Муниципальное
бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия №25» города Курска
Дидактический
материал по теме:
"Показательные
уравнения"
(математика,
10 класс)
Жиленкова
Н.Н.
учитель
математики и информатики,
высшая квалификационная
категория
Пояснительная
записка
В
различных теоретических и практических исследованиях часто приходится
сталкиваться с необходимостью решения показательных уравнений. Поэтому изучению
методов их решения должно быть уделено значительное внимание.
Показательные уравнения, изучаемые в старшей школе, осваиваются
учащимися хуже, так как на их рассмотрение отводится незначительное количество
часов, а при их решении ученику необходимо владеть комплексом умений,
полученных в основной школе, а также новыми знаниями, связанными с каждым из
новых видов уравнений. Такого объема упражнений, который обычно предлагается в
учебниках по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов, явно недостаточно
для формирования умения решать показательные уравнения. Восполнить этот пробел
помогут данные дидактические материалы.
В дидактических материалах предоставлены теоретические
материалы по теме «Показательные уравнения», рассмотрены методы решения уравнений,
предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и
умений. Это пособие поможет подготовиться к ЕГЭ по математике.
Цель работы направлена на обучение решения показательных уравнений
стандартного вида. При подготовке к ЕГЭ эти задачи входят в группы А и В.
Работа состоит из
двух частей: теоретической и практической. Это позволяет быстро и легко изучить
теоретический материал и отработать его на практике. Главная задача работы
заключается в том, чтобы объяснение было доступно каждому ученику независимо от
его успеваемости в школе.
Данные
дидактические материалы можно использовать, как в школе, так и для
индивидуального обучения, а также для тех, кто хочет углубить свои знания по
теме «Показательные уравнения». Теория написана доступным языком даже для тех,
кто плохо усваивает учебный материал. Практические задачи подобраны так, чтобы
начать с самых простейших уравнений и закончить более сложными.
Предлагаемое пособие состоит из трёх блоков. В первом блоке рассмотрен краткий
теоретический материал, способствующий более эффективному развитию навыков
решения уравнений и неравенств. Во втором блоке рассмотрены решения типовых
примеров. В третьем блоке предложены задания для самостоятельной работы
(тренажёр, тесты, индивидуальные задания).
Данные
дидактические материалы создают условия для открытия новых знаний: методов
решения показательных уравнений, формирования умений и навыков правильно
определять и применять эти методы при решении конкретных показательных
уравнений.
Они способствуют
развитию моторной и смысловой памяти, умений анализировать, сравнивать,
отбирать теоретический материал, умений отбирать ключевые задачи по теме и
методы их решения. Так же они способствуют становлению информационной
компетенции (работа со справочником, дополнительной литературой).
Теоретический материал и задания данных дидактических материалов построены в
соответствии с требованиями государственного стандарта, на основе материалов
учебника и дополнительных сведений из области дидактики. Материалы могут
использоваться при прохождении соответствующей темы по любому из ныне принятых
стандартных учебников.
Блок
1: «Показательные уравнения»
1. Уравнение-это равенство, содержащее неизвестную величину, значение
которой нужно найти.
2. Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором
равенство не теряет смысла.
3. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней
нет.
4. Функция, заданная формулой у = ах (где а > 0, а≠ 1),
называется показательной функцией с основанием а.
D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).
E (y) = R+ (область значений – все положительные
числа).
При а > 1, функция возрастает.
При 0 < а < 1, функция убывает.
Определение 1. Показательным уравнением называется
уравнение, содержащее переменную в показателе степени.
Например: 
.
Определение 2. Простейшим показательным уравнением
называется уравнение вида:
|
 .
|
|
При решении
показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного
уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть
уравнений вида: 1) af(x) = ag(x) или 2) af(x)
= b.
Очевидно, что уравнение
типа 2 сводится к уравнению типа 1 с помощью основного
логарифмического тождества: 3 af(x)=  .
Уравнение (1)
равносильно уравнению f(x) = g(x) при
а > 0, а ¹ 1.
Этот переход называется
потенцированием.
|
|
Блок 2: «Виды показательных уравнени и способы
их решения»
|
|
1вид: уравнения, решаемые приведением к одному
основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней:
|
Определения
и свойства степени
|
Примеры
|
|
Определения:
1) a 1 = а (а
 R)
2) а n = а ∙ а ∙... a (а R, n N, n  0) 3) а 0=1
(а0, аR)
4) а -n =  (а0, а с
R, n N)
5)  =  (n N, m Q, а
>0)
|
(-1,7в)1 = -1,7в
(-1,7в)3 = (-1,7в) (-1,7в)
(-1,7в) = -4,913
(—1,7 в)0=1, если в 0
(—0,25) -3 =  = (-4)3 = 64
 =  =  = = 8
|
|
Свойства:
|
Примеры
|
|
- ах · ау = ах+у
- (ах)у = аху
- ах : ау = ах-у
- ах · bх = (аb)х
- =
|
m1,5 ∙ m-2 = m1,5+(-2)= m-0,5
l,53х.1,5 -0,5х= 1,52,5х
 =(0,25)-2
= 42 = 16
(5х)2 = 52х =
(52)х = 25х
m1,5 : m-2 = m1,5-(-2)= m3,5
l,53х : 1,5 -0,5х=
1,53,5х
32х · 52х = (3∙5)2х
=152х
 =34=81
|
а)  .
Проверка:  ;
 ;
 =;
Ответ: х = ;
б)  .
Решение:  ;
 ;
 ;
 ;  ;  ;
(х+5)(х–3)=(х+25)(х–7);
х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10.
Проверка: х=10.  ;   ;  ;
 ;  =– верно.
Ответ: х=10;
в)  .
Решение:  ;
 ;
 ;
 ;
 ;
x=1.
Проверка:  ;
 ;
 =–
верно.
Ответ: х=1;
г)  .
Решение:  ;
½3х–4½=4х–4,
для х ³ имеем
½3х–4½=3х–4 и тогда
уравнение запишем в виде
3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х <имеем ½3х–4½=4–3х и уравнение запишем в виде 4–3х=4х–4; –7х=–8; х= .
Проверка: х=0.  ;  ;  – не верно.
х=.  ;  ;   –
верно.
Ответ: х=.
2 вид
– уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени,
или уравнения, сводящиеся к ним. Такие уравнения решаются методом
подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi
и потом решаем простейшее уравнение ax= yi.
Пример: а)  .
Решение:  .
Обозначаем:  = y;
3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2= .
Получаем: 1. =3;  ;  ; х1=2.
2. =;  ;  ; х2=–2.
Проверка: 1.  ; 3×9–10×3+3=0 – верно.
2.  ;  ;  – верно.
Ответ: х=2;
х=–2;
б)  .
Решение:  .
Пусть 4х=y, y2+12y–64=0,
y1,2=–6± =–6±10,
y1=4; y2=–16
(п.к.), т.к. 4х > 0, 4х=4
Þ х=1.
Проверка:  ;
16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно.
Ответ: х=1;
в)  .
Решение:  ,
 .
Пусть  ,  , ,
 ,
 ;  ;  ;  ;  ;  ;
x=20.
Проверка: x=20.  ,  – верно.
Ответ: х=20.
г)  .
Решение:  . Пусть  ; тогда уравнение запишем
в виде  ; y1,2=2 ; y1=3
и y2=1;  или  ; x2–1=1; x2–1=0;
x= ;
x= ±1.
Проверка: x= ;  ; 9–12+3=0 – верно;
х= ±1;  ;
1–4+3=0 – верно.
Ответ: x=; х=±1.
3 вид
– уравнения, решаемые методом вынесения общего множителя за скобки:
а)  .
Решение:  ;
 ;
 ;
 ;  ;  ; х=0.
Проверка:  ;
 ;
0,992=0,992 – верно.
Ответ: х=0;
б)  .
Решение:  ;
 ;
 ;  ; х=0.
Проверка:  ;
49–1+2–2=48; 48=48 – верно.
Ответ: х=0;
в)  .
Решение:  ;
 ;
 ;  ;  ; ;
х=2.
Проверка:  ;
 ;
2–8+3=–3;
–3=–3 – верно.
Ответ: х=2.
4 вид –
уравнения вида  решаются путем деления членов на  или  .
а)  .
Решение: Делим на  .
 ;  .
Положим  ,
тогда имеем  ;  . Решаем это уравнение и
получаем y1=1, y2= . следовательно:  ;  .
Проверка: х=0;  ; 3+2=5 – верно;
х= ;  ; 12+18=30 – верно.
Ответ: х=0;
х=.
б)  .
Решение:  ;
 .
Разделим обе части данного уравнения на  .  ;  .
Пусть  , тогда уравнение примет вид:  ;  ,  ;  ;  ;
 ;  .
Проверка:  ;
 .
Делим на  .
 ;  ;  ;
6=6 – верно;
 ;
 .
Делим на  ;
 ;  ; 6=6 – верно.
Ответ: ; .
|
Блок
3: Задания для самостоятельной работы
1)Тренажёр
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5. 
6.
.
7.
8.
9.
10.
11.
.
12.
.
13.
,
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
18. 
19. 
20. 
21.
22.
23. 
.
24. 
.
-
2)Тест
1
вариант
1.Указать промежуток, которому принадлежит
корень уравнения (
)
=125.
1. 
;
2.
;
3.
;
4.
.
2. Указать промежуток, которому принадлежит
корень уравнения 3
.
1.
;
2.(-2;-1);
3. 
;
4.(1;2)
3. Указать промежуток, которому принадлежит
корень уравнения 5
1.
;
2.(-1;1);
3. 
;
4.(-2;0).
4. Решите уравнение. В ответе укажите
меньший корень 
.
5. Решите уравнение 7x5
.
6. Решите уравнение 
7. Решите уравнение 6
.
8. Указать промежуток, которому принадлежит
корень уравнения 5
.
1.
;
2. 
;
3.
;
4.
.
9. Решите уравнение 3
10. Решите уравнение 3
2 вариант
1. Указать
промежуток, которому принадлежит корень уравнения 4
.
1. (-5;-2);
2. (1;2);
3. ;
4. 
.
2.Указать промежуток, которому принадлежит
корень уравнения 0,3
.
1. (-1;0);
2. (0;1);
3. (1;2);
4. (2;3).
3. Указать меньший корень уравнения 10
1. 5 2. 1
3. -1 4. 0.
4. Решить уравнение 
5. Решить уравнение 3
6. Решить уравнение 
7. Решить уравнение 
8. Решите уравнение и выберите правильный
ответ: 5.
1. 1 2. ±2 3. нет решений 4. ±5
9. Решите уравнение 
10. Решите уравнение 2x4
-5=0.
3) Задания для индивидуальной работы
Индивидуальная
работа № 1
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
|
Вариант 5
|
Вариант 6
|
Вариант 7
|
Вариант 8
|
|
Вариант 9
|
Вариант 10
|
Вариант 11
|
Вариант 12
|
Индивидуальная
работа № 2
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
|
Вариант 5
|
Вариант 6
|
|
Вариант 7
|
Вариант 8
|
|
Вариант 9
|
Вариант 10
|
|
Вариант 11
|
Вариант 12
|
Индивидуальная
работа № 3
|
Вариант 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
Вариант 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
|
Вариант 3
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9.
10. 
|
Вариант 4
1.
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9.  
10.
|
При разработке дидактических материалов
использованы ресурсы сети Интернет:
http://www.korolewa-ow.narod.ru/sist_ind.htm
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.