Математическое образование, получаемое в средней общеобразовательной
школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры
современного человека. Практически все, что окружает современного человека –
это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике,
технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в
будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических
задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо
научиться решать.
Первое
условие, которое надлежит выполнять в
математике,
- это быть точным, второе -
быть ясным
и, насколько можно, простым.
Г. Лейбниц
Тема: «
Рациональные уравнения»(2 урока)
Цель: Сформировать понятие равносильных
уравнений, рациональных уравнений; сформировать умение решать простейшие
дробно-рациональные уравнения.
Тип урока: усвоение новых
знаний, умений, навыков.
Учащиеся должны:
ü
Иметь
представление о рациональных уравнениях;
ü
Уметь
решать такие уравнения, используя условие, при котором дробь равна нулю.
Ход урока:
1. Проверка
домашнего задания
2. Актуализация
опорных знаний:
1) Что такое
уравнение?
2) Какие
среди приведенных выражений являются уравнениями:
3х + 4; 2х – 5 =
х; (3х + 2)/х = 0; 3 + 5 = 8; 3х + 5х = 8х?
3) Что
называется корнем уравнения?
4) Является
ли число 1 корнем уравнения х + 2 = 3х?
5) Что значит
решить уравнение?
6) Как вы
думаете, а могут разные уравнения иметь одинаковые корни?
7) Найти ОДЗ
выражений: х ; 2 ; 3х
х – 5 х2 – 9 х2 + 4;
8) Какой вид
уравнения мы уже можем решать?
9) Когда
дробь а/в равна нулю?
Уравнение, в котором левая и правя часть, являются
рациональными выражениями, называется рациональным уравнениям. Рациональное
уравнение называют дробным если его правая или левая, или и правая и левая
части являются дробными выражениями.
3. Ребята
посмотрите внимательно на доску и скажите как называется данное равенство? Как
его можно решить?
х = 5
4 2
(пропорция, можно
решить, используя основное свойство пропорции:
2х = 20 ; х =
20 : 2 ; х = 10)
Основное свойство
пропорции:
произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов
пропорции.
Пример №1(решает
учитель, но по ходу решения учитель может задавать вопросы)
1 = 2
х – 1 х + 1
; ОДЗ: х ≠ -1; 1.
1· (х + 1) = 2·(х
– 1);
х + 1 = 2х –
2; -х = -3; х = 3 ϵ ОДЗ. Ответ:3
№ 410
а) 0,5/(18 –
х) = ¼ ОДЗ: х ≠ 18. 2 = 18 – х; х = 16 ϵ ОДЗ. Ответ: 16.
б)5/(7х –
2) = 13/0,2 ОДЗ: х ≠ 2/7. 1 = 91х – 26; 91х = 27; х = 27/91 ϵ ОДЗ. Ответ:
27/91.
в) 2/(х – 1)
= 5/х ОДЗ: х ≠ 0;1. 2х = 5х – 5; -3х = -5; х = 5/3= 1 2/3 ϵ ОДЗ.
Ответ: 1 2/3.
4. Равносильные
уравнения – это уравнения, имеющие одинаковые корни. Все уравнения,
не имеющие корней равносильны между собой.
Как можно получить
равносильное уравнение?
ü
Перенести
из одной части уравнения в другую члены уравнения, при этом изменив их знак;
ü
Умножив
или разделив обе части уравнения на одно и тоже число;
Работа по учебнику: стр. 87 – способы
решения рациональных уравнений.
Алгоритм
решения дробных рациональных уравнений:
1. Перенести
все в левую часть.
2. Привести
дроби к общему знаменателю.
3. Найти ОДЗ
4. Решить
уравнение.
5. Проверить
найденные числа на принадлежность ОДЗ.
6. Записать
ответ.
№ 405 (а, е – вместе, в – самостоятельно)
а)(х – 5) – 2 = 0 ОДЗ:
х ≠ 0; х – 5 – 2х = 0 ; -х - 5 = 0;
х х
х = - 5 ϵ ОДЗ.
Ответ: -5.
е) 2х
= 1 ОДЗ: х ≠ -3; 2х – х – 3 = 0
х + 3
х + 3 ; х – 3 = 0;
х = 3 ϵ ОДЗ. Ответ:
3
в)
самостоятельно:
3х – 7
+ 4 = 0 ОДЗ: х ≠ 0; 3х – 7 + 4х = 0
х
х ; 7х – 7 = 0 ; 7х =
7;
х = 1 ϵ ОДЗ. Ответ:
1
ВСПОМНИТЬ:
ü
а2
– в2 = (а – в)(а + в)
ü
Когда
произведение равно нулю? (Когда хотя бы один из множителей равен нулю)
№ 408 (а, д)
а) 7х2
+ 1 = 4х ОДЗ: х ≠ 0; 7х2 +1 – 8х2 =
0
2х
2х ;
1 – х2
= 0;
(1 – х)(1 + х) = 0
1 – х = 0 или 1
+ х = 0
х = 1 ϵ ОДЗ
х = -1 ϵ ОДЗ. Ответ: ± 1 .
д) 3х2
+ 5 = 4 ОДЗ: х ≠ ±1; 3х2 + 5 – 4х2 + 4 = 0
х2
– 1 х2 –
1 ;
9 – х2
= 0;
(3 – х)(3 + х) = 0;
3 – х = 0 или
3 + х = 0
х = 3 ϵ ОДЗ
х = - 3 ϵ ОДЗ. Ответ: ± 3.
№ 416
а) 3х2
– 5 = 3х + 1 ОДЗ: х ≠ -2 ; 3х2 – 5 = (3х + 1)(х + 2)
х + 2 3х2
– 5 = 3х2 + 6х + х + 2
-7х = 7
х = -1 ϵ ОДЗ. Ответ: -1.
б) 6х2
+ 5
= 2х
– 1 ОДЗ: х ≠ -2/3; 6х2 +5 = (3х+2)(2х – 1)
3х + 2 6х2
+ 5 = 6х2 – 3х + 4х – 2
х = 7 ϵ ОДЗ. Ответ: 7
в) 4х2 – х + 3 = 2х ОДЗ: х ≠ -1,5; 4х2
– х +6х + 9 = 2х(2х + 3)
2х + 3
4х2 +5х + 9 = 4х2 + 6х
-х = -9
х = 9 ϵ ОДЗ. Ответ: 9.
г) 2 – х = 1
ОДЗ: х ≠ 0; -2 (2 – х)(х + 2) = 3х2
3х2
х + 2 4 – х2 = 3х2
4х2 = 4; х2 = 1
х = ± 1 ϵ ОДЗ. Ответ: ± 1.
д) 2 = 3 – х ОДЗ: х ≠ 0
и -3; 8х2 = (х + 3)(3 – х)
х + 3 4х2
8х2 = 9 – х2
9х2 = 9; х2 = 1
х = ± 1 ϵ ОДЗ. Ответ: ± 1.
е) х + 1 = 3
ОДЗ: х ≠ 1; (х + 1)(х – 1) = 15
5 х
– 1 х2 – 1 = 15
х2 = 16
х = ± 4 ϵ ОДЗ. Ответ: ± 4.
5. Предлагаю
решить еще два интересных уравнения:
№1.
2х + 3 - х2
– 2х = 1
х + 3 (х
– 2)(х + 3)
ОДЗ: х ≠ 2; -3.
(2х + 3)(х – 2) –
(х2 – 2х) - (х – 2)(х + 3) = 0
(х – 2)(х + 3)
2х2 –
4х + 3х – 6 – х2 + 2х – х2 – 3х + 2х + 6 = 0
0х = 0. Т.к. х ≠
2; -3, то х – любое число.
Ответ: х – любое
число, кроме 2 и (-3) .
№2
х2 + 4х
+ 4
= 0
х2
– 4
ОДЗ: х ≠ ±2.
(х + 2)2 =
0; х + 2 = 0
(х – 2)(х +
2) х – 2 х + 2 = 0 ; х = -2 не принадлежит ОДЗ.
Ответ: решений
нет.
№ 419
а) 6 +
2 = 3
х2
– 9 х + 3 х – 3
ОДЗ: х ≠ ±3.
6 + 2(х – 3) –
3(х + 3) = 0
х2
- 9
6 + 2х – 6 – 3х –
9 = 0
-х = 9, х =
-9 ϵ ОДЗ. Ответ: -9.
б) 7х +
5 = 3
4 – х2
2 + х 2 –х
ОДЗ: х ≠ ± 2.
7х + 5(2 – х) –
3(2 + х)
= 0
4 – х2
7х + 10 – 5х – 6 –
3х = 0
-х = -4 ; х =
4 ϵ ОДЗ. Ответ: 4.
6. На доске
решено уравнение с ошибкой. Найти ошибку.
х2 –
49
= 0
8х + 56
х2 –
49 = 0
(х – 7)(х + 7) =0
х – 7 = 0 или х +
7 = 0
х = 7
х = - 7
Ответ: ± 7.
Рефлексия.
- 1 – если на уроке вам было
интересно и понятно;
- 2 – интересно, но не понятно;
- 3 – не интересно, но понятно;
- 4 – не интересно, не понятно.
7. Подведение
итогов урока.
Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными
уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами.
ü
Какими
способами мы можем решать рациональные уравнения?
ü
Когда
дробь равна нулю?
ü
Какой
метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более
легким, доступным, рациональным?
ü
Не
зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не
забывать?
8. Домашнее задание: §…; на «3»: № …
на «4» : №…; № …
на «5»:№ …; № …
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.