Инфоурок Математика Другие методич. материалыДоклад на тему : Применение определенного интеграла.

Доклад на тему : Применение определенного интеграла.

Скачать материал

Введение

 

Элементы математического анализа занимают значительное место в области математики. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается.

Многие традиционные элементарные задачи (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений, и другие) эффективно решаются с помощью понятия интеграла. Вместе с тем нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории. Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. Применение интеграла дает, как правило, более эффективно решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата.

Методы математического анализа используются не только для решения поставленных задач, но и являются источником получения новых фактов элементарной математики.

Объектом исследования является интегральное исчисление функции одной переменной.

Предмет исследования определенный интеграл и его применение.

Целью выпускной квалификационной  работы является, изучение основных понятий интегрального исчисления и возможностей применения определенного интеграла при решении прикладных задач.

 

Задачи исследования:

1.                 Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.

2.                 Систематизировать и обобщить знания об определенном интеграле.

3.                 Показать возможности использования определенного интеграла  при решении прикладных задач.

         Гипотеза: применение определенного интеграла во многом облегчает решение прикладных задач геометрии, физики и других наук.

         Структура работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы. В первой главе рассмотрены исторические сведения об интеграле, его основные понятия и свойства. Во второй главе раскрыта основная цель квалификационной работы: применение определенного интеграла в механике, биологии, экономике и геометрии. Список литературы содержит 17 наименований. Объем работы 50 страниц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Определенный интеграл. Основные термины  и условия существования

 

1.1. Исторические сведения об интеграле

  Интеграл  (от лат. Integer – целый) – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

  Определение 1. Приращение  F(b)-F(a)  любой из первообразных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f  и обозначается Надпись: a, где функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:

   (1)      формула Ньютона-Лейбница.

  Определение 2.  Пусть функция f (X) задана в некотором про­межутке  [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ΔXi = X - X           (i = 0, 1,2, ..,n-1) обозна­чим через λ. Возьмем в каждом из частичных промежутков [X, X] по про­изволу точку X = ξ ; X ≤  ξ ≤  X (i = 0, 1, … , n-1) и составим сумму σ = f(ξ) ΔXι . Пусть I конечный предел данной суммы:  

I = σ.

         Конечный предел I суммы σ при называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается символом

I = f(x)dx

Рис. 1

 

 

В случае существования такого предела функция f (x) называется интегрируемой в промежутке [a, b]  (рис. 1).

Другими словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения.

Символ  введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция).

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок.408 - ок.355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.). Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести.

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544г. (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод –  метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f (x), которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме – нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками     Б. Кавальери (1598 – 1647) и Э. Торричелли (1608 -1647).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой, и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале 20 столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974), советским математиком А.Я.Хинчиным (1894 -1959 гг.).

 

1.2. Основные свойства определенного интеграла и

методы вычисления

 

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка [a, b] точкой      с  (a, b) на части [a, c] и [c, b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a, b] равно сумме ее значений, соответствующих [a, c] и [c,b]. Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Схема I базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками x= a, x, … ,x= b  разбить отрезок [a, b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьется на n “элементарных слагаемых”

Δ A(I = 1, … , n): A = ΔA + ΔA+ … + ΔA

2. Представить каждое “элементарное слагаемое” в виде произве­дения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычислен­ной в произвольной точке соответствующего отрезка, на его длину:

Δ Af(c) ΔX.При нахождении приближенного значения допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

A ≈ f(c) ΔX+ … + F(c)ΔX = f(c) ΔX

Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

A = f(c) ΔX = f(x)dx.

Указанный “метод сумм”, как видим, основан на представлении интегра­ла как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Первая схема  была применена для выяснения геометрического и физическо­го смысла определенного интеграла.

Схема II представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется “метод дифференциала” или “метод отбрасывания беско­нечно малых высших порядков”:

1) на отрезке [а, b] выбираем произвольное значение х и рассматри­ваем переменный отрезок [a; x]. На этом отрезке величина A становится функцией x: А-А(x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(x), где x т.е.  [а, b] один из параметров величи­ны А;

2) находим главную часть приращения ΔA при изменении x на малую величину Δx; = dх, т. е. находим дифференциал dA функции A=А(x):dA -  f(x)dx, где f(x) определяемая из условия задачи, функция пере­менной x  (возможны различные упрощения);

3) считая, что dА ≈ ΔA при Δx 0, находим искомую величину путем интегрирования dA  в пределах от а до b:   A(b) = A = f(x)dx.

Условия существования определенного интеграла:

1. Интегрируемая функция необходимо ограничена.

Если бы функция f(x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то при любом разбиении промежутка на части она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки  можно было бы сделать f(), а с ней и сумму , сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для  существовать не могло бы.

2. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было (S - s) = 0,  

s = m ,    S = M ,   где m и M - точные нижние и верхние грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.

Пример. Интеграла   не существует, поскольку отрезок интегрирования [-5;-2] не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными);  - такого интеграла тоже не существует, так как в точках http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image032.gif, http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image034.gif отрезка [-2;3] не существует тангенса.

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1.     Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:     

2.     Если f(x)=1, то   

 Действительно, так как f(x)=1, то

3.     При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Для доказательства составим интегральные суммы. Они будут отличаться только знаком за счет : слева >0, справа <0. Значит, в пределе получится нужное равенство.

4.     Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

  

Доказательство:

 =

 

5.     Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.

 

Доказательство:

6. (Аддитивность определенного интеграла). Если существуют интегралы и  то существует также интеграл  и для любых чисел a, b, c;  

Доказательство:

Пусть а < с < b и функция f (x) неотрицательна на [a,b]. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла есть площади соответствующих криволинейных трапеций. Тогда при сделанных предположениях имеем равенство между площадями S = S 1 + S 2.

                       

7.  Если f(x) ≥ 0 [a; b], то   a < b.

8. Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) [a; b], то  a >b. Обе части неравенства можно проинтегрировать, при этом смысл неравенства остаётся прежним.

9. (Об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то   

  a < b.

Доказательство: Предварительно вычислим с помощью интегральной суммы

По условию  

Проинтегрируем данное неравенство, используя свойство 8:

 .

Затем, используя свойство 4 и только что полученный результат, имеем

 

Подставляя их в предыдущее неравенство, получим нужное неравенство.

10.  (Теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

 т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

Доказательство:

По свойству функций, непрерывных на отрезке  достигает своего наименьшего   и наибольшего значений и принимает все промежуточные значения между и: .

 В силу свойства 9, предположив, что a<b , имеем

Обозначим  тогда

По свойству непрерывных функций найдется значение  такое, что ,

Следовательно, из равенства     получим нужное соотношение.

Методы вычисления определенного интеграла.

       До сих пор мы рассматривали свойства определенного интеграла с постоянными пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы              x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться.

       Интеграл вида:  x є [a; b], называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.

1. Теорема: Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

                  - Формула Ньютона-Лейбница.

       Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.  

2.  Замена переменной. Этот метод, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема: Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1; t2], причем  φ([t1;t2])=[a;b] и φ(t1)=a, φ(t2)=b,

то справедлива формула:  

Доказательство:  Пусть F(x) первообразная f(x), то есть Fl(x)=f(x). Тогда, по формуле Ньютона-Лейбница

 Покажем, что F [φ(t)]- первообразная f [φ(t)] φl(t).

 

по формуле Ньютона-Лейбница

 ч.т.д.

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u(x) и v(x)-дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]:  С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница  

Следовательно, формула принимает вид:

       Метод замены переменной и интегрирование по частям являются самыми распространенными при решении определенного интеграла, но не единственными.

       При вычисление определенных интегралов нередко приходится пользоваться таблицей интегралов (таблица 1).

 

Таблица 1.

Интегрируемая функция

Формула

1

  Степенная функция

 

 
     частные случаи

,

2

Показательная функция

 
      частный случай

3

 

Рациональные функции

4

Иррациональные функции

5

Тригонометрические функции

 

6

  Содержит тригонометрические функции

 

       Универсальная подстановка:

 ; .

Пример 1. Вычислить определенный интеграл   http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image052.gif.

Решение:
http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image054.gif

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем с помощью формулы http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image056.gif.

Появившуюся константу http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image058.gif целесообразно отделить от http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image060.gif и вынести за скобку. (3)Используем формулу Ньютона-Лейбница

http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image062.gif.

Сначала подставляем в http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image060_0000.gif верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

 

Пример 2. Вычислить определенный интеграл    http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image067.gif

Решение:
 http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image077.gif

Пример 3. Вычислить определенный интеграл       http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image129.gif

Решение:
http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image131.gif

Интегрируем по частям:

http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image137.gif

http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image148.gif

Проверка:

 http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image151.gif

применение формулы Ньютона-Лейбница


http://ip-77-95-18-232.hosting.undns.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image153.gif

Пример 4. Вычислить .

Решение:

Пример 5. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Решение:

       Определенный интеграл -  это предел интегральных сумм или точнее число. Свойства и методы вычисления определенного интеграла тесно взаимодействуют. Универсальных методов численного интегрирования не существует, каждый из них отличается степенью сложности, точности и особенностями применения.    

 

 

Глава II. Применение определенного интеграла

при решении прикладных задач

 

2.1. Применение определенного интеграла в геометрии

1. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Прямоугольные координаты. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f (x), где a  ≤ xb (рис. 2).

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю. Применим схему I (метод сумм).

1.Точками X= a, X, … , X=b (X ≤ X≤ … ≤ X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки        M= A, M ,…, M= B на кривой AB.

Проведем хорды MM, MM,…, MM, длины которых обозначим соответственно через ΔLL,…, ΔL.

Рис.  2

 

 

Получим ломанную MMM … MM, длина, которой равна                 L =  ΔL+ ΔL+ … + ΔL =  ΔL.

2.Длину хорды (или звена ломанной) ΔL можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX и ΔY:

ΔL = , где ΔX = X - X, ΔY = f(X) – f(X).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY = (C) ΔX, где C  (X, X). Поэтому ΔL =  =  ,

а длина всей ломанной MMM … MM равна

L = ΔL = .  Длина кривой AB, по определению, равна L = L =  ΔL. Заметим, что при ΔL  0 также и ΔX 0 (ΔL =  и следовательно | ΔX | < ΔL). Функция  непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L= ΔL=, кода  max ΔX 0:

L =  = dx.

Таким образом, L = dx.

Пример 1. Найти длину окружности радиуса R. (рис. 3).

Решение:  Найдем ¼ часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = ,

  ¼L =  dx = R arcsin = R .

Значит L = 2R

 

  

Полярные координаты

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(),  . Предположим, что r() и r() непрерывны на отрезке []. Если в равенствах x = rcos, y = rsin, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически ,  тогда         

 Поэтому  =  =

 

Применяя формулу L = , получаем  L =

Пример 2. Найти длину кардиоиды r = a(1 + cos).

Рис 4

 
Решение: Кардиоида r = a(1 +cos) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину (рис. 4) длины кардиоиды:

½ L =  =

a  = a  =

2a cos d = 4a sin = 4a.

 

2. Вычисление объема тела.

Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом.

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Пусть требуется найти объем V тела (рис. 5), причем известны площади  сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на­пример оси Ox: S = S(x), a x b.

Применим схему II (метод дифференциала).

1.Через произвольную точку x  [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю­щейся при изменении x. Через v(x) обозна­чим объем части тела, лежащее левее плос­кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

     2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой  

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который при­ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой      dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3.Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b

V = S(x) dx

Формула объема тела по площади параллельных сечений

Пример 3. Найти объем эллипсоида  (рис. 6).

Рис. 6

 
Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью,             

 

параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a x b.), получим эллипс

Площадь этого эллипса равна S(x) = bc(1 - ). Поэтому, по формуле имеем V = bc(1 - )dx = abc.

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х b и прямыми х = а и

х = b (рис. 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно, S(x)=y. Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площади параллельных сечений, получаем V = ydx. Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой

V = S(x) dx, равен  V =xdy.

Пример 4. Найти объем тела, образован­ного вращением фигуры, ограниченной линия­ми у = , x = 0, у = 2 вокруг оси Оу.

Решение: По формуле V =xdy находим:

V = 2ydy = y = 8.

Пример 5. Найти объем тела, которое будет получено при вращении около оси абсцисс криволинейной трапеции у=1-х2, у=0.

Решение: Объем тела вычисляется по формуле V=(x)dx. Найдем промежуток интегрирования 1-х2=0, имеем х1=1 и х2=-1. Поэтому V=++= куб.ед.

 

3. Вычисление площади поверхности вращения.

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥  0, где            х  [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис. 8). Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку х  [а; b] проведем плос­кость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пере­секает поверхность вращения по окружности с радиусом у  -  f(х). Величина S поверхности части фи­гуры вращения, лежащей левее плоскости, является функ­цией от х, т. е. s = s(х)

      (s(а) = 0 и s(b) = S).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх  [а; b] также проведем плоскость, перпендику­лярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде “пояска”.

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образо­ванную между сечениями фигуру усеченным конусом, об­разующая которого равна dl, а радиусы оснований рав­ны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds =  (у + у + dу) • d1 = 2ydl + dydl. Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds = 2уdl, или, так как d1  = dx.

1.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

S= 2ydx.

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), tt t, то формула для площади поверхности вращения принимает вид

S = 2dt.

Пример 6. Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = , -RxR, вокруг оси Ox. По формуле S= 2ydx  находим  S = 2 =

 

4. Вычисление площадей плоских фигур.

Прямоугольные координаты 

Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если  f(х )≥0 на [а; b] то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу  Если же f(x) ≤ 0 на [а; b] то        f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой:

                               или  

Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b] надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соот­ветствует.

 

Пример 7. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2, прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис. 9) .

Решение: Пользуясь формулой , нахо­дим искомую площадь S =

Пример 8. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абс­цисс при условии  (рис. 10).

Решение: Разбиваем сег­мент [0; ] на два сегмента [0; ] и [; 2]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором       sinx ≤ 0. Следовательно, ис­пользуя формулы  и  , имеем, что искомая площадь

Полярные координаты.

 Пусть требует­ся определить площадь сектора ОАВ, ограниченного лу­чами  = ,  =  и кривой АВ (рис. 11), заданной в полярной системе координат уравнением r = r (), где r () — функция, непрерывная на сегменте [; ].

Разобьем отрезок [; ] на п частей точками

 = о<1 < ...<  < =  и положим: Δ =  —  k = 1, 2, ..., n. Наи­большую из этих разностей обозначим через : = max Δ.

 Разо­бьем данный сектор на п частей лучами   =  (k=1, 2, ..., п — 1). Заменим k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r(), где .

Тогда сумма  - приближенно площадь сектора OAB. Отсюда:

Пример 9. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой      г = a(1+соs) (рис. 12).

Решение: Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, по формуле  получаем:

 

 

2.2. Применение определенного интеграла в физике

1. Работа переменной силы.

Определенный интеграл широко применяется при решении различных физических задач. С помощью определенного интеграла можно вычислять: путь, пройденный материальной точкой, если известна скорость движения; работу переменной силы; силу давления жидкости на плоскую фигуру; статические моменты и координаты центра масс плоской кривой и плоской фигуры; вычислить кинетическую и потенциальную энергию тела в поле сил и т.д.

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей­ствием переменной силы F=F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения       х = а в положение х = b (а <bЬ), находится по формуле: A =

Пример 1.  Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, про­порциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растяги­вает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000х.

Искомая работа на основании формулы A =  равна

A =

Пример 2. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резер­вуара высоты Н м и радиусом основания R м (рис. 13).

Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.

1.Работа, затрачиваемая на выкачивание из резер­вуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х Н), есть функция от х, т. Е. А = А(х),

 где  (0 ≤ х Н)( A(0) = 0, A(H) =  А0).

 2. Находим главную часть приращения ΔA при из­менении х на величину Δх = dx, т. Е. находим диффе­ренциал dА функции А(х).

Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где    dр-вес этого слоя; он равен  g АV, где g-ускорение свободногопадения, -плотность жидкости, dv -объем “элементарного” слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. Е. dр = g. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , где dx-высота цилиндра (слоя), -площадь его основания, т. Е. dv = .

Таким образом, dр = . И

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим

                                        A

 

2. Путь, пройденный телом.

Пример 3. Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной ско­ростью v =v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t до t2.

Решение: Из физического смысла производной известно, что при дви­жении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения

равна производной от пути по времени”, т. Е. v(t) = . Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t до t,

получаем S =

Пример 4. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от на­чала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

S =

 

3. Давление жидкости на вертикальную пластинку.

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а вы­сотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. Е. Р =g, где gускорение свободного падения,  — плотность жидкости, S — площадь пластинки, hглубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глу­бинах.

Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная ли­ниями х = а, х = b, y и y. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. Е. р = р(х) — да­вление на часть пластины, соответствующее от­резку [а; b] значений переменной х, где х  [a; b] (р(a) = 0, р(b) = Р).

 

Рис 14

 
2. Дадим аргументу х приращение Δx = dх. Функция р(х) получит приращение Δр (на рис.14 - полоска-слой толщины dх). Найдем диффе­ренциал dр этой функции. Ввиду малости dх бу­дем приближенно считать полоску прямоуголь­ником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. Е. пластинка эта — горизонталь­ная.

Тогда по закону Паскаля dр =.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим

P =   или P =

Пример 5. Определить величину давле­ния воды на полукруг, вертикально погружен­ный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (рис. 15).

Решение: Воспользуемся полученной форму­лой для нахождения давления жидкости на вер­тикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями у = -, y, x = 0, x = R.

P =

 

 

4. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой.

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек М), М22;y), … , M(x;y) соответственное массами m,m, … , m.

Статическим моментом SХ системы материальных точек относи­тельно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т.е. на расстояния этих точек от оси Ох):

  Аналогично определяется статистический момент S этой системы относительно оси Oy: S= .

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кри­вой, то для выражения статического момента понадобится интегрирова­ние. Пусть у =f(х) (aх b) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью  ( = const).

Для произвольного х  [а;b] на кривой АВ найдется точка с коорди­натами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содер­жащий точку (х; у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dS (“элементарный момент”) будет равен , т.е. .

Отсюда следует, что статический момент SХ кри­вой АВ относительно оси Ох равен   Аналогично находим S:

Статические моменты SХ и SУ  кривой позволя­ют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен ста­тическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обо­значим через С(хс; ус) центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства  и  или  и .

Отсюда ,    или                       

Пример 6. Найти центр тяжести однородной дуги окружности x + y= R2, расположенной в первой координатной четверти (рис. 16).

Решение: Очевидно, длина указанной окружности равна , т.е. . Найдем статистический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть  и ,

то ()

.

 Стало быть,

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то хс= ус =

 Итак, центр тяжести имеет координаты (;).

5. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры.

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограничен кривой у = f(х) ≥  0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис. 17).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна ( = const). Тогда масса всей пластинки равна  т. Е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна . Центр тяжести  прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка  отстоит от оси Ох на ½y, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ½Δx ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения  

и

Следовательно,    По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(x;y), что  .

Отсюда    и  

или       x,.

Пример 7. Найдем координаты центра тяжести полукруга  ( = const) (рис. 18).

Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что . Площадь полукруга равна . Находим Sx:    

   

  Стало быть,         

    

Итак, центр тяжести имеет координаты С (0;).

Пример 8. Пирамида Хеопса представляет собой правильную четырехугольную пирамиду высотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 232м. Она построена из камня, плотность которого 2,5г/см3.  Найти работу против силы тяжести, затраченную при постройке.

Решение: Проведем вертикально вверх ось х с началом у основания пирамиды. По этой оси будем измерять высоту подъема камней.  Пусть высота пирамиды равна  Н,  сторона основания  а, а плотность камня  . Обозначим  через А(х) работу, которую надо совершить для постройки пирамиды от основания до высоты  х. Найдем сначала сторону   у квадрата, получающегося в горизонтальном сечении пирамиды на высоте х.  из подобия треугольников получаем 

Рассмотрим тонкий слой пирамиды, расположенный на расстоянии  х от основания.  Пусть толщина слоя равна  dx.  Слой можно приблизительно считать параллелепипедом.  Масса его  dm   равна:  .

При подъеме этого слоя на высоту  х  была проделана работа  dA, равная (gdm)x, где     g-  ускорение силы тяжести, т.е.

Отсюда   =

Подставляя числовые данные   а=232м,  Н=147м,

получаем  А=2,37*1012 Дж=2,4*105  тонно-километров.

Пример 9. Экспериментально установлено, что зависимость расхода бензина автомобиля от скорости на 100км пути выражается по формуле:                 Q=18 – 0,3v+0,003v2,    где   Определить средний расход бензина, если скорость движения  50-60км/час.

Решение: Средний расход бензина составляет :

 

2.3. Применение определенного интеграла  в биологии

1.  Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су­ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини­цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, уста­новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по­пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша­тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень­шаясь или увеличиваясь.

Если известна скорость роста популяции, то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функ­ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз­ной для v (t). Поэтому

N(t) – N(t) = .

Известно,   что   в   условиях   неограниченных   ресурсов   питания

скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае. Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:

                     N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

По формуле, N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e) подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.

 

 

2. Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть  означает возраст в тех или иных единицах времени, а N ()-число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P ()-средняя масса особи возраста , а М () - био­масса всех особей в возрасте от 0 до .

Заметив, что произведение N() P () равно биомассе всех осо­бей возраста , рассмотрим разность

M( + Δ) – M(),

где Δ>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо­бей в возрасте от  до  + Δ, удовлетворяет неравенствам:

N () Р ( ≤ M ( + Δ) – M () ≤ N()P(,

где N () Р () - наименьшее, а - N()P() - наибольшее значения функции N () Р () на отрезке [, + Δ]. Учитывая, что Δ>0, из неравенств  N () Р ( ≤ M ( + Δ) – M () ≤ N()P(,

имеем:

N () Р () ≤ N()P()

Из  непрерывности  функции   N () Р ()   (ее  непрерывность  следует из непрерывности N ()  и Р () ) следует, что

[N () Р ()] =  [N()P()] = N () Р ()

Поэтому будем иметь:

 = N () Р ()

Или   = N () Р ()

Следовательно, биомасса М () является перво­образной для N () Р (). Отсюда:  M(T) – M(0) =  N () Р ()dt

где Т — максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:

М(Т)=  N () Р ()dt

3. Средняя длина пролета.

В некоторых исследованиях необхо­димо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. При­ведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.

 Птица может под любым углом в любой точке пересечь окруж­ность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2Я (рис. 19). Нас интересует средняя длина пролета. Так как круг симметричен относительно любого своего диамет­ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле­тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу.       Тогда средняя длина пролета — это среднее расстоя­ние между дугами АСВ и АСВ. Иными словами, это среднее зна­чение функции f(х) — f(х), где у = f(х)- уравнение верхней дуги, а у = f2(х) -уравнение нижней дуги, т. е.

L =                 или                     L = .

Так как     равен площади криволинейной трапеции аАСВb),  

равен площади криволинейной трапеции аАСВb, то их разность равна площади круга, т. е. R2. Разность b — а равна, очевидно, 2R. Подставив это в    L =   ,  получим:  L =  = R.

Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии.

 

2.4. Применение определенного интеграла в экономике

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые  предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную f'x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут за­даваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функ­цию издержек по данной функции предельных издержек.

При прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей сложных фигур. Приведем соответствующий пример, для решения которого используется определенный интеграл.

Пример 1. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски.

Решение: Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центре корабля, а ось x вдоль палубы (рис. 20). Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол.

 

Общее уравнение параболы имеет вид.

Так как точки (-40;0), (40;0), (0;10) принадлежат параболе, то решением системы уравнений

http://www.sspi.ru/dir/_nau/incon_2/moi_5_clip_image014.gif,

являются следующие числа: а =-, b=0, с=10. Таким образом, уравнение искомой параболы имеет вид  у=.

Площадь половинки палубы корабля равна

http://www.sspi.ru/dir/_nau/incon_2/moi_5_clip_image022.gif

Для окраски половины палубы необходимо 0,25 S = http://www.sspi.ru/dir/_nau/incon_2/moi_5_clip_image026.gif(кг) краски. Поэтому для покраски всей палубы потребуется

20,25S=2http://www.sspi.ru/dir/_nau/incon_2/moi_5_clip_image030.gif 266,7 (кг).

Пример 2.  Дана функция предельных издержек МС = Зq248q + 202,       1 ≤ q ≤ 20. Найти функцию издержек С = С(q) и вычис­лить издержки в случае производства 10 единиц товара, если из­вестно, что издержки для производства первой единицы товара со­ставили 50 руб.

Решение: Функцию издержек находим интегрированием:

C(q ) = , где константа Со находится из данного условия С( 1) = 50, так что С0 = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, полу­чим функцию издержек  C(q) = q. Подставляя q = 10 в полученную формулу, находим искомое значение  С(10) = 670.

Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение  дисконтированной стоимости денежного потока.

Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени                    t = 1, 2, 3, …задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:

R(1)(1 + p), R(2)(1 + p), R(3)(1 + p), … .

Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:  

П = ,  где п - общее число периодов времени.

В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 ≤ t Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денеж­ного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения ве­личины П изменим формулу

 П = . А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П = , примет следую­щий вид:   П = .

Пример 3. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение: Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2 будет выражаться формулой:

 

В нашем случае

V =http://www.mathelp.spb.ru/book1/integ_econ.files/image004.gif = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

Пример 4. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t2 +20t +5  (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока.

Решение: По формуле П =  имеем  П = .

Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:

s = -0,05tt = -20sdt = -20ds.

При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s = 0, s  = -1. Имеем

            П = -20(- 400s2 – 400s + 5)e = 20  (- 400s2 – 400s +5)eds.

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая и = -400s - 400s + 5, dи = (-800s - 400)ds, dv = eds, v= е. Поэтому

            П = 20 ((-400s2 - 400s + 5)е + е(800s + 400)ds .

В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко вто­рому слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем

П = 20 (5 – 5e + (800s + 400)e800eds) =

= 20(5 - - 1 +400 + (800 - 400)e   - 1 - 800 + 800е - 1) =

= 20(1195е- 1 -395).

Окончательно получим П = 892 (млрд руб.).

 

Далее рассмотрим  модель экономического роста, предложенную Е.Д. Домаром. Основные допущения этой модели сформулированы ниже.

1 . Всякое изменение величины скорости денежного потока I(t) влияет как на совокупный спрос, так и на изменение объема производства.

2. Скорость изменения величины спроса Y(t) пропорциональна производной скорости денежного потока с коэффициентом пропорциональности K = 1/s, где s - предельная величина накопления. Это предположение можно записать в виде уравнения

                                                

3 Экономический потенциал к (т.е. величина стоимости товара -которые можно произвести) пропорционален объему оборот-' средств  К с  коэффициентом   пропорциональности  р,  k = рК. Дифференцируя по t, получим

.

В модели Домара предполагается, что весь экономический по­тенциал полностью используется, иными словами, У =  к. Диффе­ренцируя по t, получим

                                                 .

Подставляя   и   в , имеем   = pI, .

Чтобы найти функцию I(t) из уравнения  = pI, , проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим

, или ln|I(t)| = pst,

Откуда ln|I| = ln|I(0)| + pst. Потенцируя последнее равенство, получим окончательное выражение для I(t):

I(t) = I(0)e, где I(0) – это скорость денежного потока в начальный момент времени.

Таким образом, для того чтобы поддерживать равновесие между объемом производимых благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью согласно формуле:    I (t) = I (0)e

         Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю. Интегральное исчисление используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка (разница между той денежной суммой, за которую производитель был бы готов продать 100 единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже этого количества товара), определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений (задача дисконтирования). И это далеко не полный список приложений. Определённый интеграл является не только мощным средством решения прикладных экономических задач, но и универсальным языком всей экономической теории, создает новые возможности для экономических исследований.

 

 

Заключение

 

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является интегральное исчисление.

Рассмотренные в данной выпускной работе примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости определенного интеграла. Так в процессе выполнения были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики, решаемые с помощью определенного интеграла. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список задач, которые используют интегральный метод, но даже они показывают широкое применение этого метода при решении реальных прикладных задач. Всё это подчеркивает значимость и актуальность выполненной работы, и позволяет считать, что цель работы достигнута.

Выпускная квалификационная работа позволила автору глубже понять и систематизировать знания об определенном интеграле и возможностях его применения в различных областях науки. Рассмотренный материал работы может быть использован для проведения учебных занятий и элективных курсов в 11-х классах общеобразовательных школ, а также полезен студентам физико-математических и технических профилей, изучающим раздел «Интегральное исчисление».

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1.     Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1993. – 319 с.

2.     Бермант А.Ф., Араманович И.Г.  Краткий курс математического анализа для втузов. – М.: Наука, 1971. –  736 с.

3.     Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – СПб.: Высшая школа, 2009. – 496 с.

4.     Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: учебное пособие. -М.: Инфра - М, 2000.- 208 с.

5.     Красс М.C Основы математики и ее приложения в экономическом образовании.- М.: Наука, 2001. - 154 с.

6.      Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебное пособие для экон.спец.вузов. -М.: Юнити-Дана,2008.- 478 с.

7.     Липатникова И.Г., Поторочина К.С. Определенный интеграл.- Екатеренбург,2007. – 184 с.

8.     Ляпунова М.Г. Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики: Учебно-методическое пособие./ Благовещенск,     2000. – 44 с.

9.     Пискунов Н.С.  Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов, том 2 -М.: Наука, 1985.- 560 с. 

10. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике – M.: Айрис – пресс, 2006. – 288 c.

11. Смирнов В.И. Курс высшей математики том 1,2.- М: Наука, 1967.

12. Солодовников А.С., Бабайцев В.А. Математика в экономике. M.: Финансы и статистика, 2005. – 560 c.

13. Толмачев В.Н. Высшая математика: сборник задач и вопросов для самостоятельной работы - Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ,2004.-49 с.

14. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, том 1.- СПб, Лань, 2001. -  422 с.

15.  Фихтенгольц Г.М Основы математического анализа, том 2.- СПб, Лань, 2001.– 464 с.

16.  Хавинсон С.Я. Лекции по интегральному исчислению. – М: Высшая школа, 1976. - 256 с.

17.  Шипачёв В.С. Высшая математика - М: Наука, 2003. – 684 c.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Доклад на тему : Применение определенного интеграла."

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Шеф-повар

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Применение определеного интеграла в физике, экономике, биологии, экономике.

 

Определенный интеграл,

 

Ты мне ночами начал сниться,

 

Когда тебя впервые брал,

 

Я ощутил твои границы.

 

И ограниченность твоя

 

Мне придавала больше силы.

 

С тобой бороться должен я,

 

Но должен победить красиво!

 

Какое счастие познал

 

Я в выборе первообразной,

 

Как долго я ее искал,

 

Как мне далась она не сразу.

 

Замен и подстановок ряд

 

Привел к решению задачи.

 

Ты побежден! Ты мною взят!

 

Да и могло ли быть иначе…

 

 

 

 

 

 

 

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 995 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 19.12.2014 23929
    • DOCX 2.4 мбайт
    • 439 скачиваний
    • Рейтинг: 3 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Мельникова Алена Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Мельникова Алена Сергеевна
    Мельникова Алена Сергеевна
    • На сайте: 8 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 24063
    • Всего материалов: 1

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

Бухгалтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Реализация межпредметных связей при обучении математике в системе основного и среднего общего образования

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 22 человека из 15 регионов

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 27 регионов

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 24 регионов

Мини-курс

Эффективное продвижение и организация проектов в сфере искусства

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Детско-родительские отношения: эмоциональный аспект

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 15 регионов

Мини-курс

Развитие дошкольного мышления

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе