ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
«ВОРОНЕЖСКИЙ
ТЕХНИКУМ СТРОИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
ЭЛЕКТРОННОЕ
ПОСОБИЕ
КОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА
Воронеж
2014
|
ОДОБРЕНО
Предметной (цикловой) комиссией
математических и естественнонаучных дисциплин
Протокол заседания № _____
от «____» ____________2014 г.
Председатель ПЦК
____________( Шаранина Н.К.)
«____»_____________2014 г.
|
Составлено в соответствии с учебным
планом и рабочей программой дисциплины
Математика
|
Пособие предназначено для студентов
2-го курса всех специальностей техникума, изучающих тему «Комплексные числа». Материал
изложен в доступной для студента техникума форме с соблюдением должной
математической строгости.
Составитель: Сафонова
Елена Артуровна, преподаватель ГОБУ СПО ВО «Воронежский техникум строительных
технологий»
Оглавление
Пояснительная записка. 4
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1. Развитие
понятия числа. 5
2. Основные определения и соотношения для
комплексных чисел………………………………………….5
3. Действия над комплексными числами в
алгебраической форме………………………………………….6
УПРАЖНЕНИЯ... 7
4. Геометрическое
изображение комплексных чисел. 9
5. Модуль и
аргумент комплексного числа. 9
Правило нахождения аргумента комплексного
числа. 10
6.
Тригонометрическая форма комплексного числа. 11
7. Правило
перехода от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической 11
7. Действия над
комплексными числами в тригонометрической форме. 12
9. Показательная
форма комплексного числа. 15
Применение комплексных чисел в расчёте
физических величин. 17
ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО
ТЕМЕ.. 18
Примерные варианты контрольной работы по теме……………………………………………………………...20
ЛИТЕРАТУРА.. 21
Настоящее методическое
пособие предназначено для студентов 2-го курса техникума всех специальностей,
изучающих тему «Комплексные числа».
Пособие представляет
собой краткое изложение теоретического материала, набор практических упражнений
по теме «Комплексные числа» и формулы, необходимые для их решения. Для
знакомства с основными методами решения предлагаемых упражнений в пособии
рассматриваются типовые примеры и их подробные решения, что способствует
лучшему пониманию и усвоению учебного материала.
Содержащийся в пособии
теоретический материал может быть использован на уроке для самостоятельной
работы, а также для самостоятельного изучения темы студентами дома.
Настоящее методическое пособие также включает в
себя вопросы на повторение основного материала и примерные задания, что
позволит студентам в подготовке к контрольной работе и зачёту по теме.
Простейшим
числовым множеством является множество натуральных чисел
N= {1;
2; 3….}. В этом множестве всегда выполнимы сложение и умножение, т. е сумма и
произведение двух натуральных чисел будут всегда числом натуральным.
Но
в этом множестве не всегда выполнимо вычитание. Например, 3-5 не является
числом натуральным. Поэтому, чтобы действие вычитание было выполнимо всегда,
множество натуральных чисел расширили, присоединив к нему числа целые,
отрицательные и ноль. Получили множество целых чисел Z=
{…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; …}
Однако
в этом множестве деление осталось выполнимо не всегда. Потребовалось новое
расширение множества целых чисел за счет присоединения к нему чисел дробных.
Получили множество рациональных чисел Q.
Это множество является настолько плотным, что даже два его рядом стоящих числа
мы записать не можем.
Но
извлечение корня потребовало введения иррациональных чисел. Объединение
рациональных и иррациональных чисел составило множество действительных чисел
R.
Однако
извлечение корня четной степени из отрицательного числа и в этом множестве
выполнить было нельзя. Для того чтобы можно было решать уравнения вида 
или 
были введены новые числа,
которые получили название комплексных чисел.
2.
Основные определения и соотношения для комплексных чисел.
ü
Число 
называется мнимой единицей.
Следовательно 
.
ü
Числа вида b j,
где b
R
называются мнимыми или чисто мнимыми.
Например: 
, 
, 
.
ü
Числа вида a+b j,
где 
R
называются комплексными.
Например: 
; 
; 
.
ü Два
комплексных числа a + b j
и c + d j считаются равными, если равны их действительные части и
коэффициенты при мнимой единице, т. е. a
=c и b
= d (понятия >, < для комплексных
чисел нет).
ü Комплексное
число вида 0+0j называется нулевым комплексным числом.
ü Два
комплексных числа вида a + b j
и a – b j называются сопряжёнными.
Например: 
и 
.
ü Два
комплексных числа вида a + b j
и -a – b j
называются противоположными.
Например: 
и 
.
3.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Запись комплексного числа в виде 
называется алгебраической
формой записи комплексного числа.
Рассмотрим
правила действия над комплексными числами в алгебраической форме.
а) Сложение и
вычитание комплексного числа выполняются как сложение и вычитание
многочленов, т.е. раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые.
Примеры:
;
.
б) Умножение
комплексного числа в алгебраической форме выполняется как умножение
многочленов с последующей заменой 
на 
и приведением подобных
слагаемых.
Пример: 
в) Деление.
Чтобы
выполнить деление комплексного числа нужно делимое и делитель умножить на
число, сопряжённое делителю, выполнить действия и полученный в числителе
результат почленно разделить на знаменатель.
Пример:
= 
= 
= 
= 
= 
Заметим, что
произведение 
поэтому в знаменателе
результат будем находить сразу по этой формуле
Пример: 
Степени мнимой единицы.
и т.д.
Таким
образом, 
.
Чтобы
подсчитать любую степень j нужно
выделить из нее степень кратную 4 и остаток, а потом вычислить j
в степени, равной остатку.
Примеры. 
;
; 
Произвести сложение и вычитание комплексных чисел:
1. 
5. 
9
2.
6. 
10
3
7. 
11. 
4.
8. 
12. 
Произвести умножение комплексных чисел:
13
17. 
21. 
14.
18. 
22. 
15.
19. 
23. 
16.
20. 
24. 
При выполнении умножения можно использовать формулы
Примеры: 
Выполнить действия:
25.
33.
26.
29.
34.
30.
35.
Выполнить действия:
36.
39. 
42. 
37.
40.
43. 
38.
41. 
44. 
Выполнить
деление:
45
; 48.
; 51. 
;
46.
; 49. 
; 52.
;
47.
; 50. 
; 53. 
.
Вычислите:
54.
; 
; 
; 
. 57.
55.
58. 
56
59. 
Выполните действия:
60.
. 63. 
+ 
66.
61.
– 
. 64.
- 
67.
62. 
( 
). 65.
– 
68.
.
Решить квадратные уравнения:
Пример:
Решение.
Найдём дискриминант по формуле
.
; 
.
=
63.
65. 
67. 
64.
66. 
68. 
Найдите x и y на основании равенства двух комплексных чисел.
Пример:
.
Решение.
Из равенства комплексных чисел следует, что 
69. 
70.
71. 
72.
73. .
. 74. 
.
Комплексное число изображается на координатной
плоскости точкой М(a;b)
или
вектором 
, начало которого совпадает с
началом координат, а конец – с точкой М(a;b).
Сама координатная плоскость при этом называется комплексной плоскостью, ось
абсцисс – действительной осью, ось ординат – мнимой осью.
y
b M(a;b)
r
0 а x Рис.
1.
75.
Изобразите на координатной плоскости числа: 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Определение.
Модулем комплексного числа называется абсолютная
величина вектора, соответствующего этому числу.
Модуль числа 
обозначается 
или 
или r.
На основании теоремы
Пифагора (см. рис.1) получается формула
Например, комплексное
число 
имеет модуль равный 10, так как
Определение.
Аргументом комплексного числа 
называется величина угла
между положительным направлением оси Оx
и вектором, соответствующим этому числу (см. рис. 1).
Аргумент обозначается
, arg z
или arg 
Аргумент
комплексного числа определяется неоднозначно.
Так,
аргументами числа 5 являются следующие углы: 
,
,
и вообще каждый из углов 
k,
Аргументами числа 3 j –
следующие углы: 
; 
=
, 
=
(см. рис.2) и вообще каждый
из углов 
.
Любые
два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга на слагаемое,
кратное 2
.
y
0 5 x
Рис.2
1. Найти tg
=
2. Найти 
=arctg
.
3. Выяснив,
в какой четверти лежит вектор, соответствующий числу, найти аргумент 
.
Если
∈
1 четверти, то =
∈
2 четверти, то 
-
∈
3 четверти, то +
∈
4 четверти, то =
-
Примеры:
Найти
модуль и аргумент комплексного числа.
а) 
=2
= arctg
=
M (
б) 
=2
tg
=
= arctg 
=
, M (
= 
в) 
tg
= 
= arctg
= 
(
Пусть дано комплексное число 
. Из 
ОМА можно выразить
действительные числа а и b
через модуль r и аргумент числа z
следующим образом: 
b
M (a;b)
Таким образом,
комплексное число можно записать в виде 
(
где r
– модуль комплексного числа, - один из его аргументов.
Представление комплексного числа z
в виде z=
r (
называется тригонометрической
формой записи комплексного числа.
Для того чтобы перейти от
алгебраической формы записи к тригонометрической нужно:
1.
Найти модуль комплексного числа по формуле: r
2.
Найти один из аргументов комплексного числа, пользуясь правилом нахождения
аргумента.
3. Записать
комплексное число в тригонометрической форме.
Пример.
Записать число 
в тригонометрической
форме.
Решение:
1. r
= 
2. tg =
= arctg, = 
3. z
= 2(
Замечание
Модули и аргументы действительных чисел и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно
исходя из их геометрического изображения, а не используя приведенное выше
правило (тем более, что для чисто мнимых чисел это правило вообще нельзя
применять).
Например:
1.
, значит
M(
Тогда 
=
4(
2.
z = 2j, значит M(
Тогда 
= 2(
Чтобы перейти от тригонометрической формы записи обратно к алгебраической форме
нужно найти значения sin и cos при данном
аргументе и умножить на модуль.
Например: 
1.
Умножение.
Пусть
r1
(
)
(
Тогда
z1* z2
= r1* r2
(
)
Таким образом,
при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули
перемножаются, а аргументы складываются.
Примеры:
, 
=
Решение.
2. Деление.
Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного
равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент – разности их
аргументов.
Пример:
(
, 
(
3.
Возведение в степень.
– это формула
Муавра.
Таким образом, при
возведении комплексного числа в степень нужно его модуль возвести в данную
степень, а аргумент умножить на показатель степени.
Пример:
(
4. Извлечение
корня из комплексного числа.
(
Пример:
(
При k = 0, 1, 2, 3 получим
z0=3(
)
z1=3(
z2=3(
z3=3(
УПРАЖНЕНИЯ
Изобразить
на плоскости числа:
51.
54.
; 57.
52.
; 55.
58.
53.
56. 
59. 
Записать
в тригонометрической форме комплексные числа:
57.
. 58.
59. 
60. 
61. 
2
; 62. 
63. 
64. 
.
Найти произведение
комплексных чисел 
и 
65. =2(
.
66. = (
67. =0,6(
Найти
частное комплексных чисел и 
:
68. =0,6(
69. =3(
70. Найти:
71. Вычислить:
.
72.
Найти: 
.
Найти произведения:
73. 2(
74. 
.
75. 3(
76. 
Вычислить, пользуясь формулой Муавра:
77. 
84.
78. 
85.
79. (
86.
80. 
87.
81.
(
88. (
82.
89.
83.
90.
Найти частное чисел:
91.
4(
92.
3(
93. 4(
Выполните
действия в тригонометрической форме:
94.
. 95. 
. 96. 
.
9. Показательная форма комплексного числа.
Показательная форма комплексного числа – это запись комплексного
числа в виде
Например: 
.
Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по
правилам действия над степенями с общим основанием.
Пусть 
Тогда
Примеры:
.
Деление
.
УПРАЖНЕНИЯ
Пример
1. Записать число z = 3(
в показательной форме.
Решение. Из
заданной тригонометрической формы устанавливаем, что 
Подставив эти значения в
показательную форму 
получим 
.
Пример
2. Записать число 
в тригонометрической и
показательной формах.
Решение. Чтобы
представить число 
в виде
(
и 
, нужно
найти модуль и аргумент числа z.
так как точка М(0;-5),
соответствующая данному числу, находится на оси Оу. Получим 
и 
Пример
3. Записать число 
j в тригонометрической и показательной формах.
Решение.
1. Найдём модуль 
2. Найдём аргумент 
, тогда
Точка M(
находится в 4 четверти,
поэтому 
Тогда
тригонометрическая форма 
и показательная
Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной
формах:
97. 
98.
99.
100
. 
j.
101. 
102. 
Записать комплексные
числа в показательной форме:
103.
.
104. 
105.
. 106.
Записать
комплексные числа в тригонометрической форме:
107.
108.
. 109.
110.
111. 
112.
.
Выполнить
действия:
113. Найти 
, если 
114.
Найти , если 
, 
115.
Найти 
116.
Найти 
, если
117.
Найти 
, если
118.
Найти 
Так как комплексные числа геометрически представляются векторами на плоскости,
то все векторные физические величины могут быть охарактеризованы при помощи
комплексных чисел. Представление векторных физических величин комплексными
числами облегчает выполнение расчётов этих величин. При этом действия над
векторами, которые выполняются графическим путём, заменяются соответствующими
действиями над комплексными числами, которые выполняются аналитически, что
значительно проще. Кроме того, комплексные числа могут быть взяты в
алгебраической, тригонометрической и показательной формах в зависимости от
конкретного случая.
Особенно широкое применение комплексные числа получили в электротехнике при
расчёте электрических цепей.
Заметим, что в электротехнике мнимая единица i обозначается
буквой j ,
так как буквой i традиционно
обозначается сила тока в цепи.
Рассмотрим пример. На рис. 1 дана векторная диаграмма неразветвлённой цепи
переменного тока.
y
М Пусть вектор 
представляет
вектор напряжения 
, модуль которого
В, вектор 
представляет
60
вектор
напряжения 
модуль
которого 
Тогда
0 -90 x
Также
N 
Если электрическая цепь составлена из двух последовательно включённых участков
с напряжениями
,
то
на зажимах будем иметь напряжение
.
Аналогично
применяются комплексные числа при выражении других характеристик электрических
цепей.
Заметим, что в электротехнике модуль
вектор напряжения называется просто
напряжением и обозначается через 
, а соответствующее этому вектору
комплексное число называется комплексом напряжения и обозначается 
(ставится точка над символом).
1.
Что называется мнимой единицей? Какое число называется чисто мнимым? Приведите
примеры.
2.
Определение комплексного числа. Какие комплексные числа называются
сопряжёнными, а какие противоположными? Какие два комплексных числа считаются
равными? Приведите примеры.
3.
Степени мнимой единицы. Правило вычисления любой степени мнимой единицы.
Приведите примеры.
3.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме: сложение и вычитание,
умножение, деление. Приведите примеры.
4.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Изобразите геометрически числа: а) 
5.
Что такое модуль комплексного числа? Как он находится?
6.
Что называется аргументом комплексного числа? Как понимать, что аргумент
определяется неоднозначно? Какой алгоритм нахождения аргумента комплексного
числа?
7.
Какова тригонометрическая форма записи комплексного числа? Правило перехода от
алгебраической формы записи к тригонометрической и обратно.
8.
Как выполняется умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической
форме? Выполните умножение и деление двух комплексных чисел:
= 6(
и 
9.
Как выполняется возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа в
тригонометрической форме?
Выполните
действия: а)
; б) 
.
10.
Какова показательная форма записи комплексного числа? Как перейти от
алгебраической формы к показательной и обратно?
11.
По каким правилам выполняются действия над комплексными числами в показательной
форме?
ПРИМЕНРНЫЕ
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО
ТЕМЕ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»
Вариант
1
1. Выполнить
действия:
а)
б)
.
2. Запишите в
алгебраической, тригонометрической и
показательной формах число, соответствующее
точке В(3;-).
3. Изобразите
геометрически комплексные числа и найдите их сумму и разность:
4.
Решите уравнения: а) 
Вариант
2
2. Выполнить
действия:
а)
б)
.
2. Запишите в
алгебраической, тригонометрической и
показательной формах число, соответствующее
точке A(
;
).
3. Изобразите
геометрически комплексные числа и найдите их сумму и разность:
.
4.
Решите уравнения: а) 
1.
Богомолов Н.В. Практические занятия по
математике: Учеб. пособие для техникумов. - М.: Высш. школа, 1981.
2. Валуцэ
И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. – М.:Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1980. – 496 с.
3.
Кутепов А. К., Рубанова А. Т. Задачник по
алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных
учебных заведений. – М., «Высшая школа», 1969.
4.
Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л.
Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: «Высшая школа», 2012.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.