Главная / Математика / Урок по алгебре и началам анализа на тему

Урок по алгебре и началам анализа на тему

Урок алгебры в 11А классе

по теме

«Методы решения уравнений. Задания В5, С1»


Цели урока:

  1. формирование учебно-познавательной компетенции: обобщить теоретический материал по теме «Решение уравнений. Задания В5, С1», рассмотреть решения типичных задач;

  2. формирование математической компетенции: использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

  3. формирование оценочной компетенции: развивать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать.


Тип урока: урок-обобщение, урок-практикум.


Оборудование: ПК, проектор, карточки.

Методы обучения: частично-поисковый метод, репродуктивный, обобщающий.

Формы работы: фронтальный опрос, работа в парах, взаимопроверка, самопроверка.

План урока.

Конспект урока рассчитан на 45 минут.

  1. Организационный момент. (2 мин.)

  2. Устная работа. (5 мин.)

  3. Выступления учащихся. (15 мин.)

  4. Работа в парах. (15 мин.)

  5. Проверка решений. (5 мин.)

  6. Итог урока. (3 мин.)


Ход урока.

  1. Организационный момент.

Тема «Уравнения» - одна из важнейших тем курса алгебры. Мы изучили различные виды уравнений, а также методы их решения. Цель урока – повторить и обобщить сведения о методах решения уравнений. Но прежде вспомним основные определения и правила. (Слайд 1, 2)

  1. Устная работа. (Слайд 3)

- Что такое уравнение? (Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.)

- Что называют решением уравнения? (Решением уравнения называют то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство.)

- Что значит – решить уравнение? (Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.)

- Что называют областью допустимых значений переменной (ОДЗ)? (ОДЗ переменной уравнения hello_html_m6ffe5d71.gif называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения hello_html_278687bc.gif и hello_html_512ef164.gif.)

- Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям? (Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, деление обеих частей уравнения на одно и то же число не равное нулю.)

- Какие действия при преобразовании уравнений можно назвать «опасными» и почему? (Деление уравнения на выражение, содержащее переменную - при этом может произойти потеря корней и возведение обеих частей уравнения в квадрат - при этом могут появиться посторонние корни.)

На доске задания для устной работы.

Укажите ОДЗ уравнения:

1) hello_html_5fe11d71.gif (х – любое число)

2) hello_html_m7f071442.gif (х≠15)

3) hello_html_m5251c6a1.gif (hello_html_52109d0c.gif и hello_html_56b45677.gif)

4) hello_html_7fba9364.gif (hello_html_5dc009b8.gif)

5) hello_html_4f0942f2.gif (х – любое число)

6) hello_html_m26df76fb.gif (х – любое число)

7) hello_html_2877717e.gif (х – любое число)

8) hello_html_m4acf244b.gif (x>-8)

9) hello_html_m658251fe.gif (hello_html_m1d4ae5fe.gif, hello_html_63b3d49e.gif)


3. Назвать виды уравнений (Слайд 4)

- линейные

- квадратные

- дробно - рациональные

- иррациональные

- тригонометрические

- логарифмические

- показательные

4. (Слайд 5 - ). Рассматривая решенные уравнения, учитель обращает внимание учащихся на целесообразность использования того или иного способа решения.

Решить уравнение hello_html_6f40fb76.gif = х + 3 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение.

hello_html_6f40fb76.gif = х + 3,

Возведём обе части уравнения в квадрат:

hello_html_m1a3ffe95.gif )2 = (х + 3)2,

11 + 5х = х2 + 6х + 9,

х2 + х - 2 = 0,

х = 1, х = -2

Проверка: = (верно)

Ответ: 39



4. Основные методы решения: (Слайд 12)

  1. Разложение на множители.

  2. Деление на многочлен.

  3. Избавление от знаменателя.

  4. Введение новой переменной.


Доклады учащихся.

      1. Метод разложения на множители.

Уравнение вида hello_html_395830a2.gifможно заменить совокупностью двух более простых уравнений hello_html_m75862105.gif и hello_html_33a407a5.gif, где hello_html_ba34e6e.gif.

Способы разложения на множители:

- вынесение общего множителя за скобки;

- способ группировки;

- применение формул сокращенного умножения.

Пример 1. hello_html_78510794.gif

ОДЗ: x - любое число.

Вынесем за скобку множитель hello_html_m3b720646.gif.

hello_html_m53402747.gif

hello_html_175e2c3.gifhello_html_5604aa8a.gif

hello_html_2ceae821.gif


Ответ: hello_html_3aec97c8.gif, hello_html_215de40d.gif

Пример 2. hello_html_2cb81e41.gif.

ОДЗ: х – любое число.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:

hello_html_76f1762c.gif

hello_html_7a7d9be3.gif

Вынесем множитель hello_html_m53ab0d31.gif за скобку:

hello_html_m2a652b05.gif

hello_html_dbe1241.gifhello_html_790e6d55.gifх=0,2 х=5

Ответ: -1; 0,2; 5.


Пример 3. hello_html_m49567622.gif.

ОДЗ: х – любое число.

Сгруппируем первые три слагаемых и воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел:

hello_html_mc4f4859.gif

Применим формулу разности квадратов двух чисел:

hello_html_mb950c76.gif

hello_html_52748c06.gifhello_html_3c4a281a.gif

hello_html_7bc9bd7c.gifнет корней.

Ответ: hello_html_m710ccd0d.gif.


2. Метод введения новой переменной.

Введение новой переменной позволяет разбить задачу на подзадачи и решить вместо одного сложного несколько простых уравнений.

Пример 4. hello_html_7f8b218f.gif

ОДЗ: х – любое число.

Замена: hello_html_m61b8e7ca.gif, hello_html_m7f9d5474.gif

hello_html_1e795560.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_7ce874fa.gif, hello_html_m4b43ab8a.gif

Вернемся к замене:

hello_html_a0db88c.gifhello_html_56c0bcc9.gif

hello_html_m3651b4f8.gifhello_html_54504ebd.gif

hello_html_70d1cd96.gifhello_html_m79af8e5.gif

Ответ: 1,5; -0,5; hello_html_18d9bb1b.gif.


Пример 5. hello_html_41806820.gif

ОДЗ: х и у любые числа.

Многочлен называется однородным, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если hello_html_c5e4e0c.gif - однородный многочлен, то hello_html_m1fa4779b.gif однородное уравнение.

Вынесем общий множитель за скобки:

hello_html_mccc5ae.gif

Если х=0, то у – любое число.

Если hello_html_14ae0821.gif, то hello_html_m46e6838.gif. Разделим обе части уравнения на hello_html_m4d1d4174.gif и введем новую переменную hello_html_4e442e16.gif.

hello_html_795aca94.gif

hello_html_16a027d3.gifhello_html_m2ee899ce.gif

Вернемся к замене:

hello_html_m9c9caba.gifhello_html_m5fffcb0a.gif

hello_html_7a8ddc39.gifhello_html_m467ddd80.gif

Пусть а – действительное число. Тогда ответ можно записать в виде:

(0; а), (а; 2а), (2а; а).



Пример 6. hello_html_d670c05.gif

ОДЗ: х – любое число.

Многочлен называют симметрическим, если коэффициенты членов, равно отстоящих от концов, равны между собой. Для многочленов с двумя переменными - если при одновременной замене х на у и у на х, многочлен сохраняет свой вид. Например, hello_html_3587d2fc.gif.

Разделим обе части данного уравнения на hello_html_m4d1d4174.gif.

hello_html_72d6824c.gif

Сгруппируем 1 и 5 слагаемое, 2 и 3 слагаемое:

hello_html_m2b72cbc2.gif

Пусть hello_html_m3f5ea56e.gif, тогда hello_html_m59285bd5.gif, а hello_html_2ebe735b.gif

hello_html_28fd8558.gif

hello_html_m3b86913.gif

hello_html_3f8ad70e.gif

Вернемся к замене:

hello_html_m21e9bff7.gifhello_html_m1c798e47.gif

Решив эти уравнения, получаем корни hello_html_m171d4772.gif.

Ответ: hello_html_m171d4772.gif

  1. Метод деления на многочлен.

Этот метод применяют при решении уравнений высших степеней. Цель – понизить степень многочлена.

Теорема. Если hello_html_3fea5f90.gif - целый корень уравнения hello_html_m75862105.gif, где hello_html_278687bc.gif- многочлен с целыми коэффициентами, свободный член которого не равен 0, то hello_html_3fea5f90.gif - делитель свободного члена многочлена.

Пример 7. hello_html_m11d5567c.gif

ОДЗ: х – любое число.

Выпишем делители свободного члена многочлена:

±1; ±2; ±3; ±6.

Число 1 обращает многочлен в 0. Значит х=1 – корень уравнения.

Разделим многочлен hello_html_6a4e97fc.gif на двучлен hello_html_m672cc9d8.gif. Получим hello_html_633fccf9.gif.

hello_html_7fb87648.gif

hello_html_m8f00a6.gifhello_html_7c185bb2.gif

Ответ: 1; -3; 2.


  1. Избавление от знаменателя.

Для того чтобы избавиться от знаменателя необходимо умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Этот тип уравнений требует собой осторожности, т.к. найденные корни могут обращать знаменатель в 0.

Пример 8. hello_html_164aaf8f.gif

ОДЗ: hello_html_4f1f8f7.gif при любом х, hello_html_m7df46d40.gif при hello_html_m4bddbaa1.gif

Умножим обе части уравнения на hello_html_176c2037.gif

hello_html_m4d3fe1c1.gif

hello_html_m51018322.gif

Уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней.


  1. Работа в группах.

Учащиеся разбиваются на 3-4 группы и самостоятельно выполняют задания. Ученики, подготовившие доклады присоединяются к группам. Задания, выполненные докладчиками не должны совпадать с заданиями для группы.


5. Проверка решений.

По окончанию работы докладчики представляют краткое решение заданий. Это может быть презентация или оформленное на бумаге решение. Члены группы могут проверять как свои работы, так и работы других участников группы, включая докладчиков.


  1. По результатам работы выставляются оценки. Дополнительные отметки выставляются учащимся, подготовившим доклады. Д.з.


Урок проведен в классе, где математика изучается на профильном уровне. Разобранные способы решения знакомы учащимся из курса алгебры 10-11 класса. Материал урока позволил повторить изученный материал (симметрические, однородные уравнения, деление на двучлен), а также систематизировать знания по методам, которые применяются довольно часто. Интерес к теме урока высокий, т.к. тема имеет применение на ЕГЭ во второй части. Уровень обученности класса позволяет рассматривать уравнения, сложность которых выше среднего. Тем не менее в классе есть ученики, для которых выполнение части заданий затруднительно. Это учтено при составлении текстов самостоятельной работы: задания вариантов 2 и 4 сложнее, чем 1 и 3. При выставление оценок учитывалось количество правильно решенных заданий. 3 задания (а для слабых учащихся 2-3) – «3», 4-5 заданий «4», за полные 6 или 5 и верно начатое 6 задание –«5»



Урок по алгебре и началам анализа на тему
  • Математика
Описание:

Данный урок - является уроком обобщающего повторения по теме «Решение уравнений».

Устные задания подобраны таким образом, что учащимся необходимо выстраивать логические цепочки в своих рассуждениях, делать выводы.

 Решение уравнений позволяет наглядно продемонстрировать работу: учащимися легче воспринимаются задания на нахождение значений х; более доступными становятся решения сложных заданий. Данные задания могут встретиться в задания ЕГЭ: как в профильном, так и в базовом уровне.

Учащиеся покажут использование межпредметных связей между математикой и другими науками.

Автор Щедрина Инга Владимировна
Дата добавления 03.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 311
Номер материала 23702
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓