Элективный курс " Применение метода координат при решении задач курса С2"

1 слайд

МЕТОД КООРДИНАТ
В ЗАДАЧАХ С2
Нахождение расстояний
Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа
Адеева Г.В.

2 слайд

В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых,
как правило, нужно найти одну из следующих величин:
Расстояние между точками
Расстояние от точки до прямой- длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Расстояние от точки до плоскости– длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
расстояние между скрещивающимися прямыми - длину общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – длину перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость.

3 слайд

Для того, чтобы использовать метод координат,
надо хорошо знать:
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0,
где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит
через начало координат, D = 0. А 
если не проходит, то D = 1.

Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0,
имеет координаты: n = (A; B; C) и
называется вектором нормали к плоскости.

4 слайд

Задача.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0),
если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение.
Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но,
поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) 
то положим D = 1.
Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек
должны обращать уравнение в верное числовое равенство.
Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

5 слайд

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных.
Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид:
− 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.



Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

6 слайд

Задача.

Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.


Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) 


Ответ: n = (7; − 2; 4)

7 слайд

Вычисление координат векторов

Теорема. Чтобы найти координаты вектора,
надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные
своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2).
Найти координаты векторов AB, AC и BC.


Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A,
а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты,
надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).
Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A,
зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
Наконец, чтобы найти координаты вектора BC,
надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

8 слайд

Введение системы координат

Самое замечательное свойство этого метода
заключается в том,
что не имеет никакого значения,
как именно вводить систему координат.
Если все вычисления будут правильными,
то и ответ будет правильным.
Некоторые рекомендации,
как лучше ввести систему координат
для самых часто встречающихся
в задаче C2 многогранников:

9 слайд

10 слайд

11 слайд

12 слайд

13 слайд

14 слайд

15 слайд

Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:

16 слайд

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ А И В МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ:

1) ПО ФОРМУЛЕ
ГДЕ A(X1; Y1; Z1), B(X2; Y2; Z2)

2) ПО ФОРМУЛЕ .

17 слайд

Задача 1
В ОСНОВАНИИ ПИРАМИДЫ SABCD ЛЕЖИТ РОМБ СО СТОРОНОЙ 2 И ОСТРЫМ УГЛОМ В 60˚. БОКОВОЕ РЕБРО SA ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ОСНОВАНИЮ ПИРАМИДЫ И РАВНО 4. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ ОТ СЕРЕДИНЫ Н РЕБРА SD И СЕРЕДИНОЙ М РЕБРА ВС.

18 слайд

Решение.
Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0).
Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВх=ACx=2·cos30˚= ,
ABy=ACу–2=2·cos60˚=1.
Отсюда В( ;1;0), С( ;3;0). Тогда координаты точки М равняются:
Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами:
Ответ:

19 слайд

Задача2
В ЕДИНИЧНОМ КУБЕ АВСDA1В1С1D1 ТОЧКИ Е И К – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР АА1 И СD СООТВЕТСТВЕННО, А ТОЧКА М РАСПОЛОЖЕНА НА ДИАГОНАЛИ В1D1 ТАК, ЧТО В1М = 2МD1. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ Q И L, ГДЕ Q – СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА ЕМ, А L – ТОЧКА ОТРЕЗКА МК ТАКАЯ, ЧТО ML=2LK.

20 слайд

Решение.
Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В1(0;0;1), D1(1;1;1). Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B1D1 в отношении λ=2:1:
Аналогично находим координаты точки L:

21 слайд

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка:
.
Ответ: .

22 слайд

Расстояние от точки до плоскости

23 слайд

Расстояние от точки М до плоскости 𝜶 можно
вычислить по формуле

𝝆 М ; 𝜶 = 𝒂 х 𝟎 +𝒃 у 𝟎 +с 𝒛 𝟎 +𝒅 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐
M( 𝒙 𝟎 ; 𝒚 𝟎 ; 𝒛 𝟎 ) и плоскость 𝜶 задана уравнением ax + by + cz + d=0
A
B
C
D
A₁
B₁
C₁
D₁
у
х
z
Задача 3 В единичном кубе А…D₁ найдите расстояние
от точки А₁ до (ВDC₁ ).
Координатный метод

24 слайд

Задача 4

ОСНОВАНИЕ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ АВСА1В1С1 – РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК АВС, ОСНОВАНИЕ АС И ВЫСОТА ВD КОТОРОГО РАВНЫ 4. БОКОВОЕ РЕБРО РАВНО 2. ЧЕРЕЗ СЕРЕДИНУ К ОТРЕЗКА В1С ПРОВЕДЕНА ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ЭТОМУ ОТРЕЗКУ. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ ОТ ВЕРШИНЫ А ДО ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ.

25 слайд

Решение.
Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В1(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К. То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения, 2x–y+z-4=0.
Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости:
Ответ: .

26 слайд

Задача 5

В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости (BDC1) .
х
у
z
A1 (1; 0; 1)
D (0; 0; 0)
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
Запишем уравнение плоскости DBC1.

27 слайд

A1 (1; 0; 1)
Найдем искомое расстояние по формуле
Ответ:

28 слайд

Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD
Решение.

29 слайд

Решение.

30 слайд

х
у
z
Задача 7 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF1)
F1 (- 1; 0;1)
Запишем уравнение плоскости DC1F1.
C1 (1; 0;1)
1
1

31 слайд

32 слайд

Найдем искомое расстояние по формуле
Ответ:

33 слайд

Тренировочная работа
Расстояние от точки до плоскости

34 слайд

Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой можно найти следующим образом:
1.Строим треугольник,соединяющий данную точкуи
2 точки,задающие прямую.
2.Находим длины сторон треугольника и его площадь.
3.Находим высоту в треугольнике-
Это и есть искомое расстояние
Пусть АН – искомое расстояние.
А
В
С
Н
Н

35 слайд

Задача 9 (Расстояние от точки до прямой)
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания
которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки F до
Прямой BG, где G – середина ребра SC
х
z
у

36 слайд

2 способ:
1.Строим прямую,соединяющую
данную точку и 2 точки,задающие прямую.
2.Находим длины сторон треугольника.
3.Находим косинус одног из углов(А).
4.Находим синус этого угла
(основное тригонометрическое тождество)
5.Используя определение синуса,
находим высоту треугольника-искомое расстояние.

37 слайд

38 слайд

Тренировочная работа
Расстояние от точки до прямой

39 слайд

Расстояние между параллельными плоскостями

40 слайд

Вычислите расстояние между параллельными плоскостями  
Если умножить обе части второго уравнения плоскости на два, то коэффициенты при переменных x, y и z в уравнениях  

и  
станут равны и можно будет

применить формулу: 

41 слайд

Расстояние между скрещивающимися прямыми
Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к ним, называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых.

42 слайд

Способ решения А.Правдина – учителя математики Нижегородской области
Точки А1 и В1 выбираем любые
Находим х и у, затем длину АВ

43 слайд

Задача 9 (Расстояние между скрещивающимися прямыми)
В единичном кубе А…D1 найдите расстояние от АD1 до A1C1
х
z
у
Пусть NM- общий перпендикуляр прямых АD1 и A1C1
N
M
A
A1

44 слайд

Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой можно найти следующим образом:
1.Строим треугольник,соединяющий данную точкуи
2 точки,задающие прямую.
2.Находим длины сторон треугольника и его площадь.
3.Находим высоту в треугольнике-
Это и есть искомое расстояние
Пусть АН – искомое расстояние.
А
В
С
Н
Н

45 слайд

2 способ:
1.Находим координаты направляющих векторов прямых.
2.находим координаты общего вектора нормали из условия,что произведение направляющего вектора и общего вектора нормали =0.
3.решаем полученную систему.




4.строим вектор,соединяющий любые 2 точки прямых и находим его координаты(вектор c=А1В)
5.
Расстояние =
Где n –общий вектор нормали,с-вектор А1В

46 слайд

47 слайд

48 слайд

Тренировочная работа
Расстояние между двумя прямыми

49 слайд

Диагностическая работа

50 слайд

Литература :



Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)



ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010

ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные
материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010.

Некоторые рисунки из ресурсов Интернета

Материалы учителя математики Ларькиной Г.А.- https://sites.google.com/site/larkinaga91/metodiceskaa-rabota/publika

1 слайд

МеТОД КООРДИНАТ В ЗАДАЧАХ С2

Нахождение углов.









Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа
Адеева Г.В.

2 слайд

В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых,
как правило, нужно найти одну из следующих величин:
Угол между скрещивающимися прямыми —
это угол между двумя прямыми, которые
пересекаются в одной точке и параллельны данным прямым.
Угол между прямой и плоскостью —
это угол между самой прямой и
 ее проекцией на данную плоскость.
Угол между двумя плоскостями —
это угол между прямыми, которые лежат в данных плоскостях
и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей.

Прямые всегда задаются двумя точками на поверхности или
 внутри многогранника, а плоскости — тремя.
Сами многогранники всегда задаются длинами своих граней.

3 слайд

Для того, чтобы использовать метод координат,
надо хорошо знать формулы. Их три:
Главная формула — косинус угла φ между
векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0,
где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит
через начало координат, D = 0. А 
если не проходит, то D = 1.

Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0,
имеет координаты: n = (A; B; C) и
называется вектором нормали к плоскости.

4 слайд

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение.

Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Ответ: 36/65

5 слайд

Задача.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0),
если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение.
Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но,
поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) 
то положим D = 1.
Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек
должны обращать уравнение в верное числовое равенство.
Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

6 слайд

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных.
Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид:
− 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.



Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

7 слайд

Задача.

Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.


Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) 


Ответ: n = (7; − 2; 4)

8 слайд

Вычисление координат векторов

Теорема. Чтобы найти координаты вектора,
надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные
своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2).
Найти координаты векторов AB, AC и BC.


Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A,
а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты,
надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).
Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A,
зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
Наконец, чтобы найти координаты вектора BC,
надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

9 слайд

Введение системы координат

Самое замечательное свойство этого метода
заключается в том,
что не имеет никакого значения,
как именно вводить систему координат.
Если все вычисления будут правильными,
то и ответ будет правильным.
Некоторые рекомендации,
как лучше ввести систему координат
для самых часто встречающихся
в задаче C2 многогранников:

10 слайд

11 слайд

12 слайд

13 слайд

14 слайд

15 слайд

16 слайд

Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:

17 слайд

Угол между прямыми
- направляющий вектор прямой а
- направляющий вектор прямой b
- угол между прямыми

18 слайд

Задача 1
В единичном кубе найдите угол между прямыми AE и BF, где Е – середина ребра , а F – середина ребра
К - середина
Решение (1 способ)
По теореме косинусов для

19 слайд

Решение (2 способ)

20 слайд

В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD и CE, где D и E - соответственно середины ребер и
Задача 2
Решение.

21 слайд

Координаты правильной треугольной призмы

22 слайд

Решение.

23 слайд

24 слайд

Задача 3 В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и
Решение.

25 слайд

Координаты правильной шестиугольной призмы

26 слайд

Решение.

27 слайд

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
Решение.

28 слайд

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

29 слайд

Е- середина SB
F- середина SC
Решение.

30 слайд

31 слайд

Тренировочная работа Угол между прямыми

32 слайд

Угол между прямой и плоскостью
- направляющий вектор прямой
- нормальный вектор плоскости

33 слайд

Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой DE, где Е- середина апофемы SF грани ASB и плоскостью ASC
Решение.
- вектор нормали плоскости
- направляющий вектор прямой

34 слайд

- вектор нормали плоскости
- направляющий вектор прямой DE

35 слайд

Вычисление углов между
прямыми и плоскостями.
Задача 6
Найдите синус угла между прямой
и плоскостью
- вектор, перпендикулярный плоскости
- направляющий вектор прямой

36 слайд

правильная треугольная призма, все ребра
которой равны 1.
середина
середина
угол между прямой
и плоскостью
Найдите
Н
Задача 7

37 слайд

х
у
z
Задача 8 В единичном кубе найдите угол между прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), где Е – середина В1С1,
1
1
1
F
E
A1 (1; 0; 1)
Е (0,5; 1; 1)
A (1; 0; 0)
B1 (1; 1; 1)
Запишем уравнение плоскости (А1EF):

38 слайд

A1 (1; 0; 1)
Е (0,5; 1; 1)
- уравнение плоскости (А1EF).

39 слайд

- вектор нормали к плоскости
- направляющий вектор прямой
Ответ:

40 слайд

х
у
z
Задача 9 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой AВ1 и плоскостью (АСF1).
Запишем уравнение плоскости (АСF1):

41 слайд

C (1; 0;0)
F1 (- 1; 0;1)
- уравнение плоскости (АСF1).

42 слайд

- вектор нормали к плоскости
- направляющий вектор прямой
Ответ:

43 слайд

х
y
z
Задача 10 В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и плоскостью (АDS).
E
Запишем уравнение плоскости (АSD):

44 слайд

- уравнение плоскости (АSD).

45 слайд

- вектор нормали к плоскости
- направляющий вектор прямой
Ответ:

46 слайд

Тренировочная работа
Угол между прямой и плоскостью

47 слайд

Угол между плоскостями
Вектор нормали плоскости
Вектор нормали плоскости

48 слайд

Задача 11 В единичном кубе найдите угол между плоскостями и , где Е – середина ребра , а F – середина ребра
Решение.
Уравнение плоскости
Вектор нормали плоскости

49 слайд

Уравнение плоскости
Вектор нормали плоскости

50 слайд

51 слайд

D1B
2. Нормаль ко второй плоскости , которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой BD1. Значит, ВD1 - перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль D1B.
Задача 12 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
AB = 3, ВС = 4, АА1 = 12. Через середину ребра АВ перпендикулярно диагонали ВD1 проведена плоскость. Найдите угол образованный этой плоскостью с основанием параллелепипеда.
D1
B
A
D
B1
C1
A1
3
z
x
C
1. Нормаль к плоскости АBC
DD1
Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям.
y
4
12
D
(0; 0; 12)
DD1 – это радиус-вектор, поэтому его координаты такие же, как и точки D1
DD1
(0;0;12)
(4; 3; 0)
Чтобы найти координаты вектора D1B, вычтем из конца вектора его начало.
D1B
( 4; 3;-12)

52 слайд

DD1
(0;0;12)
D1B
( 4; 3;-12)
12

53 слайд

Пусть вектор нормали n {x;y;z}. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой
плоскости. Тогда,
Задача 13 В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагональ основания в 2 раза больше бокового ребра. Найдите угол между плоскостью АCB1и боковой гранью ВВ1С1С.
C
C1
B1
D
B
D1
A
A1
1
х
y
z
В данной задаче построение линейного угла не столь очевидно. Поэтому применим метод координат.
Найдем вектор нормали плоскости АCB1. Рассмотрим два вектора этой плоскости:
Получим систему
AB1
(0; ;1)
AC
n
AB1
n
AC
n
= 0
значит,
AB1
n
= 0
значит,
Вектор нормали плоскости ACB1:
2
2
( ;0;0)
2
( ; ;1)
2
2
AC
(- ; ;0)
2
2
2
(1;1;- )
n
2
Если в задаче не дано числовое значение, то можем обозначить боковое ребро «1», тогда диагональ основания равна 2. Найдем сторону основания. Основание – квадрат.

?
2
А
В
С
D
450
(0; ;0)
2
(0; ;0)
p
2
Вектор нормали плоскости ВВ1С1:












Эта система имеет бесконечное множество решений, так как
векторов, перпендикулярных плоскости ACB1, бесконечно
много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n,
положив х = 1,

тогда у = 1, z = –

/ :
2
2
Из (1)

54 слайд

(1;1;- )
n
2
(0; ;0)
p
2

55 слайд

Задача 14 В единичном кубе найдите угол между плоскостями (АСD1) и (ВDC1).
х
у
z
A (1; 0; 0)
C (0; 1; 0)
D1 (0; 0; 1)
Запишем уравнения плоскостей (АСD1) и (BDC1):
D (0; 0; 0)
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)

56 слайд

A (1; 0; 0)
C (0; 1; 0)
D1 (0; 0; 1)
D (0; 0; 0)
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
Ответ:

57 слайд

Задача 15 В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями (АВС1) и (А1В1С).
С1
А
В
С
А1
В1
х
у
z
Запишем уравнения плоскостей (АBС1) и (A1B1C):

58 слайд

59 слайд

Ответ:

60 слайд

Задача16 В правильной шестиугольной призме ребро основания равно 1, а боковое ребро – 2. Найдите угол между плоскостями (ВА1D1) и (АА1Е1).
х
у
z
C (1; 0;0)
Запишем уравнения плоскостей (А1BC) и (AA1E):

61 слайд

C (1; 0;0)

62 слайд

63 слайд

Ответ:

64 слайд

Тренировочная работа
Угол между двумя плоскостями

65 слайд

Диагностическая работа С2

66 слайд

67 слайд

68 слайд

Ответы к диагностической работе

69 слайд

Литература :



Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)



ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010
ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные
материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010.
Некоторые рисунки из ресурсов Интернета
Материалы с сайта репетитора по математике Павла Бердова- http://www.berdov.com/ege/solid_geometry/
Материалы с сайта учителя математики Савченко Е.М.- http://le-savchen.ucoz.ru/news/2012-07-15-24
Материалы учителя математики Ларькиной Г.А.- https://sites.google.com/site/larkinaga91/metodiceskaa-rabota/publika