Урок по алгебре 8 класс по теме "Квадратные уравнение"

Этапы урока

Слайды

1.  Организационный момент (1 мин)

Здравствуйте, уважаемые восьмиклассники и гости нашего урока.  Сегодня мы весь урок будем говорить об одном, а о чем именно – узнаем, решив кроссворд.

№ 1 Название урока

2. Устная работа (4 мин)

Как видите, строки пронумерованы не по порядку, но мы начнем с вопроса номер №1. (Вопросы зачитывает учитель, ответы появляются по щелчку «мышки»).

1.    Процесс получения корней уравнения? (решение)

2.    Как называется последовательность действий при решении уравнения? (алгоритм)

3.    Если дискриминант квадратного  уравнения больше нуля, то уравнение имеет...корня. (два)

4.    Если дискриминант квадратного  уравнения меньше нуля, то уравнение имеет...корня. (нет)

5.    Как называется теорема о корнях квадратного уравнения, о которой сложили стихи:

«По праву достойна в стихах  быть воспета 

О свойствах корней теорема ...» (Виета)

6.    От чего зависит количество корней квадратного уравнения? (дискриминант)

7.    Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет...корня. (один)

8.    Результат решения уравнения? (корень)

9.    Как называются число в уравнении, стоящее перед переменной? (коэффициент)

10.                       Равенство с неизвестным (уравнение).

Молодцы, ребята. Теперь мы с вами можем прочитать, что речь пойдет о квадратных уравнениях. Для того, чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам еще небольшую разминку по теории решения квадратных уравнений.

№ 2

Слайд кроссворд

Вопросы

1.    Какое уравнение называется квадратным?

Ответ: квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bx+c=0, где х – переменная, а   a,b,c – некоторые числа. Числа  a,b,c называются коэффициентами квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом,  b- вторым или средним коэффициентом, число с – свободным членом уравнения.

2.    Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

Ответ: уравнения называются неполными квадратными уравнениями, если b=0 или с=0

3.    Какое квадратное уравнение называется приведенным?

Ответ: квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент а=1.

4.    Что значит решить квадратное уравнение?

Ответ: решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

5.    Как найти дискриминант, запишите формулы для нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения.

Ответ: ;        (для четного коэффициента b)

6.    Чему равна сумма корней квадратного уравнения?

Ответ: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком

7.    Чему равно произведение корней квадратного уравнения?

Ответ: произведение равно свободному члену уравнения.

Актуализация знаний

8.    Из группы предложенных уравнений нужно выбрать «лишнее»,объяснить, почему оно является «лишним» и решить его рациональным способом.

Зх² +2х-5 = 0        х² -5х+1 = 0     х² -15x+36 = 0      2х² - х=0

0,5х² -Зх + 7 = 0    9х² -6х+1 = 0    5х² -х-4 = 0        х² – 16=0

х² -16 = 0            х² +2х-2 = 0    -3х² + 3х -1=0      4х² +х-3 = 0
    (х-3)(х + 2) = 0       х² -Зх-1 = 0    0,2х+3х²+1=0    2х²=0

  Ответы

1-я группа уравнений

«лишнее» уравнение х²-16=0, так как является неполным квадратным уравнением( x=±4)
2-я группа уравнений

«лишнее» уравнение 9х²-6х+1=0, так как является полным, не приведенным квадратным   уравнением (D=0, x=1/3)

3-я группа уравнений

«лишнее» уравнение х²-15х+36=0 - приведенное квадратное уравнение ( x=12, x=3)

4-я группа уравнений

«лишнее» уравнение 4х²+х-3=0 - полное квадратное уравнение ( D=49, x=-1, x=3/4)

Устная работа

Слайд 3

Основная часть урока

    Австралийский математик У.У. Сойер говорил, что «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи».

    Почему он так утверждал?

– Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее.

   Вот и я, ребята, после повторения предлагаю вам бенефис одного уравнения. Мы рассмотрим на примере одного уравнения 9 способов его решения.

Работаем методом мозгового штурма. Вы сидите парами. Каждой паре я даю одно и то же уравнение, оно же у нас на экране. Каждая пара покажет свой способ решения данного уравнения. А может показать и не один способ, перехватив инициативу у другой пары.

Итак,  начинаем работать.

№ 4

Слайды по методам решения уравнений

1

2

1.Разложение левой части уравнения на множители.

x²- x-6=     x²- 3x+2x-6 =       x(x-3)+2(x-3) =    (x-3)(x+2) = 0.

Отсюда следует, что x₁=3; x₂=-2.

Ответ: (-2;3).

- развитие таких качеств математического мышления как интуиция, рациональность.

2. Выделение полного квадрата.

Проведем преобразования x²-2·· x-6=0

 (x²-2·· x+ --6=0

 (x - )²-6=(x - ) ² - ( )²=( x - - )()=0

 ( x - - =0 ; ()=0

 x-3=0 x+2=0

 x₁=3; x₂=-2.

Ответ: (-2;3).

- развитие таких качеств математического мышления как интуиция, рациональность, а также алгоритмическое мышление;

- воспитание аккуратности при оформлении решения.

3.Решение квадратных уравнений по формуле

Найдем дискриминант уравнения и определим количество корней D=b²-4ac=1+24=25>0,                                  

         уравнение имеет два действительных корня.

x_1,2 =            x₁=3; x₂=-2.

Ответ: (-2;3)

-развитие алгоритмического мышления, скорости мышления

1

2

4          .Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

x²- x-6=0, x²+p x+q=0,

   x₁+x₂=-p         x₁+x₂=1          3-2=1               x₁=-2

   x₁ x₂=q           x₁ x₂=-6          3·(-2)=6            x₂=3

Ответ: (-2;3).

-развитие алгоритмического мышления, рациональности.

5. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

x²+px+q=0

x²- x- 6 =0

p=-1; q=-6.

Строим отрезок pq.

Номограмма даёт положительный корень x₁=3.

Отрицательный корень равен

x₂=-p-x₁=1 -3=-2.

Ответ: (-2;3)

-развитие алгоритмического мышления;

- развитие гибкости и активности мышления;

- привитие интереса к математике.

6-7. Графическое решение квадратного уравнения

 x²- x-6=0, корнями данного уравнения будут являться точки пересечения двух графиков:

 а) y=x²; y=x+6.

б) y=x² – x; y=6

1. x² – x=0

1) Найдем вершину параболы

x₀=- ;  y₀((

2) Строим ось симметрии x=

3) Определим нули функции x² – x=0

                                                x(x-1)=0

                                                x=0; x=1 (0;0);(1;0)

4) Посчитаем дополнительные точки графика.

y(2)=2(2;2), y(3)=6 (3;6)

2. y=6. Графиком функции является прямая проходящая через точку с координатами (0;6), параллельно оси 0X

3.Строим графики функций. Записываем ответ.

Ответ: (-2;3)

-развитие алгоритмического мышления;

- развитие гибкости и активности мышления

– воспитание аккуратности при выполнении чертежей.

Продолжение таблицы 3

1

2

8.                 Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Преобразуя уравнение x² - x - 6 = 0, получаем

x² - x=6.

На рисунке находим «изображение» выражения x² - x, т.е. из площади квадрата со стороной x два раза вычитается площадь прямоугольника со стороной равной , т.е.  x² - 2·(), и прибавить  (площадь квадрата со стороной ), то получим площадь квадрата со стороной (x - . Заменяя выражение x² - x равным ему числом 6, получаем: (x - )² = 6 + , т.е. x -  = ±, где x₁ = 3 и x₂ = - 2.

Ответ: (-2;3)

- развитие интуиции;

- развитие гибкости и активности мышления – воспитание аккуратности при выполнении чертежей.

9. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

1.                 Вычислим координаты центра окружности.

2.   Отметим на координатной плоскости стационарную точку А(0;1).

3.    Проводим окружность SA.

4.   Определяем абсциссы точек пересечения окружности и координатной плоскости. Ответ: (-2;3).

-развитие алгоритмического мышления;

- привитие интереса к предмету;

–воспитание аккуратности при выполнении чертежей.

Значение квадратных уравнений в алгебре огромно, как космос. Квадратные уравнения можно сравнить с Солнцем, тогда как способы его решения с планетами Солнечной системы.

И сейчас я приглашаю вас в путешествие по Алгебраической Солнечной системе. Но путешествовать в космосе мы будем на одном космическом корабле, поэтому главнокомандующим, с вашего позволения, буду я. А вы будете работать в парах.

Слайд Космическая система

5. Физкультминутка и гимнастика для глаз (2 мин)

Путешествие предстоит долгое, поэтому надо немного передохнуть и дать глазам отдохнуть. (Выполняем традиционную гимнастику для глаз и простые упражнения для спины).

Слайд

Как вы думаете,  какова цель нашего путешествия?

– Посещая одну из планет, мы будем повторять один из способов решения или знакомиться с новым способом.

Во время путешествия необходимо будет выполнить задания. Та команда, которая выполнит быстрее, получает очко и выбирает дальнейший маршрут.

Если мы попадаем на планету с уравнениями, которые решаются нерациональными способами, то на ней мы долго не задержимся, после повторения материала отправимся на следующую планету. На планете, где задания, которые можно решить рациональным способом, мы должны показать все свои знания и отработать предложенный материал. Сейчас мы на Земле. (переход по гиперссылке Земля). Проверим ваше снаряжение, то есть повторим традиционный алгоритм решения квадратных уравнений. Какая пара быстро и правильно решит уравнение, та и выберет дальнейший маршрут путешествия (лидирующая пара выполняет задание на доске и по гиперссылке отправляется на следующую планету).

Ученики выбирают пункты назначения, учитель комментирует закрепленные за ними способы решения, затем выполняют примеры, только на тех планетах, где уравнения  решаются рациональными способами.

Слайд космическая система

При выборе гиперссылки:

Меркурий  – повторяем метод выделения полного квадрата. Поэтапно появляются на экране части примера. Затем, по щелчку «мышки», переходим на следующий слайд с заданием для учеников. Всем предлагается решить одно уравнение – кто быстрее. Следующий щелчок открывает правильное решение.

Возвращаемся в Солнечную систему – кнопка

Венера – повторяем метод разложения на множители. Автоматически появляются два примера 1 и 2, по щелчку – задания для учеников, каждой команде свое уравнение.

Ответы проверяет учитель.

Следующий слайд – пример 3 более сложный по сравнению с 1 и 2, поэтому дается как ознакомительный.

Возвращаемся в Солнечную систему – кнопка

Марс – знакомимся с графическим способом. Так как этот способ будет изучен более подробно в дальнейшем, то на этом уроке рассказываем только его суть.

Рассмотрим уравнение x² – 2x –3=0 как две функции

f(x)= x² – 2x – 3 – график парабола   и g(x) =0 – график прямая (ось OX). Построим графики на координатной плоскости. Графиком g(x) =0 будет ось ОХ. Для построения параболы необходимо найти её вершины по формулам x₀= - b/(2a)=1     y₀= f(x₀)=  - 4. Через вершину проходит ось симметрии параболы х=1. Найдем дополнительные точки параболы при х=2, х=3, х=4. Используя свойство симметрии, построим график.

Функции f(x) и g(x) равны, следовательно, решением будут координаты их общих точек, а именно абсциссы. По графику видно, что это х=-1, х=3.

Возвращаемся в Солнечную систему – кнопка

Юпитер – повторяем теорему Виета (прямую и обратную).

На следующем слайде представлен пример и задания для учеников по командам.

Ответы проверяет учитель.

Возвращаемся в Солнечную систему – кнопка

Сатурн – знакомимся со способом «Переброски». На данном слайде рассмотрен подробно пример. На следующем – задания для учеников по командам. И по щелчку выходят решения.

Возвращаемся в Солнечную систему – кнопка

Уран – знакомимся с решением уравнений при коэффициентах удовлетворяющих условиям: I. Если a+b+c=0, то x1=1, x2=с/а.

Рассмотрен пример и даны задания для учеников:

Возвращаемся в Солнечную систему – кнопка

Плутон – На этом слайде рассмотрено свойство:

II. Если b=a+c, то x1= -1, x2= -с/а.

Так же рассмотрен пример и даны задания для учеников:

Возвращаемся в Солнечную систему – кнопка

Нептун – знакомимся с номограммой.

Справка для учеников: Номограмма (греч. nomos — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений.

Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Раздать ученикам Приложение 2.

Пример решения квадратного уравнения с помощью номограммы рассмотрен в «Четырехзначных математических таблицах» Брадиса В.М.

В презентации рассмотрен подробно один пример и 3 примера в раздаточном материале Приложение 2. При наличии времени можно рассмотреть все примеры.

Предложить ученикам решить уравнение z²–4z+4=0, используя номограмму из Приложения. Ответ: х=2.

Возвращаемся в Солнечную систему – кнопка

Итак, ребята, на всех планетах мы выполнили свою миссию, я поздравляю вас с возвращением на нашу планету Земля. А здесь мы еще раз проверим свои знания самостоятельно по тесту.

(Выполнение теста в программе Excel).

Ребята, давайте подведем итоги нашего урока. У вас на столах лежат листы самооценки, в которых отражены все этапы работы. По каждому этапу, где вы участвовали, поставьте себе оценку, а те ребята, кто больше всех работал на уроке, я оценю сама (объявить оценки работавшим у доски).

тестом.

Сегодня на уроке мы с вами вспомнили и повторили все по теме «Решение квадратных уравнений». Завершающим этапом нашего урока будет письмо из прошлого. Я представляю слово ребятам. (Дети по презентации дают историческую справку)

Вот теперь, ребята, мы завершаем свою работу. Спасибо за урок.

Давайте еще раз в руки возьмем листочки самооценки. Я вас попрошу дать оценку нашему уроку. Продолжить фразы.

Для присутствующих гостей информация на слайде:

Ф.И.О._____________

Мое мнение об уроке _____________

________________________________

________________________________

________________________________

Презентация с исторической справкой

Слайд Спасибо за урок