- 03.10.2020
- 1746
- 9
Индивидуальное задание для студентов на самостоятельную работу по теме: «Приложение производной к исследованию функций».
Задание: Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её график.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
Схема полного исследования функции
Для полного исследования функции и построения её графика применяется следующая примерная схема:
1. указать область определения функции;
2. найти точки разрыва функции, точки пересечения её графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3. установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;
4. исследовать функцию на монотонность и экстремум;
5. определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
6. найти асимптоты графика функции;
7. произвести необходимые дополнительные вычисления;
8. построить график функции.
Пример. 
.
Решение. Воспользуемся рекомендуемой схемой.
1. Областью
определения функции является множество 
.
2.
Ордината точки графика у > 0 при 
, 
при 
.
3. Точки пересечения графика данной функции с осями координат:
(0, –9/4) и (– 3, 0).
4. Легко находим, что 
- вертикальная
асимптота, причем:
.
5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:
.
Из условия у' = 0 следует 
,
откуда 
.
 |
В интервале 
, следовательно,
функция возрастает в этом интервале. В 
у' <
0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке 
имеет
локальный максимум: 
. В интервале (4; 11) у' <
0, следовательно, функция убывает на этом интервале; в 
у'
> 0, т. е. функция возрастает. В точке 
имеем
локальный минимум: 
.
6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем
.
Очевидно, что в
интервале 
, и в этом интервале кривая выпукла; в 
, т. е. в этом интервале кривая вогнута.
Так как при функция не определена, то точка перегиба
отсутствует.
7. Находим
наклонные асимптоты 
:
,
Таким образом,
существует единственная наклонная асимптота 
.
9.
Строим график функции
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 663 621 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Федотова Анна Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.