|
1.
Организационный момент.
|
- Здравствуйте,
ребята. Сегодня на уроке мы продолжаем знакомиться с различными способами
решения квадратных уравнений. И сегодня мы рассмотрим теорему, которая
выявляет взаимосвязь между корнями и коэффициентами приведённого квадрантного
уравнения и позволяет более удобным способом решать приведённые квадратные
уравнения. А для этого нам необходимо повторить?
- Сегодня мы будем
стараться совершенствовать умения применять полученные знания к решению
практических задач и, будем стараться развивать умение обобщать и делать
выводы. И для более успешного усвоения нового материала нужно стараться
воспитывать способность самостоятельно выполнять задания, вырабатывать
желание и потребности к изучению нового.
|
- Нужно повторить все
виды квадратных уравнений и формулы по которым находим корни квадратных
уравнений.
|
|
2. Повторение
изученного материала. Историческая справка.
|
- Итак, ребята,
чтобы подготовиться к изучению нового материала, нам необходимо вспомнить всё,
что мы знаем о квадратных уравнениях.
Задание № 1. На
доске записаны следующие уравнения.
1.2х2
– 5 = 0.
2. х2
– х – 6 = 0.
3. х4
– 3х + 2 = 0.
4. 2х2
– 3х + 1 = 0.
5. 5х2
– 3х = 0.
6. х2
+ 6х + 5 = 0.
7. 3х
– 5 = 0.
8. 7х2
= 0
9. х2
– 6х + 8 = 0.
- Назовите номера
уравнений, которые не являются квадратными?
- Почему уравнения
№ 3 и № 7 не являются квадратными.
- какие виды
квадратных уравнений можно выделить среди записанных?
- Сколько корней
может иметь квадратное уравнение?
- От чего зависит
количество корней квадратного уравнения?
- А дискриминант от
чего зависит?
- Замечательно, т.
е какой вывод можно сделать. Информация о виде и о корнях квадратного
уравнения скрыта, где?
- Сегодня на уроке
мы будем наблюдать, как взаимосвязаны корни и коэффициенты приведённого
квадратного уравнения. Этой зависимостью между корнями и коэффициентами
занимался великий французский математик, фамилию которого мы узнаем, если
правильно разгадаем кроссворд, который у вас на карточках.
Я диктую
вопрос, а вы записываете ответ, и если мы правильно ответим на все вопросы,
то в выделенном столбике у нас получится фамилия математика.
1) Квадратное
уравнение с первым коэффициентом равным 1 называется?
2) Подкоренное
выражение в формуле корней квадратного уравнения называется?
3) 3х2 =
0 . Как называется это уравнение?
4) Как называются
числа а и в записи квадратного уравнения?.
- И что же вы
получили в выделенном столбике?
- А сейчас Алина
нам расскажет о жизни и деятельности Франсуа Виета.
|
- не являются
квадратными уравнения № 3 и № 7.
- Потому что в 3
уравнении неизвестное в 4 степени, а в 7 – в первой степени.
- неполные
уравнения,
Приведённые квадранные
уравнения и квадратные уравнения общего вида.
- два корня, один
корень, либо не иметь корней.
- от дискриминанта.
- от а, в и с.
В коэффициентах.
- Ученики в парах
отвечают на вопросы и записывают ответы.
- Приведённое.
- Дискриминант.
- Неполное.
- Коэффициенты.
-Виет.
- Алина делает
доклад, а остальные слушают.
|
|
3. Изучение
нового материала.
|
- А теперь давайте
узнаем, какую же взаимосвязь увидел Виет между корнями и коэффициентами
приведённого квадратного уравнения. Записываем число, классная работа и тема
урока « Теорема Виета».
Итак, у нас на
доске записаны 3 приведённых квадратных уравнения. Решим их. Ксюша и Коля
идут к доске, а остальные решают уравнения самостоятельно.
Ксюша и Алина
решают 9 уравнение по формуле корней приведённого квадратного уравнения, Коля
и Катя решают 2 уравнение по общей формуле, а Лёша решает 6 уравнение по той
формуле, которая ему больше нравиться.
- А сейчас проверим,
правильно ли мы решили уравнения. И полученные нами результаты занесём в
таблицу.
|
Уравнение.
|
х1
|
х2
|
х1 + х2
|
х1 * х2
|
|
х2 –
6х + 8 = 0
|
4
|
2
|
6
|
8
|
|
х2 -
х – 6 = 0
|
3
|
- 2
|
1
|
- 6
|
|
х2 +
6х + 5 = 0
|
- 1
|
- 5
|
- 6
|
5
|
- А сейчас
внимательно посмотрим на полученные нами суммы и произведения корней и
коэффициенты, что вы видите.
- А как вы думаете,
в каждом ли приведённом уравнении сумма корней будет равна - р, а
произведение корней равно q?
-Я думаю , что по
трём решённым примерам вывод делать рано, а вдруг это случайность и я специально
подобрала вам такие уравнения.
- Итак, мы теперь с
уверенностью можем сказать, что если х1 и х2 являются
корнями приведенного квадратного уравнения, то их сумма равна второму
коэффициенту с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.
Данное утверждение называется теоремой Виета, по имени математика Виета .Свою
знаменитую теорему он доказал в 1591 году.
Итак запишем в
тетради:
Если
х1 и х2 корни приведенного квадратного уравнения
х2 + рх +q =0, то
х1 + х2 = - р
х1
*х2 = q
А сейчас выполним следующее задание, нам нужно заполнить таблицу
|
Уравнение
|
Сумма корней
|
Произведение
корней.
|
|
х2 -
5х – 6 = 0
|
|
|
|
х2 –
3х + ___ = 0
|
|
2
|
|
х2
+___х + 1 = 0
|
- 3
|
|
|
х2
___х ____ = 0
|
5
|
-
7
|
Теорему Виета можно использовать для проверки корней. Кроме теоремы
Виета справедливо утверждение обратное . Что значит обратное утверждение
- Попробуем сформулировать обратное утверждение.
Если даны такие р,q, х1 и х2 их сумма
равна -р, а произведение q, то х1 и х2 являются
корнями приведённого квадратного уравнения.
|
Ученики решают
уравнения, Ксюша проговаривает вслух всё что делает, а остальные решают
самостоятельно.
Ученики у доски
каждый проговаривает корни своего уравнения и заполняет таблицу.
Ученики должны
обратить внимание на то что сумма корней равна коэффициенту р с
противоположным знаком, а произведение корней точно такое же как и q.
Мнения детей могут
разделиться, одни считают, что это условие выполняется всегда, а другие
сомневаются.
- Кто – либо из
учеников догадается что для того чтобы не сомневаться нужно попробовать это
доказать.
На доске Лёша в
общем виде находит сумму корней и произведение корней приведённого
квадратного уравнения
- Ученики
проговаривают и заполняют таблицу
- Это утверждение в
котором условие и заключение поменяли местами.
|
|
4. Первичное
Закрепление.
|
- А сейчас посмотрим как обратную
Теорему используют для решения уравнений подбором
Записываем уравнение и решим его
х2 + 4х – 12 =0
х1 + х2 = -4
х1 * х2 = -12 по обр. т. Виета
Подбирать начинаем с произведения. Произведение двух чисел
отрицательно, в каком случае это может быть.
- А сумма двух чисел отрицательна значит число с большим модулем
должно быть… . Какими будут числа х1 и х2 .
Решим ещё одно уравнение
2х2 – 5х – 3 = 0
Как выдумаете ребята, можно ли это уравнение решить по обратной
теореме Виета?
- А какое преобразование
можно сделать, чтобы это уравнение преобразовать в приведённое?
- Любое ли
приведённое уравнение можно решить подбором?
|
- Когда умножаются
два числа с разными знаками.
- отрицательным
- перебором
вариантов ученики должны догадаться , что эти числа - 6 и 2.
Мнение детей может
разделиться , но в конечном итоге они проговорят, что по обратной теореме
Виета решается только приведённые квадратные уравнения.
Можно разделить обе
части уравнения на коэффициент при х2
- Не любое, потому
что в некоторых уравнениях дискриминант не вычисляется, поэтому корни не
являются целыми числами и подбором их найти нельзя.
|
|
5. Подведение
итогов урока. Домашнее задание.
|
- Итак, ребята,
чем мы сегодня занимались на уроке и что узнали нового?
- Записываем д/з.
На дом № 456( 4, 6) и интересное задание на карточках.
х2
– 5х + 4 = 0 - 1 и – 4
х2
+ 5х + 4 = 0 - 1 и 4
х2
– 3х – 4 = 0 1 и 4
х2
+ 3х – 4 = 0 1 и – 4.
На карточках
записаны четыре уравнения и четыре пары ответов. Но каждый из ответов не
соответствует уравнению написанному рядом. Вам нужно определить уравнение
соответствующее каждой паре чисел и соединить уравнение и корни стрелкой.
Будете ли вы решать каждое уравнение.
И в заключении я
прочитаю вам стихотворение о теореме Виета
По праву, достойна
в стихах быть воспетой,
О свойствах корней
теорема Виета.
Что лучше, скажи,
постоянства такого,
Умножь ты корни,
число уж готово.
А сумма корней нам
тоже видна,
Пусть с минусом,
правда, но не беда.
Урок окончен. До
свидания.
|
Ученики отвечают
что на уроке мы познакомились с теоремой Виета и с теоремой обратной теореме
Виета,
Узнали новый способ
решения приведённых уравнений и повторили ранее знакомые способы решения
уравнений.
- Не обязательно
решать уравнение достаточно применить теорему Виета.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.