Главная / Математика / Учебно – методическое пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 230103

Учебно – методическое пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 230103


7

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Выксунский металлургический техникум»














Учебно – методическое пособие

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов специальности 230103




















Выкса

2011


Составлена в соответствии с государственными

Одобрена

Цикловой комиссией

Председатель

В.М. Осипова

требованиями к минимуму содержания и уровню

подготовки выпускников по специальности:

230103«Автоматизирование систем обработки

информации и управления (по отраслям)»

Зам. Директора по учебной работе ВМТ

Э.Р. Ремизова






Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для студентов средних специальных учебных заведений, изучающих курс теории вероятностей и математической статистики. Теоретический материал составлен в соответствии со структурой действующей учебной программы. В пособии представлены задачи, которые служат для усвоения материала всех разделов теории вероятностей и математической статистики. В процессе решения задач студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, но и учится применять эти знания при постановке и решении реальных задач. В учебном пособии собраны все необходимые теоретические сведения, задачи с решениями, а также большое количество задач для самостоятельной работы.



Составитель:


Г.М.Конухина – преподаватель

Выксунского Металлургического техникума







Рецензенты:

В.М. Осипова– преподаватель Выксунского Металлургического техникума



Содержание

ВВЕДЕНИЕ

  1. Основы комбинаторики 5

  2. Основы теории вероятностей 8

  3. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики 13

  4. Непрерывные случайные величины(НСВ) 17

  5. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел 23

  6. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения 27

Приложения

Введение

Корни теории вероятностей уходят далеко в глубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже Но все-таки начало теории вероятностей как науки приписывают середине XVII века. Из исторических романов мы помним: это время королей и мушкетеров, прекрасных дам и благородных кавалеров. Как это ни парадоксально, с именем одного из них, причем реального исторического лица, связано начало теории вероятностей.

Следует сразу оговориться, что основоположником теории вероятностей считают великого ученого, математика, физика и философа Блеза Паскаля (1623-1662). Но полагают, что впервые он занялся теорией вероятностей под влиянием вопросов, поставленных перед ним одним из придворных французского двора шевалье де Мере (1607-1648). Блестящий кавалер, умный и развитый человек, де Мере увлекался философией, искусством и ... был азартным игроком! Но игра, оказывается, тоже была для него поводом для довольно глубоких размышлений. Де Мере предложит Б.Паскалю два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам.

Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из практической потребности. В строгой математической форме она способна отражать закономерности, которые характерны для большого количества случайных событий.





Раздел 1. Элементы комбинаторики

Компетенции:

Уметь определять тип комбинаторного объекта(тип выборки).

Рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях.

Ключевые понятия:

В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов совершения каких-либо действий. Задачи такого типа называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением таких задач – комбинаторикой. Сформулируем 2 универсальных правила, применяемых при решении комбинаторных задач.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-либо m действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами и так до m-го действами, которое можно выполнить nm способами, то все m действий могут быть выполнены n1n2…nm способами.

ПРАВИЛО СУММЫ. Пусть требуется выполнить одно из каких-либо m действий, взамноисключа.щих друг друга. Если первое действие может выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами и так до m-го действия, которое можно выполнить nm способами, то выполнить одно из этих m действиями можно (n1 + n2 +…+nm ) способами.



Сhello_html_m41a7600d.gifочетания - всевозможные комбинации из n- элементов по m, в которых порядок роли не играет.

(1)



Размещения - всевозможные комбинации из n- элементов по m, которые отличаются самими элементами и их порядком.

hello_html_2bc6356a.gif

(2)



Перестановки - всевозможные комбинации из n- элементов по n, которые отличаются друг от друга только порядком. Pn=n!

Размещениями с повторениями из n элементов по k называются упорядоченные множества S, состоящие из k элементов, среди которых могут оказаться одинаковые , и отличающие друга от друга составом элементов или порядком их расположения. Чисто размещений с повторениями из n элементов по k равно

hello_html_m6a19328c.gif(3)



Сочетаниями с повторениями из n элементов по k называют подмножества множества S, состоящие из k элементов, среди которых могут оказаться одинаковые, и отличающихся друг от друга только составом элементов.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно

hello_html_m51819e78.gif(4)



Число перестановок с повторениями из n элементов, в которые первый элемент множества S входит n1 раз, второй элемент – n2 раз и так до m-го элемента, который входит nm раз (n1+n2 +…+nm=n), равно

hello_html_m5589f4da.gif(5)



Пример решения задачhello_html_m53d4ecad.gif

1. Сколько существует различных способов заполнения карточек “Спортлото” 6 из 49? Нам надо выбрать неупорядоченные подмножества размерности k = 6 из множества Х, n= 49.



Решение:

hello_html_3b0def0b.gif

hello_html_110af47f.gif



2. Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до института с 7 по 8 ч отправляется пять автобусов. Не успевший на последний из этих автобусов, опаздывает на лекцию. Сколькими способами Маша и Петя могут доехать до института в разных автобусах и не опоздать на лекцию?

РЕШЕНИЕ. Петя может доехать до института n1=5 различными способами (на одном из пяти автобусов), при этом Маше остаётся только n2=4 способа (так как один их автобусов занят Петей). Таким образом, по правилу произведения у Пети и Маши есть n1n2=hello_html_m7a3649c.gif=20 различных способов добраться до института в разных автобусах и не опоздать на лекцию.

Задачи для самостоятельного решения

1. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек из них знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 – английский и немецкий, 2 – английский и французский, 3 – немецкий и французский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знает только английский язык? Сколько человек знает только один язык?

2. Староста одного класса дал следующие сведения об учащихся: В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 учеников, учащихся на хорошо и отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом. Докажите, что в этих сведениях есть ошибка.

3. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7?

4. На железнодорожной станции имеется 10 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава?

5. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены различные премии?

6. Каждый из 10 студентов может явиться на зачет в любой из 2 назначенных дней. Сколькими способами могут студенты распределяться по дням явки на зачет? Сколькими способами могут распределиться студенты по дням явки, если каждый день должны сдавать зачет 5 студентов?





Раздел 2. Основы теории вероятностей

Компетенции:

Уметь вычислять вероятности событий по классической формуле определения вероятности.

Уметь вычислять вероятности сложных событий.

Уметь вычислять вероятности событий в схеме Бернулли.

Ключевые понятия:

Случайное событие это факт, который может, как произойти, так и не произойти при выполнении определенного комплекса условий.

Достоверным называется такое событие, которое обязательно произойдет в результате данного эксперимента.

Невозможным называется такое событие, которое никогда не произойдет в результате данного эксперимента. Несколько событий составляют полную группу, если в результате эксперимента обязательно произойдет хотя бы одно из этих событий. Два события называются несовместными, если происхождение одного из них исключает происхождение остальных в результате эксперимента.События называют равновозможными, если условия, в которых ставится эксперимент, позволяют считать, что ни одно из событий не будет происходить чаще другого при многократном повторении испытания.



Классическое определение вероятности

Р(A) =hello_html_m291207f5.gif (6)

Гhello_html_mfe8dc9a.gifеометрическое определение вероятности

(7)



Рd - вероятность попадания случайной точки в область Sd;

S - общая область, где может появляться случайная точка.





Суммой событий А и В называется событие А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда произойдет хотя бы одно из этих событий, то есть или А или В или а и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события А и В одновременно.

Разностью событий А и В называется событие А–В, которое происходит тогда и только

тогда, когда происходит А, но не происходит В.

Событием, противоположным к А называется событие hello_html_m4766d562.gif, которое происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.

Условной вероятностью события А при условии В (обозначается P(A/B)) называется вероятность, вычисленная при условии, что событие В уже произошло и, тем самым, изменило ход эксперимента. Формула для нахождения условной вероятности имеет вид:

hello_html_1b4416a.gif (8)



Теорема умножения зависимых событий

Р(АВ)=Р(А)Р(B/А)

где Р(B/А) вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А;

А и В – зависимые события.

Теорема умножения независимых событий

hello_html_40ee172.gif (9)

где А и В независимые события.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

hello_html_7232790.gif (10)

где А и В - совместные события

Теорема сложения несовместных событий

Р(A+B)=Р(A)+Р(B) (11)

где А, В - несовместные события.

Формула полной вероятности

hello_html_68583c0b.gif

(12)

где H1, H2 ,..., Hn - группа гипотез о происхождении события А. Они составляют полную группу несовместных событий.

Формула Байеса

hello_html_4516b4f5.gif (13)

Формула используется для расчета вероятностей гипотез H1H2,..., Hn при условии, что событие А уже произошло.



Повторные независимые испытания



hello_html_b381d3a.gifФормула Бернулли.

(14)

где q=1– p.



Фhello_html_7127ee51.gifhello_html_37e18b52.gifормула Пуассона.

где (15)

Локальная формула Муавра-Лапласа



hello_html_m2970301d.gif (16)

где hello_html_375dc06b.gif (17)



Интегральная теорема Лапласа



Pn(k1hello_html_426b37a.gifk2) Ф( x ) – Ф( x) (18)

где hello_html_1770c54f.gif – функция Лапласа (смотри приложение);

hello_html_586d839a.gif(19)



Пример решения задач

В квадрат со сторонами равными а наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что точка попадет внутрь вписанного в квадрат круга.

Решение:

Данная задача решается с использованием формулы геометрического определения вероятности. Мерой пространства элементарных событий hello_html_1daf4742.gif является площадь квадратаhello_html_1b8a319b.gif.

hello_html_m72796ee0.png

Площадь круга - мера события А. hello_html_338640a8.gif.

Тогда искомая вероятность будет определяться по формуле.



hello_html_52d7f4e3.jpg

Задачи для самостоятельного решения

1. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,3; второй - 0,4 ; третий - 0,7 ; четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что ни один станок в течение часа не потребует внимания рабочего.

2. Для сообщения об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора - автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.

3. В студии телевидения три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

4. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь сорок первого размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь сорок первого размера.

5. Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания для первого орудия - 0,5; для второго - 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в танк, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.

6. Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.

Раздел 3. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Компетенции:

Уметь записывать распределение ДСВ, заданной содержательным образом.

Уметь графически изображать распределение ДСВ.

Уметь записывать распределение функции от одной и двух независимых ДСВ

Ключевые понятия:

Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Рядом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Фhello_html_m2e5578df.gifункцией распределения дискретной случайной величины называют функцию:

(20)

Законы распределения ДСВ

Биномиальный закон распределения

hello_html_m3142893d.gif (21)

где q = 1 – p; k = 0, 1, ..., n.

Закон распределения Пуассона

hello_html_16c116bc.gif (22)

где - параметр распределения; k=0, 1, ..., n, ... .





Характеристики ДСВ

hello_html_m5aa6c52f.gif (23)

где hello_html_m1838bf0.gif – значение дискретной случайной величины; hello_html_m60294754.gif – вероятности принятия случайной величиной X значений hello_html_m1838bf0.gif.

Математическое ожидание биномиально распределенной с параметрами n и p случайной величины:

М(х)=np (20)

Дисперсия дискретной случайной величины:

hello_html_m71128525.gif(24)

или hello_html_m57a5f5b0.gif(25)

Дисперсия биномиально распределенной с параметрами n и p случайной величины:

hello_html_m53ed9e44.gif(26)

Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины:

hello_html_mce8e767.gif (27)











Пример решения задач

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,8. Производится три выстрела. Составить закон распределения случайной величины – числа попаданий в цель.

Решение. Дискретная случайная величина X – число попаданий в цель – распределена по биномиальному закону с параметрами hello_html_6cba0baf.gif - число независимых испытаний (выстрелов) и hello_html_902dd77.gif - вероятность попадания в цель при одном выстреле и может принимать значения hello_html_m6cbd8d26.gif с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли:

hello_html_764514b2.gif

hello_html_m1fa61bd.gif

hello_html_m6e0f2aa5.gif

hello_html_44416ebd.gif

Проверка: hello_html_3021276e.gif - верно.

Закон распределения случайной величины X имеет вид:



hello_html_7a9f0571.gif

0

1

2

3

hello_html_m2e93142c.gif

0,008

0,096

0,384

0,512



hello_html_3fb402cf.gif



Задачи для самостоятельного решения

1. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Случайная величина Х – число пар обуви, изготовленных первой фабрикой среди купленных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой величины.

2. В экзаменационном билете 3 задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,8, второй – 0,6 и третьей – 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа правильно решенных задач.

3. Случайная величина Х принимает значения hello_html_79954ba.gifи hello_html_6721d225.gif с вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(X) = 0,16. Найти значения случайной величины.

4. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

5. Найти закон распределения числа пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

6. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной велечины Х-числа опробованных ключей, построить функцию распределения для случайной величины Х.

Раздел 4. Непрерывные случайные величины(НСВ)

Компетенции:

Уметь вычислять вероятности для равномерно распределенной НСВ.

Уметь пользоваться формулой геометрического определения вероятности

Ключевые понятия:

Непрерывными случайными величинами называются случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию F(x), определяемую также как и функция распределения дискретной случайной величины, т.е.

F(x) = P(X < x) (28)

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется первая производная от функции распределения, т.е.: f(x)=F’(x)

Через известную плотность распределения непрерывной случайной величины можно найти ее функцию распределения по формуле:

hello_html_6c4466fe.gif (29)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины:

hello_html_500300f1.gif. (30)

Дисперсия непрерывной случайной величины:

hello_html_5fb4e112.gif (31)

или

hello_html_m1b9c8321.gif (32)

Законы распределения НСВ

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

hello_html_5ad35dcb.gif (33)

где hello_html_m734afb91.gif - математическое ожидание и hello_html_7691e7c8.gif - средне квадратическое отклонение – параметры нормального распределения.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

hello_html_m53698dce.gif (34)

где hello_html_340a56e4.gif, hello_html_97cf1ec.gif - параметр распределения.

Пример решения задач

По заданной функции распределения hello_html_1a8625d9.gif найти функцию плотности hello_html_278687bc.gif, построить графики hello_html_1a8625d9.gif и hello_html_278687bc.gif, найти hello_html_m37155f87.gif

hello_html_6aaeb38.gif.

hello_html_343fb2f3.gif

Решение.

Функцию плотности hello_html_278687bc.gif находим по определению hello_html_m2764903a.gif:

hello_html_3e141022.gif

Строим графики функций hello_html_1a8625d9.gif и hello_html_278687bc.gif



hello_html_md94e62c.gif



hello_html_26d14a00.gif





Пользуясь формулой , находим математическое ожидание случайной величины X:

hello_html_m68ffe1e0.gif =

Указанный интеграл вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:

hello_html_mc916b61.gif.



В нашем случае:

hello_html_47bafbaa.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m664545f2.gif

Пользуясь формулой находим дисперсию случайной величины X:

hello_html_m5714019a.gif

hello_html_m29340e4a.gif

hello_html_m37cf0d44.gif

hello_html_7c439659.gif

hello_html_m3e25bebc.gif



Тогда среднее квадратическое отклонение равно:

hello_html_403b21ef.gif

По формуле вычисляем:

hello_html_m10447b85.gif

Задачи для самостоятельного решения

1. В магазине имеются 10 телевизоров, из которых 4 дефектные. Пусть Х – случайная величина – число исправных телевизоров среди трех выбранных. Найти закон распределения X, M(X) и D(X).

2. В экзаменационном билете 3 задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,8, второй – 0,6 и третьей – 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа правильно решенных задач.

3. Случайная величина Х принимает значения hello_html_79954ba.gifи hello_html_6721d225.gif с вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(X) = 0,16. Найти значения случайной величины.

4. Найти закон распределения числа пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

5. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. 7.Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.











Раздел 5. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел

Компетенции: Знать формулировку центральной предельной теоремы

Неравенство Чебышева

Закон больших чисел в форме Чебышева

Понятие частоты события, взаимоотношения между понятиями «вероятность» и «частота»

Ключевые понятия:

Закон больших чисел в теории вероятностей ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

Неравенство Маркова

Пусть hello_html_m1c5aa94d.gif. Тогда для любого hello_html_6aac8735.gif имеет место неравенство:

hello_html_bee4516.gif (35)

или

hello_html_432ded05.gif (36)

Неравенство Чебышева

Для любой случайной величины:

hello_html_5dcb575e.gif (37)

или

hello_html_45627180.gif (38)

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева является одной из важнейших форм закона больших чисел. Пусть hello_html_3ce61cb0.gif - последовательность попарно независимых случайных величин, для которых hello_html_m20fb7042.gif, i=1,2,... . Тогда для любого hello_html_6aac8735.gif:

hello_html_m52f1744a.gif (39)

При конечном n:

hello_html_232de6a0.gif (40)

где hello_html_2e310799.gif.



Теорема Бернулли

Теорема Бернулли является также одной из форм закона больших чисел. Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и число испытаний достаточно велико, то

hello_html_94854b.gif (41)

При конечном значении n:

hello_html_m400a1b72.gif (42)

где hello_html_m7a4fb7c2.gif.

Пример решения задач

Пример. Вероятность наступления события в каждом из 1000 независимых испытаний постоянна и равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что отклонение числа наступлений события от математического ожидания будет не менее 30.

Решение. Неравенство Чебышева имеет вид:

hello_html_m11bed8e.gif.

Для применения неравенства Чебышева найдем математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) случайной величины Х – числа наступления события в 1000 независимых испытаниях:

M(Х)=np=1000hello_html_7c707c70.gif0,3=300;

D(Х)=npq=1000hello_html_7c707c70.gif0,3hello_html_7c707c70.gif0,7=210,

где q=1– p.

Отсюда, искомая вероятность Phello_html_27972e63.gif

Задачи для самостоятельного решения

1. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 300 г?

2. Средний суточный расход электроэнергии в населенном пункте для личных нужд составляет 4000 квтч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте не превзойдет 10000 квтч.

3. Дано: hello_html_7477495b.gif; D(X) = 0,004. Используя неравенство Чебышева, найти .

4. Вероятность того, что покупатель произведет покупку в магазине, равна 0,65. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что из 2000 покупателей число сделавших покупки, будет находиться в границах от 1260 до 1360 включительно? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.

5. Для определения урожайности поля из 200 га взяли выборку с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 2. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности от средней урожайности не превосходит 0,2 ц.

6. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, большей 0,95, можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,2?







Раздел 6. Выборочный метод статистические оценки параметров распределения

Компетенции:

Знать:

Сущность выборочного метода

Понятия дискретного и интервального вариационных рядов

Понятия полигона и гистограммы методику их построения

Рассчитывать по данной выборки точечные оценки для генеральной средней

Рассчитывать доверительный интервал с заданной надежностью для математического ожидания нормального распределения при известной (неизвестной) дисперсии

Рассчитывать доверительный интервал с заданной надежностью для вероятности событий

Ключевые понятия:

Генеральная совокупность, выборка, ранжированный ряд, варианты,

вариационный ряд, полигон частот, гистограмма частот, понятие точечной оценки, понятие интервальной оценки, надежность доверительного интервала.

Статистические оценки параметров распределения

Одной из основных задач математической статистики является сбор и группировка статистических сведений, полученных в результате наблюдений или эксперимента. Совокупность данных называется выборкой, их количество – объемом выборки, разность между большим и меньшим элементом – размахом выборки. При достаточно большом объеме выборки неудобно представлять наблюдение перечислением. В этом случае используется понятие статистического ряда.

Выборочный метод.

Общий вид дискретного вариационного ряда:

хi

x1

x2

xk

ni

n1

n2

nk

Здесь хi– варианты, ni– соответствующие им частоты.

Общий вид интервального вариационного ряда:

[аii+1)

[a1;a2)

[a2;a3)

[ak;ak+1)

ni

n1

n2

nk

Здесь аi – границы частичных интервалов. На которые разбивается выборка, ni– соответствующие им частоты (количество выборочных данных, попавших в i-ый интервал.).

Эмпирической функцией распределения hello_html_m3126a9d2.gif называется функция, определяющая для каждого значения х относительную частоту события X

hello_html_m35380bf8.gif (43)

где hello_html_m42719482.gif - число вариант, меньших x

Полигоном частот называют, ломаную кривую, отрезки которой соединяют точки hello_html_6d5a922a.gif. Пример полигона частот приведен на рисунках

hello_html_m766f4909.pnghello_html_5e57745a.png

Полигон Гистограмма



Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению hello_html_b9c922f.gif (плотности частоты). Площадь гистограммы частот равна объему выборки n.

Точечные и интервальные оценки параметров

Точечные оценки параметра – приближенное значение этого параметра, полученное по данным выборки, вычисленное при помощи определенных формул и описанное одним числом θв

Интервальной называется оценка генерального параметра θг , которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый генеральный параметр θг.

Несмещенной называют такую точечную оценку θв , математическое ожидание которой равно оцениваемому генеральному параметру при любом объеме выборки, то есть M[θв ] = θг Если равенство нарушается, то в этом случае оценка θв называется смещенной.

Эффективной называется точечная оценка θв , которая (при заданном объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Статистическая оценка hello_html_m4d623272.gifназывается состоятельной, если

hello_html_m546ffe87.gif (44)

где hello_html_m1a0aabd0.gif - сколь угодно малое положительное число.

Несмещенной оценкой генеральной средней (генерального математического ожидания) служит выборочная средняя (выборочное математическое ожидание):

hello_html_m659aaea1.gif

(45)

Смещенной оценкой генеральной дисперсии Dг [x] служит выборочная дисперсия:

hello_html_65e7f40.gif(46)

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки θв называется вероятность γ , с которой осуществляется событие θг − θв < δ, то есть

γ = P(θг − θв < δ). (47)

Обычно надежность оценки (доверительная вероятность γ ) задается.

Причем в качестве γ берут число, близкое к единице (0,95; 0,99; 0,999).

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью γ покрывает оцениваемый генеральный параметр. В соотношении (47), если раскрыть модуль, получается P(− δ < θв − θг < δ) = γ или P(θв − δ < θг < θв + δ) = γ

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии

Пусть с.в. hello_html_m6b8af2b5.gif - известна, доверительная вероятность(надёжность) hello_html_368a497d.gif- задана.

Пусть hello_html_120f6006.gif - выборка, полученная в результате проведения n независимых наблюдений за с.в. X. Чтобы подчеркнуть случайный характер величин hello_html_120f6006.gif, перепишем их в виде hello_html_37c71a92.gif, т.е. под hello_html_5d4b5678.gif будем понимать значение с.в. X в i-м опыте. Случайные величины hello_html_37c71a92.gif - независимы, закон распределения любой из них совпадает с законом распределения случайной величины X (т.е. hello_html_m32d2ba37.gif). А это значит, что hello_html_6148dbe3.gif

Выборочное среднее

hello_html_m51e8724f.gif(48)

также будет распределено по нормальному закону (примем без доказательства).Параметры распределения hello_html_m304f3210.gifтаковы: hello_html_52e97d7f.gif. Действительно,

В соответствии с определением доверительного интервала получаем, что доверительный интервал для hello_html_m5c6b2b5d.gifесть

hello_html_m2d3167a5.gif

где t определяется из равенства hello_html_2e2df93.gif, т.е. из уравнения

hello_html_3e671630.gif(50)

(или hello_html_526ba287.gif ); при заданном hello_html_368a497d.gif по таблице функции Лапласа находим аргумент t.







Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть с.в. hello_html_m6b8af2b5.gif - неизвестна, hello_html_368a497d.gif - задана. Найдём такое число hello_html_363d9209.gif, что бы выполнялось соотношение hello_html_23253aa0.gif

или

hello_html_17bc4292.gif.(51)

Введём случайную величину

hello_html_m46d0b3dc.gif(52)

Где S – исправленное среднее квадратическое с.в. X, вычисленное по формуле:

hello_html_m727b339a.gif(53)

Интервал

hello_html_64973857.gif(54)

Покрывает hello_html_m5c6b2b5d.gif с вероятностью hello_html_368a497d.gif, т.е. является доверительным интервалом для известного математического ожидания с.в. X.





Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения

Интервальной оценкой математического ожидания hello_html_4a361efe.gif нормального распределения:

  • при известном среднеквадратическом отклонении hello_html_6dfb637e.gif является доверительный интервал

hello_html_653f024e.gif (55)

  • при неизвестном среднеквадратическом отклонении hello_html_6dfb637e.gif является доверительный интервал

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m16652ae1.gif (56)

с надежностью hello_html_m4976bc3d.gif,

Частость как точечная оценка вероятности события

Оhello_html_m15efa60c.gifhello_html_be45e8f.gifбозначим через р неизвестную вероятность появления случайного события А в единичном испытании.

Приближенное значение Р вероятности р определяется в виде

hello_html_61421682.png (57)

где - частость появления события А в n испытаниях;

m - число появления события А в n испытаниях.

Интервальная оценка вероятности события

Интервальная оценка для р задается в виде

P(p1

где (p1, p2) - границы интервала для вероятности р, отвечающие надежности 1-α, α - уровень значимости.

Интервальная оценка зависит от объема выборки n.

Статистическая оценка hello_html_m4d623272.gifназывается несмещенной, если

hello_html_m306c699.gif

где hello_html_m12c0bc52.gif – оцениваемый параметр теоретического распределения.

Если hello_html_16ee136b.gif, статистическая оценка называется смещенной.

Выборочное и исправленное среднеквадратическое отклонение

hello_html_m36971aab.gif(59)

Выборочная средняя

hello_html_m20c9cf4b.gif (52) или hello_html_61610c8f.gif (60)

где n – объем выборки, а k –количество различных вариант в выборке.

Выборочная дисперсия

hello_html_5226026f.gif(61)

или

hello_html_65e7f40.gif(62)

исправленная дисперсия является несмещенной оценкой и определяется по формуле

hello_html_m2705d0bf.gif(63)

или

hello_html_4e621edd.gif (64)



Модой называется варианта, имеющая наибольшую частоту или относительную частоту.

Медианой выборки Ме называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.



Для дискретной выборки, при нечетном числе вариант n

hello_html_m63ed6bcd.gif (65)

а при четном числе вариант n

hello_html_m9741c96.gif (66)







Пример 1. Произведено 5 независимых наблюдений над с.в. hello_html_2f213ead.gif. Результаты наблюдений таковы: hello_html_6cbaa26d.gif. Найти оценку для hello_html_m5c6b2b5d.gif, а также построить для него 95%-й доверительный интервал.

Решение. Находим сначала hello_html_m36e234e.gif, т.е. hello_html_172d59b9.gif. Учитывая, что hello_html_41677ef4.gif и hello_html_3e671630.gif, получаем hello_html_m10497d66.gif. По таблице находим, что hello_html_1e28494c.gif. Тогдаhello_html_62fd4a13.gif (по формуле hello_html_m48125100.gif). Доверительный интервал для hello_html_m5c6b2b5d.gifтаков: (4-17,5; 4+17,5), т.е.(-13,5; 21,5).





Пример 2. По условию примера 1 считая, что с.в. hello_html_6e7ad24d.gif, построить для неизвестного hello_html_m5c6b2b5d.gif доверительный интервал. Считать hello_html_41677ef4.gif

Решение. Оценку hello_html_627420d4.gif для hello_html_66ceac4c.gif уже знаем: hello_html_627420d4.gif=4. Находим значение S: hello_html_51a7008d.gif. По таблице для hello_html_41677ef4.gif и hello_html_6370e186.gif находим hello_html_m1c2889e0.gif. Следовательно, hello_html_5b307a3d.gif. Доверительный интервал таков: (-27,9; 35,9).




Пример Случайная величина Х задана функцией распределения

hello_html_m137a6cfc.gif

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание М(Х); дисперсию D(X); вероятности Р(Х<0,5), P(0,5hello_html_m7ceebba.gifXhello_html_m7ceebba.gif2).

Решение. Плотность вероятности – это производная от функции распределения, тогда

hello_html_m578b4609.gif

Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле hello_html_2606f3da.gif:

hello_html_79ca5601.gif


дисперсия - по формуле hello_html_m5f8d530b.gif:

hello_html_m13a6446c.gif

Найдем вероятности Р(X<0,5), P(0,5hello_html_m7ceebba.gifXhello_html_m7ceebba.gif2):

P(X<0,5)=F(0,5)=0,52=0,25;

P(0,5hello_html_m7ceebba.gifXhello_html_m7ceebba.gif2)=F(2)-F(0,5)=1-0,52=1-0,25=0,75.


Пример Установлено, что распределение диаметров эритроцитов хорошо описывается нормальным законом распределения с математическим ожиданием hello_html_1f57cfba.gifм и средним квадратичным отклонением hello_html_3aac37cb.gifм. Найти симметричный относительно hello_html_m77b294c2.gif интервал диаметров, в который попадает 90% эритроцитов.

Решение. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа hello_html_363d9209.gif, т.е. вероятность неравенства hello_html_7821b114.gif равна hello_html_m2aa007f8.gif.

Величина вероятности Р в задаче задана, поэтому:


hello_html_m65c5fa3b.gif откуда hello_html_3f94e3ba.gif

Из приложения 3 находим, что функция hello_html_m3c05b9e.gif тогда, когда ее аргумент hello_html_446e5600.gif. Отсюда hello_html_m3c2b30cb.gifм = hello_html_m485b5382.gifм.

Теперь найдем интервал диаметров hello_html_m3108321a.gif

hello_html_m725cffab.gif

hello_html_m7f74ea0a.gif

hello_html_m7442e90d.gif

hello_html_bbb46f.gif

Следовательно, интервал диаметров для 90% эритроцитов можно записать в виде hello_html_m233d04a2.gif.


Задания для самостоятельной работы.

1. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна 0, а случайные ошибки распределены нормально с hello_html_34dc9db4.gifм. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более 5 метров при надёжности hello_html_58467739.gif?

2. Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки p с надёжностью 0,95, если в 400 испытаниях событие A появилось 80 раз.


3. Построить полигон по данному распределению:

xi

2

4

5

7

10

ni

20

10

14

6

8

4. Построить гистограмму по данному распределению выборки объёма

n = 100:

Частичный интервал

Сумма частот вариант частичного интервала ni

1-5

5-9

9-13

13-17

17-21

10

20

50

12

8





Контрольная работа

При выполнении контрольной работы студент подставляет вместо буквенных обозначений значения индивидуальных анкетных характеристик.



Р1-число букв в полном имени студента.

Р2-число букв в месяце рождения студента.

Р3-число букв в фамилии студента.



  1. В учебной группе Р1 Р2 студентов. Сколькими различными способами можно их разбить на бригады по Р3 человек?

  2. В рекламном агентстве имеется Р13 агентов и 4 менеджера. Сколькими способами можно составить бригаду, состоящую из трех агентов и одного менеджера?

  3. Сколькими способами можно составить сувенирный набор из трех различных предметов из Р1 ложек, Р2 вилок и Р3 ножей?

  4. Бросаются три игральных кубика. Определить вероятность появления ровно Р2 очков в сумме.

  5. Среди (Р23) деталей имеются четыре бракованных. Произвольно вынимаются пять деталей. Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна бракованная?

  6. На трех станках изготавливаются патроны. На первом станке в минуту изготавливается- Р1 патронов, на втором- Р2 патронов и на третьем- Р 3атронов. Установлено, что после часа работы на первом станке 2% патронов, на втором 3% патронов и на третьем 5% патронов бракованные. На контроль берется 1 патрон после каждого часа работы. Определить вероятность того, что он будет бракованным.

  7. В ящике Р1расных шара, Р2белых и Р3зеленых. Вытаскивают наудачу 6 шаров. Какова вероятность, что среди них 1 красный, 2 белых и три зеленых шара?

  8. Три стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 1/ Р2 и для третьего 1/ Р3. Найти вероятность того, что:



А) в мишень попадает только один стрелок;

Б) в мишень попадают только два стрелка;

В) в мишень попадают все три стрелка;

Г) в мишень попадает хотя бы один из стрелков?



  1. Студент знает Р из (Р13) вопросов программы. Найти вероятность, что студент ответит на предложенные ему экзаменатором три вопроса.

  2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 1/ Р1. Составить закон распределения случайной величины X- числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Элементы математической статистики


  1. Совокупность наблюдений, отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называется

1)

Репрезентативной

2)

Вариантой

3)

Выборкой

4)

Частотой

5)

Сплошным обследованием

6)

Частостью


  1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема hello_html_m64e2bcf0.gif, полигон частот которой имеет вид

hello_html_m7f6ad3f1.png

Тогда число вариант hello_html_m3044e2d6.gif в выборке равно …

1)

8

2)

7

3)

70

4)

6


  1. Объем выборки 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6 равен …


  1. Мода вариационного ряда, полученного по выборке 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6 равна …


  1. Размах вариационного ряда, полученного по выборке 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6 равен …


  1. Для выборки 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 установите соответствие между вариантой и ее весом

А)

2


1)

Частота равна 2

В)

3


2)

Частость равна 0,1

С)

4


3)

Накопленная частота равна 5




4)

Накопленная частость равна 0,8


  1. Объем выборки n = 50, частота варианты hello_html_5a7c6067.gif, частость этой же варианты равна …


  1. Дан вариационный ряд

варианта

1

5

7

9

частота

4

7

3

1

Накопленная частость варианты hello_html_7b0d4adb.gif равна …


  1. Дан вариационный ряд

варианта

1

5

7

9

частота

5

7

10

3

Медиана этого ряда равна …


  1. Значение величины hello_html_c51f3cd.gif равно …


  1. Укажите абсолютные показатели вариации для вариационного ряда

1)

Выборочное среднее

2)

Среднее линейное отклонение

3)

Размах

4)

Коэффициент вариации

5)

Выборочная дисперсия

6)

Медиана


  1. Укажите относительные показатели вариации для вариационного ряда

1)

Выборочное среднее

2)

Среднее линейное отклонение

3)

Размах

4)

Коэффициент вариации

5)

Выборочная дисперсия

6)

Медиана

7)

Относительное линейное отклонение

8)

Исправленная выборочная дисперсия


  1. Математическое ожидание оценки hello_html_4fcd0d8a.gif параметра hello_html_m11be1f37.gif равно оцениваемому параметру. Оценка hello_html_4fcd0d8a.gif является

1)

Смещенной

2)

Состоятельной

3)

Несмещенной

4)

Эффективной


  1. Оценка hello_html_4fcd0d8a.gif параметра hello_html_m11be1f37.gif сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Оценка hello_html_4fcd0d8a.gif является

1)

Смещенной

2)

Состоятельной

3)

Несмещенной

4)

Эффективной


  1. Оценка hello_html_4fcd0d8a.gif параметра hello_html_m11be1f37.gif имеет наименьшую дисперсию из всех несмещенных оценок параметра hello_html_m11be1f37.gif, вычисленных по выборкам одного объема n. Оценка hello_html_4fcd0d8a.gif является

1)

Смещенной

2)

Состоятельной

3)

Несмещенной

4)

Эффективной


  1. Произведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 2, 3, 8, 8. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

1)

5

2)

6

3)

5,5

4)

5,25


  1. Выборочная дисперсия вариационного ряда равна 3,5. Объем выборки равен 50. Исправленная выборочная дисперсия равна …

1)

3,43

2)

3,57

3)

0,07

4)

3,5


  1. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 11. Тогда его интервальная оценка может иметь вид…

1)

(10,5; 11,5)

2)

(11; 11,5)

3)

(10,5; 10,9)

4)

(10,5; 11)


  1. Произведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

1)

8,25

2)

8,5

3)

8

4)

7


  1. Дана выборка объема n. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее hello_html_m26e3bb8.gif

1)

Не изменится

2)

Увеличится в 25 раз

3)

Уменьшится в 5 раз

4)

Увеличится в 5 раз


  1. Установите соответствие между числовыми характеристиками и формулами

А)

hello_html_m26e3bb8.gif


1)

hello_html_m1e659d40.gif

В)

hello_html_2e47bfe6.gif


2)

hello_html_m45495fd4.gif

С)

hello_html_me99e67.gif


3)

hello_html_mfabc3da.gif




4)

hello_html_49154e1e.gif


  1. Выборочное среднее вариационного ряда вычисляется по формуле

1)

hello_html_1d3dfbed.gif

2)

hello_html_6473b9f1.gif

3)

hello_html_38ea5c0b.gif

4)

hello_html_m16b8da5a.gif


  1. Среднее линейное отклонение вариационного ряда вычисляется по формуле

1)

hello_html_1d3dfbed.gif

2)

hello_html_6473b9f1.gif

3)

hello_html_38ea5c0b.gif

4)

hello_html_m16b8da5a.gif


  1. Выборочная дисперсия вариационного ряда вычисляется по формуле

1)

hello_html_1d3dfbed.gif

2)

hello_html_6473b9f1.gif

3)

hello_html_38ea5c0b.gif

4)

hello_html_m16b8da5a.gif


  1. Исправленное среднее квадратическое отклонение вариационного ряда вычисляется по формуле

1)

hello_html_1d3dfbed.gif

2)

hello_html_6473b9f1.gif

3)

hello_html_38ea5c0b.gif

4)

hello_html_m16b8da5a.gif


  1. Дан вариационный ряд

варианта

1

3

5

частота

7

3

10

Установите соответствие между числовыми характеристиками и их значениями

А)

hello_html_m26e3bb8.gif


1)

3,31

В)

hello_html_2e47bfe6.gif


2)

3,3




3)

3




4)

3,39


  1. Дан вариационный ряд

варианта

1

2

3

частота

4

2

3

Величина hello_html_22ce18e3.gif равна …


  1. Дан вариационный ряд

варианта

1

2

3

частота

5

2

3

Выборочная дисперсия равна …

1)

4

2)

1,8

3)

0,84

4)

0,76


  1. Дан вариационный ряд

варианта

1

2

3

частота

5

2

3

Исправленная выборочная дисперсия равна …

1)

4

2)

1,8

3)

0,84

4)

0,76


  1. Дана выборка 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 4. Упорядочить по возрастанию числовые характеристики

А)

Выборочное среднее

В)

Мода

С)

Медиана

D)

Размах


  1. Дан вариационный ряд

варианта

2

5

7

10

частота

16

12

8

14

Установите соответствие между числовыми характеристиками и их значениями

А)

hello_html_m26e3bb8.gif


1)

2

В)

Mo


2)

5,76

C)

Me


3)

6




4)

7




5)

10


  1. Дан вариационный ряд

варианта

1

3

6

частота

10

8

12

Значение эмпирической функции распределения hello_html_m1d1d6e78.gif в точке hello_html_d062e9c.gif равно

1)

0

2)

8

3)

0,6

4)

0,8

5)

18

6)

30

7)

5

8)

12


  1. Для некоторого количественного признака известно, что hello_html_m3b0f8e9d.gif и hello_html_m499f7a17.gif. Коэффициент вариации количественного признака равен

1)

60%

2)

167%

3)

250%

4)

150%

5)

10%

6)

2,5%

7)

1,5%




  1. Дан интервальный вариационный ряд

варианта

166-170

170-174

174-178

178-182

частота

12

14

16

8

Установите соответствие

А)

Интервал моды


1)

166-170

В)

Интервал медианы


2)

170-174

C)



3)

174-178




4)

178-182


  1. Дан интервальный вариационный ряд

варианта

1-3

3-5

5-7

7-9

частота

2

3

4

1

Выборочная средняя равна…


  1. Любое предположение о виде или параметре неизвестного закона распределения называется

1)

Статистическим критерием

2)

Нулевой гипотезой

3)

Статистической гипотезой

4)

Альтернативной гипотезой


  1. Правило, по которому нулевая гипотеза отвергается или принимается называется

1)

Статистическим критерием

2)

Нулевой гипотезой

3)

Статистической гипотезой

4)

Альтернативной гипотезой


  1. Если основная гипотеза имеет вид hello_html_6be30e68.gif, то конкурирующей гипотезой может быть гипотеза …

1)

hello_html_m44839166.gif

2)

hello_html_126e0cf1.gif

3)

hello_html_347e3382.gif

4)

hello_html_m71bb8522.gif


  1. Если основная гипотеза имеет вид hello_html_2367a5ff.gif, то конкурирующей гипотезой может быть гипотеза …

1)

hello_html_2f294df0.gif

2)

hello_html_126e0cf1.gif

3)

hello_html_6d12151c.gif

4)

hello_html_72ab932.gif

















В лотерее 1000 билетов. На один билет выпадает выигрыш 5000 рублей, на десять билетов – выигрыши по 1000 рублей, на пятьдесят билетов – выигрыши по 200 рублей, на сто билетов – выигрыши по 50 рублей, остальные билеты проигрышные. Покупается один билет.

Тогда вероятность не выигрыша равна…



  • 0,849


  • 0,161


  • 0,839


  • hello_html_m22ee1d37.gif


В квадрат со стороной 12 брошена точка.

hello_html_5fad5ea0.gif

Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…


  • hello_html_m735a9494.gif


  • hello_html_5b2be360.gif


  • hello_html_m56842a97.gif


  • 2


В квадрат со стороной 6 брошена точка.

hello_html_m60724464.gif

Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…


  • hello_html_m6b4a872e.gif


  • hello_html_5b2be360.gif


  • hello_html_m56842a97.gif


  • hello_html_78a032f8.gif


В квадрат со стороной 7 брошена точка.

hello_html_37ad51c2.gif

Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…


  • hello_html_5b2be360.gif


  • hello_html_1884c6bd.gif


  • hello_html_m6b4a872e.gif


  • hello_html_m5f0308ed.gif


В первой урне 4 белых и 6 черных шаров. Во второй урне 1 белый и 9 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…


  • 0,25


  • 0,15


  • 0,5


  • 0,3




В первой урне 2 белых и 8 черных шаров. Во второй урне 5 белый и 5 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…


  • 0,35


  • 0,15


  • 0,4


  • 0,7


В квадрат со стороной 13 брошена точка.

hello_html_22947374.gif

Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…


  • hello_html_668fcaa.gif


  • hello_html_7e249a42.gif


  • hello_html_m6b4a872e.gif


  • hello_html_5b2be360.gif


В первой урне 2 белых и 8 черных шаров. Во второй урне 3 белый и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…


  • 0,11


  • 0,55


  • 0,6


  • 0,25


Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

Х

-1

0

2

4

5

Р

0,3

0,2

0,1

0,1

0,3


Тогда вероятность Р (0≤Х≤4) равна…


  • 0,7


  • 0,4


  • 0,5


  • 0,2


Если основная гипотеза имеет вид hello_html_m9afc23e.gif , то конкурирующей может быть гипоте6за…


  • hello_html_24c6f613.gif


  • hello_html_75a2c0ec.gif


  • hello_html_m3509b6a6.gif


  • hello_html_24cfebeb.gif


Если основная гипотеза имеет вид hello_html_m47b89132.gif, то конкурирующей может быть гипотеза…


  • hello_html_7b9355e0.gif


  • hello_html_5d7d9cb9.gif


  • hello_html_m5a407123.gif


  • hello_html_213838c4.gif


В квадрат со стороной 3 брошена точка.

hello_html_m60724464.gif

Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…


  • hello_html_78a032f8.gif


  • hello_html_m3f27fcaa.gif


  • hello_html_m6b4a872e.gif


  • hello_html_5b2be360.gif


По мишени производится четыре выстрела. Значение вероятности промаха при первом выстреле 0,5; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1.

Тогда вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу равна…


  • 0,003


  • 0,275


  • 1,1


  • 0,03



Событие А может наступить лишь при условии появления одного из двух несовместимых событий hello_html_59fd7b6.gif, образующих полную группу событий. Известны вероятность Р (hello_html_2ac536ad.gif) =hello_html_67f9cdf9.gif и условные вероятности

Р (hello_html_m67f94bdb.gif) =hello_html_m77683679.gif , Р (hello_html_m47ad3e3e.gif) =hello_html_79a84d00.gif .

Тогда вероятность Р (А) равна…



  • hello_html_m100df049.gif


  • hello_html_78a032f8.gif


  • hello_html_m3f27fcaa.gif


  • hello_html_5b2be360.gif


Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид


hello_html_m3808928b.gif


Тогда вероятность Р(-1≤X≤3) равна…


  • 0,7


  • 0,3


  • 0,2


  • 0,5



Статистическое распределение выборки имеет вид

hello_html_2dd5cdb9.gif

2

3

7

10

hello_html_m3beba2a3.gif

4

7

5

4

Тогда относительная частота варианты
hello_html_1fa4b346.gif, равна…


  • 0,4


  • 0,1



Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

Х

-2

1

3

Р

0,1

a

b


Тогда её математическое ожидание равно 2,1 если…


  • a=0,4; b=0,5


  • a=0,2; b=0,7


  • a=0,35; b=0,65


  • a=0,7; b=0,2


Для выборки объема n=8 вычислена выборочная дисперсия hello_html_1aacb7fa.gif. Тогда исправленная дисперсия hello_html_4f8283b.gif для этой выборки равна…


  • 144


  • 128


  • 121


  • 98



События и вероятность


Возникновение или преднамеренное создание определенного комплекса условий S, результатом которого является тот или иной исход, называется …

1)

Испытанием

4)

Опытом

2)

Событием

5)

Сочетанием

3)

Вероятностью

6)

Экспериментом


Испытанием являются…

1)

Подбрасывание игральной кости

2)

Выпадение орла при подбрасывании монеты

3)

Вытаскивание шара из урны, в которой три черных и семь белых шаров

4)

Выстрел по мишени

5)

Увеличение курса доллара в следующем месяце


Событием являются…

1)

Выигрыш по лотерейному билету

2)

Вытаскивание игральной карты из колоды в 36 карт

3)

Подбрасывание монеты

4)

Выпадение двух очков при подбрасывании игральной кости

5)

Промах при выстреле по мишени


Рассмотрим испытание: подбрасывается игральная кость. Установите соответствие:

А)

Достоверное событие

1)

Выпало 3 очка

В)

Невозможное событие

2)

Выпало больше 6 очков



3)

Выпало меньше 6 очков



4)

Выпало четное число очков


Рассмотрим испытание: подбрасывается игральная кость.
События: А – выпало 3 очка и В – выпало нечетное число очков являются:

1)

Несовместными

4)

Равновозможными

2)

Совместными

5)

Единственно возможными

3)

Противоположными




Рассмотрим испытание: из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, достают наугад один шар.
События: А – достали белый шар и В – достали черный шар являются:

1)

Несовместными

4)

Равновозможными

2)

Совместными

5)

Единственно возможными

3)

Противоположными




Несколько событий называются ____________, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

1)

Несовместными

4)

Равновозможными

2)

Совместными

5)

Единственно возможными

3)

Противоположными




События называются ____________, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из них не является объективно более возможным.

1)

Несовместными

4)

Равновозможными

2)

Совместными

5)

Единственно возможными

3)

Противоположными




События называются ____________, если наступление одного из них исключает появление любого другого.

1)

Несовместными

4)

Равновозможными

2)

Совместными

5)

Единственно возможными

3)

Противоположными




Несколько событий образуют полную группу событий, если они являются _____________ и __________________ исходами испытания.

1)

Несовместными

4)

Равновозможными

2)

Совместными

5)

Единственно возможными

3)

Противоположными

6)

Достоверными


Элементарными исходами (случаями, шансами) называются исходы некоторого испытания, если они ______ и ______.

1)

Несовместны

4)

Равновозможны

2)

Совместны

5)

Единственно возможны

3)

Образуют полную группу событий

6)

Достоверны


Укажите вероятность достоверного события …


Укажите вероятность невозможного события …


Укажите вероятность практически невозможного события

1)

1

2)

0,99

3)

0

4)

0,01


Укажите вероятность практически достоверного события

1)

1

2)

0,99

3)

0

4)

0,01


Известно, что Р(А) = 0,65. Укажите вероятность противоположного события hello_html_48fde5da.gif

1)

0,65

2)

0,35

3)

0,5

4)

-0,65


Расположите события в порядке возрастания их вероятностей:

А)

При подбрасывании двух монет два раза выпал герб

В)

При подбрасывании игральной кости выпало число очков, большее четырех

С)

Из колоды в 36 карт наугад достали туза

D)

Из урны, содержащей пять белых шаров, наугад достали черный шар

E)

При подбрасывании игральной кости выпало четное число очков


Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)

При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, большее 4


1)

0,5

В)

При подбрасывании монеты выпадет герб


2)

1

С)

Из колоды карт (36 штук) достали туза


3)

1/9




4)

1/3


Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)

При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, меньшее 4


1)

0,6

В)

Из урны, в которой 6 белых и 4 черных шара, наугад достали белый шар


2)

0,4

С)

Из колоды карт (36 штук) достали карту бубновой масти


3)

0,25




4)

0,5


Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)

При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, кратное 3


1)

1/36

В)

Из урны, в которой 6 белых и 4 черных шара, наугад достали черный шар


2)

0,4

С)

Из колоды карт (36 штук) достали пиковую даму


3)

1/3




4)

0,6


Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)

При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, равное 3


1)

0,5

В)

Из урны, в которой 6 белых, 4 черных и 10 красных шаров, наугад достали красный шар


2)

0,25

С)

При подбрасывании двух монет два раза выпал герб


3)

1/6




4)

1/3


Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)

При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, большее 1


1)

1/6

В)

Из урны, в которой 6 белых, 4 черных и 10 красных шаров, наугад достали белый шар


2)

0,3

С)

При подбрасывании двух монет выпал герб и решка


3)

0,5




4)

5/6


В урне 12 белых и 8 черных шаров. Вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым равна…


Вероятность того, что в наудачу написанном трехзначном числе все цифры одинаковые, равна…


На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 5 см. Вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок, равна …


На отрезок [0; 1] наудачу брошена точка с координатой x. Вероятность того, что координата х окажется больше 0,6, равна …


В квадрат со стороной hello_html_4a967237.gif наудачу брошена точка. Вероятность того, что эта точка попадет в круг, вписанный в квадрат, равна …


В квадрат со стороной hello_html_7fe5e356.gif наудачу брошена точка. Вероятность того, что эта точка попадет в треугольник, образованный точкой пересечения диагоналей и двумя соседними вершинами квадрата, равна …


В круг радиуса R = 1 вписан квадрат. Вероятность того, что точка, наугад брошенная в круг, попадет в квадрат, равна …


Упорядочить события по возрастанию относительной частоты:

А)

Инфаркт миокарда возникает у 41 курящего 20 сигарет в сутки из 500 человек

В)

Хорошо успевают 585 курящих из 3500 студентов

С)

Часто болеют дети в 195 семьях, в которых курит один человек, из 300 семей

D)

Курильщиками являются 508 человек старше 15 лет из 1500 человек

Е)

Инфаркт миокарда возникает у 10 некурящих из 250 человек


Установите соответствие…

А)

Число размещений из n по т


1)

hello_html_m1347e40a.gif

В)

Число перестановок


2)

hello_html_53a0771d.gif

С)

Число сочетаний из n по т


3)

hello_html_53cdcc06.gif




4)

hello_html_m6219e4d4.gif


Количество способов, которыми читатель может выбрать 4 книги из 11, равно

1)

353

2)

330

3)

341

4)

326


Количество способов, которыми можно выбрать 5 экзаменационных билетов из 9, равно

1)

135

2)

126

3)

121

4)

150


Количество способов, которыми можно сформировать экзаменационный билет из трех вопросов, если всего 25 вопросов, равно

1)

2500

2)

75

3)

575

4)

2300


Количество способов, которыми можно выбрать двух дежурных из группы студентов в 20 человек, равно

1)

200

2)

190

3)

20!

4)

18!


Количество способов, которыми могут 3 раза поразить мишень 10 стрелков, равно (каждый делает 1 выстрел)

1)

10

2)

30

3)

120

4)

720


Количество способов, которыми можно выбрать 2 карты из колоды в 36 карт, равно…


Количество различных трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3, равно…


Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Событие hello_html_m157e9cb8.gif – попадание в мишень i-м стрелком. Событие hello_html_44f153b7.gif – промах i-м стрелком. Событие А – в мишень попали два раза представляется в виде операций над событиями как…

1)

hello_html_5a565194.gif

4)

hello_html_580f404.gif

2)

hello_html_42f21117.gif

5)

hello_html_6ffe00ae.gif

3)

hello_html_m11a8bb18.gif

6)

hello_html_4f16767a.gif


Укажите верные равенства ( - невозможное событие, - достоверное событие):

1)

hello_html_4e77bddf.gif

4)

hello_html_m7a259ac9.gif

2)

hello_html_mea02920.gif

5)

hello_html_me15f6cd.gif

3)

hello_html_41b0ae44.gif

6)

hello_html_2fbb0e5a.gif


Брокерская фирма имеет дело с акциями и облигациями. Фирме полезно оценить вероятность того, что: лицо является держателем акций (событие А); лицо является держателем облигаций (событие В). Установите соответствие …

А)

А+В

1)

Лицо является держателем только акций

В)

АВ

2)

Лицо является держателем акций или облигаций

С)

А – АВ

3)

Лицо является держателем только облигаций



4)

Лицо является держателем акций и облигаций


Из появления события В с достоверностью вытекает появление события А. Укажите верные равенства

1)

А+В=А

3)

АВ=А

2)

А+В=В

4)

АВ=В


Теоремы сложения и умножения вероятностей


Равенство hello_html_17001ef7.gif имеет место для ________ событий

1)

Произвольных

4)

Противоположных

2)

Несовместных

5)

Равновозможных

3)

Совместных

6)

Единственно возможных


Равенство hello_html_m7e91bfba.gif имеет место для __________ событий

1)

Произвольных

4)

Независимых

2)

Несовместных

5)

Зависимых

3)

Совместных

6)

Равновозможных


Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна …


Сумма вероятностей противоположных событий равна …


Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,9 и 0,4 соответственно. Вероятность того, что в цель попадут оба стрелка, равна …

1)

0,5

2)

0,4

3)

0,45

4)

0,36


Урна содержит 6 белых и 9 черных шаров. Вероятность достать первым белый шар, а вторым черный, равна (шар в урну не возвращается)

1)

6/25

2)

3/5

3)

9/35

4)

2/5


В урне находится 1 белый и 2 черных шара. Из урны поочередно вынимают два шара, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются. Тогда вероятность того, что оба шара белые, равна …

1)

2/9

2)

1/6

3)

2/3

4)

1/9


По мишени производится четыре выстрела. Значение вероятности промаха при первом выстреле 0,5; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1. Тогда вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна …

1)

1,1

2)

0,03

3)

0,275

4)

0,003


ПРИЛОЖЕНИЯ


Таблица 1

Значения функции hello_html_m6ada50e.gif

hello_html_73b7c975.gif

k

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0

0,9048

0,8187

0,7408

0,6703

0,6065

0,5488

1

0,0905

0,1638

0,2222

0,2681

0,3033

0,3293

2

0,0045

0,0164

0,0333

0,0536

0,0758

0,0988

3

0,0002

0,0011

0,0033

0,0072

0,0126

0,0198

4


0,0001

0,0002

0,0007

0,0016

0,0030

5




0,0001

0,0002

0,0004

hello_html_3e3d7f64.gif

k

0,7

0,8

0,9

1,0

2,0

3,0

0

0,4966

0,4493

0,4066

0,3676

0,1353

0,0498

1

0,3476

0,3595

0,3659

0,3679

0,2707

0,1494

2

0,1217

0,1438

0,1647

0,1839

0,2707

0,2240

3

0,0284

0,0383

0,0494

0,0613

0,1804

0,2240

4

0,0050

0,0077

0,0111

0,0153

0,0902

0,1680

5

0,0007

0,0012

0,0020

0,0031

0,0361

0,1008

6

0,0001

0,0002

0,0003

0,0005

0,0120

0,0504

7




0,0001

0,0034

0,0216

8





0,0009

0,0081

9





0,0002

0,0027

10






0,0008

11






0,0002

12






0,0001

hello_html_3e3d7f64.gif

k

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

0

0,0183

0,0067

0,0025

0,0009

0,0003

0,0001

1

0,0733

0,0337

0,0149

0,0064

0,0027

0,0011

2

0,1465

0,0842

0,0446

0,0223

0,0107

0,0050

3

0,1954

0,1404

0,0892

0,0521

0,0286

0,0150

4

0,1954

0,1755

0,1339

0,0912

0,0572

0,0337

5

0,1563

0,1755

0,1606

0,1277

0,0916

0,0607

6

0,1042

0,1462

0,1606

0,1490

0,1221

0,0911

7

0,0595

0,1044

0,1377

0,1490

0,1396

0,1171

8

0,0298

0,0653

0,1033

0,1304

0,1396

0,1318

9

0,0132

0,0363

0,0688

0,1014

0,1241

0,1318

10

0,0053

0,0181

0,0413

0,0710

0,0993

0,1186

11

0,0019

0,0082

0,0225

0,0452

0,0722

0,0970

12

0,0006

0,0034

0,0113

0,0264

0,0481

0,0728

13

0,0002

0,0013

0,0052

0,0142

0,0296

0,0504

14

0,0001

0,0005

0,0022

0,0071

0,0169

0,0324

15


0,0002

0,0009

0,0033

0,0090

0,0194

16


0,0001

0,0003

0,0015

0,0045

0,0109

17



0,0001

0,0006

0,0021

0,0058


Таблица 2

Значения функции hello_html_m53c8beb6.gif

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,3989

3989

3989

3988

3986

3984

3982

3980

3977

3973

0,1

3970

3965

3961

3956

3951

3945

3939

3932

3925

3918

0,2

3910

3902

3894

3885

3876

3867

3857

3847

3836

3825

0,3

3814

3802

3790

3778

3765

3752

3739

3726

3712

3697

0,4

3683

3668

3653

3637

3621

3605

3589

3572

3555

3538

0,5

3521

3503

3485

3467

3448

3429

3410

3391

3372

3352

0,6

3332

3312

3292

3271

3251

3230

3209

3187

3166

3144

0,7

3123

3110

3079

3056

3034

3011

2989

2966

2943

2920

0,8

2897

2874

2850

2827

2803

2780

2756

2732

2709

2685

0,9

2661

2637

2613

2589

2565

2541

2516

2492

2468

2444












1,0

0,2420

2396

2371

2347

2323

2299

2275

2251

2227

2203

1,1

2179

2155

2131

2107

2083

2059

2036

2012

1989

1965

1,2

1942

1919

1895

1872

1849

1826

1804

1781

1758

1736

1,3

1714

1691

1669

1647

1626

1604

1582

1561

1539

1518

1,4

1497

1476

1456

1435

1415

1394

1374

1354

1334

1315

1,5

1295

1276

1257

1238

1219

1200

1182

1163

1145

1127

1,6

1109

1092

1074

1057

1040

1023

1006

0989

0973

0957

1,7

0940

0925

0909

0893

0878

0863

0848

0833

0818

0804

1,8

0790

0775

0761

0748

0734

0721

0707

0694

0681

0669

1,9

0656

0644

0632

0620

0608

0596

0584

0573

0562

0551












2,0

0,0540

0529

0519

0508

0498

0488

0478

0468

0459

0449

2,1

0440

0431

0422

0413

0404

0396

0387

0379

0371

0363

2,2

0355

0347

0339

0332

0325

0317

0310

0303

0297

0290

2,3

0283

0277

0270

0264

0258

0252

0246

0241

0235

0229

2,4

0224

0219

0213

0208

0203

0198

0194

0189

0184

0180

2,5

0175

0171

0167

0163

0158

0154

0151

0147

0143

0139

2,6

0136

0132

0129

0126

0122

0119

0116

0113

0110

0107

2,7

0104

0101

0099

0096

0093

0091

0088

0086

0084

0081

2,8

0079

0077

0075

0073

0071

0069

0067

0065

0063

0061

2,9

0060

0058

0056

0055

0053

0051

0050

0048

0047

0046












3,0

0,0044

0043

0042

0040

0039

0038

0037

0036

0035

0034

3,1

0033

0032

0031

0030

0029

0028

0027

0026

0025

0025

3,2

0024

0023

0022

0022

0021

0020

0020

0019

0018

0018

3,3

0017

0017

0016

0016

0015

0015

0014

0014

0013

0013

3,4

0012

0012

0012

0011

0011

0010

0010

0010

0009

0009

3,5

0009

0008

0008

0008

0008

0007

0007

0007

0007

0006

3,6

0006

0006

0006

0005

0005

0005

0005

0005

0005

0004

3,7

0004

0004

0004

0004

0004

0004

0003

0003

0003

0003

3,8

0003

0003

0003

0003

0003

0002

0002

0002

0002

0002

3,9

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0001

0001



Таблица 3

Значения функции hello_html_1963d71e.gif


x

hello_html_m449e6f9b.gif

x

hello_html_m449e6f9b.gif

x

hello_html_m449e6f9b.gif

x

hello_html_m553549ba.gif

0,00

0,0000

0,44

0,1700

0,88

0,3106

1,32

0,4066

0,01

0,0040

0,45

0,1736

0,89

0,3133

1,33

0,4082

0,02

0,0080

0,46

0,1772

0,90

0,3159

1,34

0,4099

0,03

0,0120

0,47

0,1808

0,91

0,3186

1,35

0,4115

0,04

0,0160

0,48

0,1844

0,92

0,3212

1,36

0,4131

0,05

0,0199

0,49

0,1879

0,93

0,3238

1,37

0,4147

0,06

0,0239

0,50

0,1915

0,94

0,3264

1,38

0,4162

0,07

0,0279

0,51

0,1950

0,95

0,3289

1,39

0,4177

0,08

0,0319

0,52

0,1985

0,96

0,3315

1,40

0,4192

0,09

0,0359

0,53

0,2019

0,97

0,3340

1,41

0,4207

0,10

0,0398

0,54

0,2054

0,98

0,3365

1,42

0,4222

0,11

0,0438

0,55

0,2088

0,99

0,3389

1,43

0,4236

0,12

0,0478

0,56

0,2123

1,00

0,3413

1,44

0,4251

0,13

0,0517

0,57

0,2157

1,01

0,3438

1,45

0,4265

0,14

0,0557

0,58

0,2190

1,02

0,3461

1,46

0,4279

0,15

0,0596

0,59

0,2224

1,03

0,3485

1,47

0,4292

0,16

0,0636

0,60

0,2257

1,04

0,3508

1,48

0,4306

0,17

0,0675

0,61

0,2291

1,05

0,3531

1,49

0,4319

0,18

0,0714

0,62

0,2324

1,06

0,3554

1,50

0,4332

0,19

0,0753

0,63

0,2357

1,07

0,3577

1,51

0,4345

0,20

0,0793

0,64

0,2389

1,08

0,3599

1,52

0,4357

0,21

0,0832

0,65

0,2422

1,09

0,3621

1,53

0,4370

0,22

0,0871

0,66

0,2454

1,10

0,3643

1,54

0,4382

0,23

0,0910

0,67

0,2486

1,11

0,3665

1,55

0,4394

0,24

0,0948

0,68

0,2517

1,12

0,3686

1,56

0,4406

0,25

0,0987

0,69

0,2549

1,13

0,3708

1,57

0,4418

0,26

0,1026

0,70

0,2580

1,14

0,3729

1,58

0,4429

0,27

0,1064

0,71

0,2611

1,15

0,3749

1,59

0,4441

0,28

0,1103

0,72

0,2642

1,16

0,3770

1,60

0,4452

0,29

0,1141

0,73

0,2673

1,17

0,3790

1,61

0,4463

0,30

0,1179

0,74

0,2703

1,18

0,3810

1,62

0,4474

0,31

0,1217

0,75

0,2734

1,19

0,3830

1,63

0,4484

0,32

0,1255

0,76

0,2764

1,20

0,3849

1,64

0,4495

0,33

0,1293

0,77

0,2794

1,21

0,3869

1,65

0,4505

0,34

0,1331

0,78

0,2823

1,22

0,3883

1,66

0,4515

0,35

0,1368

0,79

0,2852

1,23

0,3907

1,67

0,4525

0,36

0,1406

0,80

0,2881

1,24

0,3925

1,68

0,4535

0,37

0,1443

0,81

0,2910

1,25

0,3944

1,69

0,4545

0,38

0,1480

0,82

0,2939

1,26

0,3962

1,70

0,4554

0,39

0,1517

0,83

0,2967

1,27

0,3980

1,71

0,4564

0,40

0,1554

0,84

0,2995

1,28

0,3997

1,72

0,4573

0,41

0,1591

0,85

0,3023

1,29

0,4015

1,73

0,4582

0,42

0,1628

0,86

0,3051

1,30

0,4032

1,74

0,4591

0,43

0,1664

0,87

0,3078

1,31

0,4049

1,75

0,4599


Таблица 3. Продолжение


x

hello_html_m553549ba.gif

x

hello_html_m46438efd.gifhello_html_m53d4ecad.gif

x

hello_html_m449e6f9b.gif

x

hello_html_m449e6f9b.gif

1,76

0,4608

2,13

0,4834

2,50

0,4938

2,87

0,4979

1,77

0,4616

2,14

0,4838

2,51

0,4940

2,88

0,4980

1,78

0,4625

2,15

0,4842

2,52

0,4941

2,89

0,4981

1,79

0,4633

2,16

0,4846

2,53

0,4943

2,90

0,4981

1,80

0,4641

2,17

0,4850

2,54

0,4945

2,91

0,4982

1,81

0,4649

2,18

0,4854

2,55

0,4946

2,92

0,4982

1,82

0,4656

2,19

0,4857

2,56

0,4948

2,93

0,4983

1,83

0,4664

2,20

0,4861

2,57

0,4949

2,94

0,4984

1,84

0,4671

2,21

0,4864

2,58

0,4951

2,95

0,4984

1,85

0,4678

2,22

0,4868

2,59

0,4951

2,96

0,4985

1,86

0,4686

2,23

0,4871

2,60

0,4953

2,97

0,4985

1,87

0,4693

2,24

0,4875

2,61

0,4955

2,98

0,4986

1,88

0,4699

2,25

0,4878

2,62

0,4956

2,99

0,4986

1,89

0,4706

2,26

0,4881

2,63

0,4967

3,00

0,49865

1,90

0,4713

2,27

04884

2,64

0,4959

3,10

0,49903

1,91

0,4719

2,28

0,4887

2,65

0,4960

3,20

0,49931

1,92

0,4726

2,29

0,4890

2,66

0,4961

3,30

0,49952

1,93

0,4732

2,30

0,4893

2,67

0,4962

3,40

0,49966

1,94

0,4738

2,31

0,4896

2,68

0,4963

3,50

0,49977

1,95

0,4744

2,32

0,4898

2,69

0,4964

3,60

0,49984

1,96

0,4750

2,33

0,4901

2,70

0,4965

3,70

0,49989

1,97

0,4756

2,34

0,4904

2,71

0,4966

3,80

0,49993

1,98

0,4761

2,35

0,4906

2,72

0,4967

3,90

0,49995

1,99

0,4767

2,36

0,4909

2,73

0,4968

4,00

0,499968

2,00

0,4772

2,37

0,4911

2,74

0,4969

4,10

0,499979

2,01

0,4778

2,38

0,4913

2,75

0,4970

4,20

0,499987

2,02

0,4783

2,39

0,4916

2,76

0,4971

4,30

0,499991

2,03

0,4788

2,40

0,4918

2,77

0,4972

4,40

0,499995

2,04

0,4793

2,41

0,4920

2,78

0,4973

4,50

0,4999966

2,05

0,4798

2,42

0,4922

2,79

0,4974

4,60

0,4999979

2,06

0,4803

2,43

0,4925

2,80

0,4974

4,70

0,4999987

2,07

0,4808

2,44

0,4927

2,81

0,4975

4,80

0,4999992

2,08

0,4812

2,45

0,4929

2,82

0,4976

4,90

0,4999995

2,09

0,4817

2,46

0,4931

2,83

0,4977

5,00

0,5

2,10

0,4821

2,47

0,4932

2,84

0,4977



2,11

0,4826

2,48

0,4934

2,85

0,4978



2,12

0,4830

2,49

0,4936

2,86

0,4979













Рекомендуемая литература

  1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2001.

  2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.

  3. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1994.

  4. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. – М.: Гардарика, 1998.

  5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.

  6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 2000.

  7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Высшая школа, 2000.

  8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.

  9. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979.

  10. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:Высшая школа, 1982.

  11. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.

  12. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.

  13. Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: Мир, 1975.

  14. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТЕ-ДАНА, 2002.

  15. Солодовников А.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1983.

  16. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1982









hello_html_m4d3b7daf.png


Учебно – методическое пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 230103
  • Математика
Описание:

Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для студентов средних специальных учебных заведений, изучающих курс теории вероятностей и математической статистики. Теоретический материал составлен в соответствии со структурой действующей учебной программы. В пособии представлены задачи, которые служат для усвоения материала всех разделов теории вероятностей и математической статистики. В процессе решения задач студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, но и учится применять эти знания при постановке и решении реальных задач. В учебном пособии собраны все необходимые теоретические сведения, задачи с решениями, а также большое количество задач для самостоятельной работы.

Автор Конухина Галина Михайловна
Дата добавления 09.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров 762
Номер материала MA-065455
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓