стоять ни 1, ни 3. Существует правило, по
которому можно узнать число, из трех последовательных натуральных чисел, которое
стоит в центре квадрата.
Правило:
Надо сложить все три последовательных числа и эту сумму разделить на три.
1+2+3=6
6:3=2 значит, цифра 2 стоит в центре квадрата. Далее видим, что сумма чисел
равна 6, если все числа различны, или все равны 2. Поэтому по крайне мере в
одной из вершин квадрата должно стоять число 2. Все другие расстановки
получаются из первой с помощью симметрии относительно диагонали (2, 2, 2),
относительно 2 – ой строки и столбца (рис. 5).
Рис. 5
Задача
№2:
Решим задачу, которую несколько тысяч лет тому назад решили китайские
математики. Расположите числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в виде квадрата так,
чтобы сумма чисел по каждому столбцу. Строки и диагонали была одной и той же.
Решение:
Методом простого перебора решить эту задачу невозможно 9 чисел можно
расположить в виде квадрата 362880 способами. Поэтому проведем математический
анализ задачи.
Выясним, какая должна быть искомая сумма т.к. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 то в каждой
из трех строк сумма должна быть 45:3=15. Это для нас
значительно уменьшает перебор. Необходимо выбрать 3 слагаемых из данных чисел
так, чтобы их сумма равнялась 15. Составим такие тройки чисел.
(9,2,4);
(9,5,1); (8,6,1); (8,5,2); (8,4,3); (7,6,2); (7,5,3); (6,5,4).
Это
можно сделать 8 способами. А число строк, столбцов и диагоналей в квадрате, то
же ровно 8. Значит, каждая из написанных комбинаций должна ровно один раз войти
в искомый квадрат.
1. Определим
число, которое стоит в центре квадрата на пересечении центральных строки,
столбца и двух диагоналей. Такое число будет встречаться четыре раз. Замечаем,
что только число 5 входит в эти тройки четыре раза. Поэтому оно и должно стоять
в центре квадрата
2. Теперь
узнаем, какие числа должны занять углы квадрата. Встречается число, стоящее в
углу квадрата три раза. Числа входят в тройки по три раза это 8; 2;6 и 4. Они
и должны занять углы квадрата. Расставим, эти числа по углам квадрата с учётом
если, ставим число 8 (8+5=13), то в симметричном углу относительно центра
должно стоять число 2 (13+2=15).
3. Оставшиеся
числа 1, 3, 7 и 9 занимают оставшиеся места, так что бы сумма чисел была равна
15 (рис. 6).
Рис. 6
Диагональные
тройки (8,5,2) и (6,5,4), можно переставить четыре крайних числа, получится
восемь различных способов. После выбора положения чисел 8, 2, 6 и 4 положение
остальных чисел однозначно определено. Сейчас, не только нашли один магический
квадрат 3-го порядка, но и описали все такие квадраты из чисел 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9.
Есть
еще один способ, для построения этого «магического квадрата». Для построения
нужного размещения чисел, можно воспользоваться одним легко запоминающимся
приемом.
Числа,
лежащие вне квадрата, сдвиньте соответственно вниз, вверх, влево или вправо на
три клетки, так, чтобы они попали на свободные места в квадрате (рис. 7).
Рис.
7
В
результате получится требуемое размещение (рис.8).
|
1
|
|
|
4
|
9
|
2
|
|
|
7
|
3
|
5
|
7
|
3
|
|
8
|
1
|
6
|
|
|
|
9
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.8
Задача №3:
Расположим 25 чисел, от 1 до 25, в квадрате из 25 клеток (5 ×5) так, чтобы в
каждой строке, в каждом столбце, а так же по обеим диагоналям квадрата
получились одинаковые суммы.
Решение:
Использованный прием поможет, и в этом случи:
1. Построим
квадрат из 25 клеток 5× 5. Построим на всех сторонах квадрата ещё 4 клетки.
2. В
полученной фигуре, расположить косыми рядами последовательно числа от 1 до 25.
3. Сдвинем
все числа, стоящие вне квадрата, по 5 клеток соответственно вниз, влево и
вправо (рис.9).
|
1
|
|
|
6
|
|
2
|
|
|
11
|
24
|
7
|
20
|
3
|
|
|
16
|
4
|
12
|
25
|
8
|
16
|
4
|
|
|
21
|
|
17
|
5
|
13
|
21
|
9
|
|
5
|
|
22
|
10
|
18
|
1
|
14
|
22
|
10
|
|
|
23
|
6
|
19
|
2
|
15
|
|
|
24
|
|
20
|
|
|
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.9.
Этот прием
пригоден для построения «магических квадратов» с любым нечетным количеством
клеток.
4. МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ПИФАГОРА
Великий ученый Пифагор,
считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека
заключается тоже в числе - дате рождения. Он создал метод построения квадрата,
по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его
потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым
выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора
магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью
сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения
Для того, чтобы понять, что
такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю
его расчет на своем примере. А чтобы убедиться, что результаты подсчета
действительно соответствуют реальному характеру той или иной личности, вначале
я проверю его на себе. Для этого я буду делать расчет по своей дате рождения.
Итак, моя дата рождения 25.03.1999.
1. Сложим цифры
дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 2+5+3+1+9+9+9=38
2. Далее
складываем цифры результата: 3+8=11
3. Затем из
первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения 38-4=34
4. И вновь складываем
цифры последнего числа: 3+4=7
5. Осталось
сделать последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм:, 11+7=18,
38+34=72
Получили числа
25.03.1999.38,11,34,18,72. и составляем магический квадрат так, чтобы все
единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д. Нули при
этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть
следующим образом:
|
1111
|
4
|
7
|
|
22
|
5
|
88
|
|
333
|
-
|
999
|
Ячейки квадрата означают
следующее:
Ячейка 1 – целеустремленность, воля,
упорство, эгоизм.
1 – законченные эгоисты, стремятся из
любого положения извлечь максимальную выгоду.
11 – характер, близкий к
эгоистическому.
111 – «золотая середина». Характер
спокойный, покладистый, коммуникабельный.
1111 – люди сильного характера,
волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов,
а женщины держат свою семью в кулаке.
11111 – диктатор, самодур.
111111 – человек жестокий, способный
совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой – то идеи.
Ячейка 2 – биоэнергетика,
эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень
биоэнергетики.
Двоек нет – открыт канал для
интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.
2 – обычные в биоэнергетическом
отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.
22 – относительно большой запас
биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В
семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.
222 – знак экстрасенса.
Ячейка 3 – точность, конкретность,
организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость,
наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».
Нарастание троек усиливает все эти
качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных.
Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.
Ячейка 4 – здоровье. Это связано с
экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и
защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности
человека.
4 – здоровье среднее, необходимо
закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.
44 – здоровье крепкое.
444 и более – люди с очень крепким
здоровьем.
Ячейка 5 – интуиция, ясновидение,
начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.
Пятерок нет – канал связи с космосом
закрыт. Эти люди часто
ошибаются.
5 – канал связи открыт. Эти люди
могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.
55 – сильно развита интуиция. Когда
видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии
– юрист, следователь.
555 – почти ясновидящие.
5555 – ясновидящие.
Ячейка 6 – заземленность,
материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие
к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.
Шестерок нет – этим людям необходим
физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным
воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее
способны на поступок.
6 – могут заниматься творчеством или
точными науками, но физический труд является обязательным условием
существования.
66 – люди очень заземлены, тянутся к
физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная
деятельность либо занятия искусством.
666 – знак Сатаны, особый и зловещий
знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно
становятся в обществе центром внимания.
6666 – эти люди в своих предыдущих
воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не
представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть
девятки, им обязательно нужно
заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить
высшее образование.
Ячейка 7 – количество семерок
определяет меру таланта.
7 – чем больше они работают, тем больше
получают впоследствии.
77 – очень одаренные, музыкальные
люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к
изобразительному искусству.
777 – эти люди, как правило, приходят
на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую
несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют
реальность.
7777 – знак Ангела. Люди с таким
знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает
опасность.
Ячейка 8 – карма, долг, обязанность,
ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.
Восьмерок нет – у этих людей почти
полностью отсутствует чувство долга.
8 – натуры ответственные,
добросовестные, точные.
88 – у этих людей развитое чувство
долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным,
одиноким.
888 – знак великого долга, знак
служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся
результатов.
8888 – эти люди обладают
парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным
наукам. Им открыты сверхъестественные пути.
Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие
девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.
9 – эти люди должны всю жизнь упорно
трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.
99 – эти люди умны от рождения.
Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены
чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.
999 – очень умны. К учению вообще не
прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.
9999 – этим людям открывается истина.
Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом
из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно приятны, так как
острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.
Итак, составив магический
квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, можно
в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка
– природа.
Я провел исследование с
учащимися своего класса, составил магический квадрат для каждого ученика. И
каждому дал, краткую характеристику его личности, степень отпущенного здоровья
и его потенциальные возможности, для того чтобы раскрыть достоинства и
недостатки его личности и тем самым выявить, что следует предпринять для
совершенствования своего характер (приложение).
Но в сеже не следует слепо
верить всему магическому. Может быть, некоторые черты характера, и заложены в
дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в
своей судьбе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе рассмотрены вопросы, связанные с
историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих
великих людей - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения
в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных
людей и способствовали развитию других разделов математики.…………………………. Работая над проблемой
заполнения квадратов, я пришел к выводу, что общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко
применяются различные частные алгоритмы, в случае нечетных магических
квадратов, я сам убедился.
Я исследовал, магический квадрат Пифагора, тем самым научился, составлять
психологический портрет личности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКИ ИНТЕРНЕТ
1. Задачи для внеклассной работы по математике в V-VI классах/ Сост. В.Ю.
Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса. – М.: МИРОС, 1998.
2. Климченко Д.В. Задачи для любознательных: Кн.
для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1999.
3. Ткачева М. В. Элементы статистики и вероятность: Учебн. пособие для
общеобразовательных учреждений: Просвещение, 2004.
4. Шарыгин И. Ф. Шевкин А. В. Подумай и реши:
задачи на смекалку.- М.: ГАЛАС, 1993.
5. Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика,
1999г.
6. http://rk6.bmstu.ru/electronic_book/posapr/zadanpo/kvadrat.htm
7. http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/print.htm
8. http://www.kspu.ru/magazine/no4/pub/pr3-4.htm
9. http://bspu.ab.ru/Department/WMiP/Metod_material/comb/dictonary/magic_ ….. square.html
10. http://www.bios.by/issue/07.06.2004/rub12/doc8581.html
ПРИЛОЖЕНИЕ
Результат исследования учащихся 6А класса, с помощью квадрата Пифагора.
В
исследование принимало участие 22 человека. Весь результат обработал , записав
его в таблицу, и представив виде диаграмм.
|
Результат
|
Количество учащ.
|
Процент
|
|
11
|
4
|
18,2
|
|
111
|
9
|
40,8
|
|
1111
|
4
|
18,2
|
|
11111
|
4
|
18,2
|
|
111111
|
1
|
4,6
|
|
Результат
|
Количество
учащ.
|
Процент
|
|
2
|
10
|
45,5
|
|
22
|
3
|
13,6
|
|
222
|
4
|
18,2
|
|
2222
|
2
|
9,1
|
|
2-0
|
3
|
13,6
|
|
Результат
|
Количество
учащ.
|
Процент
|
|
3
|
6
|
27,3
|
|
33
|
6
|
27,3
|
|
333
|
1
|
4,6
|
|
3333
|
3
|
13,6
|
|
3-0
|
6
|
27,2
|
|
Результат
|
Количество
учащ.
|
Процент
|
|
4
|
9
|
40,8
|
|
44
|
3
|
13,6
|
|
444
|
3
|
13,6
|
|
4-0
|
7
|
32
|
|
Результат
|
Количество
учащ.
|
Процент
|
|
5
|
11
|
50
|
|
55555
|
1
|
4,5
|
|
5-0
|
10
|
45,5
|
|
Результат
|
Количество
учащ.
|
Процент
|
|
6
|
5
|
22,7
|
|
66
|
5
|
22,7
|
|
6666
|
1
|
4,6
|
|
6-0
|
11
|
50
|
|
Результат
|
Количество
учащ.
|
Процент
|
|
7
|
10
|
45,5
|
|
77
|
2
|
9,1
|
|
777
|
1
|
4,6
|
|
7-0
|
9
|
40,8
|
|
Результат
|
Количество
учащ.
|
Процент
|
|
8
|
6
|
27,3
|
|
88
|
6
|
27,3
|
|
8-0
|
10
|
45,4
|
|
Результат
|
Количество
учащ.
|
Процент
|
|
9
|
1
|
4,6
|
|
999
|
6
|
27,2
|
|
9999
|
6
|
27,2
|
|
99999
|
4
|
18,2
|
|
999999
|
1
|
4,6
|
|
9-0
|
4
|
18,2
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.