Инфоурок Математика Другие методич. материалыФакультативный курс по теме: "Решение квадратных уравнений с параметрами"

Факультативный курс по теме: "Решение квадратных уравнений с параметрами"

Скачать материал

Факультативный курс по математике:

  «Решение квадратных уравнений с параметрами»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                               Иванова Г.Г.

 Факультативный курс по теме: «Решение квадратных уравнений с параметрами»

1. Пояснительная записка

Данный факультативный курс разработан по теме: “Решение квадратных уравнений с параметрами”. Он представляет собой систему факультативных занятий, предназначенных для работы с учениками 10-11 классов, обучающихся в классах с углубленным изучением математики, для студентов математических факультетов педагогических университетов и просто людей, увлекающихся математикой. Факультативный курс призван помочь всем желающим пополнить и углубить свои знания в области алгебры. Работа содержит достаточно большой объем материала, выходящего  за рамки школьной программы по алгебре и потому этот материал может быть использован учителем для проведения факультативных занятий. Данный факультативный курс состоит из 8 занятий. После изучения данного курса учащиеся должны научиться решать квадратные уравнения с параметрами;  укрепить и преумножить свои знания, умения и навыки в решении таких задач, что особенно важно. Для того чтобы математические понятия, теоремы, законы, правила стали бы предметом учебной деятельности школьников, необходимо представить их в виде задач, которые бы направляли и систематизировали их активность. Факультативный курс содержит также контрольную работу: итоговую, необходимую для контроля усвоения знаний. При наличии времени учитель может предложить кому-либо из учащихся сделать небольшое сообщение на уроке. В нём учащийся может воспроизвести какой-либо фрагмент теории и показать приёмы решения некоторых задач с параметром .Возможно такой подход окажется эффективным и число учащихся, выразивших готовность изучать дополнения к главам , возрастёт. Этот материал рассчитан на учащихся, интересующихся математикой и успешно усваивающих основной курс. Он может быть использован как в индивидуальной работе с учащимися, так и на внеклассных занятиях. Учащиеся успешно усваивающие факультативный курс, получают дополнительную возможность для более глубокого усвоения теории и овладения соответствующими умениями. Желательно, чтобы их успехи отмечались высокими оценками.

2. Тематическое планирование

На проведение факультативного курса отводится 8 академических часов. В конце курса – контрольная работа.

Тематическое планирование.

п.п.

Тема занятия

Количество часов

1

Простейшие типы квадратных уравнений с параметрами

2

2

Использование свойств квадратичной функции при решении квадратных уравнений

2

3

Решении квадратных уравнений с параметром различных видов

1

4

Некоторые типы уравнений с параметром, приводящиеся к квадратным

2

5

Контрольная работа

1

6

Итого

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Лабораторные и практические занятия.

Занятие 1-2.

Тема: Простейшие типы квадратных уравнений с параметрами.

Цели:

         Образовательная: научить решать квадратные уравнения с параметром через дискриминант;

         Развивающая: развитие алгоритмического мышления;

         Воспитательная: воспитание математической грамотности.

Тип занятия:  изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Ход занятия.

Как известно из школьного курса математики решение квадратного уравнения

,

где  описываются формулой

,

где , причем возможны три случая:

1. , тогда уравнение имеет два корня ;

1.     , тогда уравнение имеет единственный корень ;

2.     , тогда уравнение корней не имеет.

В общем случае при решении квадратичных уравнений с параметрами, если при  есть параметр, то вначале рассматривают случай, когда коэффициент при  равен нулю и находят решение. А затем исследуют уравнение с помощью дискриминанта.

Пример. Решить уравнение

Решение. При  имеем

откуда  . Пусть  теперь , тогда имеем

.

1.     Если , т.е. , то уравнение имеет два корня

2.     Если , т.е. , уравнение имеет единственный корень

.

3.     Если , т.е. , то уравнение корней не имеет.

Ответ: при  корень ;

            при ,  уравнение имеет два корня

            при , уравнение имеет единственный корень ;

            при  ,  уравнение корней не имеет.

Задача 1. Решить уравнение с параметром

a)     ;

b)    ;

c)     ;

d)    .

e)    

Решение.

а) Итак, имеем квадратичное уравнение

.

Найдем дискриминант , таким образом имеем три случая:

1.     , тогда все решения уравнения описываются следующей формулой ;

2.     , тогда получаем , данное равенство верно при любом ;

3.     , тогда уравнение корней не имеет.

Ответ: при  ;

            при  бесчисленное множество решений;

            при  уравнение корней не имеет.

b) Итак, имеем квадратичное уравнение

.

Найдем дискриминант , т.к. дискриминант положительное число, то уравнение всегда имеет два корня .

Ответ:  при любом значении .

c) Итак, имеем квадратичное уравнение

.

Найдем дискриминант  т.к. дискриминант положительное число, то уравнение всегда имеет два корня .

Ответ:  при любом значении .

d) Рекомендуется выполнить самостоятельно.

e) При  имеем

откуда  . Пусть  теперь , тогда имеем

.

4.     Если , т.е. , то уравнение имеет два корня

5.     Если , т.е. , уравнение имеет единственный корень

.

6.     Если , т.е. , то уравнение корней не имеет.

Ответ: при  корень ;

            при ,  уравнение имеет два корня

            при , уравнение имеет единственный корень ;

            при  ,  уравнение корней не имеет.

Задача 2. При каких значениях  один из удвоенных корней уравнения

                    (1)

больше единицы, а другой меньше -1.

Решение. Ясно, что  , в противном случае уравнение (1) имеет только одно решение. Тогда

.

Искомое значение  найдем как объединение решений следующих двух систем:

а)                  б) 

Решим систему а):

Дальше решаем систему б):

 

Ответ: .

 Задача 3. При каком целом значении  уравнения  и  имеют общий корень? Найти этот корень.

Решение.  Имеем

Подставив выражение во второе уравнение, получим

,

т.е. .Отсюда  (противоречит условию). Итак,  . При этом значении  получим уравнения

 и .

Первое из них имеет корни , а второе корни , т. е.   – общий корень.

Ответ: , .

Задача 4. При каком значении отношение корней уравнения

равно-4?

Решение. Имеем   и . Из системы

найдем  или . Далее  используя равенство , получаем .

Ответ: .

 

 

 

Занятие 3-4.

Тема: Использование свойств квадратичной функции при решении квадратных уравнений

Цели:

         Образовательная: научить решать квадратные уравнения с параметром используя свойства квадратичной функции;

         Развивающая: развитие алгоритмического мышления;

        Воспитательная: воспитание математической грамотности.

Тип занятия:  изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

 

Обратимся вначале к понятию квадратичной функции и ее свойствам, а затем рассмотрим применение их к решению квадратичных уравнений с параметрами.

Определение. Квадратичной называется функция вида

,

где .

Отметим теперь некоторые свойства квадратичной функции:

1.     Область определения – множество всех действительных чисел;

2.     Если  - точки пересечения квадратичной функции с осью , то функцию можно представить в виде

.

3.     График квадратичной функции – парабола.При а > 0 ветви параболы направлены вверх, т.е. график имеет вид:

                                                          у

 

 

 

 

 


                                                       0                                          х

                                                                                 Рис.1.

 

4.     При  ветви параболы направлены вниз, т.е. график имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

                                                у

 

 

 

 

 


                                                0                                                             х

 

Рис.2.

5.     Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

Использование свойств квадратичной функции часто бывает полезным при решении не только квадратных уравнений, но и приводящимся к ним.

Пример. При каких значениях  уравнение  имеет один корень?

Решение. Если , то уравнение примет вид

 и, значит, имеет единственный корень. Пусть . Положим,

откуда после преобразований найдем

.

 Тогда данное уравнение запишется так:

Теперь построим графики функций  и . Так как в уравнении параболы коэффициент при  содержит параметр , то нужно рассмотреть два случая:  и . В обоих случаях, учитывая условие  берем только ту часть параболы, которая расположена правее оси  (рис 1, 2).

                                                   у

                                                                              z=2m

 


                                                    

                                                    

                        z=y²+2my-1

                                                     0                                                х

 

 

рис. 3.

 

                                                 у

 

 

 

                                          z=y²+2my-1

                                                                             х

                                                   0                                                                         

 

                                                                   Рис.4.

Если , то прямая  пересекает указанную часть параболы в единственной точке при условии , т.е. при ; значит, в этом случае . Если же , то прямая  пересекает эту часть параболы в единственной точке при условии , т.е. при ; следовательно, такое пересечение получится при . Кроме того, в случае  уравнение имеет единственный корень при условии, что прямая  касается параболы  в ее вершине. Записав уравнение параболы в виде , устанавливаем, что ордината вершины параболы равна ; значит, условие касания примет вид , откуда . Таким образом, объединив все полученные сведения, заключаем, что уравнение имеет единственный корень при  и при .

Задача 5. Решить уравнения

a)     ;

b)    ;

c)     ;

d)    .

Решение.

а) Построим графики функций  и

                у

 

 
                           

рис. 5.                                

Из графика видно, что парабола пересекает ось  лишь в одной точке. В соответствии с этим возможны три случая:

1.     при  прямая  и парабола  не имеют точек пересечения, а значит и исходное уравнение не имеет решений;

2.     при  будет одна точка пересечения, а значит и исходное уравнение будет иметь один корень равный ;

3.     при  будет две точки пересечения, значит два корня уравнения .

Ответ: при  уравнение не имеет решений;

            при  один корень равный ;

                 при  уравнение имеет два корня .b) Построим графики функций

                                                       у

 

 

 

 


                                                      0                                          х

 

 

 

рис. 6.

Из рисунка видно, что кривые не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений при любых значениях параметра .

Ответ: нет решений.

c) и d) рекомендуется выполнить самостоятельно.

Задача 6. Решить уравнение  и исследовать, при каких значениях параметра  оно имеет корни (и сколько их) и не имеет корней.

Решение. Положим . Тогда , откуда ; данное уравнение примет вид . Построим параболу  и прямую . С помощью рисунка устанавливаем, что при  уравнение не имеет корней, при  уравнение имеет два корня, а при  и при  – один корень.

рис.7.

Остается найти эти корни. Для этого решаем уравнение , откуда получим , ил, возвращаясь к старой переменной, .

Ответ: при  два корня ;

            при  - один корень ;

            при  - один корень ;

            при  нет корней.

 

 

Занятие 5.

Тема: Решение квадратных уравнений с параметром различных видов.

Цели:

         Образовательная: научить решать различного типа задачи на квадратичные уравнения с параметром;

         Развивающая: развитие творческого мышления;

         Воспитательная: воспитание математической грамотности.

Тип занятия:  изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Ход занятия.

Задача 7. При каких значениях параметра уравнение

имеет только целые корни?

Решение. Только разбиением на необходимые  и достаточные условия дает ключ к решению задачи. Если , то  – единственное решение. Пусть теперь . Тогда

Если  – целое число, то  – то же целое число. Отсюда следует: ,т. е.  и   - целое число. Следовательно, , а число ,

                                                         (1)

Соотношение (1) указывает только на необходимые условия. Проверим эти условия на достаточность. Первое требование – дискриминант и более того,  - целое число.

Далее выражение

должно быть целым числом. Этим требованиям удовлетворяют:

 и .

Ответ: .

Задача 8. При каких значениях параметра  оба корня уравнения

положительны?

Решение. Если корни положительны, то их произведение , т. е. .Но мы знаем, что условие  только необходимое для положительности корней.

Далее, если корни положительны, то их сумма , т.е. .Одновременное выполнение условий  и  - это тоже только необходимое условие, т.к. при этих условиях корни возможно будут комплексными. Чтобы корни были действительными, достаточно еще дополнительно требовать неотрицательность дискриминанта:

.

Отсюда получаем, что достаточные условия определяются системой:

.

Ответ: .

Задача 9. Найти все значения , при которых сумма корней уравнения

равна сумме квадратов корней.

Решение. Имеем  и , т.е. . Согласно теореме Виета , или  ,откуда .

Ответ: .

Задача 10. При каком значении отношение корней уравнения

равно-4?

Решение. Имеем   и . Из системы

найдем  или . Далее  используя равенство , получаем .

Ответ: .

Задача 11. Показать, что если  и  - корни уравнения , а  и  - корни уравнения , то .

Решить самостоятельно.

 

 

 

 

Занятие 6 - 7.

Тема: Некоторые типы уравнений с параметром, приводящиеся к квадратным.

Цели:

         Образовательная: научить решать различного типа задачи с параметром приводящиеся к квадратным уравнениям;

         Развивающая: развитие творческого мышления;

         Воспитательная: воспитание математической грамотности.

Тип занятия:  изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Ход занятия.

Задача 1. При каких значениях параметра  уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Решение. Полагая  представим данное уравнение в виде:

.

Полученное уравнение имеет решение  тогда и только тогда, когда наибольший корень неотрицателен:

,

Дискриминант тогда и только тогда, когда или . Если , то  и  - решение.

Если же , то

Следовательно при  данное уравнение не имеет решений.

Ответ: .

Задача 2. Решить уравнение

.

Решение. Решим данное уравнение относительно параметра . Выясним какие значения для этого параметра  необходимы для того, чтобы уравнение имело решение относительно переменных  и.Эти необходимые условия для параметра  найдем из условия :

             (1)

Наименьшее значение правой части неравенства (1) равно -1. Докажем, что наибольшее значение левой части (1) равно -1. Действительно:

.

Примем свойство средних для неотрицательных чисел и :

Равенство достигается при . Поэтому

.

Отсюда следует, что дискриминант  может принимать только нулевое значение:

.

Иначе говоря, параметр  существует в двух случаях:

        а)                          б)   

Если имеет место а), то данное уравнение имеет вид:

.

Если имеет место б), то данное уравнение имеет вид:

.

Проверка на достаточность:

в)

Правая часть имеет минимальное значение, равное -1, при . Левая часть – максимальное, равное -1, при

Отсюда следует при

.

Если  ,то

.

Левая часть, как уже известно, принимает максимальное значение, равное -1, при .

Для правой части -1 является минимальным значением, оно достигается при .

Итак, при    .

Ответ: при    ;

           при        .

Задача 3. Решить уравнение

.                                                                (1)

Решение. ОДЗ:

.                                                                                     (2)

Если , то , т.е. нет решения.

Уравнение (1) равносильно системе:

.

Отсюда следует:

.

Подкоренное выражение  при всех .

Найденные выражения для  и  должны удовлетворять условию (2), т. е. для всех , исключить те значения , при которых

                                                                                             (3)

т.е. при   не является корнем, но .

а для  – исключить те значения , при которых

                                                                                                               (4)

В данном случае  - решение при всех , кроме .

Ответ: нет решений при ;

             при ;

       при  и  корни  и  .

Задача 4. Решить уравнение

Решение. Введем замену , имеем , , таким образом пришли к уравнению

,

корни которого равны . Исследуем полученные корни. Чтобы они имели смысл необходимо справедливость неравенства

.

и, кроме того, должны удовлетворять неравенству . Имеем системы

Решив которую, получим . И вторая

,

Решив которую, получим . Таким образом, возвращаясь к старой переменной получим  при  и  при . Нет решений при .

Ответ: нет решений при ;

             при ;

             при .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Контрольная работа

По итогам изучения курса предлагается решить контрольную работу состоящую из двух вариантов.

 

Вариант I

Вариант II

1. Решить уравнение

a)

b)

a)

b)

2. Решить уравнение графическим способом

3. При каких значениях  уравнение  имеет равные корни?

3. При каких значениях уравнения  и  имеют общий корень?

 

Решение.

Вариант I. a) Найдем дискриминант этого уравнения, имеем , приравняем его к нулю, получим

.

Теперь исследуем уравнение на решения. Очевидно, что при  уравнение корней иметь не будет. Тогда как при  уравнение имеет два корня . И при  уравнение имеет единственный корень .

Ответ: при  уравнение имеет два корня ;

     при  уравнение корней не имеет;

     при  уравнение имеет единственный корень .       

b) Найдем дискриминант этого уравнения, имеем , приравняем его к нулю, получим

.

Имеем при  уравнение не имеет решений. При  уравнение имеет два корня . При  единственный корень .   Построим графики функций  и , имеем

 

                                                     у

 

 

 

 


                                                    0                                        х

                                                                                                     

 


                                                                                                            

                                                              Рис.8.                                                              

Из графика видно, что прямая  и парабола  могут меть две точки пересечения при . Единственный корень при  и нет решений при .

3. Квадратное уравнение имеет рваные корни, если его дискриминант равен нулю, т.е. , откуда находим  и .

Вариант II

1.     a)  и  b) Указание. Воспользоваться методом решения описанным выше

2.     Указание. Построить графики функций  и  и по графикам исследовать решения данного уравнения.

3.     Вычитая из первого уравнения второе, получим

.

Если , каждое из уравнений имеет вид , а такое уравнение не имеет корней. Если же , то  и, значит, , т.е. .

Ответ: при .

 


 Литература.

1.Бородин А.И., Бугай А.С. Библиографический словарь деятелей в области математики. Пер. с укр.- К.: Радьянска школа, 1979.

2.Гельфонд А.О. Решение уравнений с параметрами. – 4-е изд. – М.: Наука,1983.

3.Далингер В.А., Загородных К.А. Методика организации и проведения самостоятельных работ учащихся в процессе обучения их уравнений с параметрами: Книга для учителя.-Омск:Изд-во ОмГпУ,1996.

4.Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников.-Н.,2003

5. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 10-11классов:Кн. Для учителя.-М.:Просвещение, 1991.

6.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб.Пособие для пед.ин-тов.-М.:высш.шк.,1979.

7.Перельман Я.И. Занимательная алгебра.-М.:Наука,1978.

8.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн.для учащихся 7-9 классов ср.шк.-М.: Просвещение,1990.

9.Серпинский В. 250 задач по алгебре\Пер.с польск. И.Г.Мельникова-М.: Просвещение,1968.

10.Сканави М.И. Сборник задач по математике с решениями.-М.,1999.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Факультативный курс по теме: "Решение квадратных уравнений с параметрами""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Педагог-организатор

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и , как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, при этом происходит развитие математического , логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам.Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.

В целом можно говорить о том, что поставленная проблема исследования, сформулированная как разработка наиболее эффективной методики обучения учащихся различным способом решения квадратных  уравнений с параметрами была решена.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 136 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 05.01.2015 405
    • DOCX 509.6 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Иванова Гульнара Гильмитдиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 9 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 7
    • Всего просмотров: 8246
    • Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

HR-менеджер

Специалист по управлению персоналом (HR- менеджер)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 84 человека из 35 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: отрицательные числа, дроби, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 112 человек из 42 регионов

Курс повышения квалификации

Развитие предметных навыков при подготовке младших школьников к олимпиадам по математике

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 42 человека из 16 регионов

Мини-курс

Искусство: от истории к глобализации

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Брендинг и архитектура бренда: создание уникальности и цельности в маркетинге

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Судебные процессы и взыскание убытков: правовые аспекты и процедуры

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе