Главная / Математика / Урок алгебры " Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета"

Урок алгебры " Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета"

МОУ Новопокровская СОШ

Ветлужского района

Нижегородской области.






Урок алгебры в 8 классе.


Тема: « Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета».




Подготовила:

Торопова Галина Владимировна,

учитель математики.







Тема: « Приведённое квадратное уравнение . Теорема Виета».



Цель урока: Знакомство учащихся с теоремой Виета и теоремой обратной теореме Виета и демонстрация того, что знание этих формул даёт ряд преимуществ, для решения приведённых квадратных уравнений.

Задачи:


Образовательные:

  • Повторить формулы корней квадратного уравнения ( приведённого и уравнения общего вида);

  • Установление связи между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения;

  • Сформировать у учащихся умение применять теорему Виета.


Воспитательные:

  • Способствовать выработке у школьников желания и потребностей познавать новое;

  • Воспитывать самостоятельность.


Развивающие:

  • Развивать и совершенствовать умение применять полученные знания;

  • Развивать умение делать выводы и обобщения;

  • Развивать коммуникативные навыки.





Структура и основные этапы урока.

Этапы урока.


Деятельность учителя.


Деятельность учеников.



1. Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке мы продолжаем знакомиться с различными способами решения квадратных уравнений. И сегодня мы рассмотрим теорему, которая выявляет взаимосвязь между корнями и коэффициентами приведённого квадрантного уравнения и позволяет более удобным способом решать приведённые квадратные уравнения. А для этого нам необходимо повторить?


- Сегодня мы будем стараться совершенствовать умения применять полученные знания к решению практических задач и, будем стараться развивать умение обобщать и делать выводы. И для более успешного усвоения нового материала нужно стараться воспитывать способность самостоятельно выполнять задания, вырабатывать желание и потребности к изучению нового.





- Нужно повторить все виды квадратных уравнений и формулы по которым находим корни квадратных уравнений.


2. Повторение изученного материала. Историческая справка.


- Итак, ребята, чтобы подготовиться к изучению нового материала, нам необходимо вспомнить всё, что мы знаем о квадратных уравнениях.

Задание № 1. На доске записаны следующие уравнения.

1.2х2 – 5 = 0.

2. х2 – х – 6 = 0.

3. х4 – 3х + 2 = 0.

4. 2х2 – 3х + 1 = 0.

5. 5х2 – 3х = 0.

6. х2 + 6х + 5 = 0.

7. 3х – 5 = 0.

8. 7х2 = 0

9. х2 – 6х + 8 = 0.

- Назовите номера уравнений, которые не являются квадратными?

- Почему уравнения № 3 и № 7 не являются квадратными.



- какие виды квадратных уравнений можно выделить среди записанных?




- Сколько корней может иметь квадратное уравнение?


- От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

- А дискриминант от чего зависит?

- Замечательно, т. е какой вывод можно сделать. Информация о виде и о корнях квадратного уравнения скрыта, где?


- Сегодня на уроке мы будем наблюдать, как взаимосвязаны корни и коэффициенты приведённого квадратного уравнения. Этой зависимостью между корнями и коэффициентами занимался великий французский математик, фамилию которого мы узнаем, если правильно разгадаем кроссворд, который у вас на карточках.

Я диктую вопрос, а вы записываете ответ, и если мы правильно ответим на все вопросы, то в выделенном столбике у нас получится фамилия математика.

1) Квадратное уравнение с первым коэффициентом равным 1 называется?

2) Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения называется?

3) 3х2 = 0 . Как называется это уравнение?

4) Как называются числа а и в записи квадратного уравнения?.

- И что же вы получили в выделенном столбике?

- А сейчас Алина нам расскажет о жизни и деятельности Франсуа Виета.














- не являются квадратными уравнения № 3 и № 7.

- Потому что в 3 уравнении неизвестное в 4 степени, а в 7 – в первой степени.

- неполные уравнения,

Приведённые квадранные уравнения и квадратные уравнения общего вида.

- два корня, один корень, либо не иметь корней.

- от дискриминанта.

- от а, в и с.

В коэффициентах.








- Ученики в парах отвечают на вопросы и записывают ответы.

- Приведённое.

- Дискриминант.


- Неполное.

- Коэффициенты.

-Виет.

- Алина делает доклад, а остальные слушают.


3. Изучение нового материала.

- А теперь давайте узнаем, какую же взаимосвязь увидел Виет между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения. Записываем число, классная работа и тема урока « Теорема Виета».

Итак, у нас на доске записаны 3 приведённых квадратных уравнения. Решим их. Ксюша и Коля идут к доске, а остальные решают уравнения самостоятельно.

Ксюша и Алина решают 9 уравнение по формуле корней приведённого квадратного уравнения, Коля и Катя решают 2 уравнение по общей формуле, а Лёша решает 6 уравнение по той формуле, которая ему больше нравиться.

- А сейчас проверим, правильно ли мы решили уравнения. И полученные нами результаты занесём в таблицу.



Уравнение.

х1

х2

х1 + х2

х1 * х2

х2 – 6х + 8 = 0

4

2

6

8

х2 - х – 6 = 0

3

- 2

1

- 6

х2 + 6х + 5 = 0

- 1

- 5

- 6

5


- А сейчас внимательно посмотрим на полученные нами суммы и произведения корней и коэффициенты, что вы видите.





- А как вы думаете, в каждом ли приведённом уравнении сумма корней будет равна - р, а произведение корней равно q?



-Я думаю , что по трём решённым примерам вывод делать рано, а вдруг это случайность и я специально подобрала вам такие уравнения.







- Итак, мы теперь с уверенностью можем сказать, что если х1 и х2 являются корнями приведенного квадратного уравнения, то их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Данное утверждение называется теоремой Виета, по имени математика Виета .Свою знаменитую теорему он доказал в 1591 году.

Итак запишем в тетради:

Если х1 и х2 корни приведенного квадратного уравнения х2 + рх +q =0, то

х1 + х2 = - р

х12 = q


А сейчас выполним следующее задание, нам нужно заполнить таблицу



Уравнение

Сумма корней

Произведение корней.

х2 - 5х – 6 = 0



х2 – 3х + ___ = 0


2

х2 +___х + 1 = 0

- 3


х2 ___х ____ = 0

5

- 7

Теорему Виета можно использовать для проверки корней. Кроме теоремы Виета справедливо утверждение обратное . Что значит обратное утверждение

- Попробуем сформулировать обратное утверждение.

Если даны такие р,q, х1 и х2 их сумма равна -р, а произведение q, то х1 и х2 являются корнями приведённого квадратного уравнения.










Ученики решают уравнения, Ксюша проговаривает вслух всё что делает, а остальные решают самостоятельно.





Ученики у доски каждый проговаривает корни своего уравнения и заполняет таблицу.


Ученики должны обратить внимание на то что сумма корней равна коэффициенту р с противоположным знаком, а произведение корней точно такое же как и q.

Мнения детей могут разделиться, одни считают, что это условие выполняется всегда, а другие сомневаются.

- Кто – либо из учеников догадается что для того чтобы не сомневаться нужно попробовать это доказать.

На доске Лёша в общем виде находит сумму корней и произведение корней приведённого квадратного уравнения














- Ученики проговаривают и заполняют таблицу




- Это утверждение в котором условие и заключение поменяли местами.




4. Первичное

Закрепление.

- А сейчас посмотрим как обратную

Теорему используют для решения уравнений подбором

Записываем уравнение и решим его

х2 + 4х – 12 =0


х1 + х2 = -4

х1 * х2 = -12 по обр. т. Виета

Подбирать начинаем с произведения. Произведение двух чисел отрицательно, в каком случае это может быть.

- А сумма двух чисел отрицательна значит число с большим модулем должно быть… . Какими будут числа х1 и х2 .


Решим ещё одно уравнение


2 – 5х – 3 = 0

Как выдумаете ребята, можно ли это уравнение решить по обратной теореме Виета?






- А какое преобразование можно сделать, чтобы это уравнение преобразовать в приведённое?


- Любое ли приведённое уравнение можно решить подбором?








- Когда умножаются два числа с разными знаками.


- отрицательным

- перебором вариантов ученики должны догадаться , что эти числа - 6 и 2.


Мнение детей может разделиться , но в конечном итоге они проговорят, что по обратной теореме Виета решается только приведённые квадратные уравнения.

Можно разделить обе части уравнения на коэффициент при х2

- Не любое, потому что в некоторых уравнениях дискриминант не вычисляется, поэтому корни не являются целыми числами и подбором их найти нельзя.


5. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

- Итак, ребята, чем мы сегодня занимались на уроке и что узнали нового?









- Записываем д/з. На дом № 456( 4, 6) и интересное задание на карточках.

х2 – 5х + 4 = 0 - 1 и – 4


х2 + 5х + 4 = 0 - 1 и 4


х2 – 3х – 4 = 0 1 и 4


х2 + 3х – 4 = 0 1 и – 4.


На карточках записаны четыре уравнения и четыре пары ответов. Но каждый из ответов не соответствует уравнению написанному рядом. Вам нужно определить уравнение соответствующее каждой паре чисел и соединить уравнение и корни стрелкой. Будете ли вы решать каждое уравнение.


И в заключении я прочитаю вам стихотворение о теореме Виета


По праву, достойна в стихах быть воспетой,

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого,

Умножь ты корни, число уж готово.

А сумма корней нам тоже видна,

Пусть с минусом, правда, но не беда.


Урок окончен. До свидания.

Ученики отвечают что на уроке мы познакомились с теоремой Виета и с теоремой обратной теореме Виета,

Узнали новый способ решения приведённых уравнений и повторили ранее знакомые способы решения уравнений.












- Не обязательно решать уравнение достаточно применить теорему Виета.


Урок алгебры " Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета"
  • Математика
Описание:

Данный урок был составлен по учебнику Алгебра 8 класс под редакцией Ш.А. Алимова и является уроком изучения нового материала. В ходе изучения данной темы ученики уже знакомы с понятием и с формулой корней приведённого квадратного уравнения, им предстоит установить взаимосвязь между корнями и коэффициентами уравнения и научиться подбором решать приведённые квадратные уравнения.

Домашнее задание, в котором предстоит сопоставить корни предложенным уравнениям, предлагаю подготовить на карточках. Ученикам нужно только провести стрелочки, чтобы не терять время. Сообщение заранее учительпредлагает подготовить одному из учеников.

Автор Торопова Галина Владимировна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 510
Номер материала 30738
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓