Задачи оптимизации в условиях неопределенности
Задача.
Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеется четыре варианта проекта автомобиля Rj . Определена экономическая эффективность каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечении трех сроков Si рассматриваются как некоторые состояния среды.
Необходимо выбрать оптимальную стратегию. Исходные данные для расчета.
Таблица1 - Исходная матрица
|
Варианты возможных стратегий |
Варианты рентабельности |
||
|
S1 |
S2 |
S3 |
|
|
R1 |
20 |
25 |
15 |
|
R2 |
25 |
24 |
10 |
|
R3 |
15 |
28 |
12 |
|
R4 |
9 |
30 |
20 |
1) В данном случае задача определена на прибыль;
2) Решим задачу по критерию Лапласа.
По критерию Лапласа в качестве оценки альтернативы используется средний выигрыш:
(1)
Использование критерия Лапласа будет выглядеть следующим образом:
1. Найти среднее арифметическое значение исходов по каждому
проекту. Оно является оценкой альтернативы по критерию Лапласа:
L1 = (V11+ V12+…+ V1i + V1n)/1n (2)
L2 = (V21+ V22+…+ V2i + V2n)/2n и т.д. (3)
2. Сравнить рассчитанные величины и найти альтернативу
с максимальным значением критерия (если задача определена на прибыль) или с минимальным значением (если задача определена на затраты).
Таблица 2 – Матрица решений по критерию Лапласа
|
Варианты возможных стратегий |
Варианты рентабельности |
|
|
||
|
S1 |
S2 |
S3 |
Max |
||
|
R1 |
20 |
25 |
15 |
20 |
20 |
|
R2 |
25 |
24 |
10 |
19.67 |
|
|
R3 |
15 |
28 |
12 |
18.33 |
|
|
R4 |
9 |
30 |
20 |
19.67 |
|
(4)
(5)
(6)
(7)
По критерию Лапласа оптимальным является проект №1, у которого наибольшее значение экономической эффективности составляет 20.
2. Критерий Вальда – один из критериев принятия решений в условиях неопределенности.
По критерию Вальда лица, принимающие решения, выбирают стратегию, гарантирующую максимальное значение наихудшего выигрыша (критерия максимина) для задачи прибыльности.
В соответствии с этим критерием из альтернатив aj выбирают ту, которая при самом неблагоприятном состоянии внешней среды, имеет наименьшее значение показателя. С этой целью в каждой строчке матрицы фиксируют альтернативы с максимальным значением показателя и из отмеченных максимальных выбирают минимальное (для задачи прибыльности).
(8)
В данной задаче результат представляет полезность (экономическую эффективность), тогда при выборе оптимального варианта используется максиминный критерий.
(9)
Таблица 3- Матрица решений по критерию Вальда
|
Варианты возможных стратегий |
Варианты рентабельности |
Min |
|
||
|
S1 |
S2 |
S3 |
Max из Min |
||
|
R1 |
20 |
25 |
15 |
15 |
15 |
|
R2 |
25 |
24 |
10 |
10 |
|
|
R3 |
15 |
28 |
12 |
12 |
|
|
R4 |
9 |
30 |
20 |
9 |
|
Видно, что в этом случае следует принять проект №1, для которого функция полезности является самой максимальной из минимальных и составляет 15.
3. Критерий Сэвиджа
Элементы матрицы критерия Сэвиджа находятся по формулам:
(10)
где 
, 
– поиск максимума
перебором соответствующих столбцов и строк.
Расчёт состоит их четырёх этапов:
1.
Находится лучший результат каждой графы в
отдельности, то есть максимум 
.
2.
Определяется отклонение от лучшего
результата каждой отдельной графы, то есть 
. Полученные результаты
образуют матрицу отклонений (сожалений).
3. Для каждой сточки сожалений находим максимальное значение.
4. Выбираем решение, при котором максимальное сожаление будет меньше других.
Таблица 4 - Матрица решений по критерию Сэвиджа
|
Варианты возможных стратегий |
Варианты рентабельности |
Max |
|
||
|
S1 |
S2 |
S3 |
Min из Max |
||
|
R1 |
25-20=5 |
30-25=5 |
20-15=5 |
5 |
5 |
|
R2 |
25-25=0 |
30-24=6 |
20-10=10 |
10 |
|
|
R3 |
25-15=10 |
30-28=2 |
20-12=8 |
10 |
|
|
R4 |
25-9=16 |
30-30=0 |
20-20=0 |
16 |
|
|
Max по столбцам |
25 |
30 |
20 |
|
|
По критерию Сэвиджа оптимальным проектом будет № 1, с наименьшим значением 5.
3) Критерий Гурвица (α=0,1)
В соответствии с этим критерием правило основано на двух предположениях:
- природа может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1-α);
- природа может находиться в самом выгодном состоянии с вероятностью α;
Это правило называют ещё правилом «оптимизма – пессимизма». Оптимальную альтернативу можно рассчитать по формуле:
(11)
(12)
где α - коэффициент доверия
Таблица 5- Матрица решений по критерию Гурвица
|
Варианты возможных стратегий |
Варианты спроса на транспортные услуги |
Min |
Max |
|
Max |
||
|
S1 |
S2 |
S3 |
|||||
|
R1 |
20 |
25 |
15 |
15 |
25 |
16 |
16 |
|
R2 |
25 |
24 |
10 |
10 |
25 |
11.5 |
|
|
R3 |
15 |
28 |
12 |
12 |
28 |
13.6 |
|
|
R4 |
9 |
30 |
20 |
9 |
30 |
1.1 |
|
В данной задаче результат представляет полезность (экономическую эффективность), тогда при выборе оптимального варианта будем использовать максимальное значение. Соответствующей стратегией будет № 1, у которой максимальное значение 16.
Вывод: Предприятию следует выбрать проект №1. Так как в результате решения по различным критериям рекомендовался один и тот же проект под номером 1.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Неопределенность проявляется в невозможности определения вероятности наступления различных состояний внешней среды из-за их неограниченного количества и отсутствия способов оценки. Неопределенность учитывается различными способами. В данной работе приведены общие критерии рационального выборавариантов решений из множества возможных. Критерии основаны на анализе матрицы возможных состояний окружающей среды и альтернатив решений.
6 662 222 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Седых Вера Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.