Аналитическое решение уравнений и их систем в пакетах символьной математики

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Реферат
  по дисциплине «Информационные технологии в математике» на тему:
  Аналитическое решение уравнений и их систем в пакетах символьной математики
  Преподаватель Т.В. Кормилицына
  Студентка: Какушкина З.Р.
  

• 

  2 слайд

  Maple
  Аналитическое решение дифференциальных уравнений
  Общее решение дифференциальных уравнений.
  Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options),где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y''+y=xзаписывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.
  
  

• 

  3 слайд

  Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.
  
  

• 

  4 слайд

  Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).
  
  

• 

  5 слайд

  Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командойrhs(%).
  
  

• 

  6 слайд

  Задание 4.
  Найти общее и одно частное решение системы: 
  > eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2,
  2*x-3*y-11*z-15*t=1}:
  > s:=solve(eq,{x,y,z});
  s:={ 𝐳=− 𝟏𝟏 𝟖 𝒕 , y=y , 𝒙= 𝟑 𝟐 y - 𝟏 𝟏𝟔 𝒕+ 𝟏 𝟐 }
  Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs:
  > subs({y=1,t=1},s);
  { 𝒛= −𝟏𝟏 𝟖 , 𝒙= 𝟑𝟏 𝟏𝟔  , 1=1}
  
  

• 

  7 слайд

  
  Решить матричное уравнение: АX=В; где   , 
  > A:=matrix([[1,2],[3,4]]):
  > B:=matrix([[3,5],[5,9]]):
  > X:=linsolve(A,B);
  
  Дана матрица  A.
  Найти ее ранг, дефект: d(A)=n–r(A), где n – размерность квадратной матрицы, r – ее ранг. Найти ядро А. Наберите:
  > A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):
  > r(A):=rank(A);
  r(A):=2
  > d(A):=rowdim(A)-r(A);
  d(A):=1
  > k(A):=kernel(A);
  k(A):={[- 1,1,2]}
  

• 

  8 слайд

  Задание 1.2.
  Найти фундаментальную систему решений дифференциального
  уравнения: y(4)+2y''+y=0.
  > de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;
  
  
  de:=
  
  
  > dsolve(de, y(x), output=basis); [cos(x),sin(x),xcos(x), xsin(x)]
  
   
  http://www.exponenta.ru/educat/systemat/savotchenko/6_1.asp
  

• 

  9 слайд

  
  Решение задачи Коши или краевой задачи.
  Команда dsolve может найти решение задачи Коши или краевой задачи, если помимо дифференциального уравнения задать начальные или краевые условия
  для неизвестной функции. Для обозначения производных в начальных или краевых условиях используется дифференциальный оператор D, например, условие y''(0)=2 следует записать в виде (D@@2)(y)(0)=2, или условие y'(1)=0: D(y)(1)=0.
  Напомним, что производная n-го порядка записывается в виде (D@@n)(y).
  
  
  

• 

  10 слайд

  Mathcad
  Аналитические вычисления в Mathcad
  С помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные решения уравнений и систем, вычисляют в производные и неопределенные интегралы, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить результат в виде некоторой функции. В программе Mathcad при проведении символьных преобразований конкретные значения, присвоенные переменным, игнорируются – переменные рассматриваются как неопределенные параметры.
  
  

• 

  11 слайд

  Рис. 1.16
  

• 

  12 слайд

• 

  13 слайд

  Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Символика (Symbolics) и продублированы на аналогичной панели инструментов.
  Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Символика > Упростить (Symbolics > Simplify). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Символика > Раскрыть/Расширить (Symbolics > Expand).
  
  

• 

  14 слайд

  В меню Символика (Symbolics) предусмотрен ряд операций, ориентированных на выделенную переменную, использованную в выражении. Например, команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением. В примере в аналитической форме получены все корни полинома второй степени: сначала применена команда solve для решения, а затем simplify для упрощения результата:
  
  

• 

  15 слайд

  Другие возможности использования этого меню включают:
  аналитическое дифференцирование и интегрирование: Символика > Переменная > Дифференцировать (Symbolics > Variable > Differentiate) и Символика > Переменная > Интегрировать (Symbolics > Variable > Integrate);
  
  
  
  

• 

  16 слайд

  замена переменной: Символика > Переменная > Подставить (Symbolics > Variable > Substitute) – вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;
  
  

• 

  17 слайд

  Механизм аналитических вычислений можно использовать для аналитического решения уравнений и систем уравнений и неравенств. Для этого задается блок решения Given, в который помещаются уравния и неравенства, а последняя формула блока должна выглядеть как
  Find(х,у,...) ,
  где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо:
  
  

• 

  18 слайд

  Отметим, что функция Find пытается найти решение в аналитической форме. В том случае, если до блока Given задать численно значения всех параметров, входящих в уравнения, а также начальные приближения для корней, то получим решение в числовом виде.
  Примеры использования функции Find для решения уравнений и систем уравнений различного типа приведены в соответствующих разделах пособия.
  Любое аналитическое вычисление можно применить с помощью ключевого слова. Cписок ключевых слов 
  http://eco.sutd.ru/mathcad/docs/mathcad/symbolic.htm
  
  

• 

  19 слайд

  MATLAB
  Решение систем дифференциальных уравнений в символьном виде в системе MATLAB
  Для решения дифференциальных уравнений в форме Коши MatLAB имеет функцию dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, …), которая возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Они задаются равенствами eqni(вначале задаются уравнения, затем начальные условия).
  По умолчанию независимой переменной считается ‘t’ . Можно использовать и другую переменную, включив ее в конец списка параметров функции dsolve. Символ D обозначает производную по независимой переменной, то есть d/dt, при этом D2 означает d^2/dt^2 и т.д.
  Начальные условия задаются в виде равенств ‘y(a) = b’ или ‘Dy(a) = b’, где y - независимая переменная, a и b – константы. Если число начальных условий меньше, чем число дифференциальных уравнений, то в решений будут присутствовать произвольные постоянные С1, С2 и т.д. Вывод осуществляется в виде массива записей.
  http://www.exponenta.ru/soft/matlab/stud7/1_5.asp
   
  
  

• 

  20 слайд

  Пример решения задачи
  Обратите внимание, что уравнение, которое требуется решить, задано как  
  строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное  
  (символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double 
  (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve 
  может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB 
  потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и  
  фактически синтаксис решения уравнения х2 - Зх = -7 будет выглядеть так:
  

• 

  21 слайд

  Ответ представляет собой точное (символьное) решение (3 + корень(19i))/2  
  (сложные числа, где буква i в ответе ставится для мнимой единицы V-1). Для  
  получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы  
  отобразить больше знаков. 
  

• 

  22 слайд

  С помощью команды solve можно решать высокоуровневые полиномиальные 
  (многочленные) уравнения, равно как и многие другие типы уравнений. Можно 
  также решать уравнения, содержащие более чем одну переменную. Если  
  уравнений меньше, чем переменных, вам следует определить (как строки), какую  
  переменную (переменные) требуется вычислить. Например, введите solve ( '2*х - log (у) = 1', 'у'), чтобы решить уравнение 2х - log у = 1 для  
  переменной у при условии х. Подобным образом вы можете определить более чем 
  одно уравнение.
  

• 

  23 слайд

  Например:
  

• 

  24 слайд

  Mathematica
  Примеры из математического анализа
  Разумеется, роль систем символьной математики далеко не исчерпывается приведенными выше примерами. Эти системы способны преобразовывать сложнейшие алгебраические выражения, находить аналитические решения сложных систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, манипулировать со степенными многочленами, вычислять производные и интегралы, анализировать функции, находить их пределы и т. д. Это видно уже из примеров, представленных на рис. 1.6 .
  
  

• 

  25 слайд

  Рис. 1. 6 . Примеры вычислений из области математического анализа
  

• 

  26 слайд

  В этих примерах функция D (как приятное исключение из правил, обозначенная одной буквой) вычисляет производную, функция Integrate — интеграл, функция Solve решает нелинейное уравнение (в данном случае квадратное), а функция Series разлагает выражение в ряд относительно заданной переменной и при заданных начальном значении переменной и максимальной степени ряда. В фигурных скобках задаются списки некоторых входных и выходных параметров (аргументов).
  

• 

  27 слайд

  Системы символьной математики являются справочниками по многим специальным функциям. При этом они способны давать результаты вычислений в виде специальных функций, что демонстрируют следующие примеры:
  
  

• 

  28 слайд

  Здесь специальные функции получаются в результате вычисления суммы, символьного интегрирования и решения в аналитическом виде дифференциального уравнения. Соответствующие функции будут более подробно описаны в дальнейшем. Обратите внимание на то, что эти примеры даны прямо в тексте книги. Мы будем часто использовать такой прием для представления небольших примеров.
  
  

• 

  29 слайд

  Приведем примеры решения дифференциальных уравнений:
  DSolve [Derivative [1] [у] [х] ==2*а*х^3, у[х], х]
  {{у[х]->aх4/2+С[1]}}
  DSolve[{yl' [х] == 2 х2, у2' [х] == 3 х}, {yl[х], у2[х]}, х]
  {{yl[x] ->-2х3/3+C[1], у2[х] ->3х2/2+C[2]}}
  DSo2ve{y'[x] +у[х] ==х, у[х], х}
  {{у[х] -*-1+х + е-хС[1]}}
  DSolve [у" [х] - у' [х] - 6 у [х] == 0, у [х] , х] {{У[х] ->| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]}}
  DSolve [у" [х] + 4 у'[х] == 10 Sin [2 х] , у [х] , х]
  {{У[х] ->| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]}}
  DSolve[y'[x] == Sin[Ex] , y[x] , x]
  {{y[x] ->C[1] +Sinlntegral[ex]}}
  DSolvefz2 w"[z] +zw'[z] - (z2 + l)w[z] ==0, w[z], z]
  {{w[z] ->BesselI[l, z] C[l] +BesselK[l, z] C[2] }}
  
  

• 

  30 слайд

  Как нетрудно заметить, аналитические решения дифференциальных уравнений могут содержать не только элементарные, но и специальные математические функции, что заметно расширяет возможности применения системы Mathematica в решении задач динамического моделирования.
  http://lib.qrz.ru/book/export/html/10482
  
  

• 

  31 слайд

  Спасибо за внимание!
  

• 

  32 слайд

• 

  33 слайд

• 

  34 слайд

• 

  35 слайд

• 

  36 слайд

• 

  37 слайд

• 

  38 слайд

• 

  39 слайд