Элективный курс по математике "Решение текстовых задач"

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа№47» г.Улан-Удэ

Учебная программа по элективному курсу

Составила:  Маркова Е.В.., учитель математики МОУ СОШ №47.

Обсуждена на МО учителей математики и физики МОУ СОШ №47и утверждена на метод.совете школы.

г.Улан-Удэ

2012 г.

Пояснительная записка

Программа составлена в соответствии с образовательными стандартами, с обязательным минимум образования по математике.

Данный курс предназначен для учащихся 9 классов, но возможно и его использование в 10-11 классе с целью повторения курса алгебры основной школы и подготовки к экзаменам (ЕГЭ). Курс рассчитан на 15 часов и апробирован в течение 3 лет.

При изучении математики в школе вообще и алгебра в частности следует учитывать, что математика в школе – это не наука, а учебный предмет. Поэтому для построения курса мы не используем строго научный подход: нет аксиоматики, не все утверждения требуют доказательства. Тем более, что текстовые задачи в школе решаются с первого класса, и у учащихся к 9-му классу накопился достаточный опыт решения таких задач. Однако экзамены показывают, что всё-таки текстовые задачи – «нелюбимая» тема многих. Ученики часто пытаются избежать решения таких заданий, и вместо этого выбирают  задания на «отвлечённые» темы:  уравнения и их системы, неравенства и их системы, исследование функций и пр. Хотя большинство задач, начиная с 7-го класса, решаются с помощью уравнений или систем уравнений. Очевидно, это происходит по нескольким причинам:

·     Неумение понять смысл задачи;

·     Неумение выделить главный вопрос задачи и частные вопросы;

·     Неумение определить тип задачи и соответственно алгоритм её решения.

·     Неумение построить математическую модель реальной ситуации.

Очень часто вызывают у учащихся затруднения задачи на работу, т.е. задачи, где определённо не обозначается объём работ, который должен выполнить объект. Так же задачи на проценты и так называемые сложные проценты бывают достаточно трудными для учащихся старших классов. Объём времени, выделенного на изучение такого типа задач, недостаточен: на тему «Проценты. Основные задачи на процентыедостаточен: "го типа задачя учащихся старших классов.  уравнений.х задачтва. атематика в школевки к экзаменам ()» в 5 классе (по учебнику Математика-5кл, Виленкин В.Я.) отводится 10 часов,  затем лишь изредка встречаются задачи в курсе 6, 7, 8 классов. На решение задач с помощью уравнений в 7 классе отводится 2-3 часа, решение задач с помощью систем уравнений – 3-4 часа; в 8 классе на решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений – 3-4 часа. Для устранения этих противоречий  предлагается данный элективный курс, основой которого является  преобладание практической деятельности учащихся.

Целью курса является – обобщение и систематизация способов и приёмов решения различных текстовых задач, углубление и расширение изученного ранее материала через рассмотрение более сложных задач.   Познакомить будущих выпускников с материалами ЕГЭ по математике, вступительных экзаменов ВУЗов соответствующего профиля.

Задачи курса:

научить учащихся ориентироваться в типах текстовых задач;

сформировать у школьников целостное представление о способах решения различных задач;

на примерах показать практическую значимость умения решать текстовые задачи;

накапливать опыт решения  различных текстовых задач.

Содержание курса включает:

·        Задачи на движение;

·        Задачи на работу;

·        Задачи на проценты;

·        Задачи на прогрессии;

·        Некоторые олимпиадные задачи.

Способы оценивания уровня достижений учащихся

Проверка достигаемых школьниками результатов производится в следующих формах:

текущий самоанализ, контроль и самооценка учащимися выполняемых заданий;

текущая диагностика и оценка учителем знаний и умений школьников в виде трёх проверочных самостоятельных работ.

 Итоговый контроль проводят в конце всего курса. Он организуется в форме теста, а с учащимися с признаками одаренности- в форме собеседования.

Система оценивания – рейтинговая: по окончании курса подводится итог по накопившимся баллам каждого ученика.

Учебно-тематический план курса.

Содержание курса.

Уроки 1, 2. Введение. Классификация задач. Задачи на движение. Основные формулы и способы решения задач на движение.

Цель урока: обобщить изученный ранее материал из курса алгебры 7-9 классов.

Учащиеся должны знать/понимать:

·              Формулы зависимости скорости, времени и расстояния.

·              Формулы зависимости этих величин при встречном движении, движении вдогонку, перпендикулярном направлении движения.

Учащиеся должны уметь:

Иллюстрировать задачу схемой;

Оформлять условие задачи в виде краткой записи или таблицы;

Составлять уравнения, неравенства или их системы по условию задачи.

Решать уравнения, неравенства и  их системы.

Анализировать полученный результат, делать проверку.

Составлять задачи данного типа.

Особенности изложения содержания темы уроков:

Задачи в школьном курсе математики в среднем и старшем звене занимают далеко не центральное место, хотя умение их решать хорошо демонстрирует уровень логического мышления ученика. Поэтому на первом уроке хорошо провести беседу с учащимися, почему многие «не любят» текстовые задачи. Привести примеры ошибок, наиболее часто встречающиеся при решении задач.   

Повторить формулы:

S=V*t,

S =(V₁ + V₂)t – для встречного движения и для движения в противоположные стороны.

S =(V₁  – V₂)t – для   движения в одну сторону.

Средняя скорость:  V_ср= S / t.

Движение по течению: V =V_собств+V_теч.

Движение против течения: V = V_собств – V_теч.

Приучать каждую задачу иллюстрировать рисунком, схемой или таблицей. Повторить способы решения задач арифметически, алгебраически, а также показать геометрический подход в решении задач. 

Практическая работа:

Задачи.

1.      Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми  5 км. Через 30 мин туристы встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый прибыл в пункт В на 25 мин позже , чем второй в пункт А. Определите скорость каждого туриста.

2.      Путь от пансионата до почты, который идёт сначала в гору, а потом под гору, пешеход прошёл за 1ч 40 мин, а обратный путь за 2 ч 20 мин. В гору он шёл со скоростью 3 км/ч, а под гору – 6 км/ч. Найдите расстояние от пансионата до почты.

3.      На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил  круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на один круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

4.      Две машины выехали одновременно из одного пункта и едут в одном направлении. Скорость первой машины 50 км/ч, а скорость второй на 20% больше. Через час из этого же пункта вслед за ними выехала третья машина, которая догнала вторую на 1ч 20 мин позже, чем первую. Найдите скорость третьей машины.

5.      Из пункта А в пункт В, который находится ниже по течению реки,  отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта В выходит катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идёт вниз по течению реки. Какую часть пути от А до В пройдёт плот к моменту возвращения катера  в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

6.      Поезд, идущий с постоянной скоростью из пункт А в пункт В, был задержан у семафора на 16 мин. Расстояние от семафора до пункта В равна 80 км. При каких значениях  первоначальной скорости поезд прибудет в пункт Б не позже запланированного срока, если после задержки он увеличил скорость на 10 км/ч.

Урок 3. Решение задач.

Практическая самостоятельная работа (тест).

1)    Катер проплыл по озеру на 5 км больше, чем по реке против течения, затратив на путь по реке на 15 мин больше, чем по озеру. Найдите расстояние, которое  проплыл катер по реке, если его скорость по озеру 10 км/ч, а по реке 8 км/ч. (1б)

а)     4

б)    -4

в)     -1

г)     -2.

2)    Дачник шёл от дачи до магазина просёлочной дорогой со скоростью  3 км/ч, причём на обратную дорогу он затратив на 8 мин меньше. Найдите путь, пройденный дачником до магазина и обратно, если лесная дорога на 2  км короче просёлочной. (1б)

а)     12 км.

б)    6 км,

в)     8 км,

г)     10 км.

3)    Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч. (1б)

а)     15 км/ч или 2 км/ч;

б)    16 км/ч;

в)     30 км/ч;

г)     Правильного ответа нет.

4)    Женя шёл по лесной дорожке к станции, но, не дойдя до неё 4 км, он сделал привал на 20 мин для сбора грибов. Чтобы успеть вовремя на электричку, ему после привала пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью первоначально шёл Женя? (2б)

а)     3 км/ч;

б)    4км/ч;

в)     5км/ч;

г)     6км/ч.

5)    (Запишите подробное решение задачи)  Из турбазы в одном направлении выходят три туриста с интервалом  в 30 мин. Первый турист идёт со скоростью 5 км/ч, второй – 4 км/ч. Третий турист догоняет второго , а ещё через 4 ч догоняет первого. Найдите скорость третьего туриста. (3б)

Уроки 4, 5. Решение задач на работу.

Цель урока: обобщить изученный ранее материал из курса алгебры 8-9 классов.

Учащиеся должны знать/понимать:

·              Формулы зависимости производительности и времени работы.

·              Алгоритм решения типичных задач.

Учащиеся должны уметь:

Оформлять условие задачи в виде краткой записи или таблицы;

Составлять уравнения, неравенства или их системы по условию задачи.

Решать уравнения, неравенства и  их системы.

Анализировать полученный результат, делать проверку.

Составлять задачи данного типа.

Особенности изложения содержания темы уроков:

Задачами на работу назовём задачи, в которых объём работ не уточняется. В таких задачах обычно вся работа берётся за единицу.   

Практическая работа:

Задачи.

1)    Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 часов. Если первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

2)    Два каменщика выложили стену за 14 дней. Причём второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому каменщику на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней, больше чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену каждый каменщик, работая отдельно?

3)    Три насоса, работая вместе, наполняют бак бензином за 1 ч. Производительности насосов относятся как 24:17:9. Сколько  процентов объёма бака будет заполнено за 1ч 30 мин совместной работы второго и третьего насосов.

4)    Две бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвёртая  бригады могут выполнить эту работу за 4 ч;   первая, третья и четвёртая – за 3 ч. Если же будут работать только первая и вторая, бригады, то вагон будет разгружен за 6 ч. За какое время могут разгрузить выгон все четыре бригады, работая вместе?

Самостоятельная работа.

1)    На двух копировальных машинах, работающих одновременно можно сделать копию пакета документов за 10 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине её можно сделать на 15 мин быстрее, чем на второй? (2б)

2)    Двум машинисткам поручено перепечатать рукопись. Сначала одна машинистка работала 7 дней, затем к ней присоединилась вторая, после чего они закончили работу через 8 дней. Известно, что первой машинистке потребовалось бы на выполнение всей работы на 7 дней меньше, чем второй. За какое время могла бы перепечатать эту рукопись каждая машинистка, работая отдельно. (3б)

Уроки 6, 7. Задачи на проценты, смеси и сплавы.

Цель урока: обобщить изученный ранее материал из курса математики 5-9 классов, учиться решать задачи более сложного уровня.

Учащиеся должны знать/понимать:

·              Определение процента.

·              Свойства пропорции.

Учащиеся должны уметь:

Находить процент от числа, и число по его проценту,

Переводить проценты в дроби и обратно;

Составлять уравнения, неравенства или их системы по условию задачи.

Решать уравнения, неравенства и  их системы.

Анализировать полученный результат, делать проверку.

Составлять задачи данного типа.

Особенности изложения содержания темы уроков:

Понятие процента вводится в школьном курсе ещё в начальной школе. Затем в 5 классе этот материал изучается вновь. В 6 классе при изучении темы «Пропорции» вводится новый способ решения таких задач. А в дальнейшем задачи на проценты встречаются очень редко. Задачи на смеси и сплавы ещё реже. При изучении данного материала следует повторить определение процента, перевод дроби в проценты и обратно, понятие «концентрация», свойства пропорции. Обсудить с учащимися ситуации, в которых эти знания пригодятся.  

Затем изучить формулу сложных процентов на примере задачи:

-       банк принимает вклады от населения. Процентная ставка составляет р%  годовых. На сколько рублей увеличится вклад  в а₀  руб через п лет.

Практическая работа:

Задачи.

1)     Банк принимает вклады от населения. Процентная ставка составляет 15%  годовых. На сколько рублей увеличится вклад  в 50 000  руб через 3 года.

2)     Работникам фирмы каждые 3 месяца прибавляют зарплату на 10%. Какая будет зарплата у работника к концу года, если в начале года он получал 10 тыс. руб.

3)     Пищевая уксусная кислота имеет концентрацию 70%. Сколько воды нужно добавить к 200 мл уксусной кислоты, чтобы получить 9%-ный столовый уксус?

4)     Входной билет в клуб стоил 200 руб. Сначала цену одного билета подняли на 25%, затем через некоторое время снизили на 25%. Какова стала новая цена входного билета?

5)     Клиент внёс 3000 р. на два вклада, один из которых даёт годовой доход 8%, а другой – 10%. Через год на двух счетах у него было 3260 руб. Какую сумму клиент внёс на каждый вклад?

6)     Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них  новый сплав, содержащий 50% меди?

7)     В двух сосудах находятся растворы соли, в первом – 70%, во втором – 46%. Из первого сосуда 1 л перелили во второй, затем обратно 1 л перелили из второго в первый. После этого концентрация соли в первом сосуде стала 68%. Сколько литров жидкости было во втором сосуде, если в первом было 10л.

Самостоятельная работа.

I вариант.

1)     Цена на товар повысилась в июне на 20%, в июле – на 30%, а в августе снова на 20%. На сколько процентов по сравнению с начальной ценой изменилась цена товара за лето? (ответ: на 87%)  (3б)

2)     Свежие грибы весят 10 кг и содержат 98% воды. После сушки грибы весят 2 кг. Сколько процентов воды содержится в грибах после сушки? (ответ: 90%) (2б)

3)     К 120 мг воды добавили 30 мг кислоты. Определите концентрацию полученного раствора кислоты. (1б)

4)     В пансионате в прошлом году отдыхало 1100 мужчин и женщин. В это году число отдыхающих мужчин уменьшилось на 20%, а число женщин увеличилось на 30%. Сколько мужчин и сколько женщин отдыхало в пансионате в этом году,  если известно, что всего в этом году отдыхало 1130 человек? (ответ 480 и 560)(2б)

II вариант.

1.      На аукционе одна картина была продана  с прибылью 20%, а другая – с прибылью 50%. Общая прибыль от продажи двух картин составила 30%. У какой картины первоначальная цена бала выше и во сколько раз? (ответ: первая картина была в 2 раза дороже второй) (3б)

2.      Влажность свежих грибов 90%, а сухих – 15%. Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг свежих? (2б)

3.      К 210 мг воды добавили 40 мг кислоты. Определите концентрацию полученного раствора кислоты. (1б)

4.      В городской думе заседало 60 депутатов, представляющих две партии. После выборов  число депутатов от первой партии увеличилось на 12 %, а от второй партии – уменьшилось на 20%. Сколько депутатов от каждой партии оказалось в городской думе после выборов, если всего было выбрано 56 депутатов? (2б)

Урок 8. Решение задач на проценты. Урок-игра

Цель урока: обобщить, закрепить изученный материал, учиться доказывать свою точку зрения, участвовать в обсуждении.

Учащиеся должны уметь:

·        Объяснять свою точку зрения, свой способ решения задачи.

Урок проводится в форме игры или соревнований команд. Все учащиеся делятся на 3-5 человек, чтобы получилось не более 4-5 команд. Учителю желательно устроить так, чтобы в каждой команде был «сильный» ученик. Затем каждой команде через жеребьёвку выдаются карточки с задачами (по 2) и команды предлагают друг другу свою задачу, составленную самостоятельно. Таким образом,  создаются условия для проявления более учащимися своих компетенций.  Команда решает задачу  и обсуждает своё решение в течение примерно 10-15 мин. Затем  проводится защита работы:  представитель команды, выбранный другими командами,  рассказывает, как решалась задача. Другие команды задают вопросы по решению. Оценивается правильность решения и активность других команд. Для удобства работы желательно использовать компьютерную технику: ПК, проектор, сканер (сканированную работу учащегося отобразить на экране). В конце урока подводятся итоги. Команда, набравшая наибольшее количество очков, получает грамоту «за лучшие успехи в решении задач на проценты». Очки, заработанные командой, засчитываются в рейтинг каждому учащемуся.

Задачи.

1.     Имеется 200 мл  9%-ного раствора уксусной кислоты. Сколько нужно добавить воды, чтобы получился 6%-ный раствор? (2б)

2.     Мастер и ученик изготовили в первый день  100 деталей. Во второй день мастер изготовил на 20% больше, а ученик на 10% больше, чем в первый день. Всего во второй день мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил мастер и сколько ученик в первый день? (2б) (ответ: 60 деталей и 40 деталей)

3.     На опытном поле под рожь отвели участок в 20 га, а под пшеницу – в 30 га. В прошлом году с обоих участков  собрали 2300 ц зерна. В этом году урожайность повысилась на 20%, а пшеницы на 30%, и поэтому собрали зерна на 610 ц больше, чем в прошлом году. Какой была урожайность каждой культуры в этом году? (ответ: 48 ц/га и 65 ц/га)

Литература

1.     Кузнецова Л.В., Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе, Москва, «Просвещение», 2009 г.

2.     Куланин Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике., Изд-во Айрис-пресс. 2002 г.

3.     Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. Изд-во Айрис-пресс. 1998г.

4.     Сборники  тренировочных заданий к ЕГЭ, «Просвещение», 2008, 2009, 2010 гг.

5.     ЕГЭ по математике, «Экзамен», 2008, 2009, 2010гг.

6.     Е.Е Вересова, Н.С.Денисова, Т.Н.Полякова. Практикум по решению математических задач. Москва, «Просвещение», 1979г.