Числа Фибоначчи и золотое сечение

Вступление.

Человек стремится к знаниям, пытается изучить Мир, который его окружает. В процессе наблюдений появляются многочисленные вопросы, на которые, соответственно, требуется найти ответы. Человек ищет эти ответы, а находя их, появляются другие вопросы.

Сегодня, в век высоких технологий, изучение ведётся не только на нашей планете Земля, но и за её пределами – во Вселенной.

Но это не значит, что на Земле всё изучено, а наоборот, остаётся огромное количество непонятных и необъяснимых явлений. Но есть «ответы», которые дают объяснение сразу нескольким таким явлениям.

Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.

Актуальность исследования.

На мой взгляд в настоящие дни уделяется мало внимания математическим теоремам и фактам, известным из истории развития науки. На примере чисел Фибоначчи я покажу насколько они могут глобальны и широко применимы не только в математике, но и в повседневной жизни.

• Объект  исследования:  
•   человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека,   окружающий растительный  и животный  мир.
• Предмет  исследования:
• форма и строение исследуемых предметов и явлений.
• Цель исследования:

изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ним закона золотого сечения   в строении живых и неживых объектов, найти примеры использования чисел Фибоначчи.

• Задачи работы:    
• Описать способ построения ряда и спирали Фибоначчи.
• Увидеть математические закономерности,  в строении человека, растительного мира и неживой природы  с точки зрения  ряда чисел Фибоначчи. 
• Новизна  исследования:
• Открытие чисел Фибоначчи    в окружающей нас  действительности.
• Практическая  значимость:
• Использование  приобретенных знаний и навыков исследовательской работы   при изучении других дисциплин.  

Введение.

    «Числа управляют миром!  Число – это сила, царящая над богами и смертными!» - так говорили ещё древние  пифагорейцы. Актуальна  ли в наши дни эта основа учения Пифагора?   Изучая в школе науку чисел, нам  хочется убедиться в том, что действительно, явления всей Вселенной подчинены определенным числовым соотношениям,   найти  эту невидимую  связь между математикой и жизнью! 

Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи.

Однажды, он ломал голову над решением одной математической задачи. Он пытался создать формулу, описывающую последовательность  размножения кроликов.

   Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих:

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Числа, образующие  данную последовательность  называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

Числовая последовательность Фибоначчи имеет много интересных свойств.

Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи.

Например, число 0.618 представляет собой постоянный коэффициент в так называемом золотом сечении , где любой отрезок делится таким образом, что соотношение между его меньшей и большей частью равно соотношению между большей частью и всем отрезком. Таким образом, число 0.618 известно еще как золотой коэффициент или золотая середина. Такого типа пропорцию можно встретить практически везде.

Золотой коэффициент используется природой для построения ее частей, начиная от больших и заканчивая малыми. Современная наука считает, что Вселенная развивается по так называемой золотой спирали, которая строится именно с помощью золотого коэффициента. Эта спираль в буквальном смысле не имеет конца и начала.

Самое важное заключается в том, что с помощью всех этих, в каком-то роде мистических, чисел, описываются разнородные процессы во Вселенной.

Числовой ряд, носящий сегодня его имя, вырос из проблемы с кроликами, которую Фибоначчи изложил в своей книге «Liber abacci», написанной в 1202 году:

Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр.

Известный  как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что 1) каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а

2) отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф.

3) Сумма чисел Фибоначчи с нечётными номерами равна следующему числу с четным номером a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=a_2n

4) Сумма чисел Фибоначчи с чётными номерами равна следующему четному числу без единицы:

a₂+ a₄+a₆+ …+ a_2n=a_2n+1-1

5) Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи равна произведению n-го и следующего за ним члена.

a₁²+ a₂²+a₃²+…+ a_n²= a_n•a_n+1

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

У этой последовательности есть ряд математических особенностей,

К чему всё это? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы.  Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение, которое не уступает по значимости теореме Пифагора.

Все окружающие нас предметы мы различаем в том числе и по форме. Какие-то нам нравятся больше, какие-то меньше, Иногда интерес может быть продиктован жизненной ситуацией, а порой красотой наблюдаемого объекта. Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.

Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.

Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим не что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно, то же самое можно увидеть и в треугольнике

Ряд Фибоначчи – это не только математическая загадка, мы встречаемся с ним каждый день в повседневной жизни:

Растения и животные.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Везде проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно.

Спиралью закручивается ураган. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».
Ящерица живородящая.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Пирамиды. Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Ключ к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что 1) пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.
Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии.

Космос. Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы
Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Эти факты – свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Рост человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения.

 Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Мною были проведены  измерения студентов групп АИС-31 в прошлом году и Про-21 в этом году. Полученные результаты подтверждают пропорцию золотого сечения.

Развитие человека также происходит соответственно данной пропорции и подчиняется закону ее чисел, разделяя нашу жизнь на этапы с теми или иными доминантами механизма творчества.

Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет:

Как вы думаете, что это за ряд чисел? 

0 1  2  3  5  8  13   21    34   55

0 — начало отсчета — ребенок родился. Он — начало новой жизни, новой гармонии;

1 — ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение;

2 — понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями;

3 — действует посредством слова, задает вопросы;

5 — «возраст грации» — гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребенку охватить мир во всей его целостности;

8 — на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии жизни;

13 — начинает работать механизм таланта,

21 — механизм творчества приблизился к состоянию гармонии и делаются попытки выполнять талантливую работу;

34 — гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе;

55 — в этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом. И так далее...

Что же такое засечки «Чисел Фибоначчи»? Они могут быть сравнимы с плотинами на жизненном пути. Эти плотины ожидают каждого из нас.

                                                       Заключение.

Самим творцом во все объекты

Заложен уникальный код,

И тот, кто дружен с математикой,

Его познает и поймёт!

  Мы изучили и проанализировали  проявление чисел последовательности Фибоначчи в окружающей нас действительности. Также мы узнали,  что закономерности этого числового ряда, проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.

     Мы  обнаружили   удивительную  математическую связь между  числом спиралей у растений и  числами в последовательности  Фибоначчи. Также мы увидели строгую математику в строении человека. Молекула ДНК человека, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа, строение уха, - всё подчиняется определённым числовым соотношениям.   Наша жизнь делится на этапы по кол-ву прожитых лет, подчиненных ряду ЧФ

Мы узнали, что сосновые шишки, раковины улиток, волны океана, облака циклона и галактики – все они образуют логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму, когда сжимается.

Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остаётся тем же самым: коэффициент 1,618! Возможно,  это первостепенный закон, управляющий природными явлениями.

Таким образом, наша  гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию,   подтверждается.

Действительно, всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

Мы убедились, что  у Природы  есть свои законы, выраженные с помощью математики.  И математика – это очень важный инструмент для познания тайн природы.

Вывод:

В наших исследованиях мы увидели, что в  окружающих  нас растениях, живых организмах  и даже в строении  человека  проявляют себя числа  из последовательности  Фибоначчи,   что отражает  гармоничность их строения.

Сосновая шишка, тысячелистник, комар,   человек  устроены  с математической точностью.

В наше время золотое сечение используется в практической деятельности людей, оно нашло широкое научное применение в математике, технике, музыке, эстетике и пр.

И помните, что Фибоначчи — легендарная личность в математике, экономике и финансах; он обнародовал Арабские числа и представил магический ряд чисел.