ГАПОУ ПО ПЕНЗЕНСКИЙ МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ
ОТДЕЛЕНИЕ ТРАНСПОРТА И ДОРОЖНОГО ХОЗЯЙСТВА
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
по математике
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Преподаватель: Полянская А.И.
2015г.
1.Решения задач, когда все элементарные события
равновероятны: .
Умения
|
Алгоритм действий
|
Решения задач,
когда все элементарные события равновероятны: .
|
1. Подсчитывается
количество всех элементарных событий .
2. Подсчитывается
количество всех благоприятных элементарных событий .
3. делится на .
|
Задание 1.Какова вероятность, что первый вынутый билет
из урны окажется выигрышным, если в урне 50 билетов и из них 10 выигрышных?
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Подсчитать количество всех
возможных вариантов вынуть билет.
|
Количество всех
возможных вариантов вынуть билет =10
|
2
|
Подсчитать количество всех
возможных вариантов вынуть выигрышный билет.
|
Количество всех
возможных вариантов вынуть выигрышный билет =10.
|
3
|
Разделить на .
|
.
|
2. Подсчет геометрических вероятностей:
Умения
|
Алгоритм действий
|
Подсчет
геометрических вероятностей:
|
1. Вычисляется вся
площадь .
2. Вычисляется вся
благоприятная площадь .
3. делится на .
|
Задание 2. Биатлонист, стреляет в круг радиуса R=2 см.
В этот круг биатлонист попадает с вероятностью 1. Попадание в любую точку круга
равновероятно. Внутри круга радиуса R=2 см находится круг радиуса R=1 см.
Если биатлонист не попадает в меньший круг, он будет обязан бежать штрафной
круг. Какова вероятность. Что биатлонист не побежит штрафной круг.
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Вычислить площадь большого
круга.
|
Площадь большого круга равна .
|
2
|
Вычислить площадь малого
круга
|
Площадь малого круга равна
|
3
|
Разделить на .
|
.
|
3. Вероятности, связанные с подсчетом числа
перестановок:
Умения
|
Алгоритм действий
|
Вероятности,
связанные с подсчетом числа перестановок:
|
1. Подсчитывается
количество всех перестановок
2. Подсчитывается
количество всех благоприятных подстановок .
3. делится на
|
Задание 3. Имеется собрание сочинений из 6 томов некого
автора. Все 6 томов расставляются на книжной полке случайным образом. Какова
вероятность того, что тома распложаться в порядке 1,2,3,4,5,6 или 6,5,4,3,2,1?
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Вычислить количество всех возможных перестановок.
|
Количество всех
перестановок равно :
|
2
|
Вычислить количество всех благоприятных перестановок
.
|
Количество всех
благоприятных перестановок =2
|
3
|
Разделить на !
|
.
|
4. Вероятности, связанные с подсчетом числа
размещений:
Умения
|
Алгоритм действий
|
Вероятности,
связанные с подсчетом числа размещений:
|
1. Подсчитывается
количество всех размещений .
2. Подсчитывается
количество всех благоприятных размещений.
3. делится на .
|
Задание 4. Имеется собрание сочинений из 6 томов некоего
автора. На верхней полке умещаются только 4 тома. Эти 4 тома берут из 6 томов
случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Какова
вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2,3,4 или 4,3,2,1?
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Вычислить количество всех возможных размещений.
|
Количество всех
возможных размещений равно
|
2
|
Вычислить количество всех благоприятных размещений .
|
Количество всех
благоприятных размещений .
|
3
|
Разделить на .
|
.
|
5. Вероятности, связанные с подсчетом числа сочетаний:
Умения
|
Алгоритм действий
|
Вероятности,
связанные с подсчетом числа сочетаний:
|
1. Подсчитывается
количество всех сочетаний .
2. Подсчитывается
количество всех благоприятных сочетаний.
3. делится на .
|
Задание 5. Имеется собрание сочинений из 6 томов некоего
автора. На верхней полке умещаются только 4 тома. Эти 4 тома берут из 6 томов
случайным образом и расставляют на верхней полке. Какова вероятность того, что
для размещения на верхней полке будут выбраны тома 1,2,3,4?
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Вычислить количество всех возможных сочетаний.
|
Количество всех
возможных сочетаний равно
|
2
|
Вычислить количество всех благоприятных сочетаний .
|
Количество всех
благоприятных сочетаний равно .
|
3
|
Разделить на .
|
.
|
6. Независимые события .
Умения
|
Алгоритм действий
|
Независимые
события
.
|
1. Оцениваются
вероятности событий и их отрицаний, ,.
2.Пишутся, какие
сочетания ; , ,.
соответствуют
оцениваемому событию.
3.Используется
формула для независимых событий.
|
Задание 6. Три стрелка стреляют по мишени.
Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и
вероятности попадания стрелков в мишень равны: Какова
вероятностьтого, что:
а) все три выстрела
окажутся успешными?
б) хотя бы один из
трёх выстрелов окажется успешным?
в) один выстрел
окажется успешным, два не успешными выстрелами?
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Дать определения
событиям
-событие-все три выстрела оказались
успешными
|
- событие- первый стрелок попал в
мишень:
- событие – второй стрелок попал в
мишень:
-событие – третий стрелок попал в
мишень:
|
2
|
- событие – хотя бы один из трех
выстрелов окажется успешным.
|
|
3
|
- событие - один выстрел окажется
успешным, а два не успешными выстрелами.
|
|
7. Формула полной вероятности:
Умения
|
Алгоритм действий
|
Формула полной
вероятности:
.
|
1.Выделяется полная
группа событий . Подсчитываются вероятности ;
2.Подсчитываются
условные вероятности
3. Значения и подставляются
в формулу полной вероятности:
|
Задание 7. Идет охота на волка. В охоте учувствуют 4
охотника.
-событие – волк вышел на 1-го охотника.- событие – волк вышел на 2-го охотника.
- событие – волк вышел на 3-го охотника.- событие – волк вышел на 4-го охотника.
Вероятность выхода
волка на 1- го охотника равна .
Вероятность выхода
волка на 2- го охотника равна .
Вероятность выхода
волка на 3- го охотника равна .
Вероятность выхода
волка на 4- го охотника равна .
Вероятность убийства
волка первым охотником, если волк вышел не него, равна .
Вероятность убийства
волка вторым охотником, если волк вышел не него, равна .
Вероятность убийства
волка третьим хотником, если волк вышел не него, равна .
Вероятность убийства
волка четвертым охотником, если волк вышел не него, равна .
Какова вероятность
убийства волка?
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Выделяется
полная группа событий ,
для
|
|
2
|
Вычисляются
условные вероятности
|
|
3
|
Значения и подставляются
в формулу полной вероятности
|
|
8. Формула Байеса:
Умения
|
Алгоритм действий
|
Формула Байеса:
|
1.Выделяется
полная группа событий . Подсчитываются
вероятности
2. Подсчитываются
условные вероятности
3. Значения (и ,
подставляются в формулу Байеса.
|
Задание 8. 15% всех мужчин и 5% всех женщин – дальтоники.
Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это
мужчина. Число мужчин и женщин считается одинаковым.
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Выделяется
полная группа событий
- событие – выбранное лицо- дальтоник.
|
- событие – наугад выбранное лицо-
мужчина.
- событие – наугад выбранное
лицо-женщина.
|
2
|
Вычисляются
условные вероятности .
|
|
3
|
Значения и подставляются
в формулу Байеса
|
|
9. Математическое ожидание ,
дисперсия , стандартное отклонение дискретной случайной величины.
Умения
|
Алгоритм действий
|
Математическое
ожидание , дисперсия ,
стандартное отклонение дискретной случайной
величины.
|
1. Составляется
таблица распределения дискретной случайной величины.
2. Подсчитываются
математическое ожидание
3. Подсчитывается
дисперсия
4. Подсчитывается
стандартное отклонение
|
Задание 9. Случайная величина задана
рядом распределения:
|
-3
|
0
|
1
|
4
|
|
0,1
|
0,3
|
0,4
|
0,2
|
|
9
|
0
|
1
|
16
|
Найти математическое
ожидание , дисперсию ,, вероятности . Найти математическое ожидание , дисперсию ,.
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Вычисляется
математическое ожидание
|
|
2
|
Вычисляется
дисперсия
и .
|
|
3
|
Вычисляются
|
|
4
|
Вычисляются , дисперсию ,.
|
|
10. Биномиальное распределение:
Умения
|
Алгоритм действий
|
Биномиальное
распределение:
|
1.Подсчитываются
нужные биномиальные коэффициенты .
2.Значения ,,
подставляются в формулу Бернулли.
|
Задание 10. Футболист бьёт 5 раз пенальти. Вероятность,
забить при одном ударе – 0,8. какова вероятность того, что будет забито ровно 3
мяча? Более 2?Найти математическое ожидание ,
дисперсию .
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Записываются
значения
|
|
2
|
Вычисляются
|
|
3
|
Вычисляется
математическое ожидание
|
|
4
|
Вычисляется
дисперсия
|
|
11. Распределение Пуассона:
Умения
|
Алгоритм действий
|
Распределение
Пуассона:
|
1. Определяется
значение параметра распределения Пуассона.
2.Вероятности или берутся из таблицы или
подсчитываются самостоятельно.
|
Задание 11. Количество принимаемых
за час звонков по домашнему телефону имеет распределение Пуассона. Среднее
количество принимаемых за час звонков =5.
какова вероятность того, что будет принято за час точно 3 звонка? Более 2?
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Записывают
значения .
|
.
|
2
|
Вычисляется или
берется из табл. 1
|
|
3
|
Вычисляется или
определяется с помощью табл. 2
|
|
12. Математическое ожидание ,
дисперсия , стандартное отклонение , вероятности непрерывной
случайной величины.
Умения
|
Алгоритм действий
|
Математическое
ожидание , дисперсия,стандартное
отклонение ,вероятности непрерывной
случайной величины.
|
1. Выписывается
функция распределения и плотность
распределения непрерывной величины
2. Подсчитывается
математическое ожидание
3. Подсчитывается
дисперсия .
4. Подсчитывается
стандартное отклонение
5. Подсчитывается
|
Задание 12. Функция плотности случайной величины имеет вид:
Найти математическое
ожидание , дисперсию ,
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Записывается
функция плотности . Затем вычисляется
математическое ожидание.
|
|
2
|
Вычисляется .
|
|
3
|
Вычисляется .
|
|
13. Математическое ожидание ,
дисперсия,стандартное отклонение , вероятности равномерного
распределения.
Умения
|
Алгоритм действий
|
Математическое
ожидание,дисперсия ,стандартное
отклонение ,вероятности равномерного
распределения.
|
1. Выписывается
функция распределения равномерного
распределения (определяется интервал , где
случайная величина равномерно распределена).
2. Подсчитывается
математическое ожидание
3. Подсчитывается
дисперсия
4. Подсчитывается
стандартное отклонение
5. Подсчитывается
|
Задание 13. Случайная величина – время
ожидания дождя в сутках - имеет равномерное распределение на отрезке . Найти математическое ожидание , дисперсию ,
вероятности
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Записывается
функция плотности .
|
|
2
|
Вычисляется
математическое ожидание
|
|
3
|
Вычисляется .
|
|
4
|
Вычисляется
|
|
14. Расчет наработки на отказ и
вероятности .
Умения
|
Алгоритм действий
|
Расчет наработки
на отказ и вероятности .
|
1. Определяется
значение параметра экспоненциального
распределения
2. Определяется
наработка на отказ и вероятность .
|
Задание 14. Вероятность безотказной работы прибора в
течение часов равна .- момент отказа прибора. Найти
математическое ожидание - среднюю наработку на
отказ и вероятность безотказной работы прибора
в течение 500 ч.
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Записывается
функция плотности .
|
|
2
|
Записывается
функция распределения .
|
|
3
|
Вычисляется
математическое ожидание.
|
|
4
|
Вычисляется
|
|
15. Нормальное распределение. Правило трех сигм
Правило двух сигм Правило
одной сигмы
Умения
|
Алгоритм действий
|
Нормальное распределение.
Правило трех
сигм
Правило двух
сигм
Правило одной
сигмы
|
1. Определяются
значение параметров и нормального
распределения.
2.Значения и подставляют
в формулу
3.Значения и берутся
из таблицы нормального распределения.
4.Подсчитывается
вероятности с помощью правил трех сигм , двух сигм и одной сигмы.
|
Задание 15. Случайная величина имеет
нормальное распределение ;- среднеквадратическое отклонение . Найти
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Записывается .
|
|
2
|
Вычисляется
|
|
3
|
Вычисляется
|
|
4
|
Вычисляется с помощью правила одной «сигмы».
|
|
5
|
Вычисляется с помощью правила двух «сигм».
|
|
6
|
Вычисляется с помощью правила трех «сигм».
|
|
16. Неравенство Чебышева
Умения
|
Алгоритм действий
|
Неравенство
Чебышева
|
1.Определяются ,,.
2.Значения., , а
подставляются в неравенство Чебышева.
|
Задание 16. Все мужчины – случайная величина со средним 80
кг и дисперсией 50 кг2.
Оценить с помощью
неравенства Чебышева вероятность того, что вес случайно встреченного мужчины
отличается от среднего на величину большую 10
кг.
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Записываются
|
|
2
|
Подставляются
значения в неравенство Чебышева
|
Из неравенства
Чебышева следует
|
17. Предельная
формула Пуассона для последовательности независимых испытаний Бернулли.
Умения
|
Алгоритм действий
|
Предельная
формула Пуассона для последовательности независимых испытаний Бернулли.
|
1. Подсчитывается
значение =пр. Придействует
формула Пуассона:
|
Задание 17. Вероятность детали быть бракованной равна 0,
01. Произведено 300 деталей. Какова вероятность того, что в этой партии точно 4
бракованные детали? Более 4?
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Вычисляется
произведение
|
|
2
|
Подставляется
значение в формулу Пуассона и подсчитывается
|
|
18. Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа для
последовательности независимых испытаний Бернулли.
Умения
|
Алгоритм действий
|
Предельная интегральная
теорема Муавра-Лапласа для последовательности независимых испытаний Бернулли.
|
1.Подсчитывается
значение =пр. При действует
формула Муавра-Лапласа
2.Значения и находятся
из таблиц нормального распределения.
|
Задание 18. Игральную кость бросают 600 раз. Какова
вероятность того, что число выпадений шестерки будет между 90 и 105?
Решение
№
п/п
|
Алгоритм
|
Конкретное соответствие данной ситуации
предложенному алгоритму
|
1
|
Вычисляется
произведение
|
.
|
2
|
Вычисляется
значение
|
.
|
3
|
Вычисляются
значения .
|
|
4
|
Значения берутся из таблицы нормального
распределения.
|
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.