Главная / Математика / Урок - лекция: "Делимость чисел".

Урок - лекция: "Делимость чисел".

Тема урока «Делимость чисел»

ПЛАН:

1. Организационный момент 2’

2. Объяснение темы 36’

3. Домашнее задание 2’


ЦЕЛИ:

Образовательная: Обобщение и углубление темы «делимость натуральных чисел и их свойства», изученные в 5 – 6 классах, вывод доказательств свойств делимости целых неотрицательных чисел.


Развивающая: Внимательность, усидчивость, расширить кругозор и математическую культуру учащихся, развить умение самостоятельно мыслить.


Воспитательная: Познавательный интерес к предмету, умение слушать окружающих, аккуратность


МЕТОД: Словесный, наглядный


ФОРМА: Коллективная


ТИП: Урок лекция


ОБОРУДОВАНИЕ:

























ХОД УРОКА


1. Организационный момент

Здравствуйте, садитесь. Тема сегодняшнего занятия «Делимость чисел. Натуральные числа и их свойства. Делимость целых неотрицательных чисел». Урок пройдет в форме лекции. Внимательно слушайте, конспектируйте записи и включайтесь в работу вместе со мной.


2.

В 5- 6 классах мы изучали свойства натуральных, целых и рациональных чисел и арифметические операции над ними. В основе изучения целых и рациональных чисел лежали свойства натуральных чисел и операций над ними. В самом деле, положительное рациональное число задается парой натуральных чисел ( числителем и знаменателем дроби, изображающей это число) и все операции над такими числами сводятся к операциям над их числителями и знаменателями. Отрицательные числа получаются путем приписывания знака «- » к положительному числу. Поэтому в основе всей арифметики лежат натуральные числа.

По сути дела, вся теория натуральных чисел сводится к одному единственному отношению – «следовать за». Например, 4 следует за числом 3, 17 – за числом 16, и т. д. при этом есть число 1, которое ни за каким другим натуральным числом не следует. Существуют четыре свойства отношения следования,из которых можно вывести все остальные свойства натуральных чисел и операций над ними. Эти свойства сформулировал итальянский математик ДЖ. Пеано ( 1858 – 1932) в 1891 г.

  • Единица – натуральное число, которое не следует ни за каким другим натуральным числом

  • За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

  • Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за одним и только одним натуральным числом

  • Совокупность натуральных чисел, содержащая число 1, а вместе с каждым числом и следующие за ним число, содержит все натуральные числа.


Основные утверждения:

  • Для натуральных чисел существуют операции сложения и умножения, причем сумма и произведение натуральных чисел являются натуральными числами

  • Сложение и умножение натуральных чисел обладают свойствами перестановочности и сочетательности: a + b = b + a , ab = ba, ( a + b ) + c = a + ( b + c ), ( ab)c = a( bc)

  • Умножение натуральных чисел обладает свойством распределительности относительно сложения: a(b+c) = ab + ac

  • Имеет место равенство 1а = а


Далее к натуральным числам присоединяют число 0, для которого выполняются равенства а + 0 = а , а · 0 = 0

После чего определяют отношение «а меньше b» , обозначающее, что в последовательности 0, 1, 2, 3, 4, …,n , … число а встречается раньше числа b.

При этом a < b в том и только в том случае, когда найдется такое натуральное число с, что а + с = b. Число с – называют разностью чисел b и а и обозначают b – а.

Имеют место равенства:

a – b – c = a – ( b + c) , a – b + c = a – ( b – c) , ( a – b ) c = ac – bc


Отношение a < b обладает следующими свойствами:

  • Для любых чисел а и b выполняется одно и только одно из отношений a < b, a > b, a = b.

  • Если a < b и b < c, то a < c

  • В любой совокупности натуральных чисел, содержащих хотя бы одно число, есть наименьшее число

  • Если a < b , то для любого натурального числа с имеем a + c < b + c, ac < bc

  • Если c < a < b , то a – c < b – c


Из сформулированных выше свойств натуральных можно вывести ряд следующих утверждений:

  • Равенство ab = 0 выполняется в том и только том случае, когда один из множителей равен нулю.


В самом деле, если а = о или b = 0, то ab = 0. обратно, если а не равно 0 и b не равно 0, то a и b – натуральные числа, а поэтому их произведение – натуральное число, а не нуль.

  • Если k не = 0 и ak = bk, то a = b


В самом деле, имеем 0 = akbk = (ab)k. Так как k не = 0, то из этого равенства следует, что ab = 0, т. е. a = b.

N- совокупность всех натуральных чисел

N0 – совокупность целых неотрицательных чисел.


Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости. Мы изучали его в 6- Ом классе, но лишь разъясняли свойства делимости на примерах, а не доказывали их. Сейчас проведем доказательство этих свойств.


Число а из N0 делится на число b из N0 , если есть такое число с из N0 , что a = bc. В этом случае пишут a hello_html_222902f.gif b.


Так как для любого b имеем 0b = 0, то для любого b из N0 справедливо, что

0 hello_html_222902f.gifb . Если a hello_html_222902f.gifb и b не = 0, то существует лишь одно число с из N0 такое что a = bc. В самом деле, если a = bc1 и a = bc2, причем с1 не равно с2, то 0 = bс1bс2 = b( c1c2), чего не может быть , поскольку b не = 0 и c1c2 не = 0


Единственное число с такое, что a = bc, называют частным от деления a на b ( b не = 0) и обозначают a hello_html_222902f.gifb или a/b


Из равенства а = а1 и а = 1а следует, что для любого а из N0 имеем а hello_html_222902f.gif а = 1 при а не = 0 и а hello_html_222902f.gif1 = а.


Запись 0 : 0 не имеет числового значения, так как для всех b из N0 справедливо равенство 0 = b0 и потому 0 : 0 не определено, так как в этом случае нет ни одного числа с из N0 такого, сто = 0 с. Кратко говорят: «делить на ноль нельзя.»


Утверждения о делимости чисел из N0 :

  • Если a hello_html_222902f.gifb и а > 0, то ab

  • Если a hello_html_222902f.gifb и b hello_html_222902f.gif а , то a = b

  • Если a hello_html_222902f.gifb и b hello_html_222902f.gifc, то a hello_html_222902f.gif с

  • Если a hello_html_222902f.gif с и b hello_html_222902f.gif с , то для любых чисел m и n из N0 имеем ( ma + nb) hello_html_222902f.gif с. Если кроме того ma > nb, то ( ma - nb) : с.

  • Если a hello_html_222902f.gifb и k не = 0, то ka hello_html_222902f.gif k b

  • Если ka hello_html_222902f.gif k b и k не = 0, то a hello_html_222902f.gifb

  • Если a hello_html_222902f.gif bс, то (а : b ) hello_html_222902f.gif с , а если (a : b) hello_html_222902f.gifс то a hello_html_222902f.gifbс


Докажем свойство 3.


Если a hello_html_222902f.gifb и b hello_html_222902f.gifc, то найдутся такие числа k и l из N0 , что a = bk, b = cl . но тогда имеем a = ( cl)k = c(lk)/ Поскольку lk принадлежит N0 , то a hello_html_222902f.gifс


Докажем свойство 6.

Заметим, что в силу ka hello_html_222902f.gif k b найдется такое число с из N0 , что ak = ( bk) c = ( bc)k. Так как k не = 0, то равенство ak = ( bc) k может выполнятся лишь тогда, когда a = bc. Значит , a hello_html_222902f.gif b


При доказательстве различных утверждений о натуральных числах используют некоторые утверждения о совокупностях ( множествах) целых неотрицательных чисел. Назовем множество А, состоящее из некоторых целых неотрицательных чисел, конечным, если найдется такое число а из N, что х ≤ а для всех х из А. Например, множество трехзначных натуральных чисел конечно, так как все такие числа меньше, чем 1000. утверждения, о которых шла речь, формулируются следующим образом:

А) В любом множестве чисел из N0 , содержащем хотя бы одно число ( непустом), есть наименьшее число.

Б) В любом непустом конечном множестве чисел N0 есть наибольшее число.


ПРИМЕР:

Докажем, что для лыбых двух натуральных чисел a и b, таких что b ≤ а, найдется такое натуральное число q , что bqa < b(q + 1).


Решение:

Обозначим через А множество всех натуральных чисел с, таких, что bca. Это множество не пустое, так как ему принадлежит число 1. В самом деле, b1 = ba. Далее, А – конечно, так как все числа из А не больше, чем а. Действительно, если с > а, то bc> aba и поэтому с не принадлежит А. по утверждению Б) из сказанного выше следует, что в А есть наибольшее число q. Это значит, что bqa, а b(q + 1) > a.


Теорема: Если a и b – натуральные числа, такие что ab и b >1, то найдутся такие числа q и r из N0 что a = bq + r, причем 0 ≤ r < q.


Доказательство: ( из примера) Из ba следует, что существует такое число q из N, что bqa < b(q + 1). Обозначим разность abq через r. Тогда имеем a = bq + r, причем 0 ≤ r < b/

Теорема доказана.


Покажем что числа q и r, для которых a = bq + r, причем 0 ≤ r < q. Однозначно определяются числами a и b. В самом деле,

пусть a = bq1 + r1 = bq2 + r2 , причем 0 ≤r1 < r2 < b.

Тогда 0 = (bq1 + r1) – (bq2 + r2) = b (q1 q2) + (r1 - r2).

И поэтому r2r1 = b (q1 q2).Значит r2r1 делится на b.

Поскольку b не = 0, отсюда следует, что r2r1b. Но это не может быть, так как 0 ≤r1 < r2 < b. И поэтому r2r1< b.

Аналогично доказывается невозможность неравенства r2 < r1. Поэтому r2 =r1.

Но тогда bq1 = bq2 и так как b не = 0, то q1 = q2.

Итак, пара чисел (q, r) однозначно определяется заданием пары чисел ( a, b). Число q называют неполным частным при делении а и b , а число r – остатком при делении.


3. Выучить конспект. Доказать 2, 4 и 5 свойства делимости.


подчеркнутые слова конспектируются под диктовку в тетради учениками

Урок - лекция: "Делимость чисел".
  • Математика
Описание:

ЦЕЛИ:

Образовательная: Обобщение и углубление темы «делимость натуральных чисел и их свойства», изученные в 5 – 6 классах, вывод доказательств свойств делимости целых неотрицательных чисел.

 

Развивающая:  Внимательность, усидчивость, расширить кругозор и математическую культуру учащихся, развить умение самостоятельно мыслить.

 

Воспитательная: Познавательный интерес к предмету, умение слушать окружающих, аккуратность

                   

Автор Казарцева Анна Викторовна
Дата добавления 23.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 529
Номер материала 10658
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓