- 10.12.2020
- 215
- 0
ФГБОУ ВО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»
Факультет физико-математический
Реферат
на
тему: Алгоритмы
построения поверхностей по аналитическому уравнению
Реферат выполнила
студентка 5 курса группы МДМ-114____________А.В. Федорова
Реферат проверила ______________________Т. В. Кормилицына
Саранск 2019
Поверхностью второго порядка называется геометрическая фигура, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
При этом предполагается, что по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.
Любая плоскость пересекает поверхность второго порядка по кривой второго порядка (включая их вырожденные случаи). Различают шесть типов поверхностей второго порядка:
1. эллипсоиды;
2. сфера;
3. гиперболоиды;
4. параболоиды;
5. конусы;
6. цилиндры.
ЭЛЛИПСОИДЫ
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
Это равенство называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a,b и c называются полуосями эллипсоида, положительные числа.
Эллипсоид может быть получен
равномерным сжатием или растяжением сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных
осей. Говоря иначе, уравнение эллипсоида получается из уравнения сферы
масштабным преобразованием 
Если какие-либо две оси эллипсоида одинаковы, то эллипсоид называют сфероидом.
В этом случае эллипсоид является
телом, образованным вращением половины дуги эллипса вокруг оси, соединяющей
концы этой дуги. Пусть, например, 
. Тогда
эллипсоид
–
образован
вращением верхней половины дуги эллипса, вокруг оси 0x – эллипсоид вращения. Он получен вращением эллипса 
вокруг
оси 
.
Эллипсоидом называют как поверхность, так и тело, ограниченное данной поверхностью. Тело задаётся неравенством
и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:
Происхождение термина «эллипсоид»: если поверхность «разрезать» координатными
плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае) эллипса.
В зависимости от значений 
эллипсоид
может быть вытянут вдоль любой оси, причём вытянут достаточно далеко.
Задача 1.
Построить эллипсоид 
. Записать
уравнение порождающего эллипса и ось, вокруг которой осуществляется его
вращение.
Решение: данный эллипсоид получен
вращением эллипса 
(плоскость 
) вокруг оси 
:
Примечание: также можно
считать, что вращается эллипс 
, лежащий в плоскости
В случае равенства всех
полуосей 
, эллипсоид
вырождается в сферу.
СФЕРА
Сфера представляет собой геометрическое место точек пространства, равноудалённых от некоторой точки, называемой центром сферы. В декартовой системе координат сфера описывается уравнением
Где 
координаты центра сферы; R
– радиус сферы.
Сфера является телом, образованным вращением полуокружности вокруг своего диаметра.
Если центр сферы расположен в начале декартовой системы координат, то уравнение этой поверхности имеет вид
и называется каноническим уравнением
сферы, а соответствующая система координат называется канонической.
– данное
уравнение задаёт сферу с центром в начале координат радиуса 
.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Неравенство
определяет шар с
центром в начале координат радиуса . И, соответственно,
противоположному условию 
удовлетворяют
координаты любой внешней точки.
Задача 2.
Построить поверхность 
. Найти
функции, задающие верхнюю и нижнюю полусферу, указать их области определения.
Записать аналитическое выражение шара, ограниченного данной сферой и проверить,
принадлежат ли ему точки 
Решение: уравнение 
задаёт
сферу с центром в начале координат радиуса 2. Здесь, как и в примерах с
параболическими цилиндрами, выгодно уменьшить масштаб чертежа:
Выразим z:
–
функция, задающая верхнюю полусферу;
–
функция, задающая нижнюю полусферу.
Областью определения каждой функции
является круг 
с
центром в начале координат радиуса 2 (проекция полусфер на плоскость 
).
Неравенство 
определяет
шар с центром в начале координат радиуса 2. Подставим координаты точек в
данное неравенство:
1) 
Получено неверное неравенство, следовательно, точка D лежит вне шара.
2) 
Получено верное неравенство, значит, точка F принадлежит шару, а конкретнее – его границе (сфере).
ГИПЕРБОЛОИДЫ
Гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат описывается одним из уравнений:
Величины a,b,c называются полуосями гиперболоида.
Однополостный гиперболоид 
.
Двухполостный гиперболоид 
.
Отметим, что
• однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением прямой вокруг некоторой скрещивающейся с ней прямой;
• двухполостный гиперболоид вращения является геометрическим местом точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами гиперболоида, есть величина постоянная.
Ниже (в разделе про цилиндрические поверхности будет подробно описан гиперболический цилиндр).
ПАРАБОЛОИДЫ
Параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат описывается одним из уравнений:
Параболоид представляет собой незамкнутую нецентральную поверхность (не имеющую центра симметрии).
Если p=q,
то параболоид называется круговым и является телом вращения, образованным
вращением одной ветви параболы 
вокруг оси Oz.
Каноничный эллиптический параболоид в
прямоугольной системе задаётся уравнением 
. Данная
поверхность выглядит бесконечной чашей:
Название «эллиптический параболоид»
тоже произошло из результатов исследования сечений. В горизонтальных сечениях
плоскостями 
получаются
различные эллипсы:
, в частности, при 
эллипс вырождается в
точку (начало координат), которая называется вершиной эллиптического
параболоида.
А вертикальные сечения плоскостями,
параллельными оси ,
представляют собой различные параболы. Например, сечение координатной
плоскостью :
– парабола, лежащая в
плоскости .
Или сечение плоскостью :
– парабола, лежащая в
плоскости .
Отсюда и эллиптический параболоид.
На практике обычно встречается
упрощенная версия поверхности с горизонтальными сечениями – окружностями. Перепишем каноническое
уравнение в прикладном функциональном виде:
–
характерным признаком функции, как и в ситуации с конусом, является равенство
коэффициентов при 
.
Задача 3.
Построить поверхность 
.
Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть эллиптического
параболоида.
Решение: используем ту же методику, что и
при построении конической поверхности. Рассмотрим какое-нибудь не очень большое
значение z, здесь удобно выбрать 
, и найдём
сечение эллиптического параболоида этой плоскостью:
–
окружность радиуса 2.
Теперь на высоте изобразим
данную окружность и аккуратно соединим её с вершиной (началом координат) двумя
параболами. В результате получится такая вот симпатичная чашка:
Рассматриваемый частный случай
параболоида с горизонтальными сечениями-окружностями также называют параболоидом
вращения, поскольку его можно получить вращением параболы вокруг оси
С неравенствами ничего нового.
Нетрудно догадаться, что неравенство 
или, если
развернуть запись в более привычном порядке, 
определяет
множество точек внутри чаши (т.к. неравенство строгое, то сама
поверхность не входит в решение). И, соответственно, неравенство 
задаёт
множество внешних точек.
На практике часто встречается
эллиптический параболоид вида 
, который
выглядит точно так же, но мигрировал вершиной в точку 
.
Задача 4.
Построить
эллиптический параболоид 
Решение: вершина параболоида
находится в точке 
. Выполним
чертёж:
Если один из коэффициентов p или q равен нулю, то параболоид называется цилиндрическим.
КОНУСЫ
Каноническое уравнение конуса второго порядка можно представить в виде
В этом случае точка O(0,0,0) является вершиной конуса, а ось 0z – осью конуса.
Перепишем уравнение в виде 
и исследуем
сечения конуса плоскостями 
, параллельными
плоскости .
Подставим 
в
уравнение конической поверхности:
Очевидно, что случаю 
соответствует
уравнение 
, задающее пару
мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой
пересечения в начале координат. Данная точка называется вершиной
конуса.
Если же 
, то
уравнение 
задаёт эллипсы
различных размеров, причём из последнего уравнения хорошо видно, что с
увеличением абсолютных
значений C полуоси эллипсов
неограниченно возрастают. Таким образом, коническая поверхность бесконечна:
Если коническую поверхность «разрезать» произвольной плоскостью
(которая
проходит через ось ),
то в сечении получатся две пересекающиеся в начале координат прямые. Множество
таких сечений, собственно, и образует коническую поверхность.
Каждая из этих прямых называется образующей конуса.
На практике почти всегда приходится работать конусом
вращения, в котором сечения плоскостями представляют
собой окружности. И во многих практических задачах
типичен следующий «опознавательный» вид уравнения:
– с z в левой части и равными коэффициенты при 
и 
.
Как многие догадались,
функция 
задаёт
верхнюю часть конуса, а функция 
– его
нижнюю часть.
Задача 5.
Построить поверхность 
Решение: уравнение имеет вид и
определяет половину конуса, располагающуюся в верхнем полупространстве. Вершина
конической поверхности, понятно, расположена в начале координат, но как
построить всё остальное?
Возведём обе части исходного
уравнения в квадрат:
Далее выберем небольшое положительное
значение z, например 
, и найдём
линию пересечения этой плоскости с нашей поверхностью:
–
окружность радиуса 
.
Пояснение: подставили
в 1-е уравнение.
Теперь на высоте изобразим
окружность 
и аккуратно
проведём 4 образующие конуса:
Образующие, в принципе, можно было продолжить и выше плоскости .
Не забываем, что уравнение задаёт
только верхнюю часть поверхности и поэтому никаких «хвостиков» в нижнем
полупространстве быть не должно.
Задача 6.
Построить коническую поверхность 
. Записать
неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть конуса.
Решение: сечения конуса плоскостями 
представляют
собой окружности 
. Выполним
чертёж:
Неравенство 
задаёт
множество точек, находящихся внутри конуса; неравенство 
задаёт
множество внешних точек.
Цилиндры
Примечание: в ряде источников информации под цилиндром понимается исключительно геометрическое тело, а не поверхность.
Если направляющая цилиндрической поверхности задается кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.
Эллиптической цилиндр: 
Задача 7.
Построить поверхность, заданную
уравнением 
Вроде как дано каноническое уравнение эллипса…
Нет, здесь не опечатка и все дела
происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же
методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в
виде 
, из которого
следует, что z принимает любые значения.
Зафиксируем 
и
построим в плоскости эллипс . Так как z принимает все значения,
то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что
поверхность бесконечна:
Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром.
Эллипс (на
любой высоте) называется направляющей цилиндра, а
параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра
(которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью
симметрии поверхности (но не её частью!).
Координаты любой точки, принадлежащей
данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .
Пространственное неравенство 
задаёт
«внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и,
соответственно, противоположное неравенство 
определяет множество
точек вне цилиндра.
В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность:
Задача 8.
Построить поверхность, заданную
уравнением 
Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».
Сначала удобно построить окружность
радиуса 
в
плоскости 
, а затем ещё
пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра)
аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.
Координаты любой точки, принадлежащей
данному цилиндру, удовлетворяют уравнению 
. Координаты
любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству 
, а
неравенство 
задаёт
множество точек внешней части.
Параболический цилиндр: 
Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола.
Задача 9.
Построить поверхность 
и найти её
проекции на координатные плоскости.
Не мог удержаться от этого примера =)
Решение: идём проторенной тропой. Перепишем
уравнение в виде 
, из которого
следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и
построим обычную параболу на
плоскости ,
предварительно отметив тривиальные опорные точки 
. Поскольку «зет»
принимает все значения, то построенная парабола
непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же
параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно
соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Проекции
1) Проекцией цилиндра на
плоскость является
парабола . Следует
отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области
определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение
цилиндра не
приводимо к функциональному виду 
.
2) Проекция цилиндра на
плоскость представляет
собой полуплоскость 
, включая
ось
3) И, наконец, проекцией цилиндра на
плоскость является
вся плоскость .
Задача 10.
Построить параболические цилиндры:
а) 
, ограничиться
фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;
б) 
на
промежутке 
В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами.
Чертежи:
Гиперболический цилиндр: 
Направляющими таких цилиндров
являются гиперболы. Этот тип поверхностей, по
моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я
ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра 
:
Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная
гипербола из
плоскости непрерывно
«размножается» вверх и вниз до бесконечности.
Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 656 962 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Галсанова Баярма Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.