- 22.12.2020
- 5317
- 54
Решение задач по теме «Системы счисления»
Системы счисления
Системой счисления называется совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.
Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.
Система счисления называется непозиционной, если значение цифры в записи числа не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древнегреческая и др.
Система счисления называется позиционной,
если значение цифры в записи числа зависит от позиции, которую
она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры позиционных
систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.
В позиционных системах счисления основание системы счисления – это количество цифр, используемых в записи числа. В таблице собраны примеры нескольких систем счисления с указанием их основания и алфавита.
|
Название системы |
Основание |
Используемые цифры |
|
Десятичная |
10 |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
|
Двоичная |
2 |
0,1 |
|
Восьмеричная |
8 |
0,1,2,3,4,5,6,7 |
|
Шестнадцатеричная |
16 |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |
В следующей таблице приведены первые 17 числе нескольких систем счисления:
|
Основание |
|
||||||||||||||||
|
«10» |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
«2» |
0 |
1 |
10 |
11 |
100 |
101 |
110 |
111 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«8» |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
20 |
|
«16» |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
Обратите внимание, что при последовательном счете, начиная с нуля, в любой системе обязательно наступает момент, когда число становится двузначным и обозначается как «10». Появление двух знаков в изображении числа означает, что кончились знаки алфавита данной системы счисления и приходится использовать комбинацию из двух цифр.
Развернутая форма записи чисел
В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде: Aq = ±(an-1qn-1+an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + … + a-mq-m) – развернутая форма числа.
Здесь:
А – само число,
q – основание системы счисления,
ai – цифры данной системы счисления (an-2; an-1 и др.),
n – число разрядов целой части числа,
m - число разрядов дробной части числа.
Пример 1. Записать в развернутом виде число А10 = 5124,23
5124,2310 = 5*103 + 1*102 + 2*101 + 4*100 + 2*10-1 + 3*10-2
Пример 2. Записать в развернутом виде число А8 = 327,14
327,148 = 3*82 + 2*81 + 7*80 + 1*8-1 + 4*8-2
Пример 3. Записать в развернутом виде число А16 = 3D,2E
3D,2E 16 = 3*161 + D*160 + 2*16-1 + E*16-2 = 3*161 + 13*160 + 2*16-1 + 14*16-2
Свернутой формой записи чисел называется запись в виде
A = an-1an-2…a1a0,a-1a-2…a-m . именно такой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни.
Перевод из десятичной системы в другие системы счисления
Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую.
1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.
2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, , привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
Например, для перевода из десятичной системы в двоичную, делят на 2; для перевода в восьмеричную – на 8 и т.д.
Пример 4. 17510 à x2
Таким образом, 17510 à101011112
Пример 5. 17510 àх8
Таким образом, 17510 à2578
Пример 6. 17510 àх16
Число 15 в шестнадцатеричной системе записывается как «F», а число 10 – как «А». Таким образом, 17510 àAF16
Дробную часть числа, если таковая имеется, переводят по другому алгоритму.
1. Последовательно умножить данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.
2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Пример 7 0,62510à x2
|
|
625 *2 |
|
0 |
1250 *2 |
|
0 |
2500 *2 |
|
0 |
5000 *2 |
|
1 |
0000 |
Получаем: 0,62510à 0,00012
Пример 8. 0,6562510à x8
|
0, |
65625 *8 |
|
5 |
25000 *8 |
|
2 |
00000 |
Получаем: 0,6562510à 0,528
Пример 9. 0,6562510à x16
|
0, |
65625 *16 |
|
10 (А) |
50000 *16 |
|
8 |
00000 |
Получаем: 0,6562510à 0,А816
Пример 10 . 0,910à x2
|
|
9 *2 |
|
1 |
8 *2 |
|
1 |
6 *2 |
|
1 |
2 *2 |
|
0 |
4 *2 |
|
0 |
8 *2 |
|
1 |
6 |
…..
Этот перевод можно продолжать бесконечно. В этом случае деление производим до тех пор, пока не получим нужную точность представления числа.
Получаем: 0,910à 0,1110012 с точностью до семи значащих цифр после запятой.
Для перевода произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.
Пример 11. 2145,8610à х16. Дробную часть вычислять до пятого знака.
1) 214510à х16
214510à 86116
2) 0,8610à х16
|
0, |
86 *16 |
|
13 (D) |
76 *16 |
|
12 (C) |
16 *16 |
|
2 |
56 *16 |
|
8 |
96
|
|
15 (F) |
36 |
Получаем: 0,8610à 0,DC28F2 с точностью до пяти значащих цифр после запятой.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную
Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.
1. Представить число в развернутой записи. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.
2. Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.
Пример 12. 1101,012 ® х10
1. Запишем число 1101,012 в развернутой форме: 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2.
2. Найдем сумму ряда: 23 + 22 + 20 + 2-1 + 2-2 = 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,7510.
Пример 13. 0,718 ® х10
1. Запишем число 0,718 в развернутой форме: 7*8-1 + 1*8-2.
2. Найдем сумму ряда: 7*0,125 + 0,0625 = 0,937510.
Перевод
чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием
q = 2n.
Алгоритм перевода двоичных чисел в систему счисления с основанием q = 2n.
1. Целую часть двоичного числа разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в крайней левой в целой части и/или в крайней правой в дробной части группе окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число изаписать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием =2n.
Пример 14. 1101110,00012 ® х8
1101110,00012 ® 156,048
Пример 14. 1101110,00012 ® х16
1101110,00012 ® 6Е,116
Перевод чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.
Алгоритм перевода чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.
1. Каждую цифру числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n, заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример 15. 315,028 ® х2
315,028 ® 11001101,000012
Пример 16. 12С16 ® х2
12С16 ® 1001011002
Двоичная арифметика
Таблица сложения двоичных чисел
|
+ |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
10 |
1 означает перенос в следующий разряд
Таблица вычитания двоичных чисел
|
- |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
11 |
|
1 |
1 |
0 |
1 означает заем из старшего разряда
Таблица умножения двоичных чисел
|
* |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Пример 17.
|
1101,01 + 111,10 10100,11
|
1001,10 -- 100,01 101,01
|
1011 * 101 ------ 1011 1011 ------------- 110111 |
|
Обратите внимание на то, что 1 +1 +1 = 1 + перенос 1 в следующий разряд |
|
|
Примеры из заданий ЕГЭ
1. Задание А1 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)
Дано А=9D16, B=2378. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A<C<B?
|
1) 10011010 |
|
|
2) 10011110 |
|
|
3) 10011111 |
|
|
4) 11011110 |
|
Решение.
Переведем все данные нам числа в десятичную систему счисления. Проще будет сравнивать числа.
A = 9D16 = 9*161 + D*160 = 144 + 13*1 = 15710.
В = 2378 = 2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910.
Значит, чтобы выполнялось условие A<C<B, С должно быть равно 15810. Сразу исключаем ответ под номером 3, так как это нечетное число.
Далее переведем 15810 в двоичную систему счисления. 15810 = 100111102. Правильный ответ 2.
2. Задание А4 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)
Вычислите сумму чисел X и Y, если X=1101112 , Y=1358
Результат представьте в двоичном виде.
|
1) 110101002 2) 101001002 3) 100100112 4) 100101002
Решение. Переведем число Y = 1358 в двоичную систему счисления.
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = 1358 = 10111012. Выполним сложение двоичных чисел.
1 1 0 1 1 1
+ 1 0 1 1 1 0 1
-------------------
1 0 0 1 0 1 0 0 Правильный ответ 4.
3. Задание B3 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
Решение.
Допустим, что основание системы равно х, тогда составим развернутую форму записи числа:
100х = 1*x2 + 0* x1 + 0*x0 = x2.
По условию задачи х2 = 4910. Найдем х:
х2 = 49 Þ х = 7.
Можно выполнить проверку. Переведем число 4910 в 7-ричную систему счисления:
Ответ: 7.
4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.
Решение.
Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления 17-2 = 15. Найдем делители числа 15, это числа 3, 5 ,15.
Выполним проверку, записав число 17 в системах счисления с основанием 3, 5 , 15:
1710 = 1223 = 325 = 1215.
Ответ: 3, 5, 15.
3. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
В саду 100q фруктовых деревьев. Из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?
Решение.
По условию 33q + 22q + 16q + 5q + = 100q.
Воспользуемся развернутой формой записи чисел:
(3*q1 + 3*q0) + (2*q1 + 2*q0) + (1*q1 + 6*q0) + 5*q0 = 1*q2 + 0*q1 + 0*q0;
3q + 3 + 2q + 2 + q + 6 + 5 = q2;
q2 – 6q – 16 = 0 Þ q = 8. Проверку выполните самостоятельно.
Ответ: 8.
4. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
(Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 41, запись которых в системе счисления с основанием 3, оканчивается на 12.
Решение.
В интервале от 4 до 41 выберем те числа, которые при делении на 3 дают остаток 2. Это 5, 8, 11, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41.
Далее из полученных чисел выберем, у которых частное от их деления 3, при делении на 3 еще раз, дает остаток 1.
1) 41: 3 = 13 (ост. 2)
13 : 3 = 4 (ост. 1) Þ 41 – искомое число.
2) 38 : 3 = 12 (ост. 2)
12 : 3 = 4 (ост. 0) – при переводе числа 38 в 3-ричную систему счисления получим число, оканчивающееся на 10, а не на 12 как нам требуется по условию задания. Не забудьте в ответе выписать полученные числа в порядке возрастания!
Ответ: 5, 14, 23, 32, 41.
5. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)
Сумму восьмеричных чисел 17 + 170 + 1 700 + … + 1 700 000 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.
Решение.
Решим задание «в лоб». Найдем сумму восьмеричных чисел 17 + 170+1 700+17 000 + 170 000 + 1 700 000.
2 111 1078 ® х10 ® y16
2 111 1078 ® 561 73510 ® 89 24716.
Ответ: 2.
Задания для самостоятельного решения.
1. Найдите наименьшее из чисел А, В, С и D, записанных в различных системах счисления, если А = 10244, В = 4716, С = 7310, D = 10010102.
1) А 2) В 3) С 4) D
Ответ: 2.
2. Какое из неравенств выполняется для чисел А = 1648, В = А316, С = 22004?
1) A < B < C 2) A < C < B 3) B < A < C 4) C < B < A
Ответ: 2.
3.
Сколько значащих нулей содержится в двоичной записи суммы чисел а = 1058
и
b = С616?
1) 3 2) 4 3) 2 4) 5.
Ответ: 4.
4.
Сколько единиц содержится в двоичной записи суммы чисел а = 3А16
и
b = 738?
1) 3 2) 5 3) 4 4) 6.
Ответ: 2.
3. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается как 110. Укажите это основание.
Ответ: 3.
4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 15 оканчивается на 3.
Подсказка. Основание системы должно быть больше 3.
Ответ: 4 ,6 ,12.
5. В системе счисления с некоторым основанием q число 5810 записывается как 134q. Укажите это основание.
Ответ: 6.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Решение задач. Системы счисления. Общие сведения. Перевод из двоичной в десятичную систему счисления и обратно. Развернутая форма записи чисел. Перевод из десятичной системы в другие системы счисления. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную. q = 2n. q = 2n в двоичную систему счисления.
6 663 247 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Волова Наталия Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.