7

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Выксунский металлургический техникум»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебно – методическое пособие

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов специальности 230103

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выкса

2011

 

Составлена в соответствии с государственными

Одобрена Цикловой комиссией Председатель В.М. Осипова

 требованиями к минимуму содержания и уровню

 подготовки выпускников по специальности:

 230103«Автоматизирование систем обработки

 информации и управления (по отраслям)»

           Зам. Директора по учебной работе ВМТ

                         Э.Р. Ремизова

 

 

 

 

 

Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для студентов средних специальных учебных заведений, изучающих курс теории вероятностей и математической статистики. Теоретический материал составлен в соответствии со структурой действующей учебной программы. В пособии представлены задачи, которые служат для усвоения материала всех разделов теории вероятностей и математической статистики. В процессе решения задач студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, но и учится применять эти знания при постановке и решении реальных задач. В учебном пособии собраны все необходимые теоретические сведения, задачи с решениями, а также большое количество задач для самостоятельной работы.

 

 

Составитель:

 

Г.М.Конухина – преподаватель

 Выксунского Металлургического   техникума

 

                  

 

 

 

 

 

Рецензенты:

В.М. Осипова– преподаватель Выксунского Металлургического техникума

 

 

Содержание

         ВВЕДЕНИЕ     

1.      Основы комбинаторики                                                                                     5

2.      Основы теории вероятностей                                                                            8

3.      Дискретные случайные величины и их числовые характеристики              13

4.      Непрерывные случайные величины(НСВ)                                                      17

5.      Центральная предельная теорема. Закон больших чисел                              23

6.      Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения   27

         Приложения
Введение

Корни теории вероятностей уходят далеко в глубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже Но все-таки начало теории вероятностей как науки приписывают середине XVII века. Из исторических романов мы помним: это время королей и мушкетеров, прекрасных дам и благородных кавалеров. Как это ни парадоксально, с именем одного из них, причем реального исторического лица, связано начало теории вероятностей.

Следует сразу оговориться, что основоположником теории вероятностей считают великого ученого, математика, физика и философа Блеза Паскаля (1623-1662). Но полагают, что впервые он занялся теорией вероятностей под влиянием вопросов, поставленных перед ним одним из придворных французского двора шевалье де Мере (1607-1648). Блестящий кавалер, умный и развитый человек, де Мере увлекался философией, искусством и ... был азартным игроком! Но игра, оказывается, тоже была для него поводом для довольно глубоких размышлений. Де Мере предложит Б.Паскалю два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам.

Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из практической потребности. В строгой математической форме она способна отражать закономерности, которые характерны для большого количества случайных событий.

 

 

Раздел 1.  Элементы комбинаторики

Компетенции:

Уметь определять тип комбинаторного объекта(тип выборки).

Рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях.

Ключевые понятия:

В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов совершения каких-либо действий. Задачи такого типа называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением таких задач – комбинаторикой. Сформулируем 2 универсальных правила, применяемых при решении комбинаторных задач.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-либо m действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами и так до m-го действами, которое можно выполнить nm способами, то все m действий могут быть выполнены n1n2…nm  способами.

ПРАВИЛО СУММЫ. Пусть требуется выполнить одно из каких-либо m действий, взамноисключа.щих друг друга. Если первое действие может выполнить n1 способами, второе действие – n2  способами и так до m-го действия, которое можно выполнить nm способами, то выполнить одно из этих m действиями можно (n1 + n2 +…+nm ) способами.

 

Сочетания - всевозможные комбинации из n- элементов по m, в которых порядок роли не играет.

                                                                                         (1)

 

Размещения - всевозможные комбинации из n- элементов по m, которые отличаются самими элементами и их порядком.

 

                                                                             (2)

 

Перестановки - всевозможные комбинации из n- элементов по n, которые отличаются друг от друга только порядком. Pn=n!

 Размещениями с повторениями из n элементов  по k называются упорядоченные множества S, состоящие из k элементов, среди которых могут оказаться одинаковые , и отличающие друга от друга составом элементов или порядком их расположения. Чисто размещений с повторениями из n элементов по k  равно

(3)

 

Сочетаниями с повторениями из n элементов по k называют подмножества множества S, состоящие из k элементов, среди которых могут оказаться одинаковые, и отличающихся друг от друга только составом элементов.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно

(4)

 

                                                                                                               

Число перестановок с повторениями из n элементов, в которые первый элемент множества S входит n₁ раз, второй элемент – n₂ раз и так до m-го элемента, который входит n_m раз  (n₁+n₂ +…+n_m =n), равно

(5)

 

Пример решения задач

   1. Сколько существует различных способов заполнения карточек “Спортлото” 6 из 49? Нам надо выбрать неупорядоченные подмножества размерности  k = 6 из множества Х, n= 49.

 

Решение:

 

2. Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до института с 7 по 8 ч отправляется пять автобусов. Не успевший на последний из этих автобусов, опаздывает на лекцию. Сколькими способами Маша и Петя могут доехать до института в разных автобусах и не опоздать на лекцию?

РЕШЕНИЕ. Петя может доехать до института n₁=5 различными способами (на одном из пяти автобусов), при этом Маше остаётся только n₂=4 способа (так как один их автобусов занят Петей). Таким образом, по правилу произведения у Пети и Маши есть n₁n₂==20 различных способов добраться до института в разных автобусах и не опоздать на лекцию.

Задачи для самостоятельного решения

1. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек из них знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 – английский и немецкий, 2 – английский и французский, 3 – немецкий и французский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знает только английский язык? Сколько человек знает только один язык?

2. Староста одного класса дал следующие сведения об учащихся: В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 учеников, учащихся на хорошо и отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом. Докажите, что в этих сведениях есть ошибка.

3. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7?

4. На железнодорожной станции имеется 10 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава?

5. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены различные премии?

6. Каждый из 10 студентов  может явиться на зачет в любой из 2 назначенных дней. Сколькими способами  могут студенты распределяться по дням явки на зачет? Сколькими способами могут распределиться студенты по дням явки, если каждый день должны сдавать зачет 5 студентов?

 

Раздел 2. Основы теории вероятностей

Компетенции:

Уметь вычислять вероятности событий по классической формуле определения вероятности.

Уметь вычислять вероятности сложных событий.

Уметь вычислять вероятности событий в схеме Бернулли.

Ключевые понятия:

Случайное событие это факт, который может, как произойти, так и не произойти при выполнении определенного комплекса условий.

Достоверным называется такое событие, которое обязательно произойдет в результате данного эксперимента.

Невозможным называется такое событие, которое никогда не произойдет в результате данного эксперимента. Несколько событий составляют полную группу, если в результате эксперимента обязательно произойдет хотя бы одно из этих событий. Два события называются несовместными, если происхождение одного из них исключает происхождение остальных в результате эксперимента.События называют равновозможными, если условия, в которых ставится эксперимент, позволяют считать, что ни одно из событий не будет происходить чаще другого при многократном повторении испытания.

 

Классическое определение вероятности

Р(A) = (6)

Геометрическое определение вероятности

   (7)

                                                                                    

 

Р_d - вероятность попадания случайной точки в область S_d;

S - общая область, где может появляться случайная точка.

 

 

Суммой событий А и В называется событие А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда произойдет хотя бы одно из этих событий, то есть или А или В или а и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события А и В одновременно.

 Разностью событий А и В называется событие А–В, которое происходит тогда и только

тогда, когда происходит А, но не происходит В.

Событием, противоположным к А называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.

Условной вероятностью события А при условии В (обозначается P(A/B)) называется вероятность, вычисленная при условии, что событие В уже произошло и, тем самым, изменило ход эксперимента. Формула для нахождения условной вероятности имеет вид:

                                                                                              (8)

 

Теорема умножения зависимых событий

Р(АВ)=Р(А)Р(B/А)

где Р(B/А) вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А;

А и В – зависимые события.

Теорема умножения независимых событий

                                                                                            (9)

где А и В независимые события.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

                                                                                                                 (10)

где А и В - совместные события

Теорема сложения несовместных событий

Р(A+B)=Р(A)+Р(B) (11)

где А, В - несовместные события.

Формула полной вероятности

                                                                                                            

                                                                                                                (12)

где H₁, H₂ ,..., H_n  - группа гипотез о происхождении события А. Они составляют полную группу несовместных событий.

Формула Байеса    

                                                                                                                 

                                                    (13)

Формула используется для расчета вероятностей гипотез H₁, H₂,..., H_n при условии, что событие А уже произошло.

 

Повторные независимые испытания

 

         Формула Бернулли.

                                                                                            (14)

где  q=1– p.

 

Формула Пуассона.

где                                                                                            (15)

                            Локальная формула Муавра-Лапласа

 

 (16)

где    (17)

 

Интегральная теорема Лапласа

 

P_n(k₁k₂) » Ф( x ^²) – Ф( x^¢) (18)

где    – функция Лапласа (смотри приложение);

(19)

 

Пример решения задач

 В квадрат со сторонами равными а наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что точка попадет внутрь вписанного в квадрат круга.

Решение:

Данная задача решается с использованием формулы геометрического определения вероятности. Мерой пространства элементарных событий  является площадь квадрата.

Площадь круга - мера события А. .

Тогда искомая вероятность будет определяться по формуле. 

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,3; второй - 0,4 ; третий - 0,7 ; четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что ни один станок в течение часа не потребует внимания рабочего.

2. Для сообщения об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора - автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.

3. В студии телевидения три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

4. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь сорок первого размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь сорок первого размера.

5.  Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания для первого орудия - 0,5; для второго - 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в танк, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.

6. Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.

Раздел 3. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Компетенции:

Уметь записывать распределение ДСВ, заданной содержательным образом.

Уметь графически изображать распределение ДСВ.

Уметь записывать распределение функции от одной и двух независимых ДСВ

Ключевые понятия:

Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Рядом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Функцией распределения дискретной случайной величины называют функцию:

                                                                          (20)

Законы распределения ДСВ

Биномиальный закон распределения

 (21)

где  q = 1 – p;  k = 0, 1, ..., n.

Закон распределения Пуассона

 (22)

где l - параметр распределения; k=0, 1, ..., n, ...  .

 

 

Характеристики ДСВ

 (23)

где  – значение дискретной случайной величины;  – вероятности принятия случайной величиной X значений .

Математическое ожидание биномиально распределенной с параметрами n и p    случайной величины:

М(х)=np (20)

Дисперсия дискретной случайной величины:

(24)

или                                      (25)

Дисперсия биномиально распределенной с параметрами n и p случайной величины:

  (26)

Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины:

 (27)

 

 

 

 

 

Пример решения задач

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,8. Производится три выстрела. Составить закон распределения случайной величины – числа попаданий в цель.

Решение. Дискретная случайная величина X – число попаданий в цель – распределена по биномиальному закону с параметрами  - число независимых испытаний (выстрелов) и  - вероятность попадания в цель при одном выстреле и может принимать значения  с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли:

Проверка:  - верно.

Закон распределения случайной величины X имеет вид:

 

	0	1	2	3
	0,008	0,096	0,384	0,512

 

 

Задачи для самостоятельного решения

1. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Случайная величина Х – число пар обуви,  изготовленных первой фабрикой среди купленных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой величины.

2. В экзаменационном билете 3 задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,8, второй – 0,6 и третьей – 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа правильно решенных задач.

3. Случайная величина Х принимает значения и  с вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(X) = 0,16. Найти значения случайной величины.

4. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

5. Найти закон распределения числа пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

6. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной велечины Х-числа опробованных ключей, построить функцию распределения для случайной величины Х.

Раздел 4. Непрерывные случайные величины(НСВ)

Компетенции:

Уметь вычислять вероятности для равномерно распределенной НСВ.

Уметь пользоваться формулой геометрического определения вероятности

Ключевые понятия:

Непрерывными случайными величинами называются случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию F(x), определяемую также как и функция распределения дискретной случайной величины, т.е.

F(x) = P(X < x) (28)

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется первая производная от функции распределения, т.е.: f(x)=F’(x)

Через известную плотность распределения непрерывной случайной величины можно найти ее функцию распределения по формуле:

 (29)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины:

. (30)

Дисперсия непрерывной случайной величины:

 (31)

или

 (32)

 

 

Законы распределения НСВ

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

 (33)

где  - математическое ожидание и  - средне квадратическое отклонение – параметры нормального распределения.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

 (34)

где ,  - параметр распределения.

Пример решения задач

По заданной функции распределения  найти функцию плотности , построить графики  и , найти

.

Решение.

Функцию плотности  находим по определению :

Строим графики функций  и   

 

 

 

 

Пользуясь формулой , находим математическое ожидание случайной величины X:

   =            

Указанный интеграл вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:

.

 

В нашем случае:

 

          

Пользуясь формулой находим дисперсию случайной величины X:

 

           

 

Тогда среднее квадратическое отклонение равно:

По формуле вычисляем:

Задачи для самостоятельного решения

1. В магазине имеются 10 телевизоров, из которых 4 дефектные. Пусть Х – случайная величина – число исправных телевизоров среди трех выбранных. Найти закон распределения X, M(X) и D(X).

2. В экзаменационном билете 3 задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,8, второй – 0,6 и третьей – 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа правильно решенных задач.

3. Случайная величина Х принимает значения и  с вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(X) = 0,16. Найти значения случайной величины.

4. Найти закон распределения числа пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

5. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. 7.Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

 

 

 

 

 

Раздел 5. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел

Компетенции: Знать формулировку центральной предельной теоремы

Неравенство Чебышева

Закон больших чисел в форме Чебышева

Понятие частоты события, взаимоотношения между понятиями «вероятность» и «частота»

Ключевые понятия:

Закон больших чисел в теории вероятностей ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

Неравенство Маркова

            Пусть  . Тогда для любого  имеет место неравенство:

 (35)

или

 (36)

Неравенство Чебышева 

Для любой случайной величины:

 (37)

или

 (38)

 

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева является одной из важнейших форм закона больших чисел. Пусть  - последовательность попарно независимых случайных величин, для которых , i=1,2,... . Тогда для любого :

 (39)

При конечном n:

  (40)

где .

 

            Теорема Бернулли

Теорема Бернулли является также одной из форм закона больших чисел. Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и число испытаний достаточно велико, то

  (41)

При конечном значении n:

 (42)

где .

Пример решения задач

Пример. Вероятность наступления события в каждом из 1000 независимых испытаний постоянна и равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что отклонение числа наступлений события от математического ожидания будет не менее 30.

Решение. Неравенство Чебышева имеет вид:

.

Для применения неравенства Чебышева найдем математическое ожидание  М(Х) и дисперсию D(Х) случайной величины Х – числа наступления события в 1000 независимых испытаниях:

M(Х)=np=10000,3=300;

D(Х)=npq=10000,30,7=210,

где q=1– p.

Отсюда, искомая вероятность P

Задачи для самостоятельного решения

1. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 300 г?

2. Средний суточный расход электроэнергии в населенном пункте для личных нужд составляет 4000 квтч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте не превзойдет 10000 квтч.

3. Дано: ;  D(X) = 0,004. Используя неравенство Чебышева, найти e.

4. Вероятность того, что покупатель произведет покупку в магазине, равна 0,65. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что из 2000 покупателей число сделавших покупки, будет находиться в границах от 1260 до 1360 включительно? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.

5. Для определения урожайности поля из 200 га взяли выборку с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 2. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности от средней урожайности не превосходит 0,2 ц.

6. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, большей 0,95, можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,2?

 

 

 

Раздел 6. Выборочный метод статистические оценки параметров распределения

Компетенции:

Знать:

Сущность выборочного метода

Понятия дискретного и интервального вариационных рядов

Понятия полигона и гистограммы методику их построения

Рассчитывать по данной выборки точечные оценки для генеральной средней

Рассчитывать доверительный интервал с заданной надежностью для математического ожидания нормального распределения при известной (неизвестной) дисперсии

Рассчитывать доверительный интервал с заданной надежностью для вероятности событий

Ключевые понятия:

Генеральная совокупность, выборка, ранжированный ряд, варианты,

вариационный ряд, полигон частот, гистограмма частот, понятие точечной оценки, понятие интервальной оценки, надежность доверительного интервала.

Статистические оценки параметров распределения

Одной из основных задач математической статистики является сбор и группировка статистических сведений, полученных в результате наблюдений или эксперимента. Совокупность данных называется выборкой, их количество – объемом выборки, разность между большим и меньшим элементом – размахом выборки. При достаточно большом объеме выборки неудобно представлять наблюдение перечислением. В этом случае используется понятие статистического ряда.

Выборочный метод.

Общий вид дискретного вариационного ряда:

хi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

Здесь х_i – варианты, n_i – соответствующие им частоты.

Общий вид интервального вариационного ряда:

[аi;аi+1)	[a1;a2)	[a2;a3)	…	[ak;ak+1)
ni	n1	n2	…	nk

Здесь а_i – границы частичных интервалов. На которые разбивается выборка, n_i – соответствующие им частоты (количество выборочных данных, попавших в i-ый интервал.).

Эмпирической функцией распределения  называется функция, определяющая для каждого значения х относительную частоту события  X<x, тo есть

 (43)

где  - число вариант, меньших x

Полигоном частот называют, ломаную кривую, отрезки которой соединяют точки . Пример полигона частот приведен на рисунках

                   

         Полигон                                                                   Гистограмма

 

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению  (плотности частоты). Площадь гистограммы частот равна объему выборки n.

Точечные и интервальные оценки параметров

Точечные оценки параметра – приближенное значение этого параметра, полученное по данным выборки, вычисленное при помощи определенных формул и описанное одним числом  θв

Интервальной называется оценка генерального параметра θг , которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый генеральный параметр θг. 

Несмещенной называют такую точечную оценку θв , математическое ожидание которой равно оцениваемому генеральному параметру при любом объеме выборки, то есть  M[θв ] = θг Если равенство нарушается, то в этом случае оценка θв называется смещенной.

Эффективной называется точечная оценка θв , которая (при заданном объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Статистическая оценка называется состоятельной, если

 (44)

где  - сколь угодно малое положительное число.

Несмещенной оценкой генеральной средней (генерального математического ожидания) служит выборочная средняя (выборочное математическое ожидание):

                                                                              

                                                                                     (45)     

Смещенной оценкой генеральной дисперсии Dг [x] служит выборочная дисперсия:

 ₍₄₆₎  

    Надежностью (доверительной вероятностью) оценки θв называется вероятность γ , с которой осуществляется событие θг − θв < δ, то есть

γ = P(θг − θв < δ). (47)

Обычно надежность оценки (доверительная вероятность γ ) задается.

Причем в качестве γ берут число, близкое к единице (0,95; 0,99; 0,999).

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью γ покрывает оцениваемый генеральный параметр. В соотношении (47), если раскрыть модуль, получается  P(− δ < θ_в − θ_г < δ) = γ или P(θ_в − δ < θ_г < θ_в + δ) = γ

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии

Пусть с.в.  - известна, доверительная вероятность(надёжность) - задана.

Пусть  - выборка, полученная в результате проведения n независимых наблюдений за с.в. X. Чтобы подчеркнуть случайный характер величин , перепишем их в виде , т.е. под  будем понимать значение с.в. X в i-м опыте. Случайные величины  - независимы, закон распределения любой из них совпадает с законом распределения случайной величины X (т.е.  ). А это значит, что

Выборочное среднее

(48)

также  будет распределено по нормальному закону (примем без доказательства).Параметры распределения таковы: . Действительно,

В соответствии с определением доверительного интервала получаем, что доверительный интервал для  есть

где t определяется из равенства , т.е. из уравнения

(50)

(или  ); при заданном  по таблице функции Лапласа находим аргумент t.

 

 

 

 

 

 

Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть с.в.  - неизвестна,  - задана. Найдём такое число , что бы выполнялось соотношение  

или

.(51)

Введём случайную величину

(52)

Где S – исправленное среднее квадратическое с.в. X, вычисленное по формуле:

(53)

Интервал

(54)

Покрывает  с вероятностью , т.е. является доверительным интервалом для известного математического ожидания с.в. X.

 

 

 

 

Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения

Интервальной оценкой математического ожидания  нормального распределения:

-            при известном среднеквадратическом отклонении  является доверительный интервал

 (55)

-            при неизвестном среднеквадратическом отклонении  является доверительный интервал

 (56)

с надежностью ,

        Частость как точечная оценка вероятности события

Обозначим через р неизвестную вероятность появления случайного события А в единичном испытании.

Приближенное значение Р вероятности р определяется в виде

      (57)

где  - частость появления события А в n испытаниях;

m - число появления события А в n испытаниях.

Интервальная оценка вероятности события

       Интервальная оценка для р задается в виде

P(p1<p<p2)=1-α  (58)

где (p1, p2) - границы интервала для вероятности р, отвечающие надежности 1-α, α - уровень значимости.

       Интервальная оценка зависит от объема выборки n.

Статистическая оценка называется несмещенной, если

где  – оцениваемый параметр теоретического распределения.

Если , статистическая оценка называется смещенной.

Выборочное и исправленное среднеквадратическое отклонение

                                                                                               (59)

 

Выборочная средняя

  (52) или  (60)

где n – объем выборки, а k –количество различных вариант в выборке.

Выборочная дисперсия

 (61)

или

 (62)

исправленная дисперсия является несмещенной оценкой и определяется по формуле

 (63)

или

 (64)

 

Модой называется варианта, имеющая  наибольшую частоту или относительную частоту.

Медианой выборки Ме называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

 

Для дискретной выборки, при нечетном числе вариант n

   (65) 

а при четном числе вариант n

  (66)

 

 

 

 

Пример 1. Произведено 5 независимых наблюдений над с.в. . Результаты наблюдений таковы: . Найти оценку для , а также построить для него 95%-й доверительный интервал.

Решение. Находим сначала , т.е. . Учитывая, что  и , получаем .  По таблице находим, что . Тогда (по формуле ).  Доверительный интервал для таков: (4-17,5; 4+17,5), т.е.(-13,5; 21,5).

 

 

Пример 2. По условию примера 1 считая, что с.в. , построить для неизвестного  доверительный интервал. Считать

Решение. Оценку  для  уже знаем: =4. Находим значение S: . По таблице для  и  находим . Следовательно, . Доверительный интервал таков: (-27,9; 35,9).

 

 

 

Пример   Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность вероятности f(x); математическое ожидание М(Х); дисперсию D(X); вероятности Р(Х<0,5), P(0,5X2).

Решение.   Плотность вероятности – это производная от функции распределения, тогда

Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле :

 

дисперсия - по формуле :

Найдем вероятности Р(X<0,5), P(0,5X2):

P(X<0,5)=F(0,5)=0,5²=0,25;

P(0,5X2)=F(2)-F(0,5)=1-0,5²=1-0,25=0,75.

 

Пример   Установлено, что распределение диаметров эритроцитов хорошо описывается нормальным законом распределения с математическим ожиданием м и средним квадратичным отклонением м. Найти симметричный относительно  интервал диаметров, в который попадает 90% эритроцитов.

Решение.   Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. вероятность неравенства  равна .   

Величина вероятности Р в задаче задана, поэтому:   

 

 откуда

Из приложения 3 находим, что функция  тогда, когда ее аргумент . Отсюда м = м.

Теперь найдем интервал диаметров

Следовательно, интервал диаметров для 90% эритроцитов можно записать в виде .

 

Задания для самостоятельной работы.

1. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна 0, а случайные ошибки распределены нормально с м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более 5 метров при надёжности ?

2. Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки p с надёжностью 0,95, если в 400 испытаниях событие A появилось 80 раз.

 

3.   Построить полигон по данному распределению:

xi	2	4	5	7	10
ni	20	10	14	6	8

  4. Построить гистограмму по данному распределению выборки объёма

n = 100:

Частичный интервал	Сумма частот вариант частичного интервала ni
1-5  5-9 9-13 13-17 17-21	10 20 50 12 8

 

 

Контрольная работа

При выполнении контрольной работы студент подставляет вместо буквенных обозначений значения индивидуальных анкетных характеристик.

 

Р₁-число букв в полном имени студента.

Р₂-число букв в месяце рождения студента.

Р₃-число букв в фамилии студента.

 

1.                 В учебной группе Р₁  Р₂ студентов. Сколькими различными способами можно их разбить на бригады по Р₃ человек?

2.                 В рекламном агентстве имеется Р₁+Р₃ агентов и 4 менеджера. Сколькими способами можно составить бригаду, состоящую из трех агентов и одного менеджера?

3.                 Сколькими способами можно составить сувенирный набор из трех различных предметов из Р₁ ложек, Р₂ вилок и Р₃ ножей?

4.                 Бросаются три игральных кубика. Определить вероятность появления ровно Р2 очков в сумме.

5.                 Среди (Р₂+Р₃) деталей имеются четыре бракованных. Произвольно вынимаются пять деталей. Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна бракованная?

6.                 На трех станках изготавливаются патроны. На первом станке в минуту изготавливается- Р₁ патронов, на втором- Р₂ патронов и на третьем- Р ₃атронов. Установлено, что после часа работы  на первом станке 2% патронов, на втором 3% патронов и на третьем 5% патронов бракованные. На контроль берется 1 патрон после каждого часа работы. Определить вероятность того, что он будет бракованным.

7.                 В ящике Р₁расных шара, Р₂белых и Р₃зеленых. Вытаскивают наудачу 6 шаров. Какова вероятность, что среди них 1 красный, 2 белых и три зеленых шара?

8.                 Три стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 1/ Р2 и для третьего 1/ Р3. Найти вероятность того, что:

 

       А) в мишень попадает только один стрелок;

       Б) в мишень попадают только два стрелка;

       В) в мишень попадают все три стрелка;

             Г)  в мишень попадает хотя бы один из стрелков?

 

9.                 Студент знает Р из (Р₁+Р₃) вопросов программы. Найти вероятность, что студент ответит на предложенные ему экзаменатором три вопроса.

10.              Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 1/ Р₁. Составить закон распределения случайной величины  X- числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Элементы математической статистики

 

1.     Совокупность наблюдений, отобранных случайным образом из генеральной совокупности, называется

1)	Репрезентативной	2)	Вариантой
3)	Выборкой	4)	Частотой
5)	Сплошным обследованием	6)	Частостью

 

2.     Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид

Тогда число вариант  в выборке равно …

1)

8

2)

7

3)

70

4)

6

 

3.     Объем выборки 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6 равен …

 

4.     Мода вариационного ряда, полученного по выборке 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6 равна …

 

5.     Размах вариационного ряда, полученного по выборке 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6 равен …

 

6.     Для выборки 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 установите соответствие между вариантой и ее весом

 

7.     Объем выборки n = 50, частота варианты , частость этой же варианты равна …

 

8.     Дан вариационный ряд

варианта	1	5	7	9
частота	4	7	3	1

Накопленная частость варианты  равна …

 

9.     Дан вариационный ряд

варианта	1	5	7	9
частота	5	7	10	3

Медиана этого ряда равна …

 

10. Значение величины  равно …

 

11. Укажите абсолютные показатели вариации для вариационного ряда

1)	Выборочное среднее	2)	Среднее линейное отклонение
3)	Размах	4)	Коэффициент вариации
5)	Выборочная дисперсия	6)	Медиана

 

12. Укажите относительные показатели вариации для вариационного ряда

1)	Выборочное среднее	2)	Среднее линейное отклонение
3)	Размах	4)	Коэффициент вариации
5)	Выборочная дисперсия	6)	Медиана
7)	Относительное линейное отклонение	8)	Исправленная выборочная дисперсия

 

13. Математическое ожидание оценки  параметра  равно оцениваемому параметру. Оценка  является

1)	Смещенной	2)	Состоятельной
3)	Несмещенной	4)	Эффективной

 

14. Оценка  параметра  сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Оценка  является

1)	Смещенной	2)	Состоятельной
3)	Несмещенной	4)	Эффективной

 

15. Оценка  параметра  имеет наименьшую дисперсию из всех несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного объема n. Оценка  является

1)	Смещенной	2)	Состоятельной
3)	Несмещенной	4)	Эффективной

 

16. Произведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 2, 3, 8, 8. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

1)

5

2)

6

3)

5,5

4)

5,25

 

17. Выборочная дисперсия вариационного ряда равна 3,5. Объем выборки равен 50. Исправленная выборочная дисперсия равна …

1)

3,43

2)

3,57

3)

0,07

4)

3,5

 

18. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 11. Тогда его интервальная оценка может иметь вид…

1)

(10,5; 11,5)

2)

(11; 11,5)

3)

(10,5; 10,9)

4)

(10,5; 11)

 

19. Произведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

1)

8,25

2)

8,5

3)

8

4)

7

 

20. Дана выборка объема n. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее  …

1)	Не изменится	2)	Увеличится в 25 раз
3)	Уменьшится в 5 раз	4)	Увеличится в 5 раз

 

21. Установите соответствие между числовыми характеристиками и формулами

 

22. Выборочное среднее вариационного ряда вычисляется по формуле

1)		2)
3)		4)

 

23. Среднее линейное отклонение вариационного ряда вычисляется по формуле

1)		2)
3)		4)

 

24. Выборочная дисперсия вариационного ряда вычисляется по формуле

1)		2)
3)		4)

 

25. Исправленное среднее квадратическое отклонение вариационного ряда вычисляется по формуле

1)		2)
3)		4)

 

26. Дан вариационный ряд

варианта	1	3	5
частота	7	3	10

Установите соответствие между числовыми характеристиками и их значениями

 

27. Дан вариационный ряд

варианта	1	2	3
частота	4	2	3

Величина  равна …

 

28. Дан вариационный ряд

варианта	1	2	3
частота	5	2	3

Выборочная дисперсия равна …

1)

4

2)

1,8

3)

0,84

4)

0,76

 

29. Дан вариационный ряд

варианта	1	2	3
частота	5	2	3

Исправленная выборочная дисперсия равна …

1)

4

2)

1,8

3)

0,84

4)

0,76

 

30. Дана выборка 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 4. Упорядочить по возрастанию числовые характеристики

А)	Выборочное среднее
В)	Мода
С)	Медиана
D)	Размах

 

31. Дан вариационный ряд

варианта	2	5	7	10
частота	16	12	8	14

Установите соответствие между числовыми характеристиками и их значениями

 

32. Дан вариационный ряд

варианта	1	3	6
частота	10	8	12

Значение эмпирической функции распределения  в точке  равно

1)	0	2)	8	3)	0,6	4)	0,8
5)	18	6)	30	7)	5	8)	12

 

33. Для некоторого количественного признака известно, что  и . Коэффициент вариации количественного признака равен

1)	60%	2)	167%	3)	250%	4)	150%
5)	10%	6)	2,5%	7)	1,5%

 

34. Дан интервальный вариационный ряд

варианта	166-170	170-174	174-178	178-182
частота	12	14	16	8

Установите соответствие

 

35. Дан интервальный вариационный ряд

варианта	1-3	3-5	5-7	7-9
частота	2	3	4	1

Выборочная средняя равна…

 

36. Любое предположение о виде или параметре неизвестного закона распределения называется

1)	Статистическим критерием	2)	Нулевой гипотезой
3)	Статистической гипотезой	4)	Альтернативной гипотезой

 

37. Правило, по которому нулевая гипотеза отвергается или принимается называется

1)	Статистическим критерием	2)	Нулевой гипотезой
3)	Статистической гипотезой	4)	Альтернативной гипотезой

 

38. Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей гипотезой может быть гипотеза …

1)

2)

3)

4)

 

39. Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей гипотезой может быть гипотеза …

1)

2)

3)

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В лотерее 1000 билетов. На один билет выпадает выигрыш 5000 рублей,  на десять билетов – выигрыши по  1000 рублей, на пятьдесят билетов – выигрыши по  200 рублей, на сто билетов – выигрыши по 50 рублей, остальные билеты проигрышные. Покупается один билет. Тогда вероятность не выигрыша равна…	o   0,849   o   0,161   o   0,839   o
В квадрат со стороной 12 брошена точка. Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…	o     o     o     o   2
В квадрат со стороной 6 брошена точка. Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…	o     o     o     o
В квадрат со стороной 7 брошена точка. Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…	o     o     o     o
В первой урне 4 белых и 6 черных шаров. Во второй урне 1 белый и 9 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…	o   0,25   o   0,15   o   0,5   o   0,3
В первой урне 2 белых и 8 черных шаров. Во второй урне 5 белый и 5 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…	o   0,35   o   0,15   o   0,4   o   0,7
В квадрат со стороной 13 брошена точка. Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…	o     o     o     o
В первой урне 2 белых и 8 черных шаров. Во второй урне 3 белый и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…	o   0,11   o   0,55   o   0,6   o   0,25
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей Х -1 0 2 4 5 Р 0,3 0,2 0,1 0,1 0,3    Тогда вероятность Р (0≤Х≤4) равна…	o   0,7   o   0,4   o   0,5   o   0,2
Если основная гипотеза имеет вид  ,  то конкурирующей может быть гипоте6за…	o     o     o     o
Если основная гипотеза имеет вид ,  то конкурирующей может быть гипотеза…	o     o     o     o
В квадрат со стороной 3 брошена точка. Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна…	o     o     o     o
По мишени производится четыре выстрела. Значение вероятности промаха при первом выстреле 0,5; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1. Тогда вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу равна…	o   0,003   o   0,275   o   1,1   o   0,03
Событие А может наступить лишь при условии появления одного из двух несовместимых событий , образующих полную группу событий. Известны вероятность Р () = и условные вероятности  Р () = , Р () = . Тогда вероятность Р (А) равна…	o     o     o     o
Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид     Тогда вероятность Р(-1≤X≤3) равна…	o   0,7   o   0,3   o   0,2   o   0,5
Статистическое распределение выборки имеет вид 2 3 7 10 4 7 5 4 Тогда относительная частота варианты , равна…	o   0,4   o   0,1
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей Х -2 1 3 Р 0,1 a b    Тогда её математическое ожидание равно 2,1 если…	o   a=0,4; b=0,5   o   a=0,2; b=0,7   o   a=0,35; b=0,65   o   a=0,7; b=0,2
Для выборки объема n=8 вычислена выборочная дисперсия . Тогда исправленная дисперсия  для этой выборки равна…	o   144   o   128   o   121   o   98

 

События и вероятность

 

Возникновение или преднамеренное создание определенного комплекса условий S, результатом которого является тот или иной исход, называется …

 

Испытанием являются…

1)	Подбрасывание игральной кости
2)	Выпадение орла при подбрасывании монеты
3)	Вытаскивание шара из урны, в которой три черных и семь белых шаров
4)	Выстрел по мишени
5)	Увеличение курса доллара в следующем месяце

 

Событием являются…

1)	Выигрыш по лотерейному билету
2)	Вытаскивание игральной карты из колоды в 36 карт
3)	Подбрасывание монеты
4)	Выпадение двух очков при подбрасывании игральной кости
5)	Промах при выстреле по мишени

 

Рассмотрим испытание: подбрасывается игральная кость. Установите соответствие:

 

Рассмотрим испытание: подбрасывается игральная кость.
События: А – выпало 3 очка и В – выпало нечетное число очков являются:

 

Рассмотрим испытание: из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, достают наугад один шар.
События: А – достали белый шар и В – достали черный шар являются:

 

Несколько событий называются ____________, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

 

События называются ____________, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из них не является объективно более возможным.

 

События называются ____________, если наступление одного из них исключает появление любого другого.

 

Несколько событий образуют полную группу событий, если они являются _____________ и __________________ исходами испытания.

 

Элементарными исходами (случаями, шансами) называются исходы некоторого испытания, если они ______ и ______.

 

Укажите вероятность достоверного события …

 

Укажите вероятность невозможного события …

 

Укажите вероятность практически невозможного события

1)

1

2)

0,99

3)

0

4)

0,01

 

Укажите вероятность практически достоверного события

1)

1

2)

0,99

3)

0

4)

0,01

 

Известно, что Р(А) = 0,65. Укажите вероятность противоположного события

1)

0,65

2)

0,35

3)

0,5

4)

-0,65

 

Расположите события в порядке возрастания их вероятностей:

А)	При подбрасывании двух монет два раза выпал герб
В)	При подбрасывании игральной кости выпало число очков, большее четырех
С)	Из колоды в 36 карт наугад достали туза
D)	Из урны, содержащей пять белых шаров, наугад достали черный шар
E)	При подбрасывании игральной кости выпало четное число очков

 

Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)	При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, большее 4		1)	0,5
В)	При подбрасывании монеты выпадет герб		2)	1
С)	Из колоды карт (36 штук) достали туза		3)	1/9
			4)	1/3

 

Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)	При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, меньшее 4		1)	0,6
В)	Из урны, в которой 6 белых и 4 черных шара, наугад достали белый шар		2)	0,4
С)	Из колоды карт (36 штук) достали карту бубновой масти		3)	0,25
			4)	0,5

 

Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)	При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, кратное 3		1)	1/36
В)	Из урны, в которой 6 белых и 4 черных шара, наугад достали черный шар		2)	0,4
С)	Из колоды карт (36 штук) достали пиковую даму		3)	1/3
			4)	0,6

 

Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)	При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, равное 3		1)	0,5
В)	Из урны, в которой 6 белых, 4 черных и 10 красных шаров, наугад достали красный шар		2)	0,25
С)	При подбрасывании двух монет два раза выпал герб		3)	1/6
			4)	1/3

 

Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти события произойдут

А)	При подбрасывании игральной кости выпадет число очков, большее 1		1)	1/6
В)	Из урны, в которой 6 белых, 4 черных и 10 красных шаров, наугад достали белый шар		2)	0,3
С)	При подбрасывании двух монет выпал герб и решка		3)	0,5
			4)	5/6

 

В урне 12 белых и 8 черных шаров. Вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым равна…

 

Вероятность того, что в наудачу написанном трехзначном числе все цифры одинаковые, равна…

 

На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 5 см. Вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок, равна …

 

На отрезок [0; 1] наудачу брошена точка с координатой x. Вероятность того, что координата х окажется больше 0,6, равна …

 

В квадрат со стороной  наудачу брошена точка. Вероятность того, что эта точка попадет в круг, вписанный в квадрат, равна …

 

В квадрат со стороной  наудачу брошена точка. Вероятность того, что эта точка попадет в треугольник, образованный точкой пересечения диагоналей и двумя соседними вершинами квадрата, равна …

 

В круг радиуса R = 1 вписан квадрат. Вероятность того, что точка, наугад брошенная в круг, попадет в квадрат, равна …

 

Упорядочить события по возрастанию относительной частоты:

 

Установите соответствие…

 

Количество способов, которыми читатель может выбрать 4 книги из 11, равно

1)

353

2)

330

3)

341

4)

326

 

Количество способов, которыми можно выбрать 5 экзаменационных билетов из 9, равно

1)

135

2)

126

3)

121

4)

150

 

Количество способов, которыми можно сформировать экзаменационный билет из трех вопросов, если всего 25 вопросов, равно

1)

2500

2)

75

3)

575

4)

2300

 

Количество способов, которыми можно выбрать двух дежурных из группы студентов в 20 человек, равно

1)

200

2)

190

3)

20!

4)

18!

 

Количество способов, которыми могут 3 раза поразить мишень 10 стрелков, равно (каждый делает 1 выстрел)

1)

10

2)

30

3)

120

4)

720

 

Количество способов, которыми можно выбрать 2 карты из колоды в 36 карт, равно…

 

Количество различных трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3, равно…

 

Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Событие  – попадание в мишень i-м стрелком. Событие  – промах i-м стрелком. Событие А – в мишень попали два раза представляется в виде операций над событиями как…

 

Укажите верные равенства (Æ - невозможное событие, W - достоверное событие):

 

Брокерская фирма имеет дело с акциями и облигациями. Фирме полезно оценить вероятность того, что: лицо является держателем акций (событие А); лицо является держателем облигаций (событие В). Установите соответствие …

 

Из появления события В с достоверностью вытекает появление события А. Укажите верные равенства

 

Теоремы сложения и умножения вероятностей

 

Равенство  имеет место для ________ событий

 

Равенство  имеет место для __________ событий

 

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна …

 

Сумма вероятностей противоположных событий равна …

 

Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,9 и 0,4 соответственно. Вероятность того, что в цель попадут оба стрелка, равна …

1)

0,5

2)

0,4

3)

0,45

4)

0,36

 

Урна содержит 6 белых и 9 черных шаров. Вероятность достать первым белый шар, а вторым черный, равна (шар в урну не возвращается)

1)

6/25

2)

3/5

3)

9/35

4)

2/5

 

В урне находится 1 белый и 2 черных шара. Из урны поочередно вынимают два шара, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются. Тогда вероятность того, что оба шара белые, равна …

1)

2/9

2)

1/6

3)

2/3

4)

1/9

 

По мишени производится четыре выстрела. Значение вероятности промаха при первом выстреле 0,5; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1. Тогда вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна …

1)

1,1

2)

0,03

3)

0,275

4)

0,003

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

Таблица 1

Значения функции

k	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
0	0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488
1	0,0905	0,1638	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293
2	0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988
3	0,0002	0,0011	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198
4		0,0001	0,0002	0,0007	0,0016	0,0030
5				0,0001	0,0002	0,0004
k	0,7	0,8	0,9	1,0	2,0	3,0
0	0,4966	0,4493	0,4066	0,3676	0,1353	0,0498
1	0,3476	0,3595	0,3659	0,3679	0,2707	0,1494
2	0,1217	0,1438	0,1647	0,1839	0,2707	0,2240
3	0,0284	0,0383	0,0494	0,0613	0,1804	0,2240
4	0,0050	0,0077	0,0111	0,0153	0,0902	0,1680
5	0,0007	0,0012	0,0020	0,0031	0,0361	0,1008
6	0,0001	0,0002	0,0003	0,0005	0,0120	0,0504
7				0,0001	0,0034	0,0216
8					0,0009	0,0081
9					0,0002	0,0027
10						0,0008
11						0,0002
12						0,0001
k	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0
0	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001
1	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011
2	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0050
3	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150
4	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337
5	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607
6	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911
7	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1171
8	0,0298	0,0653	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318
9	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,1318
10	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1186
11	0,0019	0,0082	0,0225	0,0452	0,0722	0,0970
12	0,0006	0,0034	0,0113	0,0264	0,0481	0,0728
13	0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504
14	0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324
15		0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194
16		0,0001	0,0003	0,0015	0,0045	0,0109
17			0,0001	0,0006	0,0021	0,0058

 

Таблица 2

Значения функции

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3110	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0,0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

 

 

Таблица 3

Значения функции 

 

x		x		x		x
0,00	0,0000	0,44	0,1700	0,88	0,3106	1,32	0,4066
0,01	0,0040	0,45	0,1736	0,89	0,3133	1,33	0,4082
0,02	0,0080	0,46	0,1772	0,90	0,3159	1,34	0,4099
0,03	0,0120	0,47	0,1808	0,91	0,3186	1,35	0,4115
0,04	0,0160	0,48	0,1844	0,92	0,3212	1,36	0,4131
0,05	0,0199	0,49	0,1879	0,93	0,3238	1,37	0,4147
0,06	0,0239	0,50	0,1915	0,94	0,3264	1,38	0,4162
0,07	0,0279	0,51	0,1950	0,95	0,3289	1,39	0,4177
0,08	0,0319	0,52	0,1985	0,96	0,3315	1,40	0,4192
0,09	0,0359	0,53	0,2019	0,97	0,3340	1,41	0,4207
0,10	0,0398	0,54	0,2054	0,98	0,3365	1,42	0,4222
0,11	0,0438	0,55	0,2088	0,99	0,3389	1,43	0,4236
0,12	0,0478	0,56	0,2123	1,00	0,3413	1,44	0,4251
0,13	0,0517	0,57	0,2157	1,01	0,3438	1,45	0,4265
0,14	0,0557	0,58	0,2190	1,02	0,3461	1,46	0,4279
0,15	0,0596	0,59	0,2224	1,03	0,3485	1,47	0,4292
0,16	0,0636	0,60	0,2257	1,04	0,3508	1,48	0,4306
0,17	0,0675	0,61	0,2291	1,05	0,3531	1,49	0,4319
0,18	0,0714	0,62	0,2324	1,06	0,3554	1,50	0,4332
0,19	0,0753	0,63	0,2357	1,07	0,3577	1,51	0,4345
0,20	0,0793	0,64	0,2389	1,08	0,3599	1,52	0,4357
0,21	0,0832	0,65	0,2422	1,09	0,3621	1,53	0,4370
0,22	0,0871	0,66	0,2454	1,10	0,3643	1,54	0,4382
0,23	0,0910	0,67	0,2486	1,11	0,3665	1,55	0,4394
0,24	0,0948	0,68	0,2517	1,12	0,3686	1,56	0,4406
0,25	0,0987	0,69	0,2549	1,13	0,3708	1,57	0,4418
0,26	0,1026	0,70	0,2580	1,14	0,3729	1,58	0,4429
0,27	0,1064	0,71	0,2611	1,15	0,3749	1,59	0,4441
0,28	0,1103	0,72	0,2642	1,16	0,3770	1,60	0,4452
0,29	0,1141	0,73	0,2673	1,17	0,3790	1,61	0,4463
0,30	0,1179	0,74	0,2703	1,18	0,3810	1,62	0,4474
0,31	0,1217	0,75	0,2734	1,19	0,3830	1,63	0,4484
0,32	0,1255	0,76	0,2764	1,20	0,3849	1,64	0,4495
0,33	0,1293	0,77	0,2794	1,21	0,3869	1,65	0,4505
0,34	0,1331	0,78	0,2823	1,22	0,3883	1,66	0,4515
0,35	0,1368	0,79	0,2852	1,23	0,3907	1,67	0,4525
0,36	0,1406	0,80	0,2881	1,24	0,3925	1,68	0,4535
0,37	0,1443	0,81	0,2910	1,25	0,3944	1,69	0,4545
0,38	0,1480	0,82	0,2939	1,26	0,3962	1,70	0,4554
0,39	0,1517	0,83	0,2967	1,27	0,3980	1,71	0,4564
0,40	0,1554	0,84	0,2995	1,28	0,3997	1,72	0,4573
0,41	0,1591	0,85	0,3023	1,29	0,4015	1,73	0,4582
0,42	0,1628	0,86	0,3051	1,30	0,4032	1,74	0,4591
0,43	0,1664	0,87	0,3078	1,31	0,4049	1,75	0,4599

 

Таблица 3. Продолжение

 

x		x		x		x
1,76	0,4608	2,13	0,4834	2,50	0,4938	2,87	0,4979
1,77	0,4616	2,14	0,4838	2,51	0,4940	2,88	0,4980
1,78	0,4625	2,15	0,4842	2,52	0,4941	2,89	0,4981
1,79	0,4633	2,16	0,4846	2,53	0,4943	2,90	0,4981
1,80	0,4641	2,17	0,4850	2,54	0,4945	2,91	0,4982
1,81	0,4649	2,18	0,4854	2,55	0,4946	2,92	0,4982
1,82	0,4656	2,19	0,4857	2,56	0,4948	2,93	0,4983
1,83	0,4664	2,20	0,4861	2,57	0,4949	2,94	0,4984
1,84	0,4671	2,21	0,4864	2,58	0,4951	2,95	0,4984
1,85	0,4678	2,22	0,4868	2,59	0,4951	2,96	0,4985
1,86	0,4686	2,23	0,4871	2,60	0,4953	2,97	0,4985
1,87	0,4693	2,24	0,4875	2,61	0,4955	2,98	0,4986
1,88	0,4699	2,25	0,4878	2,62	0,4956	2,99	0,4986
1,89	0,4706	2,26	0,4881	2,63	0,4967	3,00	0,49865
1,90	0,4713	2,27	04884	2,64	0,4959	3,10	0,49903
1,91	0,4719	2,28	0,4887	2,65	0,4960	3,20	0,49931
1,92	0,4726	2,29	0,4890	2,66	0,4961	3,30	0,49952
1,93	0,4732	2,30	0,4893	2,67	0,4962	3,40	0,49966
1,94	0,4738	2,31	0,4896	2,68	0,4963	3,50	0,49977
1,95	0,4744	2,32	0,4898	2,69	0,4964	3,60	0,49984
1,96	0,4750	2,33	0,4901	2,70	0,4965	3,70	0,49989
1,97	0,4756	2,34	0,4904	2,71	0,4966	3,80	0,49993
1,98	0,4761	2,35	0,4906	2,72	0,4967	3,90	0,49995
1,99	0,4767	2,36	0,4909	2,73	0,4968	4,00	0,499968
2,00	0,4772	2,37	0,4911	2,74	0,4969	4,10	0,499979
2,01	0,4778	2,38	0,4913	2,75	0,4970	4,20	0,499987
2,02	0,4783	2,39	0,4916	2,76	0,4971	4,30	0,499991
2,03	0,4788	2,40	0,4918	2,77	0,4972	4,40	0,499995
2,04	0,4793	2,41	0,4920	2,78	0,4973	4,50	0,4999966
2,05	0,4798	2,42	0,4922	2,79	0,4974	4,60	0,4999979
2,06	0,4803	2,43	0,4925	2,80	0,4974	4,70	0,4999987
2,07	0,4808	2,44	0,4927	2,81	0,4975	4,80	0,4999992
2,08	0,4812	2,45	0,4929	2,82	0,4976	4,90	0,4999995
2,09	0,4817	2,46	0,4931	2,83	0,4977	5,00	» 0,5
2,10	0,4821	2,47	0,4932	2,84	0,4977
2,11	0,4826	2,48	0,4934	2,85	0,4978
2,12	0,4830	2,49	0,4936	2,86	0,4979

 

 

 

 

 

Рекомендуемая литература

1.                 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая  школа, 2001.

2.                 Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.

3.                 Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1994.

4.                 Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. – М.: Гардарика, 1998.

5.                 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.

6.                 Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 2000.

7.                 Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Высшая школа, 2000.

8.                 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.

9.                 Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979.

10.             Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:Высшая школа, 1982.

11.             Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.

12.             Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.

13.             Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: Мир, 1975.

14.             Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТЕ-ДАНА, 2002.

15.             Солодовников А.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1983.

16.             Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1982