Характеристика ЕГЭ 2015 задание 5.

Характеристика ЕГЭ-2015.

 

Новая модель КИМов содержит 21 задание, сгруппированных в две части.

Часть 1 состоит из 9 заданий базового уровня типа (задания с кратким ответом).

Часть 2 состоит из 12 заданий повышенного и высокого уровня сложности, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

Из 21 заданий базовый уровень сложности имеют 14, повышенный - 4, высокий - 2.

Правильное решение каждого из заданий 1—14 части 1 и части 2 оценивается 1 баллом.

Правильное решение каждого из заданий 15, 16 и 17 оценивается 2 баллами, каждого из заданий 18 и 19 - 3 баллами, каждого из заданий 20 и 21 - 4 баллами.

Максимальный первичный балл — 34.

Верное выполнение не менее пяти заданий варианта КИМ отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.

Структура варианта КИМ допускает проведение экзамена как по полному тексту, так и только по части 1 для проверки освоения базового уровня.

К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, предлагается одно из возможных решений. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность проверить усвоение курсов математики 5—6-го классов, алгебры 7—9-го классов, алгебры и начал анализа 10-11-го классов и геометрии 7—11-го классов. При этом, в частности, проверяются умения использовать полученные знания в практической деятельности и в повседневной жизни, а также умения строить и исследовать математические модели.

ЕГЭ по математике в 2015 году пройдет в форме письменного тестирования , на весь экзамен отводится 255 минут.

Представленная модель экзаменационной работы по математике (кодификаторы элементов содержания и требований для составления контрольных измерительных материалов, демонстрационный вариант, система оценивания экзаменационной работы) предназначена для использования в качестве комплекта нормативных документов, регламентирующих разработку контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике в 2015 году.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты Единого государственного экзамена по математике признаются общеобразовательными учреждениями, в которых реализуются образовательные программы среднего (полного) общего образования, как результаты государственной (итоговой) аттестации, а образовательными учреждениями среднего профессионального образования и образовательными учреждениями высшего профессионального образования как результаты вступительных испытаний по математике.

Задачи ЕГЭ 2015 по математике:

(Б) 1. Дроби, проценты, рациональные числа.

(Б) 2. Графическое представление данных. Анализ данных.

(Б) 3. Табличное представление данных. Прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения

 (Б) 4. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Декартовы координаты на плоскости.

 (Б) 5. Элементы теории вероятностей.

(Б) 6. Уравнения.

(Б) 7. Планиметрия. Треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. Окружность и круг. Угол. Нахождение элементов и величин в различных геометрических фигурах.

 (Б) 8. Графики функции, производных функций. Исследование функций. Первообразная, её применение.

(Б) 9. Многогранники. Измерение геометрических величин.

(П) 10. Числа, корни и степени. Основы тригонометрии. Логарифмы. Преобразования выражений.

(П) 11. Прикладные задачи. Осуществление практических расчетов по формулам.

(П) 12. Многогранники. Тела вращения. Прямые и плоскости в пространстве. Измерение геометрических величин

(П) 13. Составление уравнений и неравенств по условию задач. Их решение.

(П) 14. Исследование функций. Применение производной функции.

(П) 15. Тригонометрическое уравнение или какое-то другое с отбором корней.

(П) 16. Стереометрия. Построение сечения. Нахождение каких-либо величин через заданные.

(П) 17. Система неравенств. Логарифмические , показательные неравенства и другие.

(П) 18. Планиметрия. Решение задач с элементами доказательства и элементами расчёта.

(П) 19. Текстовая задача с экономическим содержанием.

(В) 20. Задание с параметром.

(В) 21. Теория чисел , комбинаторика, логика (олимпиадный уровень).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разбор версии

ЕГЭ по математике

2015 ( с учётом проекта ЕГЭ 2015).

Часть 1.

Задание 5.

 

5. (Базовый)	Уметь строить и исследовать простейшие математические модели.
Максимальный балл за задание	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне
1	10 мин.	5 мин.

 

 

Тип задания. Анализ практической ситуации, приводящей к нахождению вероятности события и т.п.

Характеристика задания. Текстовое задание, моделирующее реальную или близкую к реальной ситуацию (например, вероятностные и статистические процессы).

Комментарий. По условию задачи требуется вычислить вероятность описываемого события, размах величины и т.д.

 

Для успешного решения задач 5 необходимо:

• Уметь строить и исследовать простейшие математические
  модели
• Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
  уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать
  построенные модели с использованием аппарата алгебры
• Моделировать реальные ситуации на языке геометрии,
  исследовать построенные модели с использованием
  геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать
  практические задачи, связанные с нахождением геометрических
  величин
• Проводить доказательные рассуждения при решении задач,
  оценивать логическую правильность рассуждений,
  распознавать логически некорректные рассуждения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Немного теории.

Множество

Множество – основной (неопределяемый) математический объект. Понятие множества обычно поясняют с помощью синонимов: набор, коллекция и т.п. Объекты, сотавляющие множество, называются его элементами.

Для создания алгебры множеств требуется ввести в рассмотрение множество, не содержащее элементов. Такое множество называется пустым.

Важным свойством множества является неупорядоченность его элементов, в отличие, например, от последовательности .

Понятие множества можно принять как базовое для построения теории натуральных чисел : натуральные число понимают как количество элементов некоторого конечного множества. Так как количество элементов пустого множество равно , при таком подходе число считают натуральным.

Обозначения множеств

Множества обозначают большими латинскими или готическими буквами. Например: . В геометрии принято обозначать множества малыми буквами: "прямая ", "плоскость " и т.п. Кроме того, для основных числовых множеств резервированы специальные обозначения.

Специальные обозначения приняты для промежутков .

Для пустого множества существует специальное обозначение: . В американской литературе для пустого множества встречается обозначение "лямбда".

Принадлежность

Если объект (не обязательно число или функция) являеется элементом множества , то говорят, что принадлежит множеству .

Обозначение: .

Если объект не является элементом множества , то говорят, что не принадлежит множеству .

Обозначение: .

Задание множеств

Для записи множеств используют фигурные скобки. Иногда множество можно задать перечисление элементов. Например: . Если количество элементов велико или бесконечно, но эти элементы меют некоторое общее свойство, то можно исопользовать неполное перечисление. Например, - множество нечетных натуральных чисел от до . Или: - бесконечное множество всех натуральных степеней числа . При этом в силу принципа неупорядоченности , множество или можно записать, переставив числа в произвольном порядке, однако тогда закономерность станет неочевидной, и такая запись останется непонятой.

В описании множеств, также в отличие от последовательностей, не принято повторять один и тот же элемент дважды, то есть множество совпадает с множеством (равно множеству ) .

Возможно задание множества указанием полной характеристики элементов. Например: . Вертикальную черту следует читать "таких, что". Получается: – множество всех натуральных чисел, кратных и меньших, чем .

Множества можно задавать также описанием. Например, множество всех простых чисел; множество дней недели; множество равнобедренных треугольников; множество всех конечных множеств; множество междугородных автобусов и т.п.

Замечание. Нельзя рассматривать множество всех множеств. Если допустить существование такого множества, то получается, что оно должно содержать себя в качестве элемента, что приводит к глубоким противоречиям.

Количество элементов множества

Множества делятся на конечные и бесконечные. Если элементы множества можно пронумеровать натуральными числами , начиная с единицы по порядку так, что найдется элемент с наибольшим номером, то такое множество называется конечным. Наибольший номер называется количеством элементов множества.

Пример. Множество натуральных делителей числа : . Количество элементов равно .

 

В противном случае множество называется бесконечным. Подробнее:

1. Если все элементы множества можно пронумеровать, но не найдется наибольшего номера, то такое бесконечное множество называется счетным.

Примеры счетных множеств. Множество натуральных чисел , множество простых чисел , множество рациональных чисел .

2. Если же при любом способе нумерации найдутся вовсе не пронумерованные элементы множества, то такое бесконечное множество называется несчетным.

Примеры несчетных множеств. Множество действительных чисел , множество всех функций , множество точек на отрезке.

Примечание. Для бесконечных множеств рассматривается характеристика, во многом аналогичная количеству элементов. Эта характеристика называется мощностью множества.

Объединение множеств

Объединением множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств или и только из них.

Обозначение: , . В некоторой литературе встречается термин "сложение множеств".

.

Свойства.

- коммутативность.

- ассоциативность.

- объединение с пустым множеством . (Ср. сложение с нулем )

Пересечение множеств

Пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, входящих в каждое из множеств или и только из них.

Обозначение: , , . В некоторой литературе встречается термин "умножение множеств".

.

Свойства.

- коммутативность.

- ассоциативность.

- пересечение с пустым множеством . (Ср. умножение на ноль)

- дистрибутивность пересечения относительно объединения.

- дистрибутивность объединения относительно пересечения.

Разность множеств

Теоретико-множественной разностью множеств и называется множество, состоящее из всех элементов множества , не входящих в и только из них.

Обозначение: .

.

Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств и называется множество упорядоченных пар вида , где

Обозначение: .

.

Примеры. 1. Координатная плоскость является декартовым произведением двух координатных прямых : .

2. Пусть . Тогда . Таким образом обычно нумеруются классы в средней школе.

3. Декартово произведение множеств используется, например, для точного определения функции : функцией с областью определения и множеством значений называется любое подмножество декартова произведения , удовлетворяющее условию функциональности .

Универсальное множество

Иногда в рамках определенной теории или задачи удобно рассматривать объединение всех множеств , состоящих из некоторых однородных основных элементов. Такое множество называется универсальным. Часто его обозначают буквой . Например, при рассмотрении задач в действительных числах, универсальным множеством является множество . При решении геометрических вопросов на плоскости универсальным множеством является множество всех точек плоскости.

Универсальное множество является дополнением пустого множества и наоборот.

Свойства.

для любого множества .

Дополнение множества

Дополнением множества называется множество, состоящее их всех элементов универсального множества, кроме элементов множества .

Обозначение: .

.

Замечание. Через операции объединения , пересечения и дополнения можно выразить другие операции над множествами, в частности, теоретико-множественную разность : и прямую сумму: .

Равенство

Множества и называются равными, если каждое из них является подмножеством другого:

Пример. : множество натуральных чисел равно объединению множеств положительных четных и положительных нечетных чисел.

Подмножество. Включение

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству .

Обозначение: .

.

Примеры. 1. Любое множество является подмножеством самого себя: .

2. Пустое множество является подмножеством любого множества: .

3. Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных : .

Примечание. Во многих задачах удобно рассматривать подмножества множества , исключая само множество и пустое множество . Эти два подмножества у множества существуют всегда и, как правило, не представляют интереса. Поэтому их часто называют несобственными подмножествами множества , а остальные подмножества - собственными. Такой подход отражается и на символике. Например, запись означает, что - собственное подмножество, а запись - означает, что подмножество, возможно несобственное. Для лучшего осознания сказанного сравните знаки и со знаками и соответственно.

Диаграммы Эйлера-Венна

Множество произвольной природы удобно изображать некоторой геометрической фигурой на плоскости. Например, с помощью круга. Тогда каждая операция над множествами, получает свою геометрическую интерпретацию.

Например, пересечение двух множеств - общая часть двух кругов.

Геометрические интерпретации множеств, их взаимного расположения и операций над ними с помощью кругов на плоскости называются диаграммами Эйлера-Венна.

Ниже изображены диаграммы для основных операций над двумя множествами.

Объединение множеств        Пересечение множеств        Разность множеств

Факториал

Факториалом натурального числа называется произведение всех натуральных чисел от до . Обозначение: .

Пример. .

Факториал нуля по определению равен единице: .

Функция факториал играет большую роль в комбинаторных задачах.

Перестановки

Пусть дан набор . Упорядоченный набор той же длины, состоящий из тех же компонент , записанных в другом порядке, называется перестановкой данного набора.

Пример. Дан упорядоченный набор . Упорядоченные наборы и т.п. - его перестановки.

Число перестановок

Число перестановок для набора из элементов равно .

Число перестановок из элементов часто обозначается символом .

Размещения

Размещением из по называется упорядоченный набор из элементов, выбранный из множества , в котором элементов.

Число размещений

Число размещений из по обычно обозначается через и равно .

Сочетания

Сочетанием из по называется неупорядоченный набор из элементов, выбранных из множества, в котором элементов. Например, набор из трех произвольных стульев, вынесенных из аудитории, в которой стульев, представляет собой некоторое сочетание из по .

Число сочетаний

Число сочетаний из по обозначается символом .

, где - число размещений .

Верно тождество: .

Число дает ответ на вопрос: "сколько существует способов выбрать предметов из предметов?"

Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты

При возведении двучлена (бинома) в натуральную степень получается многочлен , каждый одночлен которого имеет степень :

.

Коэффициенты разложения называются биномиальными коэффициентами.

Биномиальный коэффициент при равен числу сочетаний из по : .

Таким образом: .

Это тождество называется формулой бинома Ньютона.

Частными случаями формулы бинома Ньютона для и являются формулы квадрата суммы и куба суммы . По такому же биномиальному закону вычисляются производные высших порядков произведения двух функций.

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля или числовой треугольник состоит из натуральных чисел, записанных в строки и столбцы (см.рис). В каждой следующей строке чисел на одно больше, чем в предыдущей. Треугольник строится по следующим правилам:

1. Нулевая строка состоит из одной единицы.

2. В каждой следующей строке любое число, кроме первого и последнего) равно сумме двух последовательных чисел предыдущей строки, второе из которых стоит непосредственно над ним.

3. Первое и последнее число в каждой строке равно единице.

Замечание. 2 и 3 правила можно объединить и упростить, если считать, что каждая строка бесконечно продолжается вправо и влево нулями. Тогда любое число следующей строки равно сумме двух чисел, стоящих над ним.

Число, расположенное в строке и столбце, равно ( и считаются от нуля). Например, , так как в строке число равно .

Отсюда следует, что строки треугольника Паскаля

содержат коэффициенты разложения по формуле бинома Ньютона, то есть числа треугольника суть биномиальные коэффициенты .

Пример. Написать разложение в многочлен для выражения

.

Решение. Коэффициенты многочлена являются последовательными элементами шестой строки треугольника Паскаля:

.

Треугольник Паскаля обладает множеством свойств.

Например, числа, расположенные во втором столбце называются треугольными. Чтобы можно было расположить биллиардные шары в виде равностороннего треугольника, их число должно быть треугольным. Обычно играют шестнадцатью шарами –из них образуют треугольник, который разбивают шестнадцатым шаром.

Еще одно свойство: сумма чисел в -ой строке треугольника равна .

Размещения с повторениями

Размещением с повторениями из по называется упорядоченный набор длиной , составленный из элементов множества, в котором элементов, причем каждый элемент может быть использован в наборе произвольное число раз. В этом состоит отличие размещения с повторениями от просто размещения.

Пример. Дано множество . Размещениями с повторениями этого множества по элемента являются всеовозможные тройки цифр, например:

и т.п.

См. также размещения, сочетания с повторениями и число размещений с повторениями.

Число размещений с повторениями

Число размещений с повторениями из по равно .

Пример. Сколько может быть различных автомобильных номеров, выданных в Тверской области?

Решение. Автомобильный номер состоит из трех букв и трех цифр, причем важен порядок. Кроме того, в номер входит код региона Российской Федерации, но у всех номеров, выданных в Тверской области код один и тот же –, поэтому это обстоятельство не оказывает влияния на общее количество номеров.

Существует букв, которые могут использоваться в номере: A, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х. (Эти буквы сходны по начертанию с буквами латинского алфавита).

Число размещений с повторениями из по равно .

Число размещений с повторениями из цифр по равно .

Общее число вариантов найдем, пользуясь правилом умножения .

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями из по называется неупорядоченный набор длиной , составленный из элементов множества, в котором элементов, причем каждый элемент может быть использован в наборе произвольное число раз. В этом состоит отличие сочетаний с повторениями от просто сочетаний.

Пример. Дано множество . Сочетаниями с повторениями этого множества по элемента являются всеовозможные тройки цифр, отличающиеся друг от друга не только порядком, например:

и т.п.

Число сочетаний с повторениями

Число сочетаний с повторениями из по равно . Число сочетаний с повторениями дает ответ на вопрос: "Сколько существует способов выбрать единиц товара различных типов?"

Пример. В магазине продается сортов конфет. Сколькими способами можно составить подарочный набор, состоящий из конфет?"

Решение. Число сочетаний с повторениями из по равно .

Эксперимент со случайным исходом

 

Эксперименты, точные результаты которых предсказать нельзя, называются экспериментами (опытами) со случайными исходами или просто случайными экспериментами. Например, это эксперименты по подбрасыванию монеты, игрального кубика, раскрытию наугад книги и т.д. Во всех этих ситуациях результаты действий зависят от случая. Важно при этом, что эксперимент со случайным исходом можно многократно повторять в одних и тех же условиях. Если эксперимент случаен, то его повторение будет сопровождаться, вообще говоря, различными результатами.

Элементарный исход

Элементарным исходом или случаем в опыте со случайными исходами принято называть исход, неразложимый далее на другие случаи. Выбор простейшего исхода определяется самой задачей и целями исследователя. Принято называть элементарный исход также простейшим событием.
Совокупность всех элементарных исходов называют пространством элементарных событий.

Равновозможные исходы

Наиболее распространены такие случайные эксперименты с конечным числом исходов, в которых эти исходы равновозможны, то есть если есть основание считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем любой другой.

Равновозможность является следствием определенной симметрии условий эксперимента по отношению к отдельным исходам. Такая симметрия и приводит к тому, что простейшие исходы выступают в эксперименте как равновозможные. На вопрос, какие исходы можно считать равновозможными, математика точного ответа не дает. Равновозможность представляет собой объективное свойство эксперимента, определяемое условиями проведения, но, как всякое конкретное свойство, может быть установлено только с известной степенью точности.

При бросании игральных костей условия выпадения любой из шести граней представляются нам одинаковыми. Кроме того, представляется естественным считать, что различные комбинации верхних граней двух костей тоже одинаково правдоподобны.

Так же принято полагать, что для симметричной монеты равновозможны выпадения обеих сторон, для шаров в ящике после их тщательного перемешивания равновозможны извлечения каждого из шаров.

Благоприятствующие исходы

Те простейшие исходы, которые приводят к появлению ожидаемого случайного события, называются благоприятствующими исходами.

Случайное событие

Случайное событие противоположно по смыслу событию детерминированному (предопределенному). Это значит, что при одних и тех же условиях оно может, как наступить, так и не наступить. Основное его свойство в том, что оно непредсказуемо, если известно, что те условия, в которых оно возможно, осуществлены.

Случайным событием или просто событием называется любой факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События будут обозначаться большими буквами латинского алфавита. Каждому случайному событию ставится в соответствие множество простейших исходов, приводящих к наступлению этого события.

Достоверное событие

Достоверное событие – это событие, которое в результате опыта со случайным исходом обязательно произойдет. Пример достоверного события – выпадение не более шести очков при одном бросании игральной кости.

Невозможное событие

Невозможное событие – то, которое в данном опыте со случайным исходом вообще не может произойти. Пример невозможного события - выпадение семи очков при однократном бросании игральной кости. Невозможное событие обозначается и .

Противоположное событие

Противоположным событию называется событие , состоящее в том, что событие не произойдет. Например, если случайное событие состоит в том, что при бросании игральных костей выпадет хотя бы одна шестерка, то противоположное событие – при бросании игральных костей шестерка не появится ни разу. Вероятности события и противоположного события связаны равенством .

Несовместные события

Несколько событий в фиксированном опыте называются несовместными (несовместимыми), если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры несовместных событий:

а) и при одном бросании монеты;

б) и при двух выстрелах;

в) , , …, при однократном бросании игральной кости. По построению простейшие исходы случайного эксперимента являются несовместными событиями.

Сумма событий

Если и – два события в данном эксперименте, то под суммой понимают следующее событие: произошло или , или , либо они произошли одновременно. Другими словами, событие происходит тогда и только тогда, когда происходит, по крайней мере, одно из событий – или , или .

Произведение событий

Произведением событий и называют событие , которое происходит, только если произойдут оба события и одновременно.

Абсолютная частота события

 Абсолютной частотой наступления ожидаемого исход а называют число появлений этого исхода в ходе эксперимента. Абсолютную частоту называют также просто частотой. Обычно из контекста или по числовому значению понятно, идет речь об абсолютной частоте или об относительной.

Относительная частота

Обычно многократные эксперименты проводят, чтобы определить, насколько часто появляется интересующий нас результат. Для этого сначала подсчитывают, сколько всего раз в проведенных экспериментах наблюдалось событие, которое нас интересует , а затем вычисляют относительную частоту появления этого события.

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов. Иногда вместо фразы относительная частота говорят просто частота. Обычно из контекста или по числовому значению понятно, идет речь об абсолютной частоте или об относительной.

Относительная частота показывает, какую часть общего числа проведенных экспериментов составляют эксперименты, завершившиеся интересующим нас результатом. Частоту события иногда называют его статистической вероятностью.

Свойство устойчивости частот

Относительная частота события может изменяться, если варьировать число наблюдений или взять другую серию из такого же числа наблюдений. Однако многими экспериментами установлено: при очень большом числе наблюдений значение частоты устойчиво, то есть оно мало меняется при увеличении числа наблюдений или при переходе к другой серии наблюдений, если число наблюдений достаточно велико. Так, при бросании правильной монеты частота выпадения герба будет равна примерно , и она тем ближе к этому значению, чем больше проведено наблюдений. Такое же свойство устойчивости частот наблюдается при многократном повторении ряда других опытов с заранее неизвестным, неопределенным исходом. Так, многолетние наблюдения показывают, что частота рождения мальчиков для самых разных географических и климатических условий весьма устойчива и приблизительно равна . Устойчивость частот наблюдается даже в таких сугубо непредсказуемых явлениях, как уличный травматизм – именно эта устойчивость позволяет планировать работу лечебных учреждений и службы скорой помощи.

Вероятность

Любое случайное событие обладает какой-то степенью возможности, которую можно измерить численно. Чтобы сравнивать между собой события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем больше, чем более возможно событие. Под вероятностью как раз и понимается такое число.
При математическом изучении случайных событий постулируется существование идеальной частоты события - неизменной частоты при бесконечном числе испытаний. На это соображение наводит экспериментально подтверждаемое свойство устойчивости частот . Эта идеальная частота и называется вероятностью. Вероятность случайного события обозначается . Использование свойств относительной частоты дает возможность выбрать основные свойства вероятности, как предельной частоты, а остальные получать как их логические следствия. Эти основные свойства называются аксиомами вероятности. Только они нуждаются в экспериментальном обосновании, все остальные утверждения выводятся из аксиом. Сейчас в теории вероятностей принята система аксиом, предложенная академиком А.Н. Колмогоровым.

Аксиомы вероятности

Аксиома 1. Вероятность любого случайного события неотрицательна. Вероятность достоверного события равна .

Аксиома 2. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме соответствующих вероятностей эти событий.

 

Оказывается, что этих двух аксиом достаточно, чтобы получить весьма далеко идущие последствия. Например, все основные формулы вычисления вероятности суть следствия аксиом, иногда весьма непростые. Из аксиом вытекает также, что при повторении эксперимента частота появления события в определенном смысле приближается к вероятности. Это как раз то фундаментальное свойство, которое первоначально было положено в основу определения вероятности.

Классическая формула вычисления вероятности

Наиболее простые эксперименты – это те, в которых число простейших исходов конечно. Такие случайные эксперименты называются опытами с конечным числом исходов. Формула вычисления вероятности для опытов с конечным числом равновозможных простейших исходов называется классической. Предположим, что всего в некотором эксперименте возможно появление простейших исходов, которые можно считать равновозможными. Если событию благоприятствуют простейших исходов, т.е. это событие может появиться при появлении хотя бы одного из этих исходов, то вероятность события может быть получена, используя классическую формулу вычисления вероятностей: .

Эта формула носит также название классического определения вероятности. Таким образом, при классическом определении вероятность события есть отношение числа простейших исходов, при которых наступает это событие, к числу всех возможных исходов. Вычисление вероятностей при этом сводится к решению комбинаторных задач.
При использовании классической формулы вычисления вероятности важно правильно определить простейшие исходы в эксперименте. Рассмотрим пример. Пусть в ящике белых и черных шаров. Эксперимент состоит в извлечении наугад одного из этих шаров. Если считать простейшими исходами всего два события: извлечение белого или черного шара, то имеется только два различимых элементарных события. Однако считать, что эти простейшие исходы равновозможны для произвольного состава шаров оснований нет. Следовательно, для таких исходов классическая формула вычисления вероятности использована быть не может. Если же в том же случайном эксперименте считать простейшими исходами появление любого из имеющихся шаров, то по соображениям симметрии такие исходы можно рассматривать как равновозможные и, следовательно, применение классической формулы вычисления вероятностей оправдано.

Факториал

Факториалом натурального числа называют произведение всех натуральных чисел, не превосходящих это число. Обозначение: .

.

Факториалом нуля по определению является число : .

Перестановки

Пусть имеется предметов. Будем образовывать из них все возможные последовательности, то есть располагать один за другим в ряд или занумеровывать. Каждый способ расположения данного числа предметов в последовательности называется перестановкой. Всего различных перестановок из предметов ровно .

Выборка без возвращения

Пусть имеется предметов. Будем вынимать из них и образовывать последовательности. Это, например, возникает, когда раз вынимают один за другим по одному предмету, не возвращая его обратно. Каждую такую последовательность называют выборкой элементов из без возвращения или размещением из по . В такой последовательности каждый предмет может встретиться только один раз. Перестановка – это выборка предметов из без возвращения. Число всех возможных различных размещений из по равно

.

Выборка с возвращением

Пусть имеется предметов. Перенумеруем их. Теперь будем брать предмет, записывать его номер, а после этого возвращать обратно. Повторив эту процедуру раз, мы получим последовательность номеров, которая называется выборкой элементов из с возвращением . В ней, в отличии от выборки без возвращения, один и тот же предмет, точнее его номер, может встречаться несколько раз. Число всех возможных различных выборок элементов из с возвращением равно .

Иногда выборку с возвращением называют размещением с повторением.

Сочетания

Пусть имеется предметов. Будем вынимать из них предметов и образовывать из них группу (совокупность), не принимая во внимание порядок следования этих предметов. Эта ситуация может реализоваться, когда из предметов одновременно вынимают предметов. Такие выборки называют сочетаниями из по .

Общее число различных сочетаний из по равно

.

Геометрическая вероятность

Эксперименты с конечным числом простейших исходов далеко не охватывают множество всех возможных экспериментов со случайными исходами. Во многих задачах возможные случаи образуют бесконечную непрерывную совокупность. Простой пример – бросим на пол шарик и смотрим, какой точкой своей поверхности он соприкоснется с полом. Это и есть простейший исход в предложенном эксперименте. Множество таких исходов совпадает с множеством точек поверхности сферы.

Геометрическая вероятность – это распространение идеи равновозможности для экспериментов с бесконечной непрерывной совокупностью простейших исходов. В таких ситуациях эксперименты состоят в случайном выборе одной точки из совокупности точек, образующих некоторую геометрическую фигуру (линию, плоскую фигуру, пространственную фигуру). Наблюдаемые случайные события состоят в том, что выбранная точка будет принадлежать данной части фигуры. Тогда вероятность такого события понимается как геометрическая вероятность, которая определяется как отношение мер части фигуры и всей фигуры.

В зависимости от вида фигуры под мерой понимается длина, площадь или объем. Пусть из исходной фигуры, меры , случайным образом выбирается точка. Обозначим событие, состоящее в том, что эта точка попадает в некоторую фигуру (внутри исходной фигуры) тем же символом –. Пусть мера множества равна . Тогда геометрическая вероятность события определяется как . Приведем три наиболее характерных эксперимента, связанных со случайным выбором точки.

Формула геометрической вероятности. Случайный выбор точки из отрезка.

Пусть выбирается точка из отрезка . Вероятность того, что выбранная точка попадет в отрезок , лежащий в отрезке , равна .

Формула геометрической вероятности. Случайный выбор точки из плоской фигуры.

В этом случае имеется некоторая ограниченная фигура на плоскости, из которой выбирается точка. Вероятность, того, что выбранная точка окажется в некоторой части , образующей фигуру , равна .

Формула геометрической вероятности. Выбор точки из пространственной фигуры.

Пусть из пространственной фигуры случайно выбирается точка. Тогда вероятность того, что она принадлежит фигуре , являющейся частью , равна .

Условная вероятность

Условная вероятность события , при условии, что наступило событие , обозначается и определяется аксиоматически для всех событий с ненулевой вероятностью . Во многих случаях условные вероятности вычисляются достаточно просто. Рассмотрим два наиболее характерных случая.
1. Пусть эксперимент имеет конечное число равновероятных исходов. Если событию благоприятствуют исходов, а совместное появление событий и возможно при простейших исходах, то . Таким образом, условная вероятность вычисляется точно так, как безусловная, только нужно считать, что в эксперименте имеется только простейших исходов (те, при которых возможно событие ) и подсчитать, сколько из этих событий благоприятствуют .
2. Пусть эксперимент заключается в случайном выборе точки из некоторой фигуры (будем считать, что это плоская фигура), а событие заключается в том, что точка попала в часть фигуры . Пусть событие состоит в том, что точка попала в множество , которая является частью фигуры . Тогда вероятности понимаются как геометрические и .

Независимые события

События и называются независимыми, если выполнено равенство . При этом условная вероятность совпадает с вероятностью события .

Формула сложения

Формула сложения вероятностей используется для вычисления вероятности суммы событий . Если события и несовместны , то формула упрощается: и совпадает с аксиомой 2 теории вероятностей.

Формула умножения

Формула умножения вероятностей используется для вычисления вероятности произведения двух событий . Эта формула получается из определения условной вероятности . Если события и независимы , то формула упрощается: и совпадает с определением независимых событий.

Опыт Бернулли

Опытом Бернулли принято называть эксперимент, заканчивающийся только двумя взаимоисключающими исходами: "успехом" и "неудачей". Этот термин связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли.

Последовательность независимых испытаний

Пусть производится последовательность испытаний (опытов Бернулли), в каждом из которых вероятность наступления определенного события одна и та же и равна . Испытания предполагаются независимыми. В это вкладывается следующий смысл: вероятность появления события в каждом испытании не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях (предшествующих или последующих). Последовательность таких независимых испытаний с двумя исходами носит название последовательности испытаний Бернулли.

Формула Бернулли

Пусть производится независимых испытаний (опытов Бернулли), в каждом из которых событие (успех) может появиться с вероятностью . Формула Бернулли позволяет найти вероятность того, что событие наступит раз в испытаниях: .

Наиболее вероятное значение

Пусть производится независимых испытаний (опытов Бернулли) , в каждом из которых событие (успех) может появиться с вероятностью . Для каждого по формуле Бернулли может быть вычислена вероятность того, что событие наступит раз в испытаниях. То значение , которое соответствует максимальной вероятности , называется наиболее вероятным значением в последовательности испытаний Бернулли.

Наиболее вероятное значение удовлетворяет неравенству . Наиболее вероятными значениями оказываются все целые числа, удовлетворяющие этому неравенству. Поэтому, таких значений может быть либо одно, либо два.

Вероятность противоположного события

 Если события и противоположны , то сумма их вероятностей равна единице. поэтому

Вариационный ряд

Выборка становится намного наглядней, если все ее элементы упорядочить по возрастанию. При этом одно и то же значение может встретиться несколько раз, и поэтому оно записывается столько же раз в полученной последовательности. Упорядоченная таким образом выборка называется вариационным рядом.

Выборочное среднее значение

Если имеется выборка значений числовой величины , то средним значением называется среднее арифметическое чисел выборки. Для этого надо сложить все эти числа и получившуюся сумму разделить на количество наблюдений:

.

Медиана

Пусть – вариационный ряд некоторой выборки.

Если четно, то медианой этого ряда (и выборки) называется число, стоящее на среднем, месте.

 

Если четно, то медианой этого ряда называется среднее арифметическое двух средних чисел, то есть чисел на и местах.

Например, медианой ряда является число , поскольку в ряду чисел, и на месте стоит число .

А медианой ряда является число , поскольку в ряду чисел и медиана равна среднему арифметическому -го и -го: .

Мода

Модой выборки называется значение, которое встречается в выборке чаще всего.

Например, для выборки модой является число , поскольку оно встречается в ней чаще других - целых раза.

Мода может быть не одна. К примеру, выборка имеет две моды: и .

Размах

 Размахом выборки называется разность между наибольшим и наименьшим из чисел выборки.

Например, размахом выборки размах равен .

Таблица относительных частот

Для построения таблицы относительных частот необходимо из вариационного ряда выбрать все попарно различные значения наблюдений и вычислить для них соответствующие относительные частоты . Относительные частоты вычисляются как отношение числа встреченных одинаковых данных (частота) к общему числу наблюдений.

 

Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Теория вероятностей на ЕГЭ — это очень простые задачи под номером 5. С ними справится каждый. Ведь для решения задачи 5 в варианте ЕГЭ понадобятся лишь самые основные понятия теории вероятностей.

Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.

Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

 Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

 Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

 Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

 Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).

 Вероятность четверки — тоже 1/6

 А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

 Вот другой пример. В пакете 25 яблок, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25, а зеленое — 17/25.

 Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25 + 17/25 = 1.

 

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

5.1. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.

5.2. (Демо-вариант 2012) В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92.

5.3. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

 Задача решается аналогично.

 Ответ: 0,6.

5.4. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

 Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — 5 спортсменок). Ответ: 0,25.

5.5. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... 100

Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.

5.6. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

1, 3, 5 — нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.

Ответ: 0,5.

5.7. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

 Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка

 Две монеты — уже четыре исхода: орел орел

орел    решка

решка орел

решка решка

Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2  2  2 = 2³ = 8.

Вот они: орел орел    орел

орел    орел    решка

орел    решка орел

решка орел    орел

орел    решка решка

решка орел    решка

решка решка орел

решка решка решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

 Ответ: 3/8.

5.8. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

 Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36.

А теперь — благоприятные исходы:

2 6

 3 5

 4 4

 5 3

 6 2

Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,14.

5.9. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд.

 Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9  0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна

 0,9  0,9  0,9  0,9 = 0,6561.

 

Вероятность: логика перебора.

Задача 5 про монеты многим может показаться сложной. Вот ее условие:

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами 1, а десятирублевые цифрами 2 — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 1 1 2 2 2 2.

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

 Для этого составим все возможные комбинации из набора 1 2 3 4 5 6. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

123, 124, 125, 126...

 А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134, а затем:

135, 136, 145, 146, 156.

 Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем:

234, 235, 236, 245, 246, 256,

 345, 346, 356,

 456.

 Всего 20 возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 — всего 12 благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна 12/20.

Ответ: 0,6.

 

Тренировочные упражнения с ответами.

 

Задание 5-1 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится две сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0.99

Задание 5-2 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 19 из России, 14 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Ответ: 0.34

Задание 5-3 В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Ответ: 0.992

Задание 5-4 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.

Ответ: 0.18

Задание 5-5 В чемпионате по гимнастике участвуют 48 спортсменок: 16 из США, 14 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Ответ: 0.375

Задание 5-6 В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 23 из Норвегии, 25 из Дании, остальные — из Швеции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Швеции.

Ответ: 0.25

Задание 5-7 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Ответ: 0.36

Задание 5-8 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 140 качественных сумок приходится пятнадцать сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Ответ:

Задание 5-9 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Ответ:

Задание 5-10 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 5 спортсменов из Греции, 9 спортсменов из Болгарии, 6 спортсменов из Румынии и 5 — из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Греции.

Ответ: